Centrul de greutate al triunghiului. Concurența medianelor

Ai încercat vreodată să ții un carton triunghiular în echilibru pe vârful unui creion? Există un singur punct în care cartonul stă perfect orizontal, fără să se răstoarne. Acel punct magic se numește centrul de greutate al triunghiului, iar poziția lui nu este întâmplătoare: el se află mereu la intersecția celor trei mediane. În această lecție despre centrul de greutate al triunghiului vei descoperi de ce cele trei mediane se întâlnesc mereu într-un singur punct și cum putem calcula lungimi folosind faimosul raport 2:1. Este o proprietate elegantă, folosită de ingineri, arhitecți și designeri când vor să echilibreze o structură.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești mediana unui triunghi și să o construiești corect, de la vârf la mijlocul laturii opuse.
• Vei ști să enunți proprietatea de concurență a medianelor și să identifici centrul de greutate (punctul $G$).
• Vei ști să folosești raportul 2:1 pentru a calcula lungimi pe mediane, cunoscând poziția lui $G$.
• Vei ști să justifici raportul $2:1$ cu ajutorul liniei mijlocii studiate în lecția anterioară.
• Vei ști să rezolvi probleme variate care folosesc concurența medianelor și centrul de greutate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o mediană

Să pornim de la un triunghi oarecare $ABC$. Fiecare triunghi are trei vârfuri: $A$, $B$ și $C$, și trei laturi: $[BC]$, $[CA]$ și $[AB]$.

Definiție. Se numește mediană a unui triunghi segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vârf.

Hai să o construim pas cu pas. Alegem vârful $A$. Latura opusă lui $A$ este $[BC]$ (latura care nu conține litera $A$). Găsim mijlocul acestei laturi și îl notăm cu $M$. Atunci segmentul $[AM]$ este mediana din $A$.

Observă un detaliu foarte important: pentru că $M$ este mijlocul lui $[BC]$, avem $$BM=MC.$$ Mediana împarte latura opusă în două părți egale. Atenție însă: mediana nu este neapărat perpendiculară pe latură (aceea ar fi mediatoarea sau înălțimea), și nici nu împarte unghiul în două (aceea ar fi bisectoarea). Mediana are o singură misiune: să ajungă la mijlocul laturii opuse.

Fiindcă triunghiul are trei vârfuri, are și trei mediane:

• mediana din $A$: segmentul $[AM]$, unde $M$ este mijlocul lui $[BC]$;
• mediana din $B$: segmentul $[BN]$, unde $N$ este mijlocul lui $[AC]$;
• mediana din $C$: segmentul $[CP]$, unde $P$ este mijlocul lui $[AB]$.

2. O descoperire surprinzătoare: medianele se întâlnesc

Ia o foaie și desenează un triunghi oarecare — nu contează dacă e ascuțitunghic, obtuzunghic sau dreptunghic. Trasează cu grijă cele trei mediane. Ce observi? Toate trei trec prin același punct!

Acest lucru nu este o coincidență și nu depinde de forma triunghiului. Este o proprietate valabilă pentru orice triunghi. Spunem că cele trei mediane sunt concurente, adică se intersectează într-un singur punct comun.

Teoremă (concurența medianelor). În orice triunghi, cele trei mediane sunt concurente. Punctul lor comun se numește centrul de greutate al triunghiului și se notează, de obicei, cu litera $G$.

Cuvântul „concurent" vine de la ideea de „a curge împreună către același loc". Mai știi și alte linii concurente în triunghi? Da: mediatoarele se întâlnesc în centrul cercului circumscris, bisectoarele în centrul cercului înscris, iar înălțimile în ortocentru. Medianele fac și ele parte din această familie de linii importante, iar punctul lor de întâlnire este centrul de greutate.

De ce se numește „centru de greutate"? Pentru că, dacă am decupa triunghiul dintr-un carton de grosime uniformă, exact în punctul $G$ s-ar echilibra perfect pe vârful unui creion. Fizic, este locul unde se concentrează „greutatea" plăcii triunghiulare. De aceea $G$ se mai numește și baricentru (de la grecescul barys = greu).

Un lucru important: pentru orice triunghi, centrul de greutate $G$ se află întotdeauna în interiorul triunghiului. Spre deosebire de ortocentru (intersecția înălțimilor), care poate ieși în afara triunghiului la triunghiurile obtuzunghice, $G$ rămâne mereu înăuntru.

3. Cea mai importantă proprietate: raportul 2:1

Concurența medianelor este frumoasă, dar adevărata comoară a acestei lecții este poziția exactă a punctului $G$ pe fiecare mediană. Punctul $G$ nu stă la mijlocul medianei, ci mai aproape de latură decât de vârf, într-un raport precis.

Proprietate (raportul 2:1). Centrul de greutate $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, măsurat dinspre vârf spre mijlocul laturii. Adică distanța de la vârf la $G$ este de două ori mai mare decât distanța de la $G$ la mijlocul laturii.

Pentru mediana $[AM]$ (din vârful $A$ la mijlocul $M$ al laturii $BC$) putem scrie: $$AG=2\cdot GM\text{sau, echivalent,}\frac{AG}{GM}=\frac{2}{1}.$$

Ce înseamnă asta concret? Imaginează-ți mediana împărțită în 3 părți egale. Atunci:

• de la vârf ($A$) până la $G$ sunt 2 părți;
• de la $G$ până la mijlocul laturii ($M$) este 1 parte.

Prin urmare, măsurând de la vârf, punctul $G$ se află la două treimi din lungimea medianei: $$AG=\frac{2}{3}\cdot AM\text{și}GM=\frac{1}{3}\cdot AM.$$

Aceste formule se aplică identic pentru toate cele trei mediane: $$BG=\frac{2}{3}\cdot BN,GN=\frac{1}{3}\cdot BN,$$ $$CG=\frac{2}{3}\cdot CP,GP=\frac{1}{3}\cdot CP.$$

Reține analogia: dacă mediana ar fi un traseu de la vârf spre latura opusă, centrul de greutate este „stația a doua din trei". Ai făcut $\frac{2}{3}$ din drum și îți mai rămâne $\frac{1}{3}$.

4. De ce este raportul 2:1? O justificare cu linia mijlocie

Poate te întrebi: de unde știm că raportul este exact $2:1$ și nu altul? Îl putem justifica frumos folosind linia mijlocie în triunghi, pe care ai studiat-o în lecția Linia mijlocie în triunghi. Îți amintești ce spune: segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are lungimea jumătate din ea.

Să luăm triunghiul $ABC$ și două mediane, $[BN]$ și $[CP]$, care se intersectează într-un punct $G$. ($N$ este mijlocul lui $[AC]$, iar $P$ este mijlocul lui $[AB]$.)

Pasul 1. Segmentul $[PN]$ unește mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$, deci $[PN]$ este linie mijlocie. Rezultă că $$PN\parallel BC\text{și}PN=\frac{1}{2}BC.$$

Pasul 2. Notăm cu $E$ mijlocul lui $[BG]$ și cu $F$ mijlocul lui $[CG]$. În triunghiul $GBC$, segmentul $[EF]$ unește mijloacele laturilor $[GB]$ și $[GC]$, deci $[EF]$ este și el linie mijlocie: $$EF\parallel BC\text{și}EF=\frac{1}{2}BC.$$

Pasul 3. Din cei doi pași obținem că $PN\parallel EF$ (ambele sunt paralele cu $BC$) și $PN=EF$ (ambele egale cu $\frac{1}{2}BC$). Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram — exact proprietatea pe care ai învățat-o în Condiții ca un patrulater să fie paralelogram. Deci $PEFN$ este paralelogram.

Pasul 4. Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc reciproc (vezi Paralelogramul: proprietatea diagonalelor). Diagonalele lui $PEFN$ sunt $[PF]$ și $[NE]$. Cum $P$ și $F$ se află pe mediana $[CP]$, iar $N$ și $E$ pe mediana $[BN]$, cele două diagonale se intersectează exact în punctul $G$. Din proprietatea diagonalelor rezultă $$PG=GF\text{și}NG=GE.$$ Cum $E$ este mijlocul lui $[BG]$, avem $BE=EG=GN$. Așadar mediana $[BN]$ este împărțită în trei segmente egale: $BE$, $EG$ și $GN$. Punctul $G$ lasă în urma lui, dinspre $B$, două segmente ($BE$ și $EG$), iar spre $N$ un singur segment ($GN$). Deci $$BG=BE+EG=2\cdot GN,$$ adică exact raportul 2:1.

Nu-ți face griji dacă justificarea completă ți se pare deasă la prima citire; ideea de reținut este că raportul $2:1$ nu este ales la întâmplare, ci decurge riguros din proprietatea liniei mijlocii și a paralelogramului. Cele mai multe probleme îți cer doar să folosești raportul, nu să-l demonstrezi.

5. Cum folosim raportul în calcule

Hai să transformăm proprietatea în „instrumente de lucru". Presupunem că lucrăm cu mediana $[AM]$ și centrul de greutate $G$.

Instrumentul 1 — știu mediana întreagă, vreau bucățile. $$AG=\frac{2}{3}AM,GM=\frac{1}{3}AM.$$

Instrumentul 2 — știu bucata de la vârf ($AG$), vreau restul. Dacă $AG$ reprezintă 2 părți, atunci o parte este $\frac{AG}{2}$, deci $$GM=\frac{AG}{2},AM=AG+GM=AG+\frac{AG}{2}=\frac{3}{2}AG.$$

Instrumentul 3 — știu bucata de lângă latură ($GM$), vreau restul. $$AG=2\cdot GM,AM=3\cdot GM.$$

Ține minte cele trei relații echivalente, pe care le vei folosi cel mai des: $$AG=2\cdot GM,AG=\frac{2}{3}AM,GM=\frac{1}{3}AM.$$

Acum ești pregătit să vezi cum funcționează totul pe exemple concrete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — de la mediană la bucăți

În triunghiul $ABC$, mediana din $A$ este $[AM]$ și are lungimea $AM=18$ cm. Punctul $G$ este centrul de greutate. Cât sunt $AG$ și $GM$?

Rezolvare. Folosim raportul $2:1$ măsurat de la vârf. Centrul de greutate se află la $\frac{2}{3}$ de vârf: $$AG=\frac{2}{3}\cdot AM=\frac{2}{3}\cdot 18=12\text{ cm}.$$ Restul până la latură: $$GM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 18=6\text{ cm}.$$ Verificare: $AG+GM=12+6=18=AM$ ✓ și $AG=12=2\cdot 6=2\cdot GM$ ✓.

Răspuns: $AG=12$ cm, $GM=6$ cm.

Exemplul 2 — de la bucata de lângă vârf la mediană

În triunghiul $DEF$, $G$ este centrul de greutate și se știe că $DG=10$ cm, unde $[DP]$ este mediana din $D$ (deci $P$ este mijlocul lui $[EF]$). Află $GP$ și lungimea totală a medianei $DP$.

Rezolvare. Distanța de la vârf la $G$ reprezintă 2 părți, deci o parte este jumătate: $$GP=\frac{DG}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.$$ Mediana întreagă are 3 părți: $$DP=DG+GP=10+5=15\text{ cm}.$$ Verificare: $DG=10=2\cdot 5=2\cdot GP$ ✓.

Răspuns: $GP=5$ cm, $DP=15$ cm.

Exemplul 3 — de la bucata de lângă latură la mediană

În triunghiul $MNP$, $G$ este centrul de greutate. Mediana din $M$ este $[MQ]$, iar segmentul de lângă latură măsoară $GQ=4,5$ cm. Cât este $MG$ și cât este mediana $MQ$?

Rezolvare. Segmentul $GQ$ reprezintă 1 parte, iar $MG$ reprezintă 2 părți: $$MG=2\cdot GQ=2\cdot 4,5=9\text{ cm}.$$ Mediana are 3 părți: $$MQ=3\cdot GQ=3\cdot 4,5=13,5\text{ cm}.$$ Verificare: $MG+GQ=9+4,5=13,5=MQ$ ✓.

Răspuns: $MG=9$ cm, $MQ=13,5$ cm.

Exemplul 4 — două mediane deodată

În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate. Se știe că mediana din $B$ are $BN=21$ cm și că segmentul $CG=8$ cm (unde $[CP]$ este mediana din $C$). Calculează $BG$, $GN$, $GP$ și lungimea medianei $CP$.

Rezolvare. Pentru mediana $[BN]$ aplicăm formulele: $$BG=\frac{2}{3}\cdot BN=\frac{2}{3}\cdot 21=14\text{ cm},GN=\frac{1}{3}\cdot 21=7\text{ cm}.$$ Pentru mediana $[CP]$ știm bucata dinspre vârf, $CG=8$ cm (2 părți): $$GP=\frac{CG}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm},CP=CG+GP=8+4=12\text{ cm}.$$ Verificare: $BG=14=2\cdot 7=2\cdot GN$ ✓; $CG=8=2\cdot 4=2\cdot GP$ ✓.

Răspuns: $BG=14$ cm, $GN=7$ cm, $GP=4$ cm, $CP=12$ cm.

Exemplul 5 — necunoscuta ascunsă într-o ecuație

În triunghiul $ABC$ cu centrul de greutate $G$, mediana din $A$ este $[AM]$. Se știe că $AG=3x+1$ și $GM=x+2$ (lungimile fiind în cm). Află $x$ și apoi lungimea medianei $AM$.

Rezolvare. Din raportul $2:1$ avem relația $AG=2\cdot GM$. Înlocuim: $$3x+1=2(x+2).$$ Desfacem paranteza și rezolvăm ecuația liniară (revezi Ecuația de forma ax + b = 0): $$3x+1=2x+4\Rightarrow 3x-2x=4-1\Rightarrow x=3.$$ Acum calculăm lungimile: $$AG=3\cdot 3+1=10\text{ cm},GM=3+2=5\text{ cm}.$$ Deci $AM=AG+GM=10+5=15$ cm. Verificare: $AG=10=2\cdot 5=2\cdot GM$ ✓.

Răspuns: $x=3$, $AM=15$ cm.

Exemplul 6 — problemă aplicată, cu justificare

Un designer taie o piesă triunghiulară $ABC$ dintr-o placă și vrea să o suspende de un fir prins exact în centrul de greutate $G$, ca să atârne echilibrat. El măsoară mediana din $A$ și găsește $AM=24$ cm. La ce distanță de vârful $A$ trebuie să prindă firul? Dar la ce distanță de mijlocul laturii $BC$?

Rezolvare. Firul se prinde în $G$. Distanța de la vârf: $$AG=\frac{2}{3}\cdot AM=\frac{2}{3}\cdot 24=16\text{ cm}.$$ Distanța de la mijlocul laturii $BC$ (adică de la $M$): $$GM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 24=8\text{ cm}.$$ Interpretare: designerul măsoară $16$ cm de la vârful $A$ de-a lungul medianei și acolo prinde firul. Placa va atârna perfect echilibrată, pentru că $G$ este centrul de greutate.

Răspuns: la $16$ cm de vârful $A$ și la $8$ cm de mijlocul laturii $BC$.

Exemplul 7 — două bucăți de pe aceeași mediană, în ecuație

În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate, iar $[AM]$ este mediana din $A$. Se știe că $AG=5x-3$ și $AM=6x+3$ (în cm). Află $x$, apoi $AG$, $GM$ și $AM$.

Rezolvare. Aici avem, pe aceeași mediană, o bucată ($AG$) și mediana întreagă ($AM$). Relația potrivită este cea dintre ele: $$AG=\frac{2}{3}\cdot AM.$$ Ca să scăpăm de numitor, înmulțim ambii membri cu $3$: $$3\cdot AG=2\cdot AM.$$ Înlocuim expresiile date și rezolvăm ecuația liniară: $$3(5x-3)=2(6x+3)\Rightarrow 15x-9=12x+6\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5.$$ Acum calculăm lungimile: $$AG=5\cdot 5-3=22\text{ cm},AM=6\cdot 5+3=33\text{ cm},GM=AM-AG=33-22=11\text{ cm}.$$ Verificare: $AG=22=2\cdot 11=2\cdot GM$ ✓ și $AG=22=\frac{2}{3}\cdot 33$ ✓.

Răspuns: $x=5$, $AG=22$ cm, $GM=11$ cm, $AM=33$ cm.

Sfat de metodă. Când într-o problemă apar două mărimi de pe aceeași mediană, întreabă-te întâi ce reprezintă fiecare: o bucată dinspre vârf ($AG$), o bucată dinspre latură ($GM$) sau mediana întreagă ($AM$)? În funcție de răspuns, alegi una dintre cele trei relații-cheie ($AG=2\cdot GM$, $AG=\frac{2}{3}AM$, $GM=\frac{1}{3}AM$) și obții o singură ecuație cu o singură necunoscută.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. La geometrie, fă întâi un desen clar.

1. Definește cu propriile cuvinte mediana unui triunghi. Câte mediane are un triunghi?

2. Desenează un triunghi ascuțitunghic $ABC$ și construiește cele trei mediane. Notează cu $G$ punctul lor comun.

3. În triunghiul $ABC$, mediana $[AM]$ are $AM=30$ cm, iar $G$ este centrul de greutate. Calculează $AG$ și $GM$.

4. În triunghiul $DEF$, mediana $[DP]$ are $DP=27$ cm. Cât este $DG$? Dar $GP$?

5. $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Se știe că $BG=16$ cm, unde $[BN]$ este mediana din $B$. Află $GN$ și $BN$.

6. În triunghiul $MNP$, mediana din $M$ este $[MQ]$ și $GQ=3$ cm. Calculează $MG$ și $MQ$.

7. Adevărat sau fals (motivează): „Centrul de greutate se află întotdeauna la mijlocul fiecărei mediane."

8. Adevărat sau fals (motivează): „Centrul de greutate al oricărui triunghi se află în interiorul triunghiului."

9. $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, cu mediana $[CP]$. Dacă $CG=2\cdot GP$ și $CP=21$ cm, află $CG$ și $GP$.

10. În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate. Se dau $AG=4x$ și $GM=x+3$ pe mediana $[AM]$. Află $x$, apoi $AG$, $GM$ și $AM$.

11. Mediana $[BN]$ a unui triunghi are $GN=5,5$ cm, unde $G$ este centrul de greutate. Cât este $BG$? Dar mediana întreagă $BN$?

12. Într-un triunghi, distanța de la un vârf la centrul de greutate este cu $6$ cm mai mare decât distanța de la centrul de greutate la mijlocul laturii opuse (pe aceeași mediană). Află cele două distanțe și lungimea medianei.

13. $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Mediana din $A$ este $[AM]$, iar $AG=12$ cm. Un punct $S$ este mijlocul segmentului $[AG]$. Cât este $AS$? Cât este $SM$?

14. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă mediana din $A$ măsoară $15$ cm, atunci $GM=10$ cm."

15. În triunghiul $ABC$, medianele $[BN]$ și $[CP]$ au lungimile $BN=24$ cm și $CP=18$ cm. Află $BG$, $GN$, $CG$ și $GP$.

16. Pe mediana $[AM]$ a unui triunghi cu centrul de greutate $G$ se dau $AG=5x-2$ și $GM=2x+1$. Află $x$ și lungimea medianei $AM$.

17. Justifică (folosind linia mijlocie) de ce segmentul care unește mijloacele laturilor $[AB]$ și $[AC]$ ale triunghiului $ABC$ este paralel cu $[BC]$ și egal cu jumătate din $BC$.

18. Problemă. O grădină are forma unui triunghi $ABC$. Grădinarul vrea să planteze un copac exact în centrul de greutate. El întinde o sfoară de la vârful $A$ până la mijlocul laturii opuse și măsoară $36$ m. La câți metri de vârful $A$, de-a lungul sforii, trebuie să sape groapa pentru copac?

19. Pe mediana $[AM]$ a triunghiului $ABC$ cu centrul de greutate $G$ se dau $AG=4x+2$ și $AM=5x+8$ (în cm). Află $x$, apoi $AG$, $GM$ și $AM$.

20. $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Pe mediana $[CP]$ se știe că $CG$ este cu $9$ cm mai mare decât $GP$. Cât sunt $CG$, $GP$ și mediana $CP$?

Răspunsuri și explicații

1. Mediana este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Un triunghi are 3 mediane (câte una din fiecare vârf).

2. Desen de verificat: cele trei mediane trebuie să treacă prin același punct $G$, situat în interiorul triunghiului. Dacă nu se întâlnesc într-un punct, mijloacele laturilor au fost marcate greșit.

3. $AG=\frac{2}{3}\cdot 30=20$ cm; $GM=\frac{1}{3}\cdot 30=10$ cm. (Verificare: $20+10=30$ și $20=2\cdot 10$.)

4. $DG=\frac{2}{3}\cdot 27=18$ cm; $GP=\frac{1}{3}\cdot 27=9$ cm. (Verificare: $18=2\cdot 9$.)

5. $BG$ reprezintă 2 părți, deci $GN=\frac{BG}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm; $BN=BG+GN=16+8=24$ cm.

6. $GQ$ este 1 parte, deci $MG=2\cdot GQ=6$ cm; $MQ=3\cdot GQ=9$ cm.

7. Fals. $G$ nu este la mijloc; el împarte mediana în raport $2:1$ de la vârf. De la vârf sunt $\frac{2}{3}$ din mediană, iar spre latură doar $\frac{1}{3}$, deci cele două bucăți nu sunt egale.

8. Adevărat. Pentru orice triunghi (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic), centrul de greutate se află mereu în interior, spre deosebire de ortocentru, care poate ieși în afară.

9. Relația $CG=2\cdot GP$ confirmă raportul $2:1$. Deci $CP=CG+GP=2GP+GP=3GP=21\Rightarrow GP=7$ cm și $CG=14$ cm.

10. Din $AG=2\cdot GM$: $4x=2(x+3)\Rightarrow 4x=2x+6\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$. Atunci $AG=12$ cm, $GM=6$ cm, $AM=18$ cm. (Verificare: $12=2\cdot 6$.)

11. $GN$ este 1 parte, deci $BG=2\cdot 5,5=11$ cm; $BN=3\cdot 5,5=16,5$ cm.

12. Fie $GM=a$ (partea de lângă latură) și $AG=a+6$ (partea de lângă vârf). Din raport: $AG=2\cdot GM\Rightarrow a+6=2a\Rightarrow a=6$. Deci $GM=6$ cm, $AG=12$ cm, $AM=18$ cm.

13. $S$ este mijlocul lui $[AG]$, deci $AS=\frac{AG}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm. Pentru $SM$: mai întâi $GM=\frac{AG}{2}=6$ cm (fiindcă $AG=2\cdot GM$). Atunci $SM=SG+GM=6+6=12$ cm. (Aici $SG=AS=6$ cm.)

14. Fals. Dacă $AM=15$ cm, atunci $GM=\frac{1}{3}\cdot 15=5$ cm (nu $10$). Valoarea $10$ cm ar fi $AG=\frac{2}{3}\cdot 15$, adică distanța de la vârf, nu de la latură.

15. Pentru $[BN]$: $BG=\frac{2}{3}\cdot 24=16$ cm, $GN=\frac{1}{3}\cdot 24=8$ cm. Pentru $[CP]$: $CG=\frac{2}{3}\cdot 18=12$ cm, $GP=\frac{1}{3}\cdot 18=6$ cm.

16. Din $AG=2\cdot GM$: $5x-2=2(2x+1)\Rightarrow 5x-2=4x+2\Rightarrow x=4$. Atunci $AG=5\cdot 4-2=18$ cm, $GM=2\cdot 4+1=9$ cm și $AM=18+9=27$ cm. Verificare: $18=2\cdot 9$ ✓ și lungimile sunt pozitive.

17. Segmentul care unește mijloacele a două laturi este linia mijlocie; prin definiția și proprietatea liniei mijlocii, ea este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea. Deci segmentul $[PN]$ (cu $P$ mijlocul lui $[AB]$, $N$ mijlocul lui $[AC]$) satisface $PN\parallel BC$ și $PN=\frac{1}{2}BC$.

18. Groapa se sapă în $G$. Distanța de la $A$: $AG=\frac{2}{3}\cdot 36=24$ m. Deci grădinarul sapă la 24 m de vârful $A$.

19. Folosim $AG=\frac{2}{3}AM$, adică $3\cdot AG=2\cdot AM$: $3(4x+2)=2(5x+8)\Rightarrow 12x+6=10x+16\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$. Atunci $AG=4\cdot 5+2=22$ cm, $AM=5\cdot 5+8=33$ cm și $GM=AM-AG=11$ cm. (Verificare: $22=2\cdot 11$ ✓.)

20. Fie $GP=a$; atunci $CG=a+9$. Din raport $CG=2\cdot GP$: $a+9=2a\Rightarrow a=9$. Deci $GP=9$ cm, $CG=18$ cm, $CP=CG+GP=27$ cm.

De reținut

• Mediana = segmentul de la un vârf la mijlocul laturii opuse. Un triunghi are 3 mediane.
• Cele 3 mediane sunt concurente; punctul lor comun se numește centru de greutate și se notează $G$.
• $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ dinspre vârf: $AG=2\cdot GM$.
• Măsurat de la vârf, $G$ este la $\frac{2}{3}$ din mediană: $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$.
• Centrul de greutate se află mereu în interiorul triunghiului și este punctul de echilibru al plăcii triunghiulare.

Greșeli frecvente

• Confuzia „la mijloc" vs. „2:1". Mulți cred că $G$ este la mijlocul medianei. Nu! De la vârf sunt $\frac{2}{3}$, iar spre latură doar $\frac{1}{3}$. Ține minte: bucata dinspre vârf este de două ori cea dinspre latură.
• Încurcarea capătului. Nu confunda $AG$ (dinspre vârf, mare) cu $GM$ (dinspre latură, mic). Întreabă-te mereu: „de la ce plec, de la vârf sau de la latură?"
• Mediană ≠ înălțime ≠ bisectoare ≠ mediatoare. Mediana merge la mijlocul laturii, dar nu este neapărat perpendiculară pe ea și nu împarte unghiul în două. Doar în triunghiul isoscel/echilateral aceste linii pot coincide.
• Uitarea verificării semnului. După ce afli o necunoscută dintr-o ecuație, verifică dacă lungimile ies pozitive. O lungime negativă înseamnă date inconsistente sau o greșeală de calcul.

Aplică acasă

• Echilibrează un carton. Decupează din carton un triunghi oarecare. Construiește cu rigla cele trei mediane și marchează $G$. Așază triunghiul cu $G$ pe vârful unui creion sau al unui deget: ar trebui să stea în echilibru. Ai găsit experimental centrul de greutate!
• Măsoară raportul 2:1. Pe același triunghi, alege o mediană și măsoară cu rigla $AG$ și $GM$. Împarte $AG$ la $GM$ — rezultatul trebuie să fie aproximativ $2$. Repetă pentru celelalte mediane.
• Mini-proiect de design. Desenează pe hârtie o piesă triunghiulară pe care ai vrea „să o atârni echilibrat" (un ornament, o etichetă). Găsește $G$ prin construcția medianelor și marchează acolo punctul de prindere a firului. Explică unui părinte de ce ai ales exact acel punct.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce prima „linie importantă" concurentă din triunghi studiată la clasa a VII-a și pregătește raționamentele de la asemănare și relații metrice de mai târziu. Sprijiniți elevul astfel:

• Puneți accent pe raportul 2:1 văzut ca „3 părți egale". Cea mai frecventă confuzie este că centrul de greutate ar fi la mijlocul medianei. Cereți elevului să deseneze mediana împărțită în trei diviziuni și să pună $G$ la a doua diviziune de la vârf.
• Întrebări de verificare: „Ce este o mediană?", „Câte mediane are un triunghi și unde se întâlnesc?", „Dacă mediana are $30$ cm, cât e distanța de la vârf la $G$? Dar de la $G$ la latură?", „De ce $G$ este mereu în interiorul triunghiului?".
• Semn de înțelegere reală: elevul trece corect în ambele sensuri — din mediană întreagă în bucăți ($\times \frac{2}{3}$, $\times \frac{1}{3}$) și din bucăți în mediană întreagă — și verifică singur că $AG=2\cdot GM$.
• Legați lecția de experimentul cu cartonul; verificarea fizică fixează foarte bine ideea de „centru de greutate".

Întrebări frecvente

Ce este centrul de greutate al unui triunghi? Este punctul în care se intersectează cele trei mediane ale triunghiului, notat de obicei cu $G$. Fizic, este punctul de echilibru al unei plăci triunghiulare uniforme. Se mai numește și baricentru.

De ce se numește „de greutate"? Pentru că, dacă triunghiul ar fi o placă de material omogen, în acel punct s-ar concentra echilibrul: sprijinită în $G$, placa stă orizontal fără să se răstoarne. De aici și denumirea de centru de greutate sau baricentru.

Ce spune concurența medianelor la clasa a 7-a? Spune că, în orice triunghi, cele trei mediane trec prin același punct. Nu depinde de forma triunghiului: fie el ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic, medianele se întâlnesc mereu într-un singur punct, centrul de greutate.

Cum funcționează raportul 2:1 pe mediane? Centrul de greutate împarte fiecare mediană astfel încât bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latura opusă. Adică $AG=2\cdot GM$, sau echivalent $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$.

Centrul de greutate este mereu în interiorul triunghiului? Da. Spre deosebire de ortocentru (intersecția înălțimilor), care poate cădea în afara triunghiului la triunghiurile obtuzunghice, centrul de greutate $G$ se află întotdeauna în interiorul triunghiului.

Care este diferența dintre mediană și mediatoare? Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge la mijlocul laturii opuse. Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul unei laturi și nu trece neapărat printr-un vârf. Ele coincid doar în cazuri speciale (de exemplu, în triunghiul echilateral).

Cum calculez o mediană dacă știu doar distanța de la vârf la G? Distanța de la vârf la $G$ reprezintă 2 din cele 3 părți egale ale medianei. Împarți acea distanță la 2 ca să afli o parte (bucata dinspre latură), apoi aduni: mediana întreagă este de $\frac{3}{2}$ ori distanța de la vârf la $G$.

Unde este util centrul de greutate în viața reală? În inginerie și design, când vrei să echilibrezi sau să suspenzi o piesă triunghiulară, o prinzi în centrul de greutate ca să atârne stabil. Ideea de baricentru apare la structuri, macarale, mobile suspendate și în multe calcule de stabilitate.