Compară $$2{,}2$$ cu $$\sqrt{5}$$, folosind ridicarea la pătrat.

Nu se poate stabili fără calculator

Compară $$2\sqrt{6}$$ cu $$3\sqrt{3}$$, introducând coeficientul sub radical.

Depinde de valoarea aproximativă folosită

Compară $$3{,}1$$ cu $$\sqrt{10}$$, folosind ridicarea la pătrat.

Nu se poate stabili fără calculator

Cum compar două numere reale?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Compararea și ordonarea numerelor reale

Te gândești la axă: cel așezat mai la stânga este mai mic, iar orice negativ stă sub orice pozitiv. La două numere pozitive, cea mai sigură cale este ridicarea la pătrat, fiindcă atunci ordinea se păstrează: din $1, 7^{2} = 2, 89$ și $3$ rezultă $1, 7 < 3$ . La radicali cu numere în față îi bagi întâi sub semn. La două negative compari depărtările de zero și întorci semnul.

Pe axa numerelor, cel aflat mai la stânga este întotdeauna mai mic — asta e regula de aur din spatele oricărei comparări. Numerele raționale (fracții, zecimale) le compari prin numitor comun sau cifră cu cifră. Când ai un rațional și un irațional (sau doi radicali pozitivi), cea mai sigură metodă este ridicarea la pătrat: pentru numere pozitive, $x < y \Leftrightarrow x^{2} < y^{2}$ . La radicali cu coeficient, folosești $a b = a^{2} b$ ca să compari direct numerele de sub radical. La numere negative, compari mai întâi modulele (valorile pozitive), apoi inversezi semnul comparației.

Exemplu minimal: comparăm $1, 7$ cu $3$ . Ridicăm la pătrat: $1, 7^{2} = 2, 89$ și $(3)^{2} = 3$ . Cum $2, 89 < 3$ , rezultă $1, 7 < 3$ — fără să memorezi zecimalele radicalului.

Pentru a ordona un șir amestecat, aduci totul la zecimale (sau la radicali „goi"), compari și așezi în ordine, apoi rescrii forma originală a fiecărui număr.

De reținut

mai la stânga pe axă înseamnă mai mic
la numere pozitive: $x < y$ dacă și numai dacă $x^{2} < y^{2}$
$a b = a^{2} b$ la coeficient pozitiv: aduce radicalii la aceeași formă
la negative compari depărtările de zero și întorci semnul

Greșeala tipică

Se compară doar numerele din fața radicalilor. Între $25$ și $32$ hotărăsc $20$ și $18$ , deci primul este mai mare, deși are în față un număr mai mic.

Exerciții din această mini-lecție

Compară $2, 2$ cu $5$ , folosind ridicarea la pătrat.
- a) $2, 2 < 5$
- b) $2, 2 > 5$
- c) $2, 2 = 5$
- d) Nu se poate stabili fără calculator
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2, 2 < 5$

Ambele numere sunt pozitive, deci ridicăm la pătrat: $2, 2^{2} = 4, 84$ și $(5)^{2} = 5$ . Cum $4, 84 < 5$ , rezultă $2, 2 < 5$ .
Compară $26$ cu $33$ , introducând coeficientul sub radical.
- a) $26 < 33$
- b) $26 > 33$
- c) $26 = 33$
- d) Depinde de valoarea aproximativă folosită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $26 < 33$

Introducem sub radical: $26 = 4 \cdot 6 = 24$ și $33 = 9 \cdot 3 = 27$ . Cum $24 < 27$ , rezultă $24 < 27$ , adică $26 < 33$ .
Compară $3, 1$ cu $10$ , folosind ridicarea la pătrat.
- a) $3, 1 < 10$
- b) $3, 1 > 10$
- c) $3, 1 = 10$
- d) Nu se poate stabili fără calculator
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3, 1 < 10$

Ambele numere sunt pozitive, deci ridicăm la pătrat: $3, 1^{2} = 9, 61$ și $(10)^{2} = 10$ . Cum $9, 61 < 10$ , rezultă $3, 1 < 10$ .

Întrebări conexe

Cine e mai mare, 1,7 sau radical din 3?

Radicalul. Ridici amândouă numerele la pătrat și compari $2, 89$ cu 3; al doilea este mai mare, deci și numărul de la care a pornit. Metoda scutește de memorarea zecimalelor, care încep cu $1, 732$ .

Cum compar o fracție cu un număr zecimal?

Împarți numărătorul la numitor și compari zecimalele cifră cu cifră, sau scrii zecimalul ca fracție și aduci amândouă la același numitor. A doua cale dă un răspuns exact, fără aproximări, ceea ce ajută când numerele sunt foarte apropiate.

Cum compar două fracții fără să le transform în zecimale?

Le aduci la același numitor și privești numărătorii, sau înmulțești în cruce: din $\frac{3}{7}$ și $\frac{4}{9}$ ies $27$ și $28$ , deci a doua este mai mare. Înmulțirea în cruce merge doar la numitori pozitivi.

De ce orice număr negativ este mai mic decât orice pozitiv?

Fiindcă pe axă negativele stau la stânga lui zero, iar pozitivele la dreapta, deci oricare din prima grupă se află înaintea oricărei din a doua. Zero însuși le desparte și este mai mare decât toate negativele.

Ce înseamnă un lanț de inegalități scris cu două semne?

Înseamnă că numărul din mijloc este cuprins între celelalte două, ca în $2 < 7 < 3$ . Semnele trebuie să arate în aceeași direcție, altfel scrierea nu are înțeles. Lanțul se poate lungi oricât, dacă ordinea se păstrează.

Cum compar un radical cu un număr întreg?

Scrii întregul ca radical, ridicându-l la pătrat, apoi compari numerele de sub semn. Pentru $20$ și 4 obții $20$ față de $16$ , deci radicalul este mai mare. Aceeași cale merge și la numere cu coeficient în față.

Oamenii mai întreabă și: compararea numerelor reale · ordonarea numerelor reale · cum compar un radical cu un număr zecimal · care număr e mai mare · ordonare crescătoare numere reale