Patrulaterul convex. Suma măsurilor unghiurilor (360°)

Privește o fereastră, ecranul telefonului, un teren de fotbal sau o foaie de caiet: toate au patru colțuri și patru margini. În limbaj matematic, aceste forme se numesc patrulatere. În clasa a VII-a începem un capitol întreg dedicat lor, iar prima piatră de temelie este să înțelegem ce este un patrulater convex și de ce suma măsurilor unghiurilor sale este întotdeauna, fără excepție, egală cu $360°$ . Această singură relație îți va rezolva zeci de probleme, de la calculul unui unghi lipsă până la demonstrații mai avansate cu paralelograme și trapeze.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici un patrulater convex și să-i denumești corect vârfurile, laturile, diagonalele și unghiurile.
Vei ști să distingi un patrulater convex de unul concav (neconvex) și să recunoști convexitatea la prima vedere.
Vei ști să demonstrezi că suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360°$ , folosind descompunerea în două triunghiuri cu o diagonală.
Vei ști să calculezi măsura unui unghi necunoscut al unui patrulater convex folosind relația $360°$ .
Vei ști să scrii perimetrul unui patrulater și să folosești corect notațiile uzuale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un patrulater?

Pornim de la lucruri pe care le știi deja din clasele anterioare. Un triunghi are trei vârfuri și trei laturi. Dacă adăugăm încă un vârf, obținem o figură cu patru colțuri: un patrulater.

Definiție. Fie patru puncte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , dintre care oricare trei nu sunt coliniare (adică nu stau pe aceeași dreaptă). Figura geometrică formată din segmentele $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ și $[D A]$ se numește patrulater și se notează $A B C D$ .

Foarte important: ordinea literelor contează. Când scriem $A B C D$ , parcurgem vârfurile „pe rând", în ordinea în care sunt unite. $A$ se leagă de $B$ , $B$ de $C$ , $C$ de $D$ , iar $D$ se închide înapoi la $A$ . Dacă am scrie literele într-o ordine amestecată (de exemplu $A C B D$ ), am obține cu totul altă figură sau o linie care se intersectează singură.

De ce cerem ca „oricare trei puncte să nu fie coliniare"? Pentru că dacă trei dintre vârfuri ar fi pe aceeași dreaptă, unul dintre unghiuri ar fi „întins" (de $180°$ ) și figura s-ar turti într-un triunghi. Vrem patru colțuri adevărate.

2. Elementele patrulaterului

Fiecare patrulater are un set de „piese" cu nume precise. Le învățăm pe toate, pentru că vei folosi acest vocabular în toate lecțiile din acest capitol.

Vârfurile sunt cele patru puncte: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Sunt „colțurile" figurii.

Laturile sunt cele patru segmente care mărginesc figura: $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ , $[D A]$ . Un patrulater are exact patru laturi.

Unghiurile patrulaterului sunt cele patru unghiuri din interiorul figurii, câte unul în fiecare vârf. Le notăm scurt prin litera vârfului, cu o „căciuliță" deasupra: $A, B, C, D .$ Mai riguros, unghiul din vârful $A$ este $D A B$ (format de laturile $[A D]$ și $[A B]$ ), din vârful $B$ este $A B C$ și așa mai departe. La clasă folosim de obicei forma scurtă $A$ când nu este niciun risc de confuzie.

Diagonalele sunt segmentele care unesc două vârfuri neconsecutive (nealăturate). Într-un patrulater există exact două diagonale: $[A C]$ și $[B D]$ . Observă că $[A C]$ unește $A$ cu $C$ , iar aceste vârfuri nu sunt vecine (între ele se află $B$ , respectiv $D$ ). Diagonalele nu sunt laturi; ele „taie" figura pe dinăuntru.

3. Elemente opuse și elemente alăturate

Aceste noțiuni te vor ajuta enorm în lecțiile despre paralelogram. Le fixăm bine acum.

Laturi opuse. Două laturi care nu au niciun vârf comun se numesc opuse. În $A B C D$ :

$[A B]$ și $[C D]$ sunt laturi opuse;
$[B C]$ și $[D A]$ sunt laturi opuse.

Laturi alăturate (consecutive). Două laturi care au un vârf comun se numesc alăturate. De exemplu, $[A B]$ și $[B C]$ sunt alăturate (au vârful $B$ comun).

Unghiuri opuse. Două unghiuri ale căror vârfuri nu sunt unite printr-o latură se numesc opuse:

$A$ și $C$ sunt unghiuri opuse;
$B$ și $D$ sunt unghiuri opuse.

Unghiuri alăturate. Două unghiuri ale căror vârfuri sunt capetele aceleiași laturi se numesc alăturate. De exemplu, $A$ și $B$ sunt alăturate (vârfurile lor sunt unite prin latura $[A B]$ ).

Un truc de memorare: în cuvântul $A B C D$ , literele „vecine" (A–B, B–C, C–D, D–A) dau elemente alăturate, iar literele „sărite" (A–C, B–D) dau elemente opuse.

4. Patrulater convex și patrulater concav (neconvex)

Aici apare noțiunea centrală a lecției. Nu toate patrulaterele arată la fel de „cuminte".

Definiție. Un patrulater se numește convex dacă, oricum am alege două puncte din interiorul lui, segmentul care le unește rămâne în întregime în interiorul patrulaterului. Altfel spus, figura nu are nicio „adâncitură".

Un patrulater care nu este convex se numește concav (sau neconvex). El are un „colț împins înăuntru", iar acolo unul dintre unghiurile interioare este mai mare decât $180°$ .

Cum recunoști rapid convexitatea? Ai la dispoziție trei teste practice, ușor de aplicat:

Testul diagonalelor. Într-un patrulater convex, ambele diagonale se află în întregime în interiorul figurii și se intersectează într-un punct din interior. Într-un patrulater concav, cel puțin o diagonală iese în afara figurii.

Testul unghiurilor. Un patrulater este convex dacă toate cele patru unghiuri interioare au măsura mai mică de $180°$ . Dacă măcar un unghi depășește $180°$ (unghi reflex), patrulaterul este concav.

Testul liniei (al laturilor). Prelungește, pe rând, fiecare latură până devine o dreaptă. Dacă la fiecare latură întregul patrulater rămâne de aceeași parte a dreptei, atunci patrulaterul este convex.

De acum înainte, în această lecție și în tot capitolul lucrăm aproape numai cu patrulatere convexe. Teorema pe care o vom demonstra imediat este valabilă pentru patrulaterele convexe.

5. Teorema sumei unghiurilor: de ce mereu 360°?

Iată rezultatul-vedetă al lecției.

Teoremă. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu $360°$ : $A + B + C + D = 360°.$

Nu îți cerem să crezi asta pe cuvânt. La matematică demonstrăm. Și, ca de multe ori în geometrie, ideea genială este să reducem o problemă nouă la una pe care o știm deja. Ce știi tu foarte bine din clasa a VI-a? Că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180°$ . Vom folosi exact acest fapt.

Ideea demonstrației. Trasăm o diagonală. Ea taie patrulaterul în două triunghiuri. Suma unghiurilor patrulaterului este suma unghiurilor celor două triunghiuri, adică $180° + 180° = 360°$ .

Hai să scriem totul îngrijit, pas cu pas.

Ipoteză: $A B C D$ este un patrulater convex. Concluzie: $A + B + C + D = 360°$ .

Demonstrație.

Pasul 1. Trasăm diagonala $[A C]$ . Deoarece patrulaterul este convex, această diagonală se află în interiorul lui și îl împarte în două triunghiuri: triunghiul $A B C$ și triunghiul $A C D$ .

Pasul 2. Diagonala „sparge" unghiul $A$ în două unghiuri mai mici, pe care le notăm $A_{1} = B A C$ și $A_{2} = C A D$ . Prin urmare: $A = A_{1} + A_{2} .$ La fel, diagonala sparge și unghiul $C$ în $C_{1} = B C A$ și $C_{2} = A C D$ , deci: $C = C_{1} + C_{2} .$ Unghiurile $B$ și $D$ rămân întregi, fiecare aparținând câte unui singur triunghi.

Pasul 3. Aplicăm teorema sumei unghiurilor în fiecare triunghi.

În triunghiul $A B C$ : $A_{1} + B + C_{1} = 180°. (1)$

În triunghiul $A C D$ : $A_{2} + D + C_{2} = 180°. (2)$

Pasul 4. Adunăm relațiile $(1)$ și $(2)$ membru cu membru: $A_{1} + B + C_{1} + A_{2} + D + C_{2} = 180° + 180° = 360°.$

Pasul 5. Grupăm termenii care refac unghiurile întregi $A$ și $C$ : $A (A_{1} + A_{2}) + B + C (C_{1} + C_{2}) + D = 360°.$

Obținem astfel exact ce voiam: $A + B + C + D = 360°. ■$

Am folosit diagonala $[A C]$ , dar dacă am fi ales cealaltă diagonală, $[B D]$ , demonstrația ar fi decurs identic (ai împărți patrulaterul în triunghiurile $A B D$ și $B C D$ ). Rezultatul este același. Această libertate de alegere confirmă că teorema este solidă.

O observație despre convexitate. De ce am insistat pe „convex"? Pentru că într-un patrulater convex diagonala rămâne înăuntru și chiar împarte unghiurile din vârfuri în două părți. La un patrulater concav lucrurile se complică (o diagonală poate ieși în afară), dar, spre surprinderea multora, suma măsurilor unghiurilor interioare rămâne tot $360°$ și pentru patrulaterele concave. La clasa a VII-a însă demonstrăm și folosim relația pentru cazul convex, care este cel standard.

6. Cum folosim relația 360° pentru a afla un unghi

Puterea acestei teoreme se vede când cunoști trei dintre cele patru unghiuri și îl vrei pe al patrulea. Îl „izolezi" printr-o scădere.

Dacă $A + B + C + D = 360°$ , atunci: $D = 360° - (A + B + C) .$

Este exact aceeași idee ca la triunghi, unde al treilea unghi se afla scăzând suma celorlalte două din $180°$ . Aici scădem din $360°$ . Vom vedea imediat, în exemplele rezolvate, mai multe tipuri de astfel de probleme, inclusiv unele în care unghiurile sunt date prin expresii cu literă (deci ajungem la o mică ecuație de gradul I, exact ce ai exersat în lecțiile despre ecuația de forma ax + b = 0).

7. Perimetrul patrulaterului și notațiile uzuale

Pe lângă unghiuri, patrulaterul are și laturi, iar suma lungimilor lor se numește perimetru.

Definiție. Perimetrul unui patrulater $A B C D$ este suma lungimilor tuturor laturilor sale: $P_{A B C D} = A B + B C + C D + D A .$

Aici, $A B$ înseamnă lungimea segmentului $[A B]$ . Fii atent la notații:

$[A B]$ = segmentul (obiectul geometric);
$A B$ (fără paranteze) = lungimea acelui segment (un număr).

De exemplu, dacă un patrulater are laturile $A B = 5$ cm, $B C = 7$ cm, $C D = 4$ cm și $D A = 6$ cm, atunci: $P = 5 + 7 + 4 + 6 = 22 cm .$

La patrulaterele particulare (paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat), pe care le vei studia în lecțiile următoare, formula perimetrului se simplifică pentru că unele laturi sunt egale. De pildă, la paralelogram laturile opuse sunt egale, deci $P = 2 (A B + B C)$ . Deocamdată reținem forma generală, valabilă pentru orice patrulater.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflarea celui de-al patrulea unghi

Într-un patrulater convex $A B C D$ avem $A = 80°$ , $B = 110°$ și $C = 95°$ . Află măsura unghiului $D$ .

Rezolvare. Folosim teorema sumei unghiurilor: $A + B + C + D = 360°.$ Înlocuim valorile cunoscute: $80° + 110° + 95° + D = 360°.$ Adunăm cele trei unghiuri cunoscute: $80° + 110° + 95° = 285°$ . Deci: $285° + D = 360° ⟹ D = 360° - 285° = 75°.$

Răspuns: $D = 75°$ .

Exemplul 2 — Un unghi dat printr-o expresie cu literă

Într-un patrulater convex $M N P Q$ , unghiurile sunt $M = 90°$ , $N = 2 x$ , $P = 3 x$ și $Q = x$ . Află valoarea lui $x$ și măsura fiecărui unghi.

Rezolvare. Scriem relația celor $360°$ : $M + N + P + Q = 360°,$ $90° + 2 x + 3 x + x = 360°.$ Reducem termenii cu $x$ : $2 x + 3 x + x = 6 x$ . Ecuația devine: $90° + 6 x = 360°.$ Aceasta este o ecuație de gradul I. O rezolvăm: $6 x = 360° - 90° = 270° ⟹ x = \frac{270°}{6} = 45°.$ Acum aflăm fiecare unghi:

$M = 90°$ ;
$N = 2 x = 2 \cdot 45° = 90°$ ;
$P = 3 x = 3 \cdot 45° = 135°$ ;
$Q = x = 45°$ .

Verificare: $90° + 90° + 135° + 45° = 360°$ . ✔ Toate unghiurile sunt mai mici decât $180°$ , deci patrulaterul poate fi într-adevăr convex.

Răspuns: $x = 45°$ , iar unghiurile sunt $90°$ , $90°$ , $135°$ , $45°$ .

Exemplul 3 — Unghiuri proporționale cu numere date

Măsurile unghiurilor unui patrulater convex sunt direct proporționale cu numerele $2$ , $3$ , $4$ și $6$ . Află măsura fiecărui unghi.

Rezolvare. „Proporționale cu $2, 3, 4, 6$ " înseamnă că unghiurile pot fi scrise sub forma $2 k$ , $3 k$ , $4 k$ și $6 k$ , unde $k$ este un factor comun de proporționalitate. Suma lor este $360°$ : $2 k + 3 k + 4 k + 6 k = 360°.$ Adunăm coeficienții: $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ , deci: $15 k = 360° ⟹ k = \frac{360°}{15} = 24°.$ Calculăm unghiurile:

$2 k = 2 \cdot 24° = 48°$ ;
$3 k = 3 \cdot 24° = 72°$ ;
$4 k = 4 \cdot 24° = 96°$ ;
$6 k = 6 \cdot 24° = 144°$ .

Verificare: $48° + 72° + 96° + 144° = 360°$ . ✔

Răspuns: unghiurile au măsurile $48°$ , $72°$ , $96°$ și $144°$ .

Exemplul 4 — Trei unghiuri egale și unul diferit

Într-un patrulater convex $A B C D$ , trei dintre unghiuri sunt congruente (au aceeași măsură), iar al patrulea are $120°$ . Află măsura celor trei unghiuri egale.

Rezolvare. Notăm cu $y$ măsura fiecăruia dintre cele trei unghiuri egale. Al patrulea este $120°$ . Suma tuturor este $360°$ : $y + y + y + 120° = 360°,$ $3 y + 120° = 360°.$ Scădem $120°$ din ambii membri: $3 y = 240° ⟹ y = \frac{240°}{3} = 80°.$

Verificare: $80° + 80° + 80° + 120° = 360°$ . ✔

Răspuns: fiecare dintre cele trei unghiuri egale are $80°$ .

Exemplul 5 — Perimetru și unghi lipsă în aceeași problemă

Un patrulater convex $A B C D$ are laturile $A B = 6, 5$ cm, $B C = 9$ cm, $C D = 6, 5$ cm și $D A = 9$ cm. Se știe că $A = 105°$ , $B = 75°$ și $C = 105°$ . Află perimetrul și măsura unghiului $D$ .

Rezolvare.

Perimetrul. Adunăm lungimile laturilor: $P = A B + B C + C D + D A = 6, 5 + 9 + 6, 5 + 9 = 31 cm .$

Unghiul $D$ . Folosim relația celor $360°$ : $D = 360° - (A + B + C) = 360° - (105° + 75° + 105°) .$ Calculăm paranteza: $105° + 75° + 105° = 285°$ . Deci: $D = 360° - 285° = 75°.$

Răspuns: $P = 31$ cm și $D = 75°$ . (Observă că laturile opuse sunt egale și unghiurile opuse sunt egale — acesta este, de fapt, un paralelogram, pe care îl vei recunoaște oficial în lecția următoare.)

Exemplul 6 — Justificare: poate exista un asemenea patrulater?

Un elev spune că a desenat un patrulater convex cu unghiurile de $100°$ , $100°$ , $100°$ și $100°$ . Este posibil? Dar unul cu unghiurile $130°$ , $130°$ , $130°$ și $130°$ ?

Rezolvare. Verificăm condiția obligatorie: suma unghiurilor trebuie să fie exact $360°$ , iar fiecare unghi să fie mai mic de $180°$ (pentru a fi convex).

Primul caz: $100° + 100° + 100° + 100° = 400° \neq = 360°$ . Suma nu este $360°$ , deci nu există un patrulater cu aceste patru unghiuri. (Un patrulater cu toate unghiurile egale ar avea fiecare unghi de $360° : 4 = 90°$ — adică ar fi un dreptunghi.)

Al doilea caz: $130° \cdot 4 = 520° \neq = 360°$ . Din nou suma este greșită, deci nu există.

Concluzie. Un patrulater nu poate avea toate cele patru unghiuri egale decât dacă fiecare este de exact $90°$ . Teorema sumei unghiurilor este un „filtru" care ne spune imediat dacă un set de patru unghiuri este posibil.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine; sunt gradate de la simplu la mai greu. Notează raționamentul, nu doar rezultatul.

1. Completează: Un patrulater are ..... vârfuri, ..... laturi, ..... unghiuri și ..... diagonale.

2. În patrulaterul $A B C D$ , numește: (a) latura opusă laturii $[A B]$ ; (b) unghiul opus lui $B$ ; (c) cele două diagonale.

3. Adevărat sau fals (justifică pe scurt): (a) „Diagonala $[B D]$ unește două vârfuri alăturate." (b) „Într-un patrulater convex, diagonalele se intersectează în interior." (c) „Suma unghiurilor oricărui patrulater convex este $180°$ ."

4. Într-un patrulater convex $A B C D$ , $A = 70°$ , $B = 100°$ , $C = 90°$ . Află $D$ .

5. Într-un patrulater convex, trei unghiuri au măsurile $115°$ , $65°$ și $95°$ . Cât are al patrulea unghi?

6. Un patrulater convex are unghiurile $x$ , $x + 20°$ , $x + 40°$ și $x + 60°$ . Află $x$ și cele patru unghiuri.

7. Măsurile unghiurilor unui patrulater convex sunt proporționale cu numerele $1$ , $2$ , $3$ și $4$ . Află fiecare unghi.

8. Într-un patrulater convex $E F G H$ , $E = G$ și $F = H$ . Știind că $E = 68°$ , află $F$ .

9. Un patrulater convex are un unghi drept ( $90°$ ), un unghi cu $60°$ mai mare decât unghiul drept și încă două unghiuri egale între ele. Află măsura celor două unghiuri egale.

10. Se poate desena un patrulater convex cu unghiurile $50°$ , $60°$ , $70°$ și $190°$ ? Justifică folosind două motive.

11. Într-un patrulater convex, un unghi are $90°$ , altul are $85°$ , iar celelalte două sunt în raportul $2 : 3$ . Află cele două unghiuri necunoscute.

12. Perimetrul unui patrulater $A B C D$ este $48$ cm. Se știe că $A B = 12$ cm, $B C = 15$ cm și $C D = 9$ cm. Află lungimea laturii $D A$ .

13. Un patrulater convex $A B C D$ are $A B = D A$ , $B C = C D$ , $A B = 7$ cm și $B C = 11$ cm. Calculează perimetrul.

14. Într-un patrulater convex $A B C D$ , $A$ este cu $40°$ mai mare decât $C$ , iar $B = D = 100°$ . Află $A$ și $C$ .

15. Explică, prin descompunere în triunghiuri, de ce suma unghiurilor unui patrulater convex este $360°$ . Fă un desen și trasează o diagonală.

16. Într-un patrulater convex $A B C D$ , se știe că $A = 3 x - 10°$ , $B = 2 x + 30°$ , $C = x + 40°$ și $D = 2 x$ . Află $x$ și verifică rezultatul.

17. Un patrulater convex are trei unghiuri egale, fiecare de $75°$ . Poate exista? Dacă da, cât are al patrulea unghi și este el mai mic de $180°$ ?

18. Diagonala $[A C]$ împarte patrulaterul convex $A B C D$ în triunghiurile $A B C$ și $A C D$ . În triunghiul $A B C$ , $B A C = 35°$ și $B C A = 45°$ . În triunghiul $A C D$ , $C A D = 50°$ și $A C D = 60°$ . Află toate cele patru unghiuri ale patrulaterului $A B C D$ și verifică suma lor.

Răspunsuri și explicații

1. $4$ vârfuri, $4$ laturi, $4$ unghiuri și $2$ diagonale. (Diagonalele unesc vârfuri neconsecutive: doar $[A C]$ și $[B D]$ .)

2. (a) Latura opusă lui $[A B]$ este $[C D]$ ; (b) unghiul opus lui $B$ este $D$ ; (c) diagonalele sunt $[A C]$ și $[B D]$ .

3. (a) Fals — $[B D]$ unește $B$ cu $D$ , care sunt vârfuri neconsecutive, deci este o diagonală, nu o legătură între vârfuri alăturate. (b) Adevărat — este chiar testul diagonalelor pentru convexitate. (c) Fals — suma este $360°$ , nu $180°$ ; $180°$ este suma unghiurilor unui triunghi.

4. $D = 360° - (70° + 100° + 90°) = 360° - 260° = 100°$ .

5. Al patrulea unghi $= 360° - (115° + 65° + 95°) = 360° - 275° = 85°$ .

6. $x + (x + 20°) + (x + 40°) + (x + 60°) = 360° \Rightarrow 4 x + 120° = 360° \Rightarrow 4 x = 240° \Rightarrow x = 60°$ . Unghiurile: $60°$ , $80°$ , $100°$ , $120°$ . Verificare: $60 + 80 + 100 + 120 = 360$ . ✔

7. Unghiurile sunt $k$ , $2 k$ , $3 k$ , $4 k$ ; suma $10 k = 360° \Rightarrow k = 36°$ . Unghiurile: $36°$ , $72°$ , $108°$ , $144°$ . Verificare: $36 + 72 + 108 + 144 = 360$ . ✔

8. $E = G = 68°$ , deci $F + H = 360° - (68° + 68°) = 360° - 136° = 224°$ . Cum $F = H$ , avem $F = 224° : 2 = 112°$ .

9. Unghiul drept are $90°$ , iar unghiul „cu $60°$ mai mare decât unghiul drept" are $90° + 60° = 150°$ . Notăm cu $y$ măsura fiecăruia dintre cele două unghiuri egale. Din teorema sumei unghiurilor: $90° + 150° + y + y = 360°$ , deci $2 y = 360° - 240° = 120°$ și $y = 120° : 2 = 60°$ . Verificare: $90° + 150° + 60° + 60° = 360°$ . ✔ Toate cele patru unghiuri ( $90°$ , $150°$ , $60°$ , $60°$ ) sunt mai mici de $180°$ , așa că patrulaterul poate fi convex. Reține și aici obiceiul sănătos: după ce afli un unghi, verifică dacă este $< 180°$ , altfel figura nu ar putea fi convexă.

10. Nu. Două motive: (1) suma $50° + 60° + 70° + 190° = 370° \neq = 360°$ ; (2) chiar dacă suma ar fi fost corectă, unghiul de $190°$ depășește $180°$ , deci figura ar fi concavă, nu convexă.

11. Cele două unghiuri cunoscute dau $90° + 85° = 175°$ . Rămâne pentru celelalte două: $360° - 175° = 185°$ . Ele sunt în raport $2 : 3$ , deci $2 k + 3 k = 185° \Rightarrow 5 k = 185° \Rightarrow k = 37°$ . Unghiurile: $2 k = 74°$ și $3 k = 111°$ . Verificare: $90 + 85 + 74 + 111 = 360$ . ✔

12. $D A = P - (A B + B C + C D) = 48 - (12 + 15 + 9) = 48 - 36 = 12$ cm.

13. $P = A B + B C + C D + D A = 7 + 11 + 11 + 7 = 36$ cm. (Deoarece $C D = B C = 11$ și $D A = A B = 7$ .)

14. $A + C = 360° - (B + D) = 360° - 200° = 160°$ . Cum $A = C + 40°$ , obținem $(C + 40°) + C = 160° \Rightarrow 2 C = 120° \Rightarrow C = 60°$ , iar $A = 100°$ . Verificare: $100 + 100 + 60 + 100 = 360$ . ✔

15. Trasezi o diagonală (de exemplu $[A C]$ ), care împarte patrulaterul convex în triunghiurile $A B C$ și $A C D$ . În fiecare triunghi suma unghiurilor este $180°$ . Adunând, obții $180° + 180° = 360°$ , iar aceste unghiuri se regrupează exact în cele patru unghiuri ale patrulaterului. (Vezi demonstrația completă din secțiunea „Hai să descoperim împreună".)

16. $(3 x - 10°) + (2 x + 30°) + (x + 40°) + 2 x = 360°$ . Adunăm: $3 x + 2 x + x + 2 x = 8 x$ și $- 10° + 30° + 40° = 60°$ . Deci $8 x + 60° = 360° \Rightarrow 8 x = 300° \Rightarrow x = 37, 5°$ . Unghiurile: $A = 3 \cdot 37, 5° - 10° = 112, 5° - 10° = 102, 5°$ ; $B = 2 \cdot 37, 5° + 30° = 105°$ ; $C = 37, 5° + 40° = 77, 5°$ ; $D = 2 \cdot 37, 5° = 75°$ . Verificare: $102, 5 + 105 + 77, 5 + 75 = 360$ . ✔ Toate $< 180°$ , deci convex.

17. Da, poate exista. Al patrulea unghi $= 360° - 3 \cdot 75° = 360° - 225° = 135°$ . Cum $135° < 180°$ , patrulaterul este convex.

18. $A = B A C + C A D = 35° + 50° = 85°$ ; $C = B C A + A C D = 45° + 60° = 105°$ . Unghiul $B$ este întreg în triunghiul $A B C$ : $B = 180° - (35° + 45°) = 180° - 80° = 100°$ . Unghiul $D$ este întreg în triunghiul $A C D$ : $D = 180° - (50° + 60°) = 180° - 110° = 70°$ . Verificare: $A + B + C + D = 85° + 100° + 105° + 70° = 360°$ . ✔ (Acest exercițiu reface, cu numere, exact ideea demonstrației.)

De reținut

Un patrulater $A B C D$ are $4$ vârfuri, $4$ laturi, $4$ unghiuri și $2$ diagonale ( $[A C]$ și $[B D]$ , care unesc vârfuri neconsecutive).
Convex = fără adâncituri: ambele diagonale sunt în interior și fiecare unghi este $< 180°$ . Concav (neconvex) = are un unghi $> 180°$ și o diagonală iese în afară.
Teorema centrală: în orice patrulater convex, $A + B + C + D = 360°$ . Se demonstrează trasând o diagonală și adunând $180° + 180°$ (cele două triunghiuri).
Un unghi lipsă se află prin scădere: $D = 360° - (A + B + C)$ .
Perimetrul: $P_{A B C D} = A B + B C + C D + D A$ (suma lungimilor laturilor).

Greșeli frecvente

Confuzia $180°$ cu $360°$ . La triunghi suma unghiurilor este $180°$ , la patrulater este $360°$ . O regulă utilă: fiecare latură în plus adaugă $180°$ (triunghi $180°$ , patrulater $360°$ , pentagon $540°$ ...).
Diagonală vs. latură. $[A C]$ și $[B D]$ sunt diagonale (unesc vârfuri sărite), nu laturi. Laturile sunt doar $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ , $[D A]$ . Nu confunda cele două categorii când calculezi perimetrul.
Uitarea verificării convexității. Dacă obții un unghi $\geq 180°$ pentru un patrulater despre care se spune că e convex, ceva e greșit: fie enunțul, fie calculul. Un unghi de exact $180°$ ar turti figura, iar unul peste $180°$ o face concavă.
Ordinea greșită a vârfurilor. $A B C D$ nu este același lucru cu $A B D C$ . Unghiurile opuse sunt $A$ – $C$ și $B$ – $D$ doar dacă respecți ordinea de parcurgere a vârfurilor.

Aplică acasă

Vânătoarea de patrulatere convexe. Ia telefonul și fotografiază $5$ obiecte din casă care sunt patrulatere convexe (ecran, ușă, masă, carte, tablou) și $1$ obiect care ar putea sugera un patrulater concav (de exemplu o piesă în formă de „săgeată" sau un colț decupat). Pentru fiecare, spune de ce este convex sau concav folosind testul unghiurilor.
Măsoară și verifică $360°$ . Desenează pe o foaie un patrulater convex oarecare, apoi măsoară cele patru unghiuri cu raportorul. Adună-le. Ar trebui să obții aproximativ $360°$ (mici diferențe apar din impreciziile de măsurare). Repetă cu un al doilea patrulater, de altă formă, și compară.
Perimetrul unei camere. Măsoară cu ruleta laturile mesei din bucătărie sau ale camerei tale (dacă are patru laturi) și calculează perimetrul. Verifică de câte plinte sau bandă adezivă ai avea nevoie pentru a înconjura complet forma.

Pentru părinți și profesori

Această lecție pune bazele întregului capitol despre patrulatere, așa că merită consolidată bine înainte de a trece la paralelogram. Sprijinul cel mai eficient este să aveți la îndemână un raportor și hârtie: geometria se înțelege desenând și măsurând, nu doar citind.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune elevului:

„Câte diagonale are un patrulater și de ce nu mai multe?" (Răspuns corect: $2$ , pentru că doar perechile de vârfuri neconsecutive dau diagonale.)
„Cum arăți, cu un singur desen, de ce suma unghiurilor este $360°$ ?" (Trebuie să traseze o diagonală și să vorbească despre cele două triunghiuri.)
„Dacă trei unghiuri sunt $90°$ , $100°$ și $85°$ , cât e al patrulea?" (Verifică dacă scade din $360°$ : $360° - 275° = 85°$ .)

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: distinge fără ezitare diagonala de latură, folosește relația $360°$ atât cu numere, cât și cu o necunoscută $x$ (legând-o de ecuațiile de gradul I învățate anterior) și verifică singur dacă un unghi obținut este mai mic de $180°$ . Dacă încurcă $180°$ cu $360°$ , reveniți la analogia „fiecare latură în plus adaugă $180°$ ".

Întrebări frecvente

Care este suma unghiurilor unui patrulater în clasa a 7-a? Suma măsurilor celor patru unghiuri interioare ale unui patrulater convex este întotdeauna $360°$ . Se demonstrează împărțind patrulaterul, cu o diagonală, în două triunghiuri, fiecare cu suma unghiurilor de $180°$ , iar $180° + 180° = 360°$ .

Ce este un patrulater convex și cum îl recunosc? Un patrulater este convex dacă nu are nicio adâncitură: toate unghiurile interioare sunt mai mici de $180°$ , iar ambele diagonale se află în interiorul figurii și se intersectează înăuntru. Dacă un unghi depășește $180°$ sau o diagonală „iese" în afară, patrulaterul este concav (neconvex).

Care este diferența dintre un patrulater convex și unul concav? La cel convex, orice segment care unește două puncte interioare rămâne în interior, iar toate unghiurile sunt sub $180°$ . La cel concav, un vârf este „împins înăuntru", un unghi depășește $180°$ și cel puțin o diagonală iese din figură. Suma unghiurilor rămâne $360°$ în ambele cazuri, dar la clasa a VII-a lucrăm cu cel convex.

Câte diagonale are un patrulater? Un patrulater are exact $2$ diagonale: segmentele care unesc vârfurile neconsecutive (de exemplu $[A C]$ și $[B D]$ în patrulaterul $A B C D$ ). Laturile, care unesc vârfuri alăturate, nu se numesc diagonale.

Cum aflu un unghi necunoscut al unui patrulater? Folosești relația că suma celor patru unghiuri este $360°$ și scazi din $360°$ suma unghiurilor cunoscute. De exemplu, $D = 360° - (A + B + C)$ . Dacă un unghi este dat printr-o expresie cu $x$ , formezi o ecuație de gradul I și o rezolvi.

De ce este suma unghiurilor unui patrulater $360°$ și nu $180°$ ca la triunghi? Pentru că un patrulater se poate împărți în două triunghiuri cu o singură diagonală, iar fiecare triunghi contribuie cu $180°$ . Astfel, $2 \times 180° = 360°$ . Triunghiul, având o latură mai puțin, dă doar $180°$ .

Ce sunt unghiurile opuse și laturile opuse ale unui patrulater? Unghiurile opuse sunt cele ale căror vârfuri nu sunt unite printr-o latură: în $A B C D$ , perechile opuse sunt $A$ – $C$ și $B$ – $D$ . Laturile opuse nu au niciun vârf comun: $[A B]$ – $[C D]$ și $[B C]$ – $[D A]$ . Aceste noțiuni devin foarte importante la paralelogram.

Poate un patrulater convex să aibă un unghi de 180°? Nu. Un unghi de exact $180°$ ar însemna că trei vârfuri sunt coliniare, iar figura s-ar turti într-un triunghi, deci nu ar mai fi un patrulater propriu-zis. Într-un patrulater convex fiecare unghi trebuie să fie strict mai mic de $180°$ .