Sunt egale fracțiile $$\dfrac{16}{24}$$ și $$\dfrac{20}{30}$$? Adu-le la forma ireductibilă și decide.

Da, ambele au forma ireductibilă $$\dfrac{2}{3}$$

Nu, au forme ireductibile diferite

Nu se poate compara fără să le aduci la același numitor prin amplificare

Da, dar numai pentru că au aceeași diferență între numărător și numitor

Ce înseamnă să simplifici o fracție?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Cmmdc, amplificare și simplificare fracții

Înseamnă să împarți și numărul de sus, și pe cel de jos cu un divizor pe care îl au amândouă. Valoarea rămâne aceeași, numerele devin doar mai mici. Drumul scurt este împărțirea cu cel mai mare divizor comun al celor două numere. Pentru $\frac{18}{24}$ acel divizor este 6, deci obții $\frac{3}{4}$ . Când sus și jos nu mai există niciun divizor comun peste 1, fracția se numește ireductibilă.

Cel mai mare divizor comun ( $cmmdc$ ) a două numere este cel mai mare număr care le împarte pe amândouă exact, aflat prin enumerarea divizorilor comuni. Amplificarea unei fracții înseamnă a înmulți numărătorul și numitorul cu același număr natural nenul: $\frac{3}{5} = (4) \frac{12}{20}$ . Simplificarea este operația inversă: împărțim numărătorul și numitorul cu un divizor comun al lor. O fracție este ireductibilă atunci când $cmmdc (num \overset{a}{˘} r \overset{a}{˘} tor, numitor) = 1$ , adică nu mai are niciun divizor comun mai mare decât $1$ .

Drumul cel mai rapid către forma ireductibilă este să împărțim direct cu cmmdc-ul numărătorului și numitorului. Exemplu: pentru $\frac{18}{24}$ , aflăm $cmmdc (18, 24) = 6$ , deci $\frac{18}{24} = (6) \frac{3}{4}$ , care este ireductibilă, întrucât $cmmdc (3, 4) = 1$ . Două fracții sunt egale dacă și numai dacă au aceeași formă ireductibilă.

De reținut

simplificare = împarți sus și jos cu același divizor comun
amplificare = înmulțești sus și jos cu același număr nenul
ireductibilă = numerele nu mai au divizor comun peste 1

Greșeala tipică

Se simplifică doar unul dintre cele două numere, de pildă $\frac{12}{18}$ devine $\frac{6}{18}$ . Împărțirea trebuie făcută la amândouă deodată, altfel valoarea fracției se schimbă.

Exerciții din această mini-lecție

Adu fracția $\frac{45}{60}$ la forma ireductibilă, folosind cmmdc-ul numărătorului și numitorului. Care este rezultatul?
- a) $\frac{3}{4}$
- b) $\frac{9}{12}$
- c) $\frac{15}{20}$
- d) $\frac{9}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{4}$

Divizorii lui $45$ : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . Divizorii lui $60$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ . Divizori comuni: $1, 3, 5, 15$ , deci $cmmdc (45, 60) = 15$ . Simplificăm direct: $\frac{45}{60} = (15) \frac{45 : 15}{60 : 15} = \frac{3}{4}$ . Verificăm: $cmmdc (3, 4) = 1$ , deci $\frac{3}{4}$ este ireductibilă. Variantele b ( $\frac{45}{60} = (5) \frac{9}{12}$ ) și c ( $\frac{45}{60} = (3) \frac{15}{20}$ ) sunt fracții echivalente cu cea inițială, dar nu sunt aduse complet la forma ireductibilă. Varianta d ( $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ ) nu este nici măcar egală cu $\frac{45}{60}$ — ar rezulta dintr-o greșeală frecventă: împărțirea numărătorului și numitorului cu numere diferite (aici $45 : 5 = 9$ , dar $60 : 4 = 15$ ).
Sunt egale fracțiile $\frac{16}{24}$ și $\frac{20}{30}$ ? Adu-le la forma ireductibilă și decide.
- a) Da, ambele au forma ireductibilă $\frac{2}{3}$
- b) Nu, au forme ireductibile diferite
- c) Nu se poate compara fără să le aduci la același numitor prin amplificare
- d) Da, dar numai pentru că au aceeași diferență între numărător și numitor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, ambele au forma ireductibilă $\frac{2}{3}$

$cmmdc (16, 24) = 8$ , deci $\frac{16}{24} = (8) \frac{2}{3}$ . $cmmdc (20, 30) = 10$ , deci $\frac{20}{30} = (10) \frac{2}{3}$ . Ambele fracții au aceeași formă ireductibilă $\frac{2}{3}$ , deci sunt egale — forma ireductibilă este „cartea de identitate" a unei fracții, iar două fracții egale au mereu aceeași formă ireductibilă.
Adu fracția $\frac{40}{64}$ la forma ireductibilă, folosind cmmdc-ul numărătorului și numitorului. Care este rezultatul?
- a) $\frac{5}{8}$
- b) $\frac{10}{16}$
- c) $\frac{20}{32}$
- d) $\frac{10}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{5}{8}$

Divizorii lui $40$ : $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40$ . Divizorii lui $64$ : $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ . Divizori comuni: $1, 2, 4, 8$ , deci $cmmdc (40, 64) = 8$ . Simplificăm direct: $\frac{40}{64} = (8) \frac{40 : 8}{64 : 8} = \frac{5}{8}$ . Verificăm: $cmmdc (5, 8) = 1$ , deci $\frac{5}{8}$ este ireductibilă. Variantele b) ( $\frac{40}{64} = (4) \frac{10}{16}$ ) și c) ( $\frac{40}{64} = (2) \frac{20}{32}$ ) sunt fracții echivalente, dar nu complet simplificate. Varianta d) ( $\frac{10}{8}$ ) rezultă dintr-o greșeală frecventă: împărțirea numărătorului și numitorului cu numere diferite (aici $40 : 4 = 10$ , dar $64 : 8 = 8$ ).

Întrebări conexe

Cum notez amplificarea și simplificarea pe hârtie?

Se pune numărul folosit între paranteze, deasupra semnului egal la amplificare și dedesubt la simplificare. Notația arată dintr-o privire cu ce ai lucrat și îi permite profesorului să urmărească pasul fără să refacă toate calculele.

De ce simplificarea nu schimbă valoarea fracției?

Fiindcă împarți în același ritm și câte felii ai luat, și în câte felii a fost tăiat întregul. Tăind o pizza în 8 și luând 4 bucăți, ai exact cât dacă ai tăia-o în 2 și ai lua una. Raportul dintre cele două numere rămâne neatins.

Când e nevoie să amplific o fracție?

Când vrei să compari sau să aduni fracții cu numere de jos diferite și îți trebuie un numitor comun. Amplificarea urcă numerele fără să schimbe valoarea, exact invers față de simplificare, care le coboară.

Se poate simplifica o fracție cu ambele numere impare?

Da, dacă ele au un divizor comun impar. Fracția $\frac{15}{35}$ se simplifică prin 5 și devine $\frac{3}{7}$ . Ce nu poți face este să simplifici prin 2, fiindcă niciunul dintre numerele impare nu se împarte exact la 2.

Cum simplific o fracție cu numere mari, ca 144/180?

Simplifici pe rând cu numere mici, până nu mai poți. Împarți întâi cu 2 și obții $\frac{72}{90}$ , apoi iar cu 2 și ajungi la $\frac{36}{45}$ , apoi cu 9 și rămâne $\frac{4}{5}$ . Rezultatul e același ca prin împărțirea directă cu 36.

La ce ajută forma ireductibilă la un test?

Baremele cer de obicei rezultatul cu numerele cât se poate de mici, iar două răspunsuri arată identic doar în această formă. Ea îți permite și să compari rapid două fracții: dacă formele lor coincid, valorile sunt egale.

Oamenii mai întreabă și: cum simplific o fracție · simplificarea fracțiilor · fracție ireductibilă · amplificarea și simplificarea fracțiilor