Probleme de sinteză: paralelogramul și aplicații în triunghi

Ai învățat, rând pe rând, ce este un paralelogram, ce proprietăți au laturile, unghiurile și diagonalele lui, cum recunoști un paralelogram după anumite condiții, ce este linia mijlocie într-un triunghi și unde se întâlnesc medianele. Acum vine partea cea mai interesantă: să combini toate aceste unelte într-o singură problemă. Exact așa lucrează un inginer care verifică rezistența unei grinzi sau un arhitect care desenează un acoperiș simetric — nu folosește o singură regulă, ci le împletește pe toate până apare soluția. În această lecție de probleme de sinteză cu paralelogramul de clasa a 7-a vei învăța să gândești strategic, să alegi teorema potrivită la momentul potrivit și, mai ales, să redactezi o demonstrație geometrică ordonată și convingătoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să combini mai multe proprietăți ale paralelogramului și ale triunghiului într-o singură demonstrație.
• Vei ști să redactezi corect și complet o demonstrație geometrică, cu ipoteză, concluzie și pași justificați.
• Vei ști să legi linia mijlocie de construcția unui paralelogram.
• Vei ști să folosești centrul de greutate și raportul $2:1$ al medianelor în probleme.
• Vei ști să calculezi unghiuri și lungimi în configurații mixte, unde apar în același desen și triunghiuri, și paralelograme.

Hai să descoperim împreună

De ce ai nevoie de „sinteză"?

Până acum, fiecare lecție ți-a dat câte o unealtă separată. Într-o problemă de sinteză, nimeni nu-ți mai spune „folosește proprietatea diagonalelor" sau „folosește linia mijlocie". Trebuie să te uiți la figură și să decizi singur ce unelte se potrivesc. E ca la un joc de strategie: ai un inventar de proprietăți și trebuie să alegi combinația câștigătoare.

Hai să ne facem întâi ordine în inventar. Iată uneltele pe care le vom folosi în această lecție.

Despre paralelogram (revezi Paralelogramul: definiție și proprietăți și Paralelogramul: proprietatea diagonalelor):

• Un patrulater este paralelogram dacă are laturile opuse paralele două câte două.
• Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente (egale).
• Unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare (suma lor este $180°$).
• Diagonalele se înjumătățesc reciproc: punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia.

Condiții ca un patrulater să fie paralelogram (revezi Condiții ca un patrulater să fie paralelogram). Un patrulater convex $ABCD$ este paralelogram dacă îndeplinește oricare una dintre condițiile:

1. laturile opuse sunt paralele două câte două;
2. laturile opuse sunt congruente două câte două;
3. două laturi opuse sunt în același timp paralele și congruente;
4. unghiurile opuse sunt congruente;
5. diagonalele se înjumătățesc reciproc.

Linia mijlocie în triunghi (revezi Linia mijlocie în triunghi). Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralel cu a treia latură și egal cu jumătate din ea.

Centrul de greutate (revezi Centrul de greutate al triunghiului). Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct $G$, numit centru de greutate. Punctul $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, măsurat dinspre vârf: distanța de la vârf la $G$ este dublul distanței de la $G$ la mijlocul laturii opuse.

Cum arată o strategie de demonstrație

O demonstrație bine gândită are, de obicei, trei momente:

1. Ce am (ipoteza): scrii clar datele problemei, exact ce ți se dă.
2. Ce vreau (concluzia): scrii clar ce trebuie să dovedești.
3. Cum ajung de la ce am la ce vreau (pașii justificați): fiecare afirmație are lângă ea motivul, adică teorema sau proprietatea pe care te bazezi.

Sfatul de aur al sintezei este: întreabă-te ce vrei să obții și mergi înapoi. Dacă vrei să arăți că un patrulater este paralelogram, întreabă-te care dintre cele 5 condiții e cel mai ușor de verificat cu datele tale. Dacă în figură apar mijloace de laturi, aproape sigur linia mijlocie sau proprietatea diagonalelor îți vor fi de folos.

Pod 1: de la mijloace la paralelogram

Cea mai des întâlnită idee în aceste probleme este să legi mijloacele de un paralelogram. De ce? Fiindcă atât linia mijlocie, cât și diagonalele paralelogramului „vorbesc" despre mijloace.

Să înțelegem printr-un exemplu simplu de gândire, fără cifre. Presupune că într-o figură ai două segmente care:

• sunt paralele (poate pentru că amândouă sunt paralele cu aceeași dreaptă);
• sunt egale (poate pentru că amândouă sunt jumătatea aceleiași lungimi).

Atunci, imediat, patrulaterul format de capetele lor este paralelogram, prin condiția 3 (două laturi opuse paralele și congruente). Aceasta este „rețeta" numărul unu de sinteză și o vei folosi foarte des.

Pod 2: de la paralelogram la mijloace

Podul funcționează și invers. Dacă știi deja că ai un paralelogram, atunci diagonalele lui se întâlnesc în mijloc. Așadar, dacă îți trebuie mijlocul unui segment, poți „fabrica" un paralelogram peste el, iar diagonala îți dă mijlocul cadou. Această idee te ajută mai ales când vrei să arăți că trei puncte sunt coliniare sau că un anumit punct este mijloc.

Pod 3: raportul 2:1 din centrul de greutate

Când în problemă apar mai multe mediane sau se pomenește de centrul de greutate, unealta principală este raportul $2:1$. Dacă $M$ este mijlocul laturii $BC$ în triunghiul $ABC$ și $G$ este centrul de greutate, atunci:

$$AG=\frac{2}{3}AM\text{și}GM=\frac{1}{3}AM,$$

adică $AG=2\cdot GM$. Reține aceste fracții raportate la mediana întreagă: $\frac{2}{3}$ de la vârf la $G$ și $\frac{1}{3}$ de la $G$ la mijlocul laturii. Sunt cheia multor calcule de lungimi.

Cum alegi unealta potrivită — un mic ghid

Ca să nu te blochezi în fața unei figuri, folosește acest tabel de „indicii":

Ține minte: în geometrie, un desen mare și îngrijit face jumătate din treabă. Un desen mic și înghesuit ascunde relațiile pe care trebuie să le vezi.

Modelul de redactare pe care îl vom folosi

Ca să scrii o demonstrație clară, urmează mereu aceeași structură:

• Notez ipoteza. „Se dă triunghiul $ABC$, $M$ mijlocul lui $BC$, $N$ mijlocul lui $AC$…"
• Notez ce am de arătat. „Demonstrez că $MNPQ$ este paralelogram."
• Construiesc, dacă e nevoie. Uneori trebuie să adaugi o linie ajutătoare (o mediană, o diagonală, un mijloc). Scrii clar ce construiești.
• Justific fiecare pas. După fiecare afirmație pui, între paranteze, motivul: „(linia mijlocie în $△ABC$)".
• Trag concluzia. Legi ultimul pas de ce trebuia demonstrat.

Acum că ai uneltele și strategia, hai să le vedem la lucru pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Podul clasic: mijloacele laturilor formează un paralelogram

Enunț. Fie triunghiul $ABC$, iar $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$. Demonstrează că patrulaterul $APMN$ este paralelogram.

Ipoteză: $△ABC$; $P$ mijlocul lui $[AB]$; $M$ mijlocul lui $[BC]$; $N$ mijlocul lui $[CA]$.

Concluzie: $APMN$ este paralelogram.

Demonstrație.

Vom arăta că laturile opuse $[AP]$ și $[NM]$ ale patrulaterului $APMN$ sunt paralele și congruente.

Pas 1. $NM$ este linie mijlocie în $△ABC$ (unește mijloacele laturilor $[CA]$ și $[CB]$), deci $$NM\parallel AB\text{și}NM=\frac{AB}{2}.\text{(linia mijlocie)}$$

Pas 2. $P$ este mijlocul lui $[AB]$, deci $AP=\frac{AB}{2}$. Comparând cu Pasul 1, obținem $NM=AP$.

Pas 3. Din $NM\parallel AB$ rezultă $NM\parallel AP$ (fiindcă $A$ și $P$ sunt pe dreapta $AB$).

Pas 4. În patrulaterul $APMN$, laturile opuse $[AP]$ și $[NM]$ sunt paralele și congruente ($AP=NM$ și $AP\parallel NM$). Conform condiției 3 de recunoaștere a paralelogramului, rezultă că $APMN$ este paralelogram. $■$

Ce am folosit. Am combinat linia mijlocie (ca să obțin o pereche de laturi paralele și egale) cu o condiție de recunoaștere a paralelogramului. Aceasta este exact „rețeta de sinteză" numărul unu.

Exemplul 2 — Triunghiul median (toate cele patru triunghiuri mici)

Enunț. Cu notațiile din Exemplul 1 ($M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor), demonstrează că triunghiul $MNP$ împarte triunghiul $ABC$ în patru triunghiuri, iar $PMCN$ este paralelogram.

Ipoteză: $△ABC$; $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$.

Concluzie: $PMCN$ este paralelogram.

Demonstrație.

În patrulaterul $PMCN$ (vârfurile luate în ordine $P\to M\to C\to N$) laturile opuse sunt perechile $[PM]$ cu $[CN]$ și $[MC]$ cu $[NP]$. Le tratăm pe rând.

Pas 1. $PN$ este linie mijlocie în $△ABC$ (unește mijloacele lui $[AB]$ și $[AC]$), deci $PN\parallel BC$; cum $M\in [BC]$, rezultă $PN\parallel MC$. Astfel latura $[NP]$ este paralelă cu latura opusă $[MC]$. (linia mijlocie)

Pas 2. $PM$ este linie mijlocie în $△ABC$ (unește mijloacele lui $[AB]$ și $[BC]$), deci $PM\parallel AC$; cum $N\in [CA]$, rezultă $PM\parallel NC$. Astfel latura $[PM]$ este paralelă cu latura opusă $[CN]$. (linia mijlocie)

Pas 3. În patrulaterul $PMCN$ ambele perechi de laturi opuse sunt paralele ($[NP]\parallel [MC]$ și $[PM]\parallel [CN]$). Conform condiției 1, $PMCN$ este paralelogram. $■$

Observație frumoasă. În mod analog, și $PBMN$ și $APMN$ sunt paralelograme. Din proprietatea „laturi opuse egale" a paralelogramelor rezultă că cele patru triunghiuri mici ($△APN$, $△PBM$, $△NMC$, $△MNP$) au laturile respectiv egale, deci sunt congruente. Un singur triunghi „mare" ascunde patru triunghiuri identice — un rezultat pe care îl vei revedea la asemănare.

Exemplul 3 — Calcul de lungimi cu centrul de greutate

Enunț. În triunghiul $ABC$, medianele $[AM]$ și $[BN]$ se intersectează în $G$. Se știe că $AM=18$ cm și $BN=15$ cm. Calculează lungimile segmentelor $AG$, $GM$, $BG$ și $GN$.

Ipoteză: $△ABC$; $[AM]$, $[BN]$ mediane; $G$ centrul de greutate; $AM=18$ cm, $BN=15$ cm.

Concluzie: $AG$, $GM$, $BG$, $GN$.

Rezolvare.

Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ dinspre vârf. Asta înseamnă: $$AG=\frac{2}{3}AM,GM=\frac{1}{3}AM.$$

Înlocuim $AM=18$: $$AG=\frac{2}{3}\cdot 18=12\text{ cm},GM=\frac{1}{3}\cdot 18=6\text{ cm}.$$

Verificare: $12+6=18=AM$. Corect, și $12=2\cdot 6$, adică raportul $2:1$ este respectat.

Pentru mediana $[BN]$, la fel: $$BG=\frac{2}{3}\cdot 15=10\text{ cm},GN=\frac{1}{3}\cdot 15=5\text{ cm}.$$

Verificare: $10+5=15$ și $10=2\cdot 5$. Corect.

Răspuns. $AG=12$ cm, $GM=6$ cm, $BG=10$ cm, $GN=5$ cm.

Exemplul 4 — Drum invers: din raport aflu mediana

Enunț. În triunghiul $DEF$, $G$ este centrul de greutate, iar $P$ este mijlocul laturii $[EF]$. Se știe că $GP=4,5$ cm. Cât este lungimea medianei $[DP]$ și cât este $DG$?

Rezolvare.

$[DP]$ este mediana din $D$ (fiindcă $P$ este mijlocul laturii opuse $[EF]$). Segmentul $GP$ este porțiunea dinspre mijlocul laturii, deci reprezintă $\frac{1}{3}$ din mediană: $$GP=\frac{1}{3}DP\Rightarrow DP=3\cdot GP=3\cdot 4,5=13,5\text{ cm}.$$

Porțiunea dinspre vârf este dublul: $$DG=2\cdot GP=2\cdot 4,5=9\text{ cm}.$$

Verificare: $DG+GP=9+4,5=13,5=DP$. Corect.

Răspuns. $DP=13,5$ cm și $DG=9$ cm.

Exemplul 5 — Configurație mixtă: unghiuri într-un paralelogram plus un triunghi

Enunț. Fie paralelogramul $ABCD$ cu $\hat{A}=70°$. Diagonala $[AC]$ împarte unghiul $\hat{A}$ astfel încât $\widehat{BAC}=30°$. Pe latura $[BC]$ se ia mijlocul $M$, iar $N$ este mijlocul lui $[AB]$. Calculează: a) măsurile tuturor unghiurilor paralelogramului; b) măsura unghiului $\widehat{CAD}$; c) arată că $MN\parallel AC$ și că $MN=\frac{AC}{2}$.

Rezolvare.

a) Unghiurile paralelogramului. În paralelogram, unghiurile opuse sunt egale, iar cele alăturate sunt suplementare.

• $\hat{A}=\hat{C}=70°$ (unghiuri opuse).
• $\hat{B}=180°-70°=110°$ (alăturat cu $\hat{A}$), deci și $\hat{D}=110°$ (opus lui $\hat{B}$).

Verificare: suma $70°+110°+70°+110°=360°$. Corect, exact cât trebuie într-un patrulater convex.

b) Unghiul $\widehat{CAD}$. Diagonala $[AC]$ împarte $\hat{A}$ în $\widehat{BAC}$ și $\widehat{CAD}$: $$\widehat{CAD}=\hat{A}-\widehat{BAC}=70°-30°=40°.$$

c) Segmentul $MN$. În triunghiul $ABC$, punctul $N$ este mijlocul lui $[AB]$, iar $M$ este mijlocul lui $[BC]$. Așadar $[NM]$ este linie mijlocie în $△ABC$, deci: $$NM\parallel AC\text{și}NM=\frac{AC}{2}.\text{(linia mijlocie)}$$

Aceasta arată cum, în aceeași figură, folosim și proprietățile paralelogramului (pentru unghiuri), și linia mijlocie a triunghiului (pentru segmentul $MN$). $■$

Exemplul 6 — Sinteză completă: mijloc obținut cu ajutorul unui paralelogram

Enunț. Fie triunghiul $ABC$, $M$ mijlocul lui $[BC]$. Se prelungește mediana $[AM]$ cu un segment $[ME]$ astfel încât $ME=AM$ (adică $M$ este mijlocul lui $[AE]$). Demonstrează că patrulaterul $ABEC$ este paralelogram.

Ipoteză: $△ABC$; $M$ mijlocul lui $[BC]$; $E$ astfel încât $M$ este mijlocul lui $[AE]$ (deci $AM=ME$).

Concluzie: $ABEC$ este paralelogram.

Demonstrație.

Pas 1. $M$ este mijlocul lui $[BC]$ (din ipoteză). Deci $M$ este mijlocul unei diagonale a patrulaterului $ABEC$, anume al lui $[BC]$.

Pas 2. $M$ este mijlocul lui $[AE]$ (din construcție, $AM=ME$). Deci $M$ este mijlocul celeilalte diagonale, $[AE]$.

Pas 3. În patrulaterul $ABEC$, diagonalele $[BC]$ și $[AE]$ au același mijloc $M$, adică se înjumătățesc reciproc. Conform condiției 5 de recunoaștere a paralelogramului, rezultă că $ABEC$ este paralelogram. $■$

Bonus. Fiindcă $ABEC$ este paralelogram, laturile opuse sunt paralele și egale: $CE\parallel AB$ și $CE=AB$. Aceasta este o tehnică extrem de utilă, numită „dublarea medianei": prelungind mediana cu ea însăși, obții mereu un paralelogram. O vei reîntâlni des în probleme mai grele.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu figură mare și îngrijită acolo unde e cazul. Notează întotdeauna ipoteza și concluzia înainte de a demonstra.

1. În triunghiul $ABC$, mediana $[AM]$ are lungimea $21$ cm, iar $G$ este centrul de greutate. Calculează $AG$ și $GM$.

2. În triunghiul $PQR$, centrul de greutate $G$ se află pe mediana $[PS]$ (unde $S$ este mijlocul lui $[QR]$). Se știe că $GS=4$ cm. Cât este $PG$ și cât este $PS$?

3. Adevărat sau fals, cu justificare: „Centrul de greutate împarte fiecare mediană în două părți egale."

4. În paralelogramul $ABCD$, $\hat{B}=125°$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri.

5. În triunghiul $ABC$, $N$ este mijlocul lui $[AB]$ și $P$ este mijlocul lui $[AC]$. Se știe că $BC=16$ cm. Cât este lungimea liniei mijlocii $[NP]$ și cu ce latură este ea paralelă?

6. Completează spațiile astfel încât afirmația să fie corectă: „Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este ______ cu a treia latură și egal cu ______ din ea."

7. În triunghiul $ABC$, $M$, $N$, $P$ sunt mijloacele laturilor $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$. Demonstrează că patrulaterul $PBMN$ este paralelogram.

8. În triunghiul $DEF$, mediana $[DP]$ măsoară $27$ cm. Aflați distanța de la centrul de greutate $G$ la vârful $D$ și distanța de la $G$ la mijlocul $P$.

9. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un paralelogram, dacă un unghi are $90°$, atunci toate unghiurile au $90°$."

10. În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$. Se știe că $AC=24$ cm și $BD=18$ cm. Cât este $AO$, $OC$, $BO$ și $OD$?

11. În triunghiul $ABC$, se prelungește mediana $[BN]$ (unde $N$ este mijlocul lui $[AC]$) cu un segment $[NF]$ astfel încât $NF=BN$. Demonstrează că patrulaterul $ABCF$ este paralelogram.

12. În triunghiul $ABC$, medianele $[AM]$ și $[CN]$ se intersectează în $G$. Se dau $AG=14$ cm și $GN=3$ cm. Calculează $GM$ și $CG$.

13. În paralelogramul $ABCD$ cu $\hat{A}=64°$, diagonala $[BD]$ formează cu latura $[AB]$ unghiul $\widehat{ABD}=40°$. Află $\widehat{ADB}$ și $\widehat{DBC}$. (Indiciu: în triunghiul $ABD$, suma unghiurilor este $180°$; apoi folosește $AB\parallel CD$.)

14. În triunghiul $ABC$, fie $M$ mijlocul lui $[AB]$ și $N$ mijlocul lui $[AC]$. Pe prelungirea liniei mijlocii $[MN]$, dincolo de $N$, se ia punctul $P$ astfel încât $NP=MN$. Demonstrează că patrulaterul $MBCP$ este paralelogram. (Indiciu: arată întâi că $MP=BC$ și $MP\parallel BC$.)

15. Într-un triunghi $ABC$, linia mijlocie corespunzătoare laturii $[BC]$ măsoară $9$ cm, iar linia mijlocie corespunzătoare laturii $[AB]$ măsoară $7$ cm. Ce lungimi au laturile $[BC]$ și $[AB]$?

16. Redactează complet (ipoteză, concluzie, pași justificați) demonstrația: „Dacă $ABCD$ este paralelogram și $M$, $N$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$, respectiv $[CD]$, atunci $AMCN$ este paralelogram." (Indiciu: arată că $AM=NC$ și $AM\parallel NC$.)

17. În triunghiul $ABC$, centrul de greutate este $G$, iar $M$ este mijlocul lui $[BC]$. Se știe că întreaga mediană $AM=15$ cm. Un elev spune că $AG=10$ cm. Verifică dacă are dreptate și explică.

18. Problemă de sinteză. În triunghiul $ABC$, $M$, $N$, $P$ sunt mijloacele laturilor $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$, iar perimetrul triunghiului $ABC$ este $48$ cm. Calculează perimetrul triunghiului median $MNP$. (Indiciu: fiecare latură a lui $MNP$ este linie mijlocie.)

Răspunsuri și explicații

1. $AG=\frac{2}{3}\cdot 21=14$ cm; $GM=\frac{1}{3}\cdot 21=7$ cm. Verificare: $14+7=21$ și $14=2\cdot 7$.

2. $GS$ este porțiunea dinspre mijlocul laturii, deci $GS=\frac{1}{3}PS\Rightarrow PS=3\cdot 4=12$ cm. Apoi $PG=2\cdot GS=8$ cm. Verificare: $8+4=12$.

3. Fals. Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ (dinspre vârf), nu în două părți egale. Porțiunea dinspre vârf este dublul porțiunii dinspre mijlocul laturii.

4. $\hat{D}=\hat{B}=125°$ (unghiuri opuse). $\hat{A}=180°-125°=55°$ (alăturat cu $\hat{B}$), deci și $\hat{C}=55°$. Verificare: $125°+55°+125°+55°=360°$.

5. $[NP]$ este linie mijlocie (unește mijloacele lui $[AB]$ și $[AC]$), deci $NP=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm și $NP\parallel BC$.

6. „…este paralel cu a treia latură și egal cu jumătate din ea." (definiția liniei mijlocii)

7. Ipoteză: $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$. Concluzie: $PBMN$ paralelogram. Demonstrație: în patrulaterul $PBMN$ (vârfurile în ordine $P\to B\to M\to N$) laturile opuse sunt $[PB]$ cu $[NM]$ și $[BM]$ cu $[NP]$. $NM$ este linie mijlocie în $△ABC$ (unește mijloacele lui $[CA]$ și $[CB]$), deci $NM\parallel AB$; cum $P\in [AB]$, avem $NM\parallel PB$, și $NM=\frac{AB}{2}=PB$ (căci $P$ e mijlocul lui $[AB]$). Rezultă că laturile opuse $[PB]$ și $[NM]$ sunt paralele și congruente, deci $PBMN$ este paralelogram (condiția 3).

8. $DG=\frac{2}{3}\cdot 27=18$ cm; $GP=\frac{1}{3}\cdot 27=9$ cm. Verificare: $18+9=27$, $18=2\cdot 9$.

9. Adevărat. Dacă un unghi are $90°$, atunci unghiul alăturat are $180°-90°=90°$ (unghiuri alăturate suplementare), iar unghiurile opuse sunt egale cu acestea, deci toate au $90°$. (Este exact cazul dreptunghiului.)

10. Diagonalele se înjumătățesc: $AO=OC=\frac{24}{2}=12$ cm; $BO=OD=\frac{18}{2}=9$ cm.

11. Ipoteză: $N$ mijlocul lui $[AC]$, $F$ pe prelungirea lui $[BN]$ cu $NF=BN$, deci $N$ este mijlocul lui $[BF]$. Concluzie: $ABCF$ paralelogram. Demonstrație: $N$ este mijlocul lui $[AC]$ (o diagonală a patrulaterului $ABCF$) și mijlocul lui $[BF]$ (cealaltă diagonală). Diagonalele se înjumătățesc reciproc în $N$, deci $ABCF$ este paralelogram (condiția 5).

12. Din $[AM]$ mediană cu $AG=14$: $AG=\frac{2}{3}AM\Rightarrow AM=21$ cm, deci $GM=\frac{1}{3}\cdot 21=7$ cm (sau $GM=\frac{AG}{2}=7$). Din $[CN]$ mediană cu $GN=3$: $GN=\frac{1}{3}CN$, iar $CG=2\cdot GN=6$ cm. Răspuns: $GM=7$ cm, $CG=6$ cm.

13. În $△ABD$: $\widehat{DAB}=64°$, $\widehat{ABD}=40°$, deci $\widehat{ADB}=180°-64°-40°=76°$. Pentru $\widehat{DBC}$: în paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare, deci $\widehat{ABC}=180°-64°=116°$; cum diagonala $[BD]$ împarte acest unghi în $\widehat{ABD}=40°$ și $\widehat{DBC}$, avem $\widehat{DBC}=116°-40°=76°$. Răspuns: $\widehat{ADB}=76°$, $\widehat{DBC}=76°$.

14. Ipoteză: $M$, $N$ mijloacele lui $[AB]$, $[AC]$; $P$ pe prelungirea lui $[MN]$ cu $NP=MN$. Concluzie: $MBCP$ paralelogram. Demonstrație: $[MN]$ este linie mijlocie în $△ABC$, deci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$. Cum $NP=MN$, avem $MP=MN+NP=2\cdot MN=BC$; iar $MP$ este pe aceeași dreaptă cu $MN$, deci $MP\parallel BC$. Astfel laturile opuse $[MP]$ și $[BC]$ (atenție la ordinea vârfurilor: în $MBCP$ laturile opuse sunt $[MB]$ cu $[PC]$ și $[MP]$ cu $[BC]$) sunt paralele și egale: $MP\parallel BC$ și $MP=BC$. Deci $MBCP$ este paralelogram (condiția 3).

15. Linia mijlocie corespunzătoare unei laturi este jumătatea acelei laturi. Deci $[BC]=2\cdot 9=18$ cm, iar $[AB]=2\cdot 7=14$ cm.

16. Ipoteză: $ABCD$ paralelogram; $M$ mijlocul lui $[AB]$, $N$ mijlocul lui $[CD]$. Concluzie: $AMCN$ paralelogram. Demonstrație: în paralelogram $AB=CD$ și $AB\parallel CD$. Atunci $AM=\frac{AB}{2}$ și $NC=\frac{CD}{2}$, deci $AM=NC$. Cum $M\in AB$ și $N\in CD$ și $AB\parallel CD$, rezultă $AM\parallel NC$. Laturile opuse $[AM]$ și $[NC]$ sunt paralele și egale, deci $AMCN$ este paralelogram (condiția 3).

17. Elevul are dreptate. $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 15=10$ cm. Porțiunea rămasă este $GM=5$ cm, iar $10=2\cdot 5$, deci raportul $2:1$ este respectat.

18. Fiecare latură a triunghiului median este linie mijlocie, deci jumătate din latura corespunzătoare a lui $ABC$. Perimetrul lui $MNP$ este jumătate din perimetrul lui $ABC$: $\frac{48}{2}=24$ cm.

De reținut

• Rețeta de sinteză nr. 1: dacă obții două segmente paralele și egale, patrulaterul format este paralelogram (condiția 3). Linia mijlocie e cel mai bun furnizor de „paralel și egal".
• Rețeta de sinteză nr. 2: dacă un punct este mijloc al ambelor diagonale, patrulaterul este paralelogram (condiția 5). Aceasta apare la „dublarea medianei".
• Linia mijlocie: paralelă cu a treia latură și egală cu $\frac{1}{2}$ din ea.
• Centrul de greutate: împarte fiecare mediană în raport $2:1$ dinspre vârf; $AG=\frac{2}{3}AM$, $GM=\frac{1}{3}AM$.
• Unghiuri în paralelogram: opuse egale, alăturate suplementare ($180°$).
• Redactare: scrie mereu ipoteză, concluzie și justifică fiecare pas cu teorema folosită.

Greșeli frecvente

• Confundarea raportului $2:1$ cu $1:1$. Mulți cred că centrul de greutate este mijlocul medianei. Nu este: porțiunea dinspre vârf e dublă. Verifică mereu că $AG=2\cdot GM$.
• A spune „paralelogram" doar din paralelism. Pentru condiția 3 ai nevoie ca cele două laturi să fie și paralele, și egale, pe aceeași pereche de laturi. Doar paralel nu ajunge; doar egal nu ajunge.
• Greșirea perechilor de laturi opuse. Într-un patrulater $ABCD$, laturile opuse sunt $[AB]$ cu $[CD]$ și $[BC]$ cu $[DA]$. Când verifici condiția, asigură-te că lucrezi cu laturi cu adevărat opuse, nu alăturate. Scrie vârfurile în ordine în jurul figurii.
• Justificări lipsă. O afirmație fără motiv („deci sunt egale") nu e demonstrație. Pune mereu, între paranteze, teorema: (linia mijlocie), (unghiuri opuse), (diagonalele se înjumătățesc).

Aplică acasă

• Podul din linii mijlocii. Ia o coală, desenează un triunghi oarecare mare, marchează cu rigla mijloacele celor trei laturi și unește-le. Măsoară liniile mijlocii și laturile: confirmă că fiecare linie mijlocie este exact jumătate din latura opusă. Apoi decupează cele patru triunghiuri mici și suprapune-le — vei vedea că sunt identice.
• Cântărește un carton triunghiular. Decupează din carton un triunghi. Găsește prin construcție centrul de greutate (intersecția a două mediane) și încearcă să echilibrezi cartonul pe vârful unui creion exact în acel punct. Se ține în echilibru — de aceea se numește „centru de greutate". Verifică apoi cu rigla că pe o mediană porțiunea dinspre vârf e de două ori mai lungă.
• Vânătoare de paralelograme. Caută prin casă obiecte în care apar paralelograme „ascunse": structura unei porți de grădină, un grătar metalic, o plasă de gard, mecanismul unei lămpi articulate. Explică de ce, când brațele articulate rămân paralele și egale, forma rămâne paralelogram.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este una de consolidare prin sinteză: elevul nu învață o proprietate nouă, ci exersează să le combine pe cele deja cunoscute. Sprijinul cel mai util este să-l ajutați să-și facă ordine în „inventarul de unelte" înainte de a începe o problemă.

Întrebări bune de verificare:

• „Ce ți se dă (ipoteza) și ce ai de arătat (concluzia)?" — dacă le formulează clar, jumătate din problemă e rezolvată.
• „Ce vezi în figură care îți dă un indiciu?" (mijloace → linie mijlocie sau diagonale; mediane → raport $2:1$).
• „Care dintre cele 5 condiții de paralelogram e cel mai ușor de verificat aici?"
• „De ce este adevărat pasul acesta?" — cereți justificarea, nu doar rezultatul.

Semne că elevul a înțeles: notează spontan ipoteza și concluzia, justifică fiecare pas cu numele teoremei, distinge corect laturile opuse de cele alăturate și nu confundă raportul $2:1$ al centrului de greutate cu o împărțire în părți egale. Dacă se blochează, îndemnați-l să facă un desen mai mare — de multe ori relația căutată devine vizibilă imediat.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă o „problemă de sinteză" la geometrie în clasa a 7-a? Este o problemă în care trebuie să folosești mai multe proprietăți deodată — de exemplu proprietățile paralelogramului împreună cu linia mijlocie sau cu centrul de greutate — și nimeni nu-ți spune dinainte ce teoremă să aplici. Tu decizi strategia pe baza figurii și a datelor.

Cum arăt că un patrulater este paralelogram? Verifici oricare dintre cele cinci condiții: laturi opuse paralele, laturi opuse congruente, o pereche de laturi opuse simultan paralele și congruente, unghiuri opuse congruente sau diagonale care se înjumătățesc reciproc. Alegi condiția pentru care ai cele mai directe date.

Ce legătură are linia mijlocie cu paralelogramul? Linia mijlocie îți dă imediat un segment paralel cu o latură și egal cu jumătatea ei. Când reușești să obții două astfel de segmente paralele și egale, capetele lor formează un paralelogram — de aceea linia mijlocie apare atât de des în aceste probleme.

În ce raport împarte centrul de greutate mediana? În raportul $2:1$, măsurat dinspre vârf. Adică porțiunea de la vârf la centrul de greutate este dublul porțiunii de la centrul de greutate la mijlocul laturii opuse: $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$.

Cum redactez corect o demonstrație geometrică? Scrii întâi ipoteza (ce se dă), apoi concluzia (ce ai de demonstrat), apoi pașii, fiecare cu justificarea lui între paranteze (numele teoremei sau proprietății). Închei legând ultimul pas de concluzie și pui semnul de final.

Ce este „dublarea medianei" și când o folosesc? Este tehnica prin care prelungești o mediană cu ea însăși, până dincolo de mijlocul laturii. Astfel obții un punct pentru care mijlocul laturii devine mijlocul ambelor diagonale, deci figura formată este paralelogram. O folosești când vrei să „muți" o latură paralel cu ea însăși sau să compari segmente.

De ce e important desenul într-o problemă de sinteză? Fiindcă în sinteză indiciile sunt vizuale: mijloace, paralele, diagonale care se taie. Un desen mare și îngrijit scoate la iveală relațiile pe care apoi le demonstrezi. Un desen mic sau strâmb te poate face să nu vezi soluția.

Se cere demonstrația liniei mijlocii sau a centrului de greutate la clasa a 7-a? Aceste proprietăți se folosesc ca instrumente deja cunoscute din lecțiile anterioare. La problemele de sinteză accentul cade pe a le aplica și pe a redacta corect, nu pe a le redemonstra de fiecare dată. Le poți cita direct ca justificare.