Paralelogramul: proprietatea diagonalelor

Când desenezi un paralelogram și tragi cele două diagonale, ele se taie într-un punct. Dar unde anume? Chiar la mijloc? Da — și tocmai aici stă una dintre cele mai elegante și utile proprietăți din geometria clasei a VII-a. Constructorii o folosesc ca să găsească centrul unei plăci dreptunghiulare, designerii ca să echilibreze un afiș, iar tu o vei folosi ca să rezolvi rapid o mulțime de probleme. În această lecție descoperim de ce diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, o demonstrăm riguros cu triunghiuri congruente și înțelegem de ce punctul lor de intersecție este centrul de simetrie al figurii.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți proprietatea: diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc în punctul lor de intersecție.
• Vei ști să demonstrezi această proprietate folosind triunghiuri congruente.
• Vei ști să folosești proprietatea pentru a calcula lungimi de segmente (o diagonală întreagă sau o jumătate din ea).
• Vei ști să identifici centrul de simetrie al unui paralelogram și să explici simetria centrală față de intersecția diagonalelor.
• Vei ști să rezolvi probleme cu segmente egale generate de diagonalele paralelogramului.

Hai să descoperim împreună

Ce știm deja despre paralelogram

Reține din lecția Paralelogramul: definiție și proprietăți (laturi și unghiuri) că un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele. Din definiție am dedus deja două proprietăți importante:

• laturile opuse sunt congruente (egale ca lungime);
• unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma $180°$).

Astăzi adăugăm o a treia proprietate, de data aceasta despre diagonale.

Într-un paralelogram $ABCD$, vârfurile se notează în ordine, mergând pe contur (de exemplu în sens trigonometric). Atunci diagonalele sunt segmentele care unesc vârfurile opuse: $AC$ și $BD$. Ele nu sunt laturi, ci „drumurile scurtate" prin interiorul figurii.

Un mic experiment

Ia o riglă și desenează un paralelogram oarecare $ABCD$ (nu un dreptunghi, ca să vezi că proprietatea nu ține de unghiuri drepte). Trasează diagonalele $AC$ și $BD$ și notează cu $O$ punctul lor de intersecție. Acum măsoară cu rigla:

• $AO$ și $OC$ — vei observa că sunt egale;
• $BO$ și $OD$ — vei observa că și acestea sunt egale.

Cu alte cuvinte, $O$ este mijlocul fiecărei diagonale în același timp. Repetă experimentul cu un paralelogram „turtit" sau cu unul „înalt": rezultatul e mereu același. Măsurarea ne convinge, dar în matematică nu ne oprim la măsurat — vrem o demonstrație care să arate că lucrul acesta e adevărat pentru orice paralelogram, nu doar pentru cele desenate de noi.

Enunțul proprietății

Proprietate (diagonalele paralelogramului). Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc; adică punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia dintre ele.

Dacă $ABCD$ este paralelogram și $\{O\}=AC\cap BD$, atunci: $$AO=OC\text{și}BO=OD.$$

Punctul $O$ împarte fiecare diagonală în două părți egale. Atenție: nu spunem că cele două diagonale sunt egale între ele (asta se întâmplă doar la dreptunghi și pătrat), ci că fiecare diagonală este tăiată la jumătate de cealaltă.

Demonstrația proprietății

Aici e partea frumoasă: dovedim proprietatea folosind triunghiuri congruente, o unealtă pe care o stăpânești din clasa a VI-a. Ideea este să găsim două triunghiuri „ascunse" în figură care să fie congruente și din care să tragem concluzia despre segmente egale.

Ipoteză: $ABCD$ este paralelogram; $\{O\}=AC\cap BD$. Concluzie: $AO=OC$ și $BO=OD$.

Demonstrație. Privim triunghiurile $AOB$ și $COD$ și arătăm că sunt congruente.

Pasul 1 — o pereche de laturi congruente. Deoarece $ABCD$ este paralelogram, laturile opuse sunt congruente, deci $$AB=CD.$$ Aceasta este latura pe care ne bazăm demonstrația.

Pasul 2 — o pereche de unghiuri congruente (unghiuri alterne interne). Pentru că $AB\parallel CD$, dreapta $AC$ (adică diagonala) este o secantă care taie cele două paralele. Unghiurile $\widehat{OAB}$ și $\widehat{OCD}$ sunt alterne interne, deci sunt congruente: $$\widehat{OAB}\equiv \widehat{OCD}.$$

Pasul 3 — a doua pereche de unghiuri congruente. De data aceasta folosim secanta $BD$ (cealaltă diagonală) pentru aceleași paralele $AB\parallel CD$. Unghiurile $\widehat{OBA}$ și $\widehat{ODC}$ sunt tot alterne interne, deci: $$\widehat{OBA}\equiv \widehat{ODC}.$$

Pasul 4 — aplicăm cazul de congruență ULU (unghi–latură–unghi). În triunghiurile $AOB$ și $COD$ avem:

• $\widehat{OAB}\equiv \widehat{OCD}$ (Pasul 2),
• $AB\equiv CD$ (Pasul 1),
• $\widehat{OBA}\equiv \widehat{ODC}$ (Pasul 3).

Latura $AB$ este cuprinsă între cele două unghiuri din triunghiul $AOB$, iar latura $CD$ este cuprinsă între cele două unghiuri corespunzătoare din triunghiul $COD$. Prin urmare, conform cazului ULU: $$△AOB\equiv △COD.$$

Pasul 5 — tragem concluzia. Din congruența triunghiurilor rezultă că laturile omoloage (care se opun unghiurilor egale) sunt congruente: $$AO=OC\text{și}BO=OD.$$

Am obținut exact ce voiam: $O$ este mijlocul lui $AC$ și, în același timp, mijlocul lui $BD$. Proprietatea este demonstrată. $■$

Observă cât de curat funcționează raționamentul: singurul „combustibil" a fost paralelismul laturilor (care ne-a dat unghiurile alterne interne) și egalitatea laturilor opuse. Nimic din demonstrație nu a cerut unghiuri drepte, deci proprietatea e valabilă pentru orice paralelogram.

Simetria centrală: punctul $O$ este centrul de simetrie

Faptul că $O$ este mijlocul ambelor diagonale are o consecință vizuală spectaculoasă: paralelogramul are un centru de simetrie, iar acesta este chiar $O$.

Ce înseamnă asta? O figură are centru de simetrie în punctul $O$ dacă, pentru fiecare punct $P$ al figurii, simetricul său față de $O$ (punctul $P^{\prime }$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $P{P}^{\prime }$) aparține tot figurii. Practic, dacă ai roti figura cu $180°$ în jurul lui $O$, ea s-ar suprapune perfect peste ea însăși.

Să vedem de ce $O$ este centru de simetrie:

• Pentru vârful $A$: simetricul lui față de $O$ este punctul de pe dreapta $AO$ situat de partea cealaltă, la aceeași distanță. Dar $AO=OC$, deci simetricul lui $A$ este chiar $C$ — un vârf al figurii. La fel, simetricul lui $C$ este $A$.
• Pentru vârful $B$: cum $BO=OD$, simetricul lui $B$ față de $O$ este $D$, iar simetricul lui $D$ este $B$.

Așadar, prin simetrie centrală față de $O$: $A\leftrightarrow C$ și $B\leftrightarrow D$. Vârfurile se schimbă între ele în perechi, laturile se suprapun ($AB$ peste $CD$, $BC$ peste $AD$), și întregul paralelogram rămâne neschimbat. Spunem că paralelogramul este o figură cu simetrie centrală, iar centrul ei de simetrie este intersecția diagonalelor.

Un detaliu important pentru cultura ta geometrică: paralelogramul, în general, nu are axe de simetrie (axa e o dreaptă față de care faci „oglindire"). Are doar centru de simetrie. Abia paralelogramele particulare — dreptunghiul, rombul, pătratul — capătă în plus și axe de simetrie, dar despre asta vei citi în lecțiile Dreptunghiul și proprietățile lui și Rombul și proprietățile lui.

Cum folosim proprietatea în calcule

Proprietatea diagonalelor este o „mașină de produs egalități". Iată tiparele pe care le vei întâlni cel mai des:

Tipar 1 — de la jumătate la întreg. Dacă știi o jumătate de diagonală, o dublezi ca să afli diagonala întreagă. De exemplu, dacă $AO=5$ cm, atunci $AC=AO+OC=2\cdot AO=10$ cm.

Tipar 2 — de la întreg la jumătate. Dacă știi diagonala întreagă, o împarți la $2$ ca să afli jumătatea. De exemplu, dacă $BD=14$ cm, atunci $BO=OD=\frac{BD}{2}=7$ cm.

Tipar 3 — punerea în ecuație. Dacă $O$ e mijlocul unei diagonale, cele două jumătăți sunt egale. Când sunt exprimate cu litere, egalezi expresiile și obții o ecuație liniară (temă pe care o stăpânești din capitolul Ecuația de forma ax + b = 0). De exemplu, dacă $AO=2x+1$ și $OC=11$, atunci $2x+1=11$, de unde $x=5$.

Tipar 4 — triunghiuri și perimetre în interior. Cele două diagonale împart paralelogramul în patru triunghiuri mici. Segmentele $AO$, $OC$, $BO$, $OD$ apar ca laturi ale acestor triunghiuri. Când ți se cere perimetrul triunghiului $AOB$, de pildă, folosești $AO$ și $BO$ (jumătăți de diagonale) plus latura $AB$.

Toate aceste tipare se sprijină pe același adevăr simplu: $O$ înjumătățește ambele diagonale. Odată ce ai reținut asta, restul e calcul cu numere sau ecuații mici. Să trecem la exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — dublăm o jumătate

În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$. Se știe că $AO=6,5$ cm și $BO=4$ cm. Află lungimile diagonalelor $AC$ și $BD$.

Rezolvare. Deoarece $ABCD$ este paralelogram, $O$ este mijlocul fiecărei diagonale, deci: $$AC=2\cdot AO=2\cdot 6,5=13\text{ cm};$$ $$BD=2\cdot BO=2\cdot 4=8\text{ cm}.$$ Răspuns: $AC=13$ cm și $BD=8$ cm. Observă că cele două diagonale au lungimi diferite — e perfect normal pentru un paralelogram oarecare.

Exemplul 2 — de la întreg la jumătate

În paralelogramul $MNPQ$, diagonalele $MP$ și $NQ$ se taie în $O$. Se dau $MP=18$ cm și $NQ=24$ cm. Calculează $MO$, $OP$, $NO$ și $OQ$.

Rezolvare. Punctul $O$ înjumătățește fiecare diagonală: $$MO=OP=\frac{MP}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm};$$ $$NO=OQ=\frac{NQ}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}.$$ Răspuns: $MO=OP=9$ cm și $NO=OQ=12$ cm.

Exemplul 3 — punem în ecuație

În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că $AO=3x-4$ și $OC=x+8$. Află $x$ și apoi lungimea diagonalei $AC$.

Rezolvare. Cum $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, avem $AO=OC$: $$3x-4=x+8.$$ Rezolvăm ecuația liniară: adunăm $4$ și scădem $x$ în ambii membri: $$3x-x=8+4\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6.$$ Acum calculăm jumătatea: $AO=3\cdot 6-4=18-4=14$ cm (verificare: $OC=6+8=14$ cm — coincide, deci $x=6$ e corect). Diagonala întreagă: $AC=AO+OC=14+14=28$ cm. Răspuns: $x=6$ și $AC=28$ cm.

Exemplul 4 — perimetrul unui triunghi format de diagonale

În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$. Se dau $AC=16$ cm, $BD=12$ cm și latura $AB=9$ cm. Calculează perimetrul triunghiului $AOB$.

Rezolvare. Aflăm mai întâi jumătățile de diagonale: $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ cm};BO=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}.$$ Triunghiul $AOB$ are laturile $AO$, $OB$ și $AB$. Perimetrul este: $$P_{△AOB}=AO+OB+AB=8+6+9=23\text{ cm}.$$ Răspuns: $P_{△AOB}=23$ cm.

Exemplul 5 — segmente egale generate de diagonale

În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, arată că triunghiurile $AOB$ și $COD$ au același perimetru.

Rezolvare. Din proprietatea diagonalelor: $AO=OC$ și $BO=OD$. Din proprietatea laturilor opuse: $AB=CD$. Scriem perimetrele: $$P_{△AOB}=AO+OB+AB;$$ $$P_{△COD}=OC+OD+CD.$$ Înlocuim, folosind egalitățile de mai sus: $OC=AO$, $OD=OB$, $CD=AB$. Obținem: $$P_{△COD}=AO+OB+AB=P_{△AOB}.$$ Concluzie: cele două triunghiuri „opuse la vârf" au perimetre egale. (De fapt, ele sunt chiar congruente — am demonstrat asta la începutul lecției.)

Exemplul 6 — problemă combinată cu sumă

În paralelogramul $EFGH$, diagonalele se taie în $O$. Se știe că $EO$ este cu $3$ cm mai mare decât $FO$, iar suma $EG+FH=34$ cm. Se mai știe că $EG=20$ cm. Află $EO$ și $FO$.

Rezolvare. Din $EG+FH=34$ și $EG=20$ rezultă: $$FH=34-20=14\text{ cm}.$$ Punctul $O$ înjumătățește fiecare diagonală: $$EO=\frac{EG}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm};FO=\frac{FH}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$ Verificăm ultima informație din enunț: $EO-FO=10-7=3$ cm — corect, $EO$ este într-adevăr cu $3$ cm mai mare decât $FO$. Datele sunt coerente. Răspuns: $EO=10$ cm și $FO=7$ cm.

Exemplul 7 — două ecuații, câte una pe fiecare diagonală

În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$ se cunosc, exprimate cu litere, cele patru jumătăți de diagonală: $AO=2x$, $OC=x+5$, $BO=y+1$ și $OD=2y-3$. Află $x$, $y$ și lungimile ambelor diagonale.

Rezolvare. Cheia este că $O$ înjumătățește fiecare diagonală separat, deci scriem două egalități independente, una pentru diagonala $AC$ și una pentru diagonala $BD$.

Pentru diagonala $AC$ folosim $AO=OC$: $$2x=x+5\Rightarrow 2x-x=5\Rightarrow x=5.$$ Atunci $AO=OC=2\cdot 5=10$ cm, iar diagonala întreagă este $AC=10+10=20$ cm.

Pentru diagonala $BD$ folosim $BO=OD$: $$y+1=2y-3\Rightarrow 1+3=2y-y\Rightarrow y=4.$$ Atunci $BO=4+1=5$ cm și $OD=2\cdot 4-3=5$ cm — coincid, deci $BD=5+5=10$ cm.

Răspuns: $x=5$, $y=4$, $AC=20$ cm și $BD=10$ cm. Reține tiparul: fiecare diagonală îți dă propria ei ecuație; nu amesteca jumătăți de la diagonale diferite în aceeași egalitate.

Reciproca proprietății: un criteriu de recunoaștere

Până acum am mers într-un singur sens: dacă figura este paralelogram, atunci diagonalele se înjumătățesc. În geometrie merită întotdeauna să întrebăm și invers: dacă într-un patrulater diagonalele se înjumătățesc, este el obligatoriu paralelogram?

Răspunsul este da, iar acest fapt se numește reciproca proprietății și funcționează ca un criteriu (o „legitimație") prin care recunoști un paralelogram:

Reciproca. Dacă într-un patrulater diagonalele au același mijloc (se înjumătățesc reciproc), atunci patrulaterul este paralelogram.

Ideea demonstrației e la îndemâna ta: fie $ABCD$ un patrulater în care diagonalele $AC$ și $BD$ se taie în $O$ cu $AO=OC$ și $BO=OD$. Triunghiurile $AOB$ și $COD$ au $AO=OC$, $BO=OD$ și unghiurile $\widehat{AOB}\equiv \widehat{COD}$ (opuse la vârf), deci sunt congruente prin cazul LUL. De aici $AB=CD$ și, din unghiurile omoloage egale, $AB\parallel CD$. Un patrulater cu o pereche de laturi opuse paralele și congruente este paralelogram — deci $ABCD$ este paralelogram.

De ce îți folosește? Ori de câte ori vrei să dovedești că o figură este paralelogram, e suficient să arăți că diagonalele ei au același mijloc — nu mai ești nevoit să verifici paralelismul ambelor perechi de laturi. Vei folosi des acest criteriu în probleme de tip „arată că $MNPQ$ este paralelogram".

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu justificare acolo unde e cerută. Fă un desen ori de câte ori te ajută.

1. În paralelogramul $ABCD$ cu diagonalele intersectate în $O$, se dă $AO=7$ cm. Cât este $AC$?

2. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, diagonala $BD=22$ cm. Cât sunt $BO$ și $OD$?

3. În paralelogramul $MNPQ$, diagonalele se taie în $O$. Se dau $MP=30$ cm și $NQ=18$ cm. Află $MO$, $OP$, $NO$ și $OQ$.

4. Adevărat sau fals (cu motivare): „Într-un paralelogram, cele două diagonale sunt întotdeauna egale."

5. Adevărat sau fals (cu motivare): „Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram este mijlocul fiecărei diagonale."

6. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că $AO=x+2$ și $OC=9$. Află $x$ și apoi $AC$.

7. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, $BO=2y-1$ și $OD=y+4$. Află $y$ și lungimea diagonalei $BD$.

8. În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$. Se dau $AC=24$ cm, $BD=10$ cm și $AB=8$ cm. Calculează perimetrul triunghiului $AOB$.

9. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, se dau $AO=6$ cm, $BO=5$ cm și latura $BC=7$ cm. Calculează perimetrul triunghiului $BOC$.

10. Justifică: de ce nu poate exista un paralelogram în care diagonalele se intersectează într-un punct care împarte o diagonală în raportul $1:2$ (adică o parte de două ori mai mare decât cealaltă)?

11. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, se știe că $AC=26$ cm. Care este simetricul vârfului $A$ față de $O$ și de ce? Cât este distanța de la $A$ la $O$?

12. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, $AO=3a$ și $OC=a+10$. Află $a$ și verifică rezultatul.

13. Desenează un paralelogram $ABCD$ oarecare, trasează diagonalele, notează $O$ și marchează pe desen toate perechile de segmente egale determinate de $O$.

14. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, perimetrul triunghiului $AOD$ este $21$ cm. Se știe că $AO=5$ cm și $OD=6$ cm. Cât este latura $AD$?

15. În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în $O$. Suma diagonalelor este $AC+BD=40$ cm, iar $AC$ este de $3$ ori mai mare decât $BD$. Află $AC$, $BD$ și apoi $AO$ și $BO$.

16. Justifică: arată, folosind proprietatea diagonalelor și laturile opuse, că triunghiurile $AOD$ și $COB$ sunt congruente (în paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$).

17. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, se dau $AO=2x+3$, $OC=15$ și $BD=4x$. Află $x$, apoi lungimea fiecărei diagonale.

18. Problemă aplicată. Un tâmplar are o placă de lemn în formă de paralelogram și vrea să găsească exact centrul ei ca să monteze un mâner. Cum poate folosi diagonalele pentru a găsi acest centru? Explică metoda în 2–3 propoziții.

19. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, se dau pe aceeași diagonală $AO=4x-2$ și $OC=2x+6$. Află $x$ și lungimea diagonalei $AC$.

20. Criteriu. Într-un patrulater $MNPQ$, diagonalele $MP$ și $NQ$ se intersectează în $O$ și se știe că $MO=OP$ și $NO=OQ$. Ce fel de patrulater este $MNPQ$ și pe ce proprietate te bazezi?

21. În paralelogramul $ABCD$ cu centrul $O$, suma și diferența diagonalelor sunt $AC+BD=48$ cm și $AC-BD=8$ cm. Află $AC$, $BD$, apoi $AO$ și $BO$.

Răspunsuri și explicații

1. $AC=2\cdot AO=2\cdot 7=14$ cm. ($O$ e mijlocul lui $AC$.)

2. $BO=OD=\frac{BD}{2}=\frac{22}{2}=11$ cm fiecare.

3. $MO=OP=\frac{30}{2}=15$ cm; $NO=OQ=\frac{18}{2}=9$ cm.

4. Fals. Diagonalele unui paralelogram oarecare au, în general, lungimi diferite (vezi Exemplul 1: $13$ cm și $8$ cm). Ele devin egale doar la dreptunghi și pătrat. Proprietatea generală spune că se înjumătățesc, nu că sunt egale.

5. Adevărat. Aceasta este chiar proprietatea diagonalelor: $O$ este mijlocul lui $AC$ și, simultan, mijlocul lui $BD$ (deci $AO=OC$ și $BO=OD$).

6. $AO=OC\Rightarrow x+2=9\Rightarrow x=7$. Atunci $AO=9$ cm și $AC=9+9=18$ cm.

7. $BO=OD\Rightarrow 2y-1=y+4\Rightarrow y=5$. Atunci $BO=2\cdot 5-1=9$ cm și $BD=2\cdot 9=18$ cm (verificare: $OD=5+4=9$ cm ✓).

8. $AO=\frac{24}{2}=12$ cm, $BO=\frac{10}{2}=5$ cm. $P_{△AOB}=12+5+8=25$ cm.

9. Triunghiul $BOC$ are laturile $BO=5$ cm, $OC=AO=6$ cm (căci $O$ e mijlocul lui $AC$) și $BC=7$ cm. $P_{△BOC}=5+6+7=18$ cm.

10. Pentru că $O$ este mijlocul fiecărei diagonale, cele două părți sunt egale (raport $1:1$), nu $1:2$. Dacă intersecția ar împărți o diagonală în raportul $1:2$, atunci $AO\ne OC$, ceea ce contrazice proprietatea demonstrată. Deci un asemenea paralelogram nu există.

11. Simetricul lui $A$ față de $O$ este vârful $C$, pentru că $O$ este mijlocul segmentului $AC$ (deci $AO=OC$), exact condiția ca $C$ să fie simetricul lui $A$ față de $O$. Distanța: $AO=\frac{AC}{2}=\frac{26}{2}=13$ cm.

12. $3a=a+10\Rightarrow 2a=10\Rightarrow a=5$. Verificare: $AO=3\cdot 5=15$ cm și $OC=5+10=15$ cm — egale ✓.

13. Desen corect: paralelogram $ABCD$, diagonalele $AC$ și $BD$, punctul $O$ la intersecție. Perechile de segmente egale marcate: $AO=OC$ (cu un semn) și $BO=OD$ (cu alt semn). Atenție: nu marca $AO=BO$ — jumătățile diferitelor diagonale nu sunt, în general, egale.

14. $AD=P_{△AOD}-AO-OD=21-5-6=10$ cm.

15. Fie $BD=d$. Atunci $AC=3d$ și $AC+BD=3d+d=4d=40\Rightarrow d=10$. Deci $BD=10$ cm și $AC=3\cdot 10=30$ cm. Jumătățile: $AO=\frac{30}{2}=15$ cm și $BO=\frac{10}{2}=5$ cm.

16. În triunghiurile $AOD$ și $COB$: $AO=OC$ și $OD=OB$ (diagonalele se înjumătățesc), iar $\widehat{AOD}\equiv \widehat{COB}$ (unghiuri opuse la vârf). Prin cazul LUL (latură–unghi–latură), $△AOD\equiv △COB$. (Alternativ, se poate folosi $AD=CB$ și unghiurile alterne interne, prin ULU.)

17. $2x+3=15\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. Atunci $AO=OC=15$ cm, deci $AC=15+15=30$ cm. Iar $BD=4x=4\cdot 6=24$ cm.

18. Tâmplarul trasează cele două diagonale ale plăcii (unind vârfurile opuse cu o riglă). Punctul lor de intersecție este exact centrul paralelogramului, pentru că acolo diagonalele se înjumătățesc — este centrul de simetrie al plăcii. Acolo montează mânerul.

19. $AO=OC\Rightarrow 4x-2=2x+6\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$. Atunci $AO=4\cdot 4-2=14$ cm (verificare: $OC=2\cdot 4+6=14$ cm ✓) și $AC=14+14=28$ cm.

20. $MNPQ$ este paralelogram. Ne bazăm pe reciproca proprietății diagonalelor: dacă diagonalele unui patrulater se înjumătățesc reciproc ($MO=OP$ și $NO=OQ$, adică au același mijloc $O$), atunci patrulaterul este paralelogram. Acest criteriu se demonstrează cu triunghiurile $MON$ și $POQ$, congruente prin cazul LUL (unghiuri opuse la vârf).

21. Din $AC+BD=48$ și $AC-BD=8$, adunând cele două relații: $2\cdot AC=56\Rightarrow AC=28$ cm, apoi $BD=48-28=20$ cm. Jumătățile: $AO=\frac{28}{2}=14$ cm și $BO=\frac{20}{2}=10$ cm.

De reținut

• Proprietatea diagonalelor: într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc — punctul de intersecție $O$ este mijlocul fiecărei diagonale: $AO=OC$ și $BO=OD$.
• Demonstrația folosește triunghiuri congruente ($△AOB\equiv △COD$ prin cazul ULU), pornind de la laturile opuse egale și de la unghiurile alterne interne date de paralelism.
• Centrul de simetrie: punctul $O$ este centrul de simetrie al paralelogramului; prin simetrie centrală față de $O$, $A\leftrightarrow C$ și $B\leftrightarrow D$, iar figura se suprapune peste ea însăși la o rotație de $180°$.
• Diagonala întreagă $=2\times$ jumătate; jumătatea $=\frac{\text{diagonala}}{2}$. Când jumătățile sunt exprimate cu litere, egalitatea $AO=OC$ devine o ecuație liniară.
• Diagonalele NU sunt neapărat egale între ele; ele sunt egale doar la dreptunghi și pătrat.
• Reciproca (criteriu): dacă într-un patrulater diagonalele se înjumătățesc reciproc (au același mijloc), atunci patrulaterul este paralelogram. Este cel mai rapid mod de a dovedi că o figură este paralelogram.

Greșeli frecvente

• „Diagonalele sunt egale." Nu! Se înjumătățesc, dar au în general lungimi diferite. Egalitatea diagonalelor e o proprietate suplimentară, specifică dreptunghiului și pătratului, nu paralelogramului oarecare.
• Confuzia jumătăților între diagonale. Elevii scriu uneori $AO=BO$. Greșit: $O$ înjumătățește fiecare diagonală separat, deci $AO=OC$ (pe diagonala $AC$) și $BO=OD$ (pe diagonala $BD$), dar $AO$ și $BO$ aparțin unor diagonale diferite și nu au motiv să fie egale.
• Uitarea dublării/înjumătățirii. Când ai o jumătate și ți se cere diagonala, dublează; când ai diagonala și ți se cere jumătatea, împarte la 2. Verifică mereu ce anume ți se cere (segmentul $AO$ sau diagonala $AC$).
• A crede că paralelogramul are axe de simetrie. Paralelogramul oarecare are doar centru de simetrie (punctul $O$), nu axe de simetrie. Axele apar abia la paralelogramele particulare.

Aplică acasă

1. Centrul unei plăci. Ia o coală de hârtie sau o bucată de carton și taie un paralelogram oarecare (nu dreptunghi). Trasează diagonalele cu rigla și marchează $O$. Verifică prin măsurare că $AO=OC$ și $BO=OD$. Apoi încearcă să echilibrezi cartonul pe vârful unui creion fix în punctul $O$ — vei observa că stă aproape în echilibru, pentru că $O$ este centrul figurii.

2. Test de simetrie. Desenează un paralelogram pe hârtie de calc (sau foaie subțire), marchează $O$, apoi rotește foaia cu $180°$ în jurul lui $O$ (ține un ac în $O$). Observă cum figura rotită se suprapune peste cea inițială: $A$ ajunge unde era $C$, iar $B$ unde era $D$. Ai demonstrat practic că $O$ este centru de simetrie.

3. Design cu diagonale. Găsește în casă un obiect cu față de paralelogram (un afiș înclinat, o etichetă, o piesă de puzzle) și determină-i centrul trasând mental sau cu creionul diagonalele. Folosește centrul găsit ca punct de referință pentru a plasa un autocolant fix „la mijloc".

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la „măsor și cred" la „demonstrez și știu". Sprijiniți elevul cerându-i mai întâi să redescopere proprietatea prin măsurare pe un desen propriu, apoi să reconstruiască demonstrația cu propriile cuvinte — nu memorat, ci înțeles: de unde vin unghiurile alterne interne, de ce laturile opuse sunt egale, ce caz de congruență se folosește (ULU).

Întrebări bune de verificare:

• „De ce sunt $\widehat{OAB}$ și $\widehat{OCD}$ egale?" (Răspuns așteptat: unghiuri alterne interne, secanta $AC$ taie paralelele $AB$ și $CD$.)
• „Diagonalele se înjumătățesc — înseamnă asta că sunt egale?" (Răspuns: nu; sunt tăiate la jumătate fiecare, dar pot avea lungimi diferite.)
• „Care e simetricul vârfului $B$ față de $O$?" (Răspuns: $D$, pentru că $O$ e mijlocul lui $BD$.)

Semne că elevul a înțeles: distinge clar între jumătate de diagonală și diagonală întreagă; nu confundă $AO=OC$ cu $AO=BO$; poate justifica, nu doar aplica formula. Dacă apar ezitări, reveniți la desenul cu segmentele marcate (exercițiul 13) — vizualizarea perechilor egale fixează ideea.

Întrebări frecvente

Se înjumătățesc diagonalele la orice paralelogram? Da. Proprietatea că diagonalele se înjumătățesc este valabilă pentru orice paralelogram, indiferent de forma lui, pentru că demonstrația se bazează doar pe paralelismul laturilor opuse și pe egalitatea lor, nu pe unghiuri drepte.

Diagonalele paralelogramului sunt egale? Nu, în general nu. Ele se înjumătățesc reciproc, dar au de obicei lungimi diferite. Diagonalele devin egale între ele doar la dreptunghi și la pătrat, care sunt paralelograme particulare.

Ce înseamnă că punctul $O$ este centrul de simetrie? Înseamnă că, dacă rotești paralelogramul cu $180°$ în jurul lui $O$, el se suprapune perfect peste el însuși. Fiecare vârf ajunge în vârful opus ($A$ în $C$, $B$ în $D$), pentru că $O$ este mijlocul ambelor diagonale.

Cum aflu lungimea unei diagonale dacă știu doar o jumătate? Dublezi jumătatea. Dacă $O$ este mijlocul lui $AC$ și cunoști $AO$, atunci diagonala întreagă este $AC=2\cdot AO$, deoarece $AO=OC$.

Care este diferența dintre „laturile opuse egale" și „diagonalele se înjumătățesc"? Sunt proprietăți diferite ale aceluiași paralelogram. Prima se referă la laturi (segmentele de pe contur, opuse, sunt egale). A doua se referă la diagonale (segmentele care unesc vârfuri opuse, tăiate la jumătate de punctul lor de intersecție).

De ce folosim unghiurile alterne interne în demonstrație? Pentru că laturile opuse ale paralelogramului sunt paralele, iar o diagonală joacă rolul de secantă care taie două paralele. Perechile de unghiuri alterne interne astfel formate sunt egale, iar egalitatea lor este exact ce ne trebuie ca să aplicăm cazul de congruență ULU.

Are paralelogramul axe de simetrie? Paralelogramul oarecare are doar centru de simetrie (intersecția diagonalelor), nu axe de simetrie. Axele de simetrie apar la paralelogramele particulare: dreptunghiul, rombul și pătratul.

Unde folosesc în practică proprietatea diagonalelor? Ori de câte ori vrei să găsești rapid centrul unei suprafețe în formă de paralelogram (o placă, o etichetă, un panou înclinat): trasezi cele două diagonale și centrul este exact la intersecția lor, unde ele se înjumătățesc.

Cum demonstrez că un patrulater este paralelogram folosind diagonalele? Arăți că diagonalele lui se înjumătățesc reciproc, adică au același mijloc: dacă $\{O\}=AC\cap BD$ și $AO=OC$ împreună cu $BO=OD$, atunci patrulaterul este paralelogram. Acesta este criteriul dat de reciproca proprietății și îți scutește verificarea paralelismului laturilor.