Un patrulater convex are o pereche de laturi opuse egale, iar cealaltă pereche de laturi opuse paralelă. Este patrulaterul neapărat paralelogram?

Nu, un astfel de patrulater nu poate exista

În patrulaterul convex $$ABCD$$ avem $$\widehat{A} = 72°$$, $$\widehat{C} = 72°$$ și $$\widehat{B} = 108°$$. Cât măsoară $$\widehat{D}$$ și este $$ABCD$$ paralelogram?

$$\widehat{D}=108°$$, da, este paralelogram (Criteriul 3)

$$\widehat{D}=72°$$, nu este paralelogram

$$\widehat{D}=88°$$, da, este paralelogram

$$\widehat{D}=108°$$, nu este paralelogram

Un patrulater convex are diagonalele $$AC$$ și $$BD$$ care se intersectează în $$O$$, astfel încât $$OA = OC = 6$$ cm și $$OB = OD = 4$$ cm. Este patrulaterul neapărat paralelogram?

Da, conform Criteriului 4 (diagonalele se înjumătățesc)

Da, conform Criteriului 1 (laturi paralele)

Nu, doar diagonalele nu sunt suficiente

Nu se poate ști fără măsurarea laturilor

Cum demonstrez că un patrulater e paralelogram?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Criterii pentru paralelogram

Ajunge o singură dovadă din cinci. Laturile opuse paralele două câte două, laturile opuse egale, unghiurile opuse egale, diagonalele care se taie la mijlocul fiecăreia sau o pereche de laturi opuse deodată paralelă și egală. Dacă diagonalele se întâlnesc în $O$ cu $O A = O C$ și $O B = O D$ , figura este paralelogram, fără să mai măsori vreo latură. La ultima cale, ambele condiții trebuie puse pe aceeași pereche.

Până acum știai ce are un paralelogram (proprietăți). Acum înveți drumul invers: cum demonstrezi că un patrulater necunoscut este paralelogram, folosind un singur criteriu suficient, fără să verifici tot.

Există cinci „teste" rapide pentru un patrulater convex $A B C D$ :

laturile opuse sunt paralele (definiția);
laturile opuse sunt congruente;
unghiurile opuse sunt congruente;
diagonalele se înjumătățesc (se taie la mijlocul fiecăreia);
o pereche de laturi opuse este paralelă și congruentă (aceeași pereche!).

Exemplu. Dacă diagonalele $A C$ și $B D$ se taie în $O$ cu $O A = O C$ și $O B = O D$ , atunci, conform Criteriului 4, $A B C D$ este paralelogram — fără să mai măsori nicio latură.

Atenție la capcană: o pereche de laturi egale ȘI cealaltă pereche paralelă NU garantează paralelogram (poate fi trapez isoscel) — condițiile trebuie puse pe aceeași pereche de laturi.

De reținut

laturi opuse paralele sau laturi opuse congruente
unghiuri opuse congruente
diagonalele se taie la mijlocul fiecăreia
aceeași pereche de laturi opuse, deodată paralelă și egală

Greșeala tipică

Se ia o pereche de laturi egale împreună cu cealaltă pereche paralelă. Așa iese și un trapez isoscel; cele două condiții trebuie puse pe aceeași pereche de laturi.

Exerciții din această mini-lecție

Un patrulater convex are o pereche de laturi opuse egale, iar cealaltă pereche de laturi opuse paralelă. Este patrulaterul neapărat paralelogram?
- a) Da, conform Criteriului 5
- b) Da, conform Criteriului 2
- c) Nu, poate fi un trapez isoscel
- d) Nu, un astfel de patrulater nu poate exista
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nu, poate fi un trapez isoscel

Criteriul 5 cere ca paralelismul și congruența să cadă pe aceeași pereche de laturi opuse. Când egalitatea și paralelismul sunt pe perechi diferite, figura poate fi un trapez isoscel (laturile neparalele egale, bazele paralele), care nu este paralelogram.
În patrulaterul convex $A B C D$ avem $A = 72°$ , $C = 72°$ și $B = 108°$ . Cât măsoară $D$ și este $A B C D$ paralelogram?
- a) $D = 108°$ , da, este paralelogram (Criteriul 3)
- b) $D = 72°$ , nu este paralelogram
- c) $D = 88°$ , da, este paralelogram
- d) $D = 108°$ , nu este paralelogram
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $D = 108°$ , da, este paralelogram (Criteriul 3)

Suma unghiurilor este $360°$ , deci $D = 360° - 72° - 108° - 72° = 108°$ . Atunci $A = C = 72°$ și $B = D = 108°$ : ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente, deci, conform Criteriului 3, $A B C D$ este paralelogram.
Un patrulater convex are diagonalele $A C$ și $B D$ care se intersectează în $O$ , astfel încât $O A = O C = 6$ cm și $O B = O D = 4$ cm. Este patrulaterul neapărat paralelogram?
- a) Da, conform Criteriului 4 (diagonalele se înjumătățesc)
- b) Da, conform Criteriului 1 (laturi paralele)
- c) Nu, doar diagonalele nu sunt suficiente
- d) Nu se poate ști fără măsurarea laturilor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, conform Criteriului 4 (diagonalele se înjumătățesc)

Diagonalele se înjumătățesc reciproc ( $O A = O C$ și $O B = O D$ ), condiție suficientă conform Criteriului 4. Deci patrulaterul este paralelogram, indiferent de lungimile laturilor.

Întrebări conexe

Cum arăt că un patrulater este paralelogram folosind o diagonală?

Duci o diagonală și obții două triunghiuri, apoi dovedești că sunt congruente. Din congruență ies unghiuri alterne interne egale, deci laturile opuse sunt paralele. Este drumul obișnuit de demonstrație pentru aproape toate criteriile.

De ce o pereche de laturi paralelă și egală este de ajuns?

Fiindcă, unind celelalte două vârfuri, obții două triunghiuri congruente, iar de acolo iese și a doua pereche de laturi paralele. Practic, cele două condiții puse pe aceeași pereche le forțează pe celelalte să se așeze la fel.

Cât fac unghiurile unui patrulater convex la un loc?

Fac 360 de grade, fiindcă o diagonală îl taie în două triunghiuri, iar fiecare aduce câte 180. Legătura ajută la criteriul cu unghiuri opuse: dacă acelea sunt egale două câte două, fiecare pereche alăturată adună 180.

Ce se întâmplă dacă doar unghiurile alăturate sunt suplementare?

Dacă asta se întâmplă la fiecare pereche de unghiuri alăturate, laturile opuse ies paralele, deci figura este paralelogram. Este chiar criteriul cu unghiuri, scris în altă formă, fiindcă unghiuri suplementare alăturate înseamnă paralelism.

Cum verific pe desen că un patrulater este paralelogram?

Măsori laturile opuse cu rigla și diagonalele de la punctul lor de întâlnire. Dacă laturile opuse ies egale, sau dacă fiecare diagonală este tăiată exact la mijloc, ai dovada. Măsurarea rămâne o verificare, nu o demonstrație.

Ce criteriu folosesc când am doar unghiurile figurii?

Cel cu unghiuri opuse congruente. Dacă unghiurile din vârfurile opuse sunt egale două câte două, patrulaterul este paralelogram. Ai grijă să compari vârfurile opuse, nu pe cele alăturate, care sunt suplementare, nu egale.

Oamenii mai întreabă și: condiții ca un patrulater să fie paralelogram · criteriile paralelogramului · cum demonstrez că e paralelogram · diagonale care se înjumătățesc · laturi opuse congruente