Criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 25 (extindere)

Până acum ai învățat să recunoști dintr-o privire numerele care se împart exact la 2, la 5, la 10, la 3 și la 9. Acum facem un pas mai departe, dincolo de criteriile obligatorii din programă: vei descoperi două trucuri puternice care îți spun, fără să faci împărțirea, dacă un număr este divizibil cu 4 sau cu 25. Și partea cea mai frumoasă este că amândouă se rezolvă uitându-te doar la ultimele două cifre ale numărului. O să vezi: e ca și cum ai avea o cheie secretă care deschide rapid o ușă la care alții stau și calculează minute întregi.

Ce vei învăța

• Vei ști să stabilești dacă un număr este divizibil cu 4 privind numărul format din ultimele lui două cifre.
• Vei ști să stabilești dacă un număr este divizibil cu 25 verificând dacă ultimele două cifre formează 00, 25, 50 sau 75.
• Vei înțelege de ce funcționează aceste criterii, nu doar cum se aplică.
• Vei ști să aplici rapid criteriile la numere mari, fără să faci împărțirea.
• Vei ști să deosebești aceste criterii de cele cu 2 și cu 5, ca să nu le confunzi.

Hai să descoperim împreună

O reamintire scurtă: ce înseamnă „divizibil cu"

Spunem că un număr natural $a$ este divizibil cu un număr $b$ (diferit de zero) dacă împărțirea lui $a$ la $b$ se face exact, adică restul este 0. De exemplu, $36$ este divizibil cu $4$ pentru că $36:4=9$ rest $0$. În schimb, $38$ nu este divizibil cu $4$, fiindcă $38:4=9$ rest $2$.

Dacă vrei să-ți reîmprospătezi noțiunile de divizor și multiplu, poți reciti lecția Divizor și multiplu al unui număr natural. Iar criteriile pe care le-ai învățat deja le găsești în Criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, 100, 1000 și în Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9.

Un criteriu de divizibilitate este o regulă care îți permite să recunoști rapid, doar privind cifrele numărului, dacă acel număr se împarte exact la altul — fără să faci împărțirea efectivă. Pentru un elev care vrea să calculeze repede, criteriile sunt aur curat.

Secretul stă în numărul 100

Înainte să trecem la reguli, vreau să-ți arăt o observație simplă, dar care explică totul. Privește cu atenție numărul $100$:

$$100=4\times 25$$

Această egalitate este inima întregii lecții. Ea ne spune două lucruri deodată:

• $100$ este divizibil cu $4$ (pentru că $100:4=25$);
• $100$ este divizibil cu $25$ (pentru că $100:25=4$).

De ce contează atât de mult? Pentru că orice sută este divizibilă și cu 4, și cu 25. Adică $200$, $300$, $1000$, $4500$, $73800$ — toate numerele care se termină în $00$ — se împart exact și la 4, și la 25. Hai să verificăm pe câteva:

• $200=2\times 100=2\times 4\times 25$ — divizibil cu 4 și cu 25;
• $700=7\times 100$ — divizibil cu 4 și cu 25;
• $3000=30\times 100$ — divizibil cu 4 și cu 25.

Reține ideea cheie: partea numărului care reprezintă sutele întregi nu ne încurcă niciodată, fiindcă ea este deja divizibilă și cu 4, și cu 25. Singura parte care „decide" este restul, adică ultimele două cifre.

Hai să facem o analogie. Imaginează-ți că împachetezi bomboane în pungi de câte 4. Dacă ai un teanc de cutii a câte 100 de bomboane fiecare, știi sigur că fiecare cutie se golește perfect în pungi de câte 4 (pentru că $100=4\times 25$, adică exact 25 de pungi pline pe cutie). Așadar nu trebuie să te chinui să numeri sutele — ele „pleacă" mereu fără rest. Singura ta grijă rămân bomboanele care nu au intrat într-o cutie întreagă, adică cele de la coadă: ultimele cel mult 99 de bomboane, exprimate tocmai prin ultimele două cifre. Exact aceeași poveste se întâmplă și cu pungile de câte 25.

Cum „rupem" un număr în două bucăți

Orice număr natural cu cel puțin trei cifre poate fi scris ca o sumă de două bucăți: bucata sutelor (totul în afară de ultimele două cifre) și bucata formată din ultimele două cifre. De exemplu:

$$7348=7300+48$$ $$25916=25900+16$$ $$1275=1200+75$$

Prima bucată (sutele întregi) se termină mereu în $00$, deci este divizibilă și cu 4, și cu 25 — pe ea o putem ignora liniștiți. A doua bucată, formată din ultimele două cifre, este cea care hotărăște soarta întregului număr. Exact pe ea ne vom uita.

Acum putem enunța cele două criterii.

Criteriul de divizibilitate cu 4

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele lui două cifre este divizibil cu 4.

Cu alte cuvinte: acoperă cu degetul toate cifrele numărului, în afară de ultimele două. Numărul de două cifre rămas la coadă îți spune totul. Dacă el se împarte exact la 4, atunci și numărul mare se împarte exact la 4. Dacă el nu, nici numărul mare nu.

Hai să-l aplicăm pe $7348$. Ultimele două cifre formează numărul $48$. Verificăm: $48:4=12$ rest $0$. Deci $48$ este divizibil cu 4, prin urmare $7348$ este divizibil cu 4. Nu a trebuit să împărțim un număr de patru cifre — am împărțit unul de două cifre.

Mai luăm $5126$. Ultimele două cifre: $26$. Avem $26:4=6$ rest $2$, deci $26$ nu este divizibil cu 4. Concluzie: $5126$ nu este divizibil cu 4.

Un mic ajutor: ca să verifici dacă un număr de două cifre este divizibil cu 4, poți reține multiplii lui 4 până la 100. Iată-i:

$$0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,$$ $$52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96$$

Dacă ultimele două cifre formează unul dintre numerele de mai sus, numărul mare este divizibil cu 4. Dacă nu îți amintești lista, pur și simplu împarte numărul de două cifre la 4 și verifică restul — e o împărțire ușoară.

De ce funcționează? Ne întoarcem la felul în care am rupt numărul. Avem, de exemplu:

$$7348=7300+48=73\times 100+48$$

Bucata $73\times 100$ este divizibilă cu 4 (orice sută este). Atunci întregul $7348$ este divizibil cu 4 exact atunci când și bucata rămasă, $48$, este divizibilă cu 4. Asta e tot raționamentul — simplu și solid.

Criteriul de divizibilitate cu 25

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele lui două cifre formează unul dintre numerele: 00, 25, 50 sau 75.

De ce tocmai aceste patru variante? Pentru că între 0 și 99 există exact patru numere divizibile cu 25:

$$0(=25\times 0),25(=25\times 1),50(=25\times 2),75(=25\times 3)$$

Următorul multiplu, $100$, are deja trei cifre, deci nu mai „încape" în ultimele două poziții. Așadar lista se oprește la patru: 00, 25, 50, 75. Sunt numai patru terminații de reținut — chiar mai puține decât la criteriul cu 4.

Hai să-l aplicăm. Numărul $4675$: ultimele două cifre sunt $75$, care apare în listă, deci $4675$ este divizibil cu 25. Verificare: $4675:25=187$ rest $0$. Corect!

Numărul $1360$: ultimele două cifre sunt $60$, care nu apare în listă (avem doar 00, 25, 50, 75). Deci $1360$ nu este divizibil cu 25. Verificare: $1360:25=54$ rest $10$. Într-adevăr, nu se împarte exact.

De ce funcționează? Exact ca la criteriul cu 4. Scriem, de exemplu:

$$4675=4600+75=46\times 100+75$$

Bucata $46\times 100$ este divizibilă cu 25 (orice sută este). Atunci $4675$ este divizibil cu 25 exact când și ultimele două cifre, $75$, formează un număr divizibil cu 25 — ceea ce se întâmplă tocmai pentru 00, 25, 50 și 75.

Atenție: nu confunda criteriile cu 4 și cu 25 cu cele cu 2 și cu 5

E ușor să amesteci regulile, așa că hai să le punem clar față în față.

• La 2 și la 5 ne uităm la ultima cifră (o singură cifră).
• La 4 și la 25 ne uităm la ultimele două cifre (numărul format din ele).

Are sens dacă te gândești așa: $2$ și $5$ sunt „divizorii lui 10", iar $10$ are o singură cifră de zerouri — de aceea privim o cifră. În schimb, $4$ și $25$ sunt „divizorii lui 100", iar $100$ are două zerouri — de aceea privim două cifre. Frumos, nu? Pe aceeași logică, criteriile pentru 8 și pentru 125 (divizorii lui 1000) s-ar uita la ultimele trei cifre, dar acelea depășesc programa noastră.

Un truc de calcul rapid pentru divizibilitatea cu 4

Uneori ultima ta cifră e mare și ți-e greu să vezi imediat dacă numărul de două cifre se împarte la 4. Iată o scurtătură: un număr de două cifre este divizibil cu 4 dacă cifra zecilor este pară și cifra unităților formează cu ea un multiplu de 4 — dar mai simplu este să reții că, dacă jumătate din numărul de două cifre este un număr par, atunci numărul e divizibil cu 4. De exemplu, $48:2=24$, iar $24$ este par, deci $48$ e divizibil cu 4. La fel, $52:2=26$ (par) → $52$ divizibil cu 4. În schimb $26:2=13$ (impar) → $26$ nu e divizibil cu 4. Folosește metoda care ți se pare cea mai limpede — împărțirea directă la 4 rămâne mereu o variantă sigură.

Recapitulare în doi pași

Pentru orice număr, oricât de mare, procedezi la fel:

1. Privește ultimele două cifre (acoperă restul cu degetul).
2. Verifică: dacă acel număr de două cifre se împarte la 4 → numărul mare se împarte la 4; dacă ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75 → numărul mare se împarte la 25.

Atât. Indiferent că numărul are 4 cifre sau 10 cifre, munca ta este aceeași: te uiți doar la coada lui.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Divizibilitate cu 4 la un număr mare

Cerință: Este numărul $284936$ divizibil cu 4?

Rezolvare: Privim doar ultimele două cifre: $36$. Verificăm: $36:4=9$ rest $0$, deci $36$ este divizibil cu 4. (Putem observa și că $36$ apare în lista multiplilor lui 4.) Prin urmare, $284936$ este divizibil cu 4, fără să fie nevoie să împărțim numărul întreg. Nu ne-a interesat deloc partea $2849$ — ea reprezintă sute întregi, mereu divizibile cu 4.

Exemplul 2 — Divizibilitate cu 25

Cerință: Care dintre numerele $3150$, $7425$ și $9830$ sunt divizibile cu 25?

Rezolvare: Privim ultimele două cifre ale fiecăruia și comparăm cu lista 00, 25, 50, 75.

• $3150$ → ultimele două cifre $50$ → este în listă → divizibil cu 25 (verificare: $3150:25=126$).
• $7425$ → ultimele două cifre $25$ → este în listă → divizibil cu 25 (verificare: $7425:25=297$).
• $9830$ → ultimele două cifre $30$ → nu este în listă → nu este divizibil cu 25 (verificare: $9830:25=393$ rest $5$).

Răspuns: sunt divizibile cu 25 numerele $3150$ și $7425$.

Exemplul 3 — Și cu 4, și cu 25 în același timp

Cerință: Verifică dacă $13700$ este divizibil cu 4 și cu 25.

Rezolvare: Ultimele două cifre sunt $00$.

• Pentru 4: $00$ înseamnă numărul $0$, iar $0:4=0$ rest $0$, deci este divizibil cu 4.
• Pentru 25: $00$ apare în listă, deci este divizibil cu 25.

Așadar $13700$ este divizibil și cu 4, și cu 25. Observă un lucru important: orice număr care se termină în $00$ (adică orice „sută rotundă") este automat divizibil și cu 4, și cu 25 — pentru că este un multiplu al lui $100=4\times 25$.

Exemplul 4 — Găsește cifra lipsă

Cerință: Determină cifra $a$ astfel încât numărul $\overline{52a}$ să fie divizibil cu 4. (Bara de deasupra arată că este vorba despre un număr scris cu cifrele 5, 2 și $a$, nu despre un produs.)

Rezolvare: Numărul are forma $52a$, deci ultimele două cifre sunt $\overline{2a}$, adică numerele $20,21,22,\dots ,29$. Căutăm care dintre ele sunt divizibile cu 4:

• $20:4=5$ rest $0$ ✓ (deci $a=0$);
• $24:4=6$ rest $0$ ✓ (deci $a=4$);
• $28:4=7$ rest $0$ ✓ (deci $a=8$).

Celelalte ($21,22,23,25,26,27,29$) dau rest diferit de 0. Răspuns: $a\in \{0,4,8\}$, deci numerele potrivite sunt $520$, $524$ și $528$.

Exemplul 5 — Găsește cifra lipsă pentru divizibilitate cu 25

Cerință: Determină cifrele $b$ pentru care numărul $\overline{3b5}$ este divizibil cu 25.

Rezolvare: Ultimele două cifre sunt $\overline{b5}$. Pentru divizibilitate cu 25, ultimele două cifre trebuie să fie 00, 25, 50 sau 75. Dintre acestea, cele care se termină în cifra $5$ sunt $25$ și $75$. Deci:

• $\overline{b5}=25\Rightarrow b=2$ (numărul $325$);
• $\overline{b5}=75\Rightarrow b=7$ (numărul $375$).

Răspuns: $b\in \{2,7\}$. Verificare rapidă: $325:25=13$ și $375:25=15$ — ambele exacte.

Exemplul 6 — Numere care „decid" la coadă

Cerință: Andrei spune: „Numerele $7316$ și $2516$ se comportă la fel față de divizibilitatea cu 4." Are dreptate? De ce?

Rezolvare: Da, are dreptate, și e un exemplu foarte bun ca să înțelegi de ce criteriul funcționează. Ambele numere se termină în $16$, iar $16:4=4$ rest $0$. Cum doar ultimele două cifre decid, ambele sunt divizibile cu 4, indiferent ce cifre au în față. Partea din față ($73$ la primul, $25$ la al doilea) reprezintă sute întregi, mereu divizibile cu 4, deci nu schimbă cu nimic verdictul. Două numere care au aceleași ultime două cifre vor avea mereu același comportament față de divizibilitatea cu 4 (și la fel față de cea cu 25). Asta îți arată, încă o dată, că „creierul" criteriului stă în coadă, nu în cap.

Exemplul 7 — Adevărat sau fals, cu justificare

Cerință: „Orice număr divizibil cu 4 este divizibil și cu 2." Adevărat sau fals?

Rezolvare: Adevărat. Iată raționamentul: dacă un număr se împarte exact la 4, înseamnă că este un multiplu de 4, adică se poate scrie ca $4\times k$ pentru un număr natural $k$. Dar $4=2\times 2$, deci $4\times k=2\times (2k)$, care este un multiplu de 2. Prin urmare, orice multiplu de 4 este și multiplu de 2. Spus simplu: dacă încap grupe întregi de câte 4, atunci sigur încap și grupe de câte 2. Atenție însă, reciproca este falsă: nu orice număr divizibil cu 2 este divizibil cu 4 (de exemplu $6$ se împarte la 2, dar nu la 4).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare, privește mai întâi ultimele două cifre.

1. Este $416$ divizibil cu 4? Dar $530$?

2. Încercuiește numerele divizibile cu 4: $312$, $526$, $744$, $830$, $908$, $1114$.

3. Încercuiește numerele divizibile cu 25: $150$, $225$, $470$, $700$, $1375$, $2560$.

4. Adevărat sau fals: numărul $9000$ este divizibil și cu 4, și cu 25.

5. Completează cifra lipsă $a$ astfel încât $\overline{73a}$ să fie divizibil cu 4. Găsește toate variantele.

6. Completează cifra lipsă $c$ astfel încât $\overline{6c0}$ să fie divizibil cu 4. Găsește toate variantele.

7. Pentru ce cifre $m$ numărul $\overline{8m}$ (de două cifre) este divizibil cu 25?

8. Potrivește fiecare număr cu eticheta corectă: $4800$, $1225$, $3514$, $6650$. Etichete: (A) divizibil cu 4 dar nu cu 25; (B) divizibil cu 25 dar nu cu 4; (C) divizibil și cu 4, și cu 25; (D) nici cu 4, nici cu 25.

9. Adevărat sau fals: dacă un număr se termină în $50$, atunci el este divizibil cu 25.

10. Adevărat sau fals: dacă un număr se termină în $50$, atunci el este divizibil cu 4.

11. Scrie trei numere de patru cifre care să fie divizibile cu 25 și care să se termine în $75$.

12. Câte numere de forma $\overline{25a}$ (cu $a$ cifră) sunt divizibile cu 4? Care sunt ele?

13. Problemă: O cofetărie pune prăjituri în cutii de câte 4 bucăți. Astăzi a făcut $1236$ de prăjituri. Se pot împărți exact în cutii de câte 4, fără să rămână prăjituri pe afară? Justifică folosind criteriul.

14. Problemă: Un magazin vinde mărgele numai în pungi de câte 25 de bucăți. Un client vrea să cumpere exact $1150$ de mărgele. Poate fi servit cu pungi întregi, fără să rămână mărgele răzlețe? Justifică.

15. Găsește cea mai mică și cea mai mare cifră $x$ pentru care $\overline{4x8}$ este divizibil cu 4.

16. Determină toate numerele de forma $\overline{a25}$ (cu $a$ cifră nenulă) care sunt divizibile cu 25. Câte sunt?

17. Adevărat sau fals: orice număr divizibil cu 100 este divizibil și cu 4, și cu 25. Justifică.

18. Provocare: găsește un număr de patru cifre care să fie divizibil în același timp cu 4 și cu 25. Câte cifre de la coadă „decid" și ce valoare trebuie să aibă ele?

Răspunsuri și explicații

1. $416$: ultimele două cifre $16$; $16:4=4$ rest $0$ → da, divizibil cu 4. $530$: ultimele două cifre $30$; $30:4=7$ rest $2$ → nu este divizibil cu 4.

2. Divizibile cu 4: $312$ ($12:4=3$), $744$ ($44:4=11$), $908$ ($08=8$, $8:4=2$). Nu sunt: $526$ ($26$ rest 2), $830$ ($30$ rest 2), $1114$ ($14$ rest 2).

3. Divizibile cu 25 (ultimele două cifre 00/25/50/75): $150$ (50), $225$ (25), $700$ (00), $1375$ (75). Nu sunt: $470$ (70), $2560$ (60).

4. Adevărat. $9000$ se termină în $00$, deci este o sută rotundă, multiplu de $100=4\times 25$; este divizibil și cu 4 ($00=0$), și cu 25 ($00$ în listă).

5. $\overline{73a}$: ultimele două cifre $\overline{3a}$, adică $30,31,\dots ,39$. Divizibile cu 4: $32$ ($a=2$) și $36$ ($a=6$). Răspuns: $a\in \{2,6\}$, numerele $732$ și $736$.

6. $\overline{6c0}$: ultimele două cifre $\overline{c0}$, adică $00,10,20,\dots ,90$. Divizibile cu 4 sunt cele de forma „zeci urmate de 0" multiplu de 4: $00,20,40,60,80$ (pentru că $20:4=5$, $40:4=10$, $60:4=15$, $80:4=20$, $00=0$). Deci $c\in \{0,2,4,6,8\}$. (Cele cu $c$ impar dau $10,30,50,70,90$, care nu sunt divizibile cu 4.)

7. $\overline{8m}$ trebuie să fie unul dintre 00, 25, 50, 75. Niciunul nu începe cu cifra 8, deci nu există nicio cifră $m$ pentru care $\overline{8m}$ să fie divizibil cu 25.

8. $4800$: ultimele cifre $00$ → divizibil cu 4 și cu 25 → (C). $1225$: ultimele cifre $25$ → divizibil cu 25; pentru 4: $25:4$ rest 1 → nu → (B). $3514$: ultimele cifre $14$; $14:4$ rest 2 → nu cu 4; $14$ nu e în lista lui 25 → (D). $6650$: ultimele cifre $50$ → divizibil cu 25; pentru 4: $50:4=12$ rest 2 → nu → (B). Deci: $4800\to$ C; $1225\to$ B; $3514\to$ D; $6650\to$ B.

9. Adevărat. $50$ apare în lista 00, 25, 50, 75, deci orice număr care se termină în $50$ este divizibil cu 25.

10. Fals. $50:4=12$ rest $2$, deci un număr care se termină în $50$ nu este divizibil cu 4 (de exemplu $150$, $250$).

11. Orice număr de patru cifre terminat în $75$ este divizibil cu 25. Exemple corecte: $1075$, $3275$, $9975$ (verificare: $1075:25=43$; $3275:25=131$; $9975:25=399$). Sunt acceptate și alte numere terminate în 75.

12. $\overline{25a}$: ultimele două cifre $\overline{5a}$, adică $50,51,\dots ,59$. Divizibile cu 4: $52$ ($a=2$) și $56$ ($a=6$). Deci sunt 2 numere: $252$ și $256$.

13. Ultimele două cifre ale lui $1236$ sunt $36$; $36:4=9$ rest $0$, deci $1236$ este divizibil cu 4. Da, prăjiturile se împart exact în cutii de câte 4 (rezultă $309$ cutii pline, fără rest).

14. Ultimele două cifre ale lui $1150$ sunt $50$, care apare în lista 00/25/50/75, deci $1150$ este divizibil cu 25. Da, clientul poate fi servit cu pungi întregi ($1150:25=46$ pungi, fără mărgele răzlețe).

15. $\overline{4x8}$: ultimele două cifre $\overline{x8}$, adică $08,18,28,\dots ,98$. Divizibile cu 4: $08$ ($x=0$), $28$ ($x=2$), $48$ ($x=4$), $68$ ($x=6$), $88$ ($x=8$). Deci cea mai mică cifră este $x=0$, iar cea mai mare este $x=8$.

16. $\overline{a25}$ se termină mereu în $25$, care este în listă, deci este divizibil cu 25 oricare ar fi cifra $a$. Cum $a$ este nenulă (de la 1 la 9), sunt 9 numere: $125,225,325,425,525,625,725,825,925$.

17. Adevărat. Dacă un număr este divizibil cu $100$, el este multiplu de $100=4\times 25$, deci se poate scrie $100\times k=4\times (25k)=25\times (4k)$; prin urmare este și multiplu de 4, și multiplu de 25.

18. „Decid" ultimele două cifre, și pentru a fi divizibil în același timp cu 4 și cu 25, ele trebuie să fie $00$ (singura terminație care este în același timp divizibilă cu 4 și se află în lista lui 25). Un exemplu corect: $3200$ (divizibil cu 4 fiindcă $00=0$, și cu 25 fiindcă se termină în 00). Orice număr de patru cifre terminat în $00$ este o soluție validă.

De reținut

• $100=4\times 25$, de aceea orice „sută întreagă" (terminație $00$) este divizibilă și cu 4, și cu 25 — și de aceea ne uităm la ultimele două cifre.
• Criteriul cu 4: numărul este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 4.
• Criteriul cu 25: numărul este divizibil cu 25 dacă ultimele două cifre formează 00, 25, 50 sau 75.
• Pentru 2 și 5 privim o cifră; pentru 4 și 25 privim două cifre. Logica: 2 și 5 sunt divizorii lui 10, iar 4 și 25 sunt divizorii lui 100.
• Orice multiplu de 4 este și multiplu de 2, dar reciproca nu este adevărată.

Greșeli frecvente

• Confuzia „o cifră vs. două cifre". Mulți elevi verifică divizibilitatea cu 4 uitându-se doar la ultima cifră. Greșit: $12$ se termină în $2$ și e divizibil cu 4, dar $22$ tot în $2$ se termină și nu e. Mereu privește ultimele două cifre.
• „Se termină în 5 → divizibil cu 25". Fals. $35$ se termină în 5, dar $35:25$ dă rest. Pentru 25 trebuie exact 00, 25, 50 sau 75 — nu orice terminație în 0 sau 5.
• „Terminația 50 → divizibil cu 4". Fals. $50:4=12$ rest $2$. Terminația $50$ este bună pentru 25, dar nu pentru 4.
• Uitarea cazului $00$. Când ultimele două cifre sunt $00$, ele reprezintă numărul $0$, care este divizibil cu orice (rest 0). Deci numerele terminate în $00$ trec ambele criterii.

Joc acasă

1. Vânătoarea de coduri. Caută prin casă numere lungi: bonul de la magazin, codul de pe ambalaje, numărul de serie de pe telecomandă, anul de pe o monedă urmat de alte cifre. Pentru fiecare, acoperă cu degetul toate cifrele în afară de ultimele două și spune rapid: „divizibil cu 4? divizibil cu 25?". Notează 5 numere și verdictul tău, apoi verifică unul prin împărțire.

2. Cutiile potrivite. Ia un pumn de boabe (fasole, năut, paste mici) și numără-le. Încearcă să le grupezi în grămezi de câte 4. Folosește mai întâi criteriul ca să prezici dacă vor încăpea fix, fără rest, apoi grupează-le efectiv și vezi dacă predicția ta a fost corectă. Repetă cu grupe de câte 25.

3. Provoacă un adult. Scrie un număr mare de 6 cifre și roagă un părinte să spună, fără calculator, dacă e divizibil cu 4 sau cu 25. Tu folosești criteriul (ultimele două cifre) și răspunzi în 2 secunde, iar adultul verifică cu împărțirea. O să pari un mic magician al numerelor!

Pentru părinți și învățători

Această lecție este una de extindere: criteriile pentru 4 și 25 nu sunt obligatorii în programa minimală, dar sunt accesibile și foarte motivante pentru elevii care vor „mai mult". Ideea pedagogică centrală pe care merită să o fixați este egalitatea $100=4\times 25$ — din ea decurg ambele criterii și legătura lor cu numărul 100.

Cum sprijiniți copilul:

• Porniți de la „de ce", nu de la regulă. Arătați-i întâi că orice sută (200, 300, 1000…) se împarte exact și la 4, și la 25. Când copilul vede asta singur, criteriul devine evident, nu memorat mecanic.
• Întrebări bune de pus: „De ce ne uităm la două cifre, nu la una?”; „Ce au special numerele 00, 25, 50, 75?”; „Poți să-mi dai un număr divizibil cu 25 dar nu cu 4?” (răspuns tipic: 50, 150). Aceste întrebări verifică înțelegerea reală, nu doar aplicarea.
• Întăriți contrastul cu 2 și 5. Cea mai frecventă confuzie este „o cifră vs. două cifre". Cereți-i să formuleze singur regula în cuvintele lui.
• Verificarea înțelegerii: dați-i un număr de 5–6 cifre și cronometrați-l; dacă răspunde corect privind doar coada, a înțeles. Dacă începe să împartă tot numărul, mai lucrați pe „acoperă cu degetul".

Greșelile din secțiunea dedicată sunt exact cele întâlnite la clasă; merită discutate explicit, cu contraexemple concrete.

Întrebări frecvente

Cum știu rapid dacă un număr este divizibil cu 4? Privești doar numărul format din ultimele lui două cifre. Dacă acel număr de două cifre se împarte exact la 4 (rest 0), atunci tot numărul, oricât de mare, este divizibil cu 4. Restul cifrelor nu contează.

Care sunt terminațiile care fac un număr divizibil cu 25? Sunt exact patru: 00, 25, 50 și 75. Dacă ultimele două cifre ale numărului formează unul dintre acestea, numărul este divizibil cu 25; în caz contrar, nu.

De ce ne uităm la ultimele două cifre, și nu la ultima, ca la 2 și 5? Pentru că 4 și 25 sunt divizori ai lui 100 ($100=4\times 25$), iar 100 are două zerouri. Numerele 2 și 5 sunt divizori ai lui 10, care are un singur zero, de aceea acolo privim o singură cifră.

Un număr divizibil cu 4 este mereu divizibil și cu 2? Da. Orice multiplu de 4 se scrie ca $4\times k=2\times (2k)$, deci este și multiplu de 2. Reciproca însă nu este adevărată: $6$ se împarte la 2, dar nu la 4.

Poate un număr să fie divizibil și cu 4, și cu 25 în același timp? Da, și se întâmplă exact când se termină în 00 (este o sută rotundă). Atunci el este de fapt divizibil cu $100=4\times 25$. Exemple: 300, 1200, 4500.

Este 50 divizibil cu 25? Dar cu 4? Cu 25 da, pentru că 50 este în lista 00/25/50/75 ($50:25=2$). Cu 4 nu, pentru că $50:4=12$ rest 2. Acesta e un exemplu bun ca să nu amesteci cele două criterii.

Criteriul cu 4 se aplică și la numere de două cifre? Da. Dacă numărul are doar două cifre, atunci „ultimele două cifre" sunt chiar numărul întreg. De exemplu, pentru $48$ verifici direct $48:4=12$, deci e divizibil cu 4.

Există criterii asemănătoare pentru 8 sau 125? Da, pe aceeași logică: 8 și 125 sunt divizorii lui 1000 ($1000=8\times 125$), deci pentru ele s-ar privi ultimele trei cifre. Acestea depășesc programa clasei a V-a, dar îți arată că ideea se extinde frumos.