Cum se calculează aria laterală a conului?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Aria și volumul conului

Aria laterală a unui con circular drept se obține înmulțind $π$ cu raza bazei și cu generatoarea, adică $A_{l} = π R G$ . Dacă obiectul are și fund, adaugi discul de jos și ajungi la aria totală $A_{t} = π R (G + R)$ . Pentru $R = 7$ cm și $G = 10$ cm iese $A_{l} = 70 π cm^{2}$ . Când enunțul dă înălțimea în loc de generatoare, o scoți întâi din relația $G = R^{2} + h^{2}$ .

Conul circular drept ascunde un triunghi dreptunghic: catetele sunt raza $R$ și înălțimea $h$ , iar ipotenuza este generatoarea $G$ , legate prin $G^{2} = R^{2} + h^{2}$ . Din desfășurarea suprafeței laterale într-un sector de cerc obții aria laterală $A_{l} = π R \cdot G$ . Adaugă discul bazei și ai aria totală $A_{t} = π R (G + R)$ — dar atenție, la cornete sau coifuri fără fund folosești doar $A_{l}$ ! Volumul este o treime din cilindrul cu aceeași bază și înălțime: $V = \frac{π R ^{2} \cdot h}{3}$ , unde intră înălțimea, nu generatoarea. Exemplu: dacă $R = 5$ cm și $G = 13$ cm, atunci $A_{l} = π \cdot 5 \cdot 13 = 65 π cm^{2}$ . Strategia e mereu aceeași: notează ce ai, completează mărimea lipsă cu Pitagora, apoi aplică formula potrivită.

De reținut

$A_{l} = π R G$ , unde $G$ este generatoarea
$A_{t} = π R (G + R)$
$V = \frac{π R ^{2} h}{3}$ , cu înălțimea $h$

Greșeala tipică

Se pune generatoarea în formula volumului, în locul înălțimii. Volumul cere înălțimea, iar când enunțul dă doar raza și generatoarea, înălțimea se scoate din $h = G^{2} - R^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un con circular drept are raza $R = 7 cm$ și generatoarea $G = 10 cm$ . Care este aria laterală a conului?
- a) $70 π cm^{2}$
- b) $17 π cm^{2}$
- c) $49 π cm^{2}$
- d) $35 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $70 π cm^{2}$

$A_{l} = π R \cdot G = π \cdot 7 \cdot 10 = 70 π cm^{2}$ . Se înmulțesc raza și generatoarea, nu se adună (b) și nu se ridică la pătrat doar raza (c).
Un coif de petrecere (con fără fund) are raza $R = 5 cm$ și generatoarea $G = 8 cm$ . Câți $cm^{2}$ de carton sunt necesari pentru confecționarea lui?
- a) $40 π cm^{2}$
- b) $65 π cm^{2}$
- c) $25 π cm^{2}$
- d) $80 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $40 π cm^{2}$

Coiful nu are fund, deci ai nevoie doar de aria laterală: $A_{l} = π R G = π \cdot 5 \cdot 8 = 40 π cm^{2}$ . Varianta (b) ar fi aria totală (cu bază), greșită aici pentru că lipsește fundul.
Un con circular drept are raza $R = 9 cm$ și generatoarea $G = 15 cm$ . Care este aria laterală a conului?
- a) $135 π cm^{2}$
- b) $45 π cm^{2}$
- c) $225 π cm^{2}$
- d) $24 π cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $135 π cm^{2}$

$A_{l} = π R \cdot G = π \cdot 9 \cdot 15 = 135 π cm^{2}$ . Varianta (b) apare dacă împarți greșit la $3$ (ca la volum), (c) ridică la pătrat generatoarea, iar (d) adună $R$ și $G$ în loc să le înmulțească.

Întrebări conexe

Cum aflu raza conului dacă știu aria laterală și generatoarea?

Împarți aria laterală la produsul dintre $π$ și generatoare, pentru că $A_{l} = π R G$ . De exemplu, din $A_{l} = 65 π cm^{2}$ și $G = 13$ cm obții $R = \frac{65 π}{13 π} = 5$ cm. Verifici imediat, refăcând înmulțirea.

Ce arie calculez pentru un cornet de înghețată fără capac?

Doar aria laterală, fiindcă un cornet nu are disc la partea de sus și nici fund. Pui $A_{l} = π R G$ și te oprești acolo. Adăugarea bazei ar însemna hârtie care nu există în obiect, deci un rezultat mai mare decât cel cerut.

Ce unghi are sectorul din desfășurarea conului?

Suprafața laterală desfășurată este un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea, iar unghiul lui iese din $n = \frac{36 0 ^{\circ} \cdot R}{G}$ . La $R = 3$ și $G = 9$ obții $12 0^{\circ}$ . Cu cât conul este mai ascuțit, cu atât sectorul este mai îngust.

Ce se întâmplă cu volumul conului dacă dublez raza bazei?

Volumul devine de patru ori mai mare, pentru că raza apare la pătrat în formulă. La $R = 3$ cm și $h = 5$ cm ai $15 π cm^{3}$ , iar la $R = 6$ cm și aceeași înălțime ajungi la $60 π cm^{3}$ . Înălțimea, în schimb, mărește volumul proporțional.

Cum aflu înălțimea conului când am aria laterală și raza?

Scoți mai întâi generatoarea din $G = \frac{A _{l}}{π R}$ , apoi cobori în triunghiul dreptunghic al conului și calculezi $h = G^{2} - R^{2}$ . Din $A_{l} = 40 π cm^{2}$ și $R = 5$ cm rezultă $G = 8$ cm, deci $h = 39$ cm.

De ce nu am voie să pun diametrul în formulele conului?

Formulele cer raza, iar diametrul este dublul ei. Dacă enunțul dă $d = 12$ cm, lucrezi cu $R = 6$ cm; altfel aria laterală iese de două ori mai mare, iar volumul de patru ori. Împărțirea la doi se face înainte de orice altă operație.

Oamenii mai întreabă și: aria laterală a conului circular drept · formula ariei laterale a conului · cum aflu aria totală a conului · aria bazei conului · aria conului cu raza și generatoarea