Cum arată cilindrul desfășurat?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Cilindrul: elemente și desfășurare

Din trei bucăți: două cercuri de rază $R$ , care sunt bazele, și un dreptunghi care era suprafața curbă. Latura scurtă a dreptunghiului este înălțimea corpului, iar cea lungă este lungimea cercului de bază, adică $2 π R$ . Pentru $R = 5$ cm și $h = 9$ cm, dreptunghiul măsoară $10 π$ cm pe $9$ cm. Generatoarea are tot $9$ cm, fiindcă la cilindrul drept ea coincide cu înălțimea.

Un cilindru circular drept are două baze care sunt cercuri congruente (rază $R$ ), unite printr-o suprafață laterală curbă. Distanța dintre baze este înălțimea $h$ , iar segmentul de pe suprafața laterală care unește cele două cercuri se numește generatoare $g$ . La cilindrul drept, generatoarea este mereu egală cu înălțimea: $g = h$ .

Cilindrul este un corp de rotație: dacă rotești un dreptunghi în jurul uneia dintre laturi, latura-axă devine înălțimea, iar latura perpendiculară pe ea devine raza.

Când „desfaci" cilindrul pe caiet, obții trei bucăți: două cercuri de rază $R$ (bazele) și un dreptunghi cu o latură $h$ și cealaltă latură $2 π R$ (lungimea cercului de bază).

Exemplu: dacă $R = 5$ cm și $h = 9$ cm, atunci $g = 9$ cm, iar dreptunghiul lateral are dimensiunile $2 π \cdot 5 = 10 π$ cm și $9$ cm.

De reținut

desfășurarea are două cercuri de rază $R$ și un dreptunghi
dreptunghiul are laturile $2 π R$ și $h$
la cilindrul drept, generatoarea este egală cu înălțimea

Greșeala tipică

Se ia latura lungă a dreptunghiului drept diametru, nu drept lungimea cercului. Ea măsoară $2 π R$ , deci de peste trei ori diametrul.

Exerciții din această mini-lecție

Un cilindru circular drept are raza bazei $R = 6$ cm și înălțimea $h = 15$ cm. Cât este generatoarea $g$ a cilindrului?
- a) $6$ cm
- b) $9$ cm
- c) $15$ cm
- d) $21$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $15$ cm

La cilindrul circular drept, generatoarea este întotdeauna egală cu înălțimea: $g = h$ . Cum $h = 15$ cm, rezultă $g = 15$ cm. Generatoarea nu depinde de rază.
Un dreptunghi cu laturile $4$ cm și $11$ cm se rotește complet ( $360°$ ) în jurul laturii de $11$ cm. Ce cilindru se obține?
- a) $R = 4$ cm, $h = 11$ cm
- b) $R = 11$ cm, $h = 4$ cm
- c) $R = 4$ cm, $h = 4$ cm
- d) $R = 11$ cm, $h = 11$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R = 4$ cm, $h = 11$ cm

Latura în jurul căreia rotim (aici $11$ cm) devine axa, deci înălțimea cilindrului: $h = 11$ cm. Latura perpendiculară pe ea ( $4$ cm) devine raza bazei: $R = 4$ cm.
Un cilindru circular drept are raza bazei $R = 8$ cm și generatoarea $g = 20$ cm. Cât este înălțimea $h$ a cilindrului?
- a) $20$ cm
- b) $8$ cm
- c) $10$ cm
- d) $40$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $20$ cm

La cilindrul circular drept, generatoarea este întotdeauna egală cu înălțimea: $g = h$ . Cum $g = 20$ cm, rezultă $h = 20$ cm. Varianta (b) confundă înălțimea cu raza, (c) e jumătate din $g$ , iar (d) e dublul lui $g$ .

Întrebări conexe

Cum construiesc din carton un cilindru cu raza dată?

Decupezi două cercuri de rază $R$ și un dreptunghi cu o latură egală cu $2 π R$ . Pentru $R = 4$ cm, latura lungă are cam $25$ cm. Îndoi dreptunghiul până se închide într-un tub, lipești marginile, apoi așezi cercurile la capete.

Când dreptunghiul din desfășurare iese pătrat?

Când înălțimea este cât lungimea cercului de bază, adică $h = 2 π R$ . Situația e rară în probleme, fiindcă cere o înălțime de vreo șase ori mai mare decât raza. Nu o confunda cu cilindrul la care secțiunea prin ax iese pătrat, unde $h = 2 R$ .

Prin ce se deosebește cilindrul de con?

Cilindrul are două baze egale și pereți drepți, iar conul are o singură bază și se strânge într-un vârf. Desfășurat, conul dă un cerc și un sector de cerc, nu un dreptunghi. Amândouă sunt corpuri de rotație, dar unul vine dintr-un dreptunghi, celălalt dintr-un triunghi dreptunghic.

De ce cilindrul nu are muchii și vârfuri?

Fiindcă suprafața lui laterală este curbă, fără colțuri unde să se întâlnească fețe plane. Are doar două margini circulare, acolo unde peretele se lipește de baze. La prismă, în schimb, toate fețele sunt plane, deci apar muchii drepte și vârfuri.

Unde întâlnesc cilindri în viața de zi cu zi?

Conservele, paharele drepte, sulurile de hârtie, țevile și bateriile au formă de cilindru. Rezervoarele de apă și silozurile din agricultură folosesc aceeași formă, fiindcă ea ține mult și se face ușor din tablă îndoită. Chiar și o monedă este un cilindru foarte turtit.

Ce se schimbă dacă rotesc dreptunghiul pe cealaltă latură?

Se schimbă rolurile celor două laturi: cea care era rază devine înălțime, iar cealaltă devine rază. Dintr-un dreptunghi de $3$ pe $5$ cm obții fie un cilindru cu $R = 3$ și $h = 5$ , fie unul cu $R = 5$ și $h = 3$ . Volumele rezultate diferă mult.

Oamenii mai întreabă și: desfășurarea cilindrului · cilindru circular drept · elementele cilindrului · generatoarea cilindrului · cum arată cilindrul desfăcut