Cum aflu volumul cilindrului?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Cilindrul: arii și volum

Înmulțești aria bazei cu înălțimea, iar baza fiind un disc obții $V = π R^{2} h$ . Pentru $R = 3$ cm și $h = 10$ cm rezultă $90 π$ cm³, cam $283$ cm³. Aria laterală vine din dreptunghiul desfășurării, deci $A_{l} = 2 π R h$ , iar cea totală adaugă cele două discuri: $A_{t} = 2 π R (R + h)$ . Aria se scrie în unități pătrate, iar volumul în unități cubice.

Dacă desfășori un cilindru circular drept (rază $R$ , înălțime $h$ ), suprafața laterală devine un dreptunghi cu laturile $2 π R$ (circumferința bazei) și $h$ . De aici obții cele trei formule esențiale:

Aria laterală: $A_{l} = 2 π R h$
Aria totală: $A_{t} = A_{l} + 2 π R^{2} = 2 π R (R + h)$ (adaugi cele două baze)
Volumul: $V = π R^{2} h$ (aria bazei × înălțimea)

Exemplu: pentru $R = 3$ cm și $h = 10$ cm: $A_{l} = 2 π \cdot 3 \cdot 10 = 60 π cm^{2}$ , $A_{t} = 2 π \cdot 3 \cdot 13 = 78 π cm^{2}$ , $V = π \cdot 9 \cdot 10 = 90 π cm^{3}$ .

Reține: aria se măsoară în unități pătrate, volumul în unități cubice, iar $1 L = 1 dm^{3}$ . Dacă ți se dă o arie sau un volum și lipsește o dimensiune, scrii formula de bază și izolezi necunoscuta, exact ca la o ecuație.

De reținut

$V = π R^{2} h$
$A_{l} = 2 π R h$
$A_{t} = 2 π R (R + h)$

Greșeala tipică

Se folosește diametrul în locul razei, iar rezultatul iese de patru ori mai mare la volum. Dacă enunțul dă diametrul, îl împarți la doi înainte de orice calcul.

Exerciții din această mini-lecție

Un cilindru circular drept are raza bazei $R = 4$ cm și înălțimea $h = 9$ cm. Calculează aria laterală.
- a) $72 π cm^{2}$
- b) $36 π cm^{2}$
- c) $144 π cm^{2}$
- d) $32 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $72 π cm^{2}$

$A_{l} = 2 π R h = 2 π \cdot 4 \cdot 9 = 72 π cm^{2}$ .
Un cilindru circular drept are aria laterală $A_{l} = 100 π cm^{2}$ și raza bazei $R = 5$ cm. Află înălțimea cilindrului.
- a) $10$ cm
- b) $20$ cm
- c) $5$ cm
- d) $50$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$ cm

Din $A_{l} = 2 π R h$ rezultă $h = \frac{A _{l}}{2 π R} = \frac{100 π}{2 π \cdot 5} = \frac{100 π}{10 π} = 10$ cm.
Un cilindru circular drept are raza bazei $R = 5$ cm și înălțimea $h = 9$ cm. Calculează aria totală.
- a) $140 π cm^{2}$
- b) $90 π cm^{2}$
- c) $70 π cm^{2}$
- d) $50 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $140 π cm^{2}$

$A_{t} = 2 π R (R + h) = 2 π \cdot 5 \cdot (5 + 9) = 2 π \cdot 5 \cdot 14 = 140 π cm^{2}$ .

Întrebări conexe

Câți litri are un rezervor cilindric cu raza de 5 dm?

Calculezi volumul în decimetri cubi și îl citești direct ca litri. Pentru $R = 5$ dm și $h = 8$ dm obții $π \cdot 25 \cdot 8 = 200 π$ dm³, adică vreo $628$ de litri. Trecerea la litri merge doar dacă lucrezi în decimetri.

De ce aria laterală vine dintr-un dreptunghi?

Fiindcă, tăind suprafața curbă de-a lungul unei generatoare și întinzând-o pe masă, obții exact un dreptunghi. O latură a lui este înălțimea corpului, iar cealaltă este lungimea cercului de bază, adică $2 π R$ . Înmulțindu-le, ajungi la formula ariei laterale.

Ce se întâmplă cu volumul dacă dublez raza?

Volumul se face de patru ori mai mare, fiindcă raza apare la pătrat. De la $R = 2$ la $R = 4$ , cu aceeași înălțime, volumul trece de la $4 π h$ la $16 π h$ . Aria laterală, în schimb, doar se dublează, fiindcă acolo raza apare o singură dată.

Cum aflu raza unei conserve din volumul scris pe etichetă?

Împarți volumul la produsul dintre $π$ și înălțime, apoi extragi radicalul. Pentru $400$ cm³ și o înălțime de $10$ cm obții $R^{2} \approx 12, 7$ , deci raza are cam $3, 6$ cm. Etichetele dau de obicei volumul în mililitri, iar un mililitru face un centimetru cub.

Cât material trebuie pentru o cutie de conserve?

Îți trebuie aria totală, fiindcă tabla acoperă și pereții, și cele două capace. Pentru $R = 4$ cm și $h = 11$ cm obții $2 π \cdot 4 \cdot 15 = 120 π$ cm², cam $377$ cm². În fabrică se adaugă și material pentru îmbinări.

Cum compar volumele a doi cilindri cu aceeași înălțime?

Compari doar razele, fiindcă înălțimea se simplifică. Raportul volumelor este pătratul raportului razelor. La raze de $3$ și $6$ cm, al doilea cilindru ține de patru ori mai mult, deși raza lui e doar dublă.

Oamenii mai întreabă și: volumul cilindrului circular drept · aria laterală a cilindrului · aria totală a cilindrului · formule pentru cilindru · câți litri încap într-un cilindru