Criteriul de congruență ULU (unghi-latură-unghi)

Ai învățat deja la lecția precedentă cum, cu numai trei informații bine alese, poți fi sigur că două triunghiuri sunt identice ca formă și mărime, fără să le mai măsori toate cele șase elemente. Astăzi descoperim al doilea „instrument de verificare rapidă": criteriul de congruență ULU, adică unghi-latură-unghi. Este una dintre cele mai folosite scurtături din toată geometria de gimnaziu, exact atunci când cunoști două unghiuri și latura dintre ele. Hai să vedem cum funcționează și, mai ales, cum se scrie corect o justificare cu el.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți criteriul de congruență ULU și să explici ce înseamnă fiecare literă.
• Vei ști să recunoști într-o figură elementele cerute de ULU: două unghiuri și latura cuprinsă între ele.
• Vei ști să aplici criteriul ULU pentru a stabili dacă două triunghiuri sunt congruente.
• Vei ști să redactezi o justificare corectă, cu ipoteză, concluzie și pașii ordonați.
• Vei ști să eviți greșelile tipice, mai ales confuzia cu latura „alăturată" în loc de latura „cuprinsă între" unghiuri.

Hai să descoperim împreună

O reamintire scurtă: ce înseamnă „congruente"

Două triunghiuri sunt congruente dacă, suprapuse perfect, coincid: fiecare latură a unuia este egală (ca lungime) cu latura corespunzătoare a celuilalt, iar fiecare unghi este egal (ca măsură) cu unghiul corespunzător. Scriem $△ABC\equiv △DEF$ și citim „triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF". Semnul $\equiv$ este semnul de congruență.

Atenție la un detaliu de aur, pe care l-ai întâlnit la lecția Triunghiuri congruente. Elemente corespondente: ordinea literelor contează. Când scriem $△ABC\equiv △DEF$, spunem implicit că $A$ corespunde lui $D$, $B$ corespunde lui $E$, iar $C$ corespunde lui $F$. Deci $\angle A\equiv \angle D$, latura $[AB]$ corespunde laturii $[DE]$ și așa mai departe.

Problema este că, pentru a fi sigur de congruență, ar trebui în principiu să verifici șase egalități: trei laturi și trei unghiuri. E mult, e obositor și de multe ori nici nu avem toate datele. De aceea matematicienii au descoperit criterii de congruență: rețete cu doar trei informații care garantează că toate cele șase se potrivesc automat.

La lecția trecută, Criteriul de congruență LUL, ai văzut prima rețetă: două laturi și unghiul dintre ele. Astăzi vine a doua rețetă, „oglinda" celei precedente.

Enunțul criteriului ULU

Criteriul ULU (unghi-latură-unghi). Dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente și latura cuprinsă între aceste unghiuri congruentă, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Pe scurt, dacă în $△ABC$ și $△DEF$ avem:

• $\angle B\equiv \angle E$ (un unghi),
• $[BC]\equiv [EF]$ (latura dintre cele două unghiuri),
• $\angle C\equiv \angle F$ (al doilea unghi),

atunci $△ABC\equiv △DEF$.

Citește încă o dată cele trei litere: U-L-U, adică Unghi – Latură – Unghi. Ordinea literelor îți spune și ordinea în figură: un unghi, apoi latura, apoi celălalt unghi, ca atunci când mergi de-a lungul unei laturi și ai câte un unghi la fiecare capăt al ei.

Cheia de boltă: latura „cuprinsă între" cele două unghiuri

Aceasta este partea cea mai importantă a lecției, așa că o vom explica pe îndelete. În criteriul ULU latura nu poate fi oricare; ea trebuie să fie latura comună celor două unghiuri, adică latura care are câte un vârf al unghiului la fiecare capăt.

Gândește-te la o latură ca la un drum drept. La capetele drumului există două intersecții (vârfurile triunghiului). În fiecare intersecție se deschide un unghi. Latura cuprinsă între două unghiuri este chiar drumul care leagă cele două „intersecții" în care stau acele unghiuri.

Hai să verificăm pe triunghiul $ABC$:

• Latura $[BC]$ este cuprinsă între $\angle B$ și $\angle C$ (vârfurile $B$ și $C$ sunt capetele ei).
• Latura $[AB]$ este cuprinsă între $\angle A$ și $\angle B$.
• Latura $[AC]$ este cuprinsă între $\angle A$ și $\angle C$.

Deci pentru fiecare latură există exact perechea de unghiuri „de la capete". Când aplici ULU, trebuie să te asiguri că latura egală pe care o folosești este chiar cea dintre cele două unghiuri egale, nu o latură alăturată unuia singur dintre ele.

Analogie cu o ușă. Imaginează-ți o ușă. Balamaua de jos și balamaua de sus sunt cele două unghiuri, iar marginea verticală a ușii dintre ele este latura cuprinsă. Dacă fixezi exact aceeași margine și exact aceleași unghiuri de deschidere sus și jos, ușa nu poate arăta decât într-un singur fel: e complet determinată. Asta face și ULU pentru un triunghi.

De ce funcționează? (intuiția construcției)

Nu vei demonstra acest criteriu în clasa a VI-a (îl folosim ca pe o regulă acceptată), dar e bine să înțelegi de ce e adevărat, ca să-l ții minte mai ușor.

Presupune că ai latura $[BC]$ deja desenată, de o anumită lungime. La capătul $B$ trasezi o semidreaptă care face cu $[BC]$ un unghi de o anumită măsură; la capătul $C$ trasezi altă semidreaptă care face cu $[BC]$ alt unghi de o anumită măsură. Aceste două semidrepte „pornesc" în sus și se vor întâlni într-un singur punct, pe care îl numim $A$.

Pentru că lungimea lui $[BC]$ e fixă și cele două unghiuri sunt fixe, punctul de întâlnire $A$ nu are de ales: e mereu același. De aceea triunghiul iese identic de fiecare dată. Dacă alt elev desenează cu aceeași latură și aceleași două unghiuri, obține exact același triunghi. Iată de unde vine congruența garantată. (Această idee a stat și la baza lecției Construcția triunghiurilor, unde ai construit un triunghi când cunoșteai o latură și cele două unghiuri alăturate ei.)

Cum recunoști elementele ULU într-o figură

Când primești o problemă, urmează acești pași de „detectiv":

1. Caută unghiurile egale. De obicei sunt marcate cu arce identice sau apar din date (unghiuri opuse la vârf, unghiuri alterne între paralele, o bisectoare care taie un unghi în două părți egale, un unghi comun celor două triunghiuri etc.).
2. Caută latura egală. Poate fi marcată cu liniuțe, poate fi o latură comună celor două triunghiuri (latura comună e egală cu ea însăși!), sau poate proveni dintr-un mijloc de segment.
3. Verifică poziția laturii. Întreabă-te: latura egală este chiar între cele două unghiuri egale? Dacă da, ai ULU. Dacă latura e lipită doar de un singur unghi, nu poți folosi ULU așa cum e (poate ai nevoie de alt criteriu sau de un pas suplimentar).
4. Scrie corespondența vârfurilor. Potrivește vârful unui unghi cu vârful unghiului egal din celălalt triunghi, capătul laturii cu capătul laturii egale. Așa obții ordinea corectă a literelor în $△\dots \equiv △\dots$.

Truc util: latura comună

Foarte des, două triunghiuri din aceeași figură împart o latură. De exemplu, în figura de mai sus segmentul din mijloc aparține ambelor triunghiuri. Atunci poți scrie liniștit:

$$[BD]\equiv [BD]\text{(latura˘ comuna˘)}.$$

Pare banal, dar este un pas perfect valid și foarte des este chiar „L"-ul din ULU. Nu uita să-l menționezi în justificare — profesorul vrea să vadă de ce ai dreptul la acea egalitate de laturi.

Cum redactezi o justificare cu ULU

O justificare bună la geometrie are mereu aceeași structură limpede:

• Ipoteză: ce se dă (datele problemei).
• Concluzie: ce trebuie arătat.
• Demonstrație: pașii, fiecare cu motivul lui, până la aplicarea criteriului.

Modelul de redactare pentru ULU arată așa:

În triunghiurile $ABC$ și $DEF$ avem:

• $\angle B\equiv \angle E$ (din ipoteză / din ...);
• $[BC]\equiv [EF]$ (din ipoteză / latură comună / ...);
• $\angle C\equiv \angle F$ (din ipoteză / din ...);

Latura $[BC]$ este cuprinsă între unghiurile $B$ și $C$, iar latura $[EF]$ între unghiurile $E$ și $F$. Conform criteriului ULU, rezultă $△ABC\equiv △DEF$.

Iar dacă mai trebuie să arăți o egalitate de laturi sau de unghiuri la final, scrii: „din congruența triunghiurilor, rezultă $[AB]\equiv [DE]$ (laturi corespondente)" sau „$\angle A\equiv \angle D$ (unghiuri corespondente)". Această frază — din congruența triunghiurilor rezultă... — este motorul metodei triunghiurilor congruente, pe care o vei aprofunda la lecția Metoda triunghiurilor congruente.

Acum că avem rețeta completă, hai să o folosim pe exemple concrete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicare directă pe date numerice

În $△ABC$ și $△MNP$ se cunosc: $\angle B=50°$, $\angle C=70°$, $BC=6$ cm, $\angle N=50°$, $\angle P=70°$, $NP=6$ cm. Sunt congruente triunghiurile?

Rezolvare. Compar elementele:

• $\angle B=\angle N=50°$, deci $\angle B\equiv \angle N$ (un unghi);
• $BC=NP=6$ cm, deci $[BC]\equiv [NP]$ (latura);
• $\angle C=\angle P=70°$, deci $\angle C\equiv \angle P$ (al doilea unghi).

Latura $[BC]$ este cuprinsă între $\angle B$ și $\angle C$; la fel, $[NP]$ este cuprinsă între $\angle N$ și $\angle P$. Avem deci configurația unghi-latură-unghi. Conform criteriului ULU, $△ABC\equiv △MNP$. Da, sunt congruente.

Exemplul 2 — Identifică ce-ți lipsește

În $△ABC$ și $△DEF$ știi că $\angle A\equiv \angle D$, $\angle C\equiv \angle F$ și vrei să aplici ULU. Ce latură trebuie să fie congruentă?

Rezolvare. Unghiurile egale sunt cele din $A$ (respectiv $D$) și din $C$ (respectiv $F$). Latura cuprinsă între $\angle A$ și $\angle C$ este $[AC]$; cea cuprinsă între $\angle D$ și $\angle F$ este $[DF]$.

Așadar trebuie să cunoști $[AC]\equiv [DF]$. Atenție: dacă ți s-ar da în schimb $[AB]\equiv [DE]$, latura $[AB]$ este cuprinsă între $\angle A$ și $\angle B$ — dar $\angle B$ nu face parte din perechea noastră de unghiuri egale. Acea informație nu se potrivește direct cu ULU pentru perechea $\{A,C\}$.

Exemplul 3 — Redactare completă (ipoteză, concluzie, demonstrație)

Segmentele $[AC]$ și $[BD]$ se intersectează în punctul $O$ astfel încât $\angle OAB\equiv \angle OCD$ și $\angle AOB\equiv \angle COD$, iar $[OA]\equiv [OC]$. Arată că $△AOB\equiv △COD$.

Rezolvare.

Ipoteză: $\angle OAB\equiv \angle OCD$; $[OA]\equiv [OC]$; $\angle AOB\equiv \angle COD$. Concluzie: $△AOB\equiv △COD$.

În triunghiurile $AOB$ și $COD$:

• $\angle OAB\equiv \angle OCD$ (din ipoteză) — un unghi;
• $[AO]\equiv [CO]$ (din ipoteză) — latura;
• $\angle AOB\equiv \angle COD$ (din ipoteză) — al doilea unghi.

Latura $[AO]$ este cuprinsă între unghiurile $\angle OAB$ (din vârful $A$) și $\angle AOB$ (din vârful $O$). La fel, $[CO]$ este cuprinsă între $\angle OCD$ și $\angle COD$. Conform criteriului ULU, $△AOB\equiv △COD$. $■$

Exemplul 4 — Cu unghiuri opuse la vârf

Două segmente $[AB]$ și $[CD]$ se intersectează în $O$, mijlocul lui $[AB]$ (deci $[AO]\equiv [OB]$). Se mai știe că $\angle OAC\equiv \angle OBD$ (unghiuri marcate egale, de pildă pentru că $AC\parallel BD$). Folosind și unghiurile opuse la vârf din $O$, arată că $△AOC\equiv △BOD$.

Rezolvare. Aici una dintre cele două perechi de unghiuri egale vine dintr-o proprietate (unghiuri opuse la vârf), nu direct din ipoteză. Important este să așezăm corect latura între cele două unghiuri.

În triunghiurile $AOC$ și $BOD$:

• $\angle OAC\equiv \angle OBD$ (din ipoteză / marcaj) — un unghi;
• $[AO]\equiv [BO]$ ($O$ este mijlocul lui $[AB]$) — latura cuprinsă;
• $\angle AOC\equiv \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf) — al doilea unghi.

Latura $[AO]$ are la un capăt vârful $A$ (cu unghiul $\angle OAC$) și la celălalt capăt vârful $O$ (cu unghiul $\angle AOC$), deci este chiar cuprinsă între cele două unghiuri egale. Conform criteriului ULU, $△AOC\equiv △BOD$.

Reține din acest exemplu o lecție importantă: trebuie să te asiguri că ambele unghiuri „prind" latura la capete; aici unul vine din vârful $A$ și celălalt din vârful $O$. Dacă în loc de $\angle OAC\equiv \angle OBD$ ai cunoaște doar $[CO]\equiv [OD]$, ai avea două laturi și unghiul dintre ele — atunci ai folosi criteriul LUL, nu ULU. (Proprietatea unghiurilor opuse la vârf o ai din lecția Unghiuri opuse la vârf și congruența lor.)

Exemplul 5 — Bisectoarea generează unghiuri egale

În $△ABC$, semidreapta $[AD$ este bisectoarea unghiului $\angle BAC$, cu $D$ pe latura $[BC]$. Se știe că $\angle ADB\equiv \angle ADC$. Arată că $△ABD\equiv △ACD$.

Rezolvare.

În triunghiurile $ABD$ și $ACD$:

• $\angle BAD\equiv \angle CAD$ ($[AD$ este bisectoare) — un unghi;
• $[AD]\equiv [AD]$ (latură comună) — latura cuprinsă;
• $\angle ADB\equiv \angle ADC$ (din ipoteză) — al doilea unghi.

Latura $[AD]$ are la capete vârful $A$ (cu unghiul $\angle BAD$, respectiv $\angle CAD$) și vârful $D$ (cu unghiul $\angle ADB$, respectiv $\angle ADC$). Este deci cuprinsă între cele două perechi de unghiuri egale. Conform criteriului ULU, $△ABD\equiv △ACD$.

Bonus: din congruența triunghiurilor rezultă $[BD]\equiv [CD]$ (laturi corespondente), deci $D$ este chiar mijlocul lui $[BC]$, și $[AB]\equiv [AC]$. Iată cum un criteriu de congruență poate dovedi proprietăți noi!

Exemplul 6 — Recunoaște când NU se aplică (direct)

În $△ABC$ și $△DEF$ se dau: $\angle A\equiv \angle D$, $\angle B\equiv \angle E$ și $[BC]\equiv [EF]$. Putem aplica ULU direct?

Rezolvare. Unghiurile egale sunt din $A$ și $B$ (respectiv $D$ și $E$). Latura cuprinsă între $\angle A$ și $\angle B$ este $[AB]$, nu $[BC]$. Dar nouă ni s-a dat $[BC]\equiv [EF]$, iar $[BC]$ este cuprinsă între $\angle B$ și $\angle C$. Latura egală nu este între cele două unghiuri egale, deci nu putem folosi ULU direct în această așezare.

Totuși, există o portiță elegantă: într-un triunghi suma unghiurilor este $180°$ (vezi Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi). Din $\angle A\equiv \angle D$ și $\angle B\equiv \angle E$ rezultă automat $\angle C\equiv \angle F$ (al treilea unghi). Acum am „mutat" perechea de unghiuri: $\angle B\equiv \angle E$ și $\angle C\equiv \angle F$, cu latura cuprinsă $[BC]\equiv [EF]$. Așa, configurația devine ULU și concluzia $△ABC\equiv △DEF$ este corectă. Reține metoda: dacă ai două unghiuri și o latură, dar latura nu e între unghiurile date, calculează al treilea unghi și caută din nou poziția „între".

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde e nevoie, fă un desen mic și marchează datele.

1. Completează: criteriul ULU înseamnă ____ – ____ – ____ și se folosește când cunoști două ____ și ____ cuprinsă între ele.

2. Adevărat sau fals: „În criteriul ULU, latura egală poate fi orice latură a triunghiului."

3. În $△ABC$, care este latura cuprinsă între $\angle A$ și $\angle B$? Dar între $\angle B$ și $\angle C$?

4. Se dau $\angle M=40°$, $\angle N=65°$, $MN=5$ cm și $\angle P=40°$, $\angle Q=65°$, $PQ=5$ cm. Sunt $△MNX$ și $△PQY$ congruente prin ULU? Justifică pe scurt.

5. Încercuiește varianta corectă. Pentru a aplica ULU în $△DEF$ și $△GHI$ știind $\angle E\equiv \angle H$ și $\angle F\equiv \angle I$, ai nevoie de: a) $[DE]\equiv [GH]$; b) $[EF]\equiv [HI]$; c) $[DF]\equiv [GI]$.

6. Potrivește fiecare unghi cu latura pe care o „prinde la capăt" în $△ABC$: (i) $\angle A$ ↔ ____ (ii) $\angle B$ ↔ ____ (iii) $\angle C$ ↔ ____ (răspunde cu perechi de tipul „prinde laturile $[AB]$ și $[AC]$").

7. Desenează două segmente $[AB]$ și $[CD]$ care se intersectează în $O$, mijlocul lui $[AB]$. Marchează egale unghiurile $\angle OAC$ și $\angle OBD$, precum și unghiurile opuse la vârf din $O$. Ce două triunghiuri poți demonstra congruente prin ULU și care sunt, în ordine, cele trei elemente?

8. Adevărat sau fals: „Dacă două triunghiuri au toate cele trei unghiuri respectiv congruente, atunci sunt congruente."

9. În $△ABC$ și $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ avem $\angle B\equiv \angle B^{\prime }$, $[BC]\equiv [B^{\prime }{C}^{\prime }]$, $\angle C\equiv \angle C^{\prime }$. Scrie corect congruența triunghiurilor (ordinea literelor) și numește criteriul.

10. Completează justificarea. „În $△KLM$ și $△KNM$: $\angle LKM\equiv \angle NKM$ (); $[KM]\equiv [KM]$ (); $\angle KML\equiv \angle KMN$ (din ipoteză). Conform ____ , $△KLM\equiv △KNM$."

11. Se dau $\angle A\equiv \angle D$, $\angle C\equiv \angle F$ și $[AC]\equiv [DF]$. Demonstrează că $△ABC\equiv △DEF$ și apoi scrie ce poți afirma despre $[AB]$ și $[DE]$.

12. Adevărat sau fals: „Dacă latura egală este alăturată doar unuia dintre cele două unghiuri egale, atunci configurația este ULU."

13. În $△ABC$, semidreapta $[AD$ este bisectoarea unghiului $\angle BAC$, cu $D$ pe latura $[BC]$, și se știe că $\angle ADB\equiv \angle ADC$. Numește cele trei elemente (în ordine ULU) care dovedesc $△ABD\equiv △ACD$.

14. Problemă. Pe o hartă, două drumuri pleacă din orașul $O$ spre $A$ și spre $B$, astfel încât $OA=OB$. Din $A$ și din $B$ pleacă alte două drumuri către un punct $C$, formând $\angle OAC\equiv \angle OBC$ și $\angle AOC\equiv \angle BOC$. Arată că $△OAC\equiv △OBC$ și deduce că $AC=BC$.

15. Greșeala lui Andrei. El scrie: „$\angle A\equiv \angle D$, $\angle B\equiv \angle E$, $[AC]\equiv [DF]$, deci ULU." Este corectă afirmația? Explică ce nu se potrivește și cum repari raționamentul.

16. Se știe $\angle P=30°$, $\angle Q=80°$ în $△PQR$. Cât este $\angle R$? Dacă în $△STU$ avem $\angle S=30°$, $\angle U=70°$ și $[PQ]\equiv [SU]$, putem fi siguri că cele două triunghiuri sunt congruente? De ce?

17. Completează tabelul cu „DA / NU" — se poate aplica ULU?

18. Mică problemă de redactare. Despre triunghiurile $△ABO$ și $△CDO$ se știe că $[AO]\equiv [CO]$, $\angle OAB\equiv \angle OCD$ și $\angle AOB\equiv \angle COD$. Redactează complet, cu ipoteză și concluzie, demonstrația că $△ABO\equiv △CDO$.

Răspunsuri și explicații

1. Unghi – Latură – Unghi; cunoști două unghiuri și latura cuprinsă între ele.

2. Fals. Latura egală trebuie să fie exact cea cuprinsă între cele două unghiuri egale, nu orice latură.

3. Între $\angle A$ și $\angle B$ este latura $[AB]$. Între $\angle B$ și $\angle C$ este latura $[BC]$. (Latura cuprinsă are la capete cele două vârfuri ale unghiurilor.)

4. Da. $\angle M\equiv \angle P$, $[MN]\equiv [PQ]$ (latura cuprinsă între cele două unghiuri), $\angle N\equiv \angle Q$. Este exact configurația ULU, deci triunghiurile sunt congruente.

5. b) $[EF]\equiv [HI]$. Latura cuprinsă între $\angle E$ și $\angle F$ este $[EF]$ (la capete sunt vârfurile $E$ și $F$).

6. (i) $\angle A$ prinde laturile $[AB]$ și $[AC]$; (ii) $\angle B$ prinde $[AB]$ și $[BC]$; (iii) $\angle C$ prinde $[AC]$ și $[BC]$. (Fiecare unghi e format de cele două laturi care pornesc din vârful său.)

7. Poți demonstra $△AOC\equiv △BOD$. În ordine ULU: $\angle OAC\equiv \angle OBD$ (marcate egale) — un unghi; $[AO]\equiv [BO]$ ($O$ mijlocul lui $[AB]$) — latura cuprinsă; $\angle AOC\equiv \angle BOD$ (opuse la vârf) — al doilea unghi. Latura $[AO]$ este chiar între unghiurile din $A$ și din $O$, deci configurația este ULU.

8. Fals. Trei unghiuri egale dau triunghiuri asemenea (aceeași formă), dar pot avea mărimi diferite. Nu există criteriu „UUU" de congruență; ai nevoie de cel puțin o latură.

9. $△ABC\equiv △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, prin criteriul ULU ($\angle B$, latura $[BC]$, $\angle C$).

10. $\angle LKM\equiv \angle NKM$ (din ipoteză); $[KM]\equiv [KM]$ (latură comună); conform criteriului ULU, $△KLM\equiv △KNM$.

11. Latura $[AC]$ este cuprinsă între $\angle A$ și $\angle C$; la fel $[DF]$ între $\angle D$ și $\angle F$. Avem $\angle A\equiv \angle D$, $[AC]\equiv [DF]$, $\angle C\equiv \angle F$, deci prin ULU $△ABC\equiv △DEF$. Din congruență rezultă $[AB]\equiv [DE]$ (laturi corespondente).

12. Fals. Configurația ULU cere ca latura să fie între cele două unghiuri (lipită de ambele). Dacă e alăturată doar unuia, nu e ULU.

13. $\angle BAD\equiv \angle CAD$ (bisectoare); $[AD]\equiv [AD]$ (latură comună); $\angle ADB\equiv \angle ADC$ (din ipoteză). În ordine: unghi – latură comună – unghi.

14. În $△OAC$ și $△OBC$: $\angle OAC\equiv \angle OBC$ (dat), $[AO]\equiv [BO]$ adică $OA=OB$ (dat) — latura cuprinsă, $\angle AOC\equiv \angle BOC$ (dat). Prin ULU, $△OAC\equiv △OBC$. Din congruență, $[AC]\equiv [BC]$, deci $AC=BC$. (Latura $[OA]$ e cuprinsă între $\angle OAC$ din vârful $A$ și $\angle AOC$ din vârful $O$.)

15. Nu este corectă ca atare. Latura $[AC]$ este cuprinsă între $\angle A$ și $\angle C$, dar Andrei a folosit unghiurile $A$ și $B$. Latura nu e între unghiurile alese. Reparare: din $\angle A\equiv \angle D$ și $\angle B\equiv \angle E$ rezultă $\angle C\equiv \angle F$ (suma unghiurilor $=180°$). Acum perechea $\angle A,\angle C$ cu latura cuprinsă $[AC]\equiv [DF]$ dă corect ULU.

16. $\angle R=180°-30°-80°=70°$. În $△STU$: $\angle S=30°$, $\angle U=70°$, deci $\angle T=80°$. Comparăm: ambele au unghiuri de $30°,70°,80°$. Dar între ce unghiuri este cuprinsă latura dată? Atenție: $[PQ]$ e între $\angle P$ și $\angle Q$ ($30°$ și $80°$), iar $[SU]$ e între $\angle S$ și $\angle U$ ($30°$ și $70°$). Unghiurile „de la capete" nu coincid ca pereche ($80°$ vs $70°$), deci nu putem fi siguri de congruență direct cu această latură. Ar fi nevoie ca latura egală să fie cuprinsă între aceeași pereche de unghiuri. (Concluzie: datele nu garantează congruența prin ULU așa așezate.)

17.

18. Redactare model: Ipoteză: $[AO]\equiv [CO]$; $\angle OAB\equiv \angle OCD$; $\angle AOB\equiv \angle COD$. Concluzie: $△ABO\equiv △CDO$. Demonstrație: În triunghiurile $ABO$ și $CDO$: $\angle OAB\equiv \angle OCD$ (din ipoteză); $[AO]\equiv [CO]$ (din ipoteză), latură cuprinsă între unghiurile din $A$ și din $O$; $\angle AOB\equiv \angle COD$ (din ipoteză). Conform criteriului ULU, $△ABO\equiv △CDO$. $■$

De reținut

• ULU = Unghi – Latură – Unghi. Două unghiuri egale și latura cuprinsă între ele egală garantează triunghiuri congruente.
• Latura trebuie să fie ÎNTRE cele două unghiuri (cu vârful fiecărui unghi la câte un capăt). Aceasta e condiția-cheie, nu o uita niciodată.
• O latură comună a două triunghiuri este egală cu ea însăși și e adesea „L"-ul din ULU.
• Scrie justificarea ordonat: ipoteză, concluzie, apoi cele trei elemente cu motivul fiecăruia și fraza finală „conform criteriului ULU".
• După congruență poți deduce orice pereche de laturi sau unghiuri corespondente: din congruența triunghiurilor rezultă....

Greșeli frecvente

• Folosirea unei laturi care nu e între unghiuri. Mulți elevi iau orice latură egală. Verifică mereu: latura egală are la capete vârfurile celor două unghiuri egale? Dacă nu, nu e ULU (eventual calculează al treilea unghi și reașază).
• Confuzia ULU cu LUL. La LUL ai două laturi și unghiul dintre ele; la ULU ai două unghiuri și latura dintre ele. Numără literele: 2 de „U" → ULU.
• Crezi că trei unghiuri egale dau congruență. Nu! „UUU" dă doar aceeași formă (triunghiuri asemenea), nu și aceeași mărime. Mereu ai nevoie de cel puțin o latură.
• Ordinea greșită a literelor în concluzie. Potrivește vârf cu vârf: dacă $\angle B\equiv \angle E$ și $\angle C\equiv \angle F$, atunci $B\to E$, $C\to F$, deci scrii $△ABC\equiv △DEF$, nu altă combinație.

Joc acasă

1. Detectivul de paie. Ia două paie (sau bețe de frigăruie) tăiate la aceeași lungime — fiecare va fi „latura" unui triunghi. Așază un pai pe o foaie și trasează un segment de-a lungul lui. La un capăt fixează un unghi de $40°$ cu raportorul, la celălalt un unghi de $60°$, și prelungește laturile până se întâlnesc: ai un triunghi. Repetă pe altă foaie, cu al doilea pai și exact aceleași unghiuri. Suprapune foile la fereastră: triunghiurile coincid perfect. Ai „demonstrat" experimental criteriul ULU.

2. Provocarea unghiurilor lipsă. Scrie pe bilețele perechi de unghiuri (de ex. $50°$ și $70°$) și o lungime de latură. Un coleg/părinte desenează triunghiul; tu desenezi altul cu aceleași date, dar începând din colțul opus al foii. Comparați: trebuie să iasă identice. Dacă nu, căutați unde s-a măsurat greșit.

3. Vânătoarea de laturi „între". Prin casă, caută triunghiuri (un colțar de raft, un suport de telefon, un semn rutier triunghiular din imagini). Pentru fiecare, alege două „colțuri" (unghiuri) și indică ce latură este cuprinsă între ele. Exersezi recunoașterea laturii-cheie din ULU.

Pentru părinți și învățători

Această lecție vine imediat după criteriul LUL și folosește exact aceeași logică, dar „inversă": de la două laturi + unghi, la două unghiuri + latură. Mesajul central pe care copilul trebuie să-l interiorizeze este sintagma „latura cuprinsă între cele două unghiuri". Multe greșeli de mai târziu pornesc din neglijarea acestui detaliu.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să arate cu degetul pe figură latura cuprinsă și cele două vârfuri de la capete, înainte să scrie ceva. Verbalizarea „latura BC este între unghiul B și unghiul C" fixează ideea.
• Insistați pe redactare: ipoteză, concluzie, trei elemente cu motiv, concluzia cu numele criteriului. Un raționament corect, dar prost scris, pierde puncte la examen.
• Folosiți întrebări de control: „De ce ai dreptul să spui că latura asta e egală?", „Latura folosită e între cele două unghiuri egale?", „Cum ai scris corespondența vârfurilor?".

Cum verificați că a înțeles: dați-i o configurație în care latura egală nu este între unghiurile egale (ca în Exemplul 6 sau exercițiul 15) și vedeți dacă recunoaște problema și o repară prin calculul celui de-al treilea unghi. Dacă reușește, a depășit nivelul de simplă memorare a rețetei.

Legați lecția de cele conexe: Criteriul LUL, Criteriul LLL și mai ales Metoda triunghiurilor congruente, unde aceste criterii devin unelte pentru a demonstra egalități de segmente și unghiuri.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă criteriul ULU la clasa a 6-a? ULU înseamnă „unghi-latură-unghi". Este o regulă care spune că, dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente și latura cuprinsă între aceste unghiuri congruentă, atunci triunghiurile sunt congruente (identice ca formă și mărime).

Care e diferența dintre criteriul ULU și criteriul LUL? La LUL cunoști două laturi și unghiul cuprins între ele; la ULU cunoști două unghiuri și latura cuprinsă între ele. Un truc de memorare: numeri literele — dacă ai două „U", e ULU; dacă ai două „L", e LUL.

De ce latura trebuie să fie „între" cele două unghiuri la ULU? Pentru că doar așa triunghiul este complet determinat: latura fixă și cele două unghiuri de la capetele ei „forțează" laturile să se întâlnească într-un singur punct. Dacă latura nu e între unghiurile date, datele nu mai determină unic triunghiul prin acest criteriu.

Pot folosi ULU dacă latura egală nu este între cele două unghiuri date? Nu direct. Dar adesea poți calcula al treilea unghi (suma unghiurilor unui triunghi este $180°$) și astfel obții o nouă pereche de unghiuri pentru care latura ta este chiar cea cuprinsă între ele. Atunci ULU se aplică.

Trei unghiuri egale înseamnă triunghiuri congruente? Nu. Trei unghiuri egale dau triunghiuri asemenea (aceeași formă), dar pot avea dimensiuni diferite. Pentru congruență ai nevoie de cel puțin o latură egală; nu există criteriu „UUU".

Cum scriu corect o justificare cu criteriul ULU? Scrii ipoteza (ce se dă) și concluzia (ce trebuie arătat), apoi listezi cele trei elemente în ordine — un unghi, latura cuprinsă, al doilea unghi — fiecare cu motivul lui, și închei cu „conform criteriului ULU, rezultă că triunghiurile sunt congruente".

Ce este o „latură comună" și de ce e utilă la ULU? Este o latură pe care două triunghiuri o împart în aceeași figură. Fiind aceeași latură, este congruentă cu ea însăși, deci îți oferă gratuit „L"-ul din ULU. Trebuie doar să menționezi „latură comună" ca motiv.

Unde se folosește criteriul ULU în problemele de geometrie? Apare des când ai bisectoare, unghiuri opuse la vârf, drepte paralele cu o secantă (unghiuri alterne egale) sau o latură comună. Cu ULU dovedești congruența, iar apoi deduci egalități de segmente sau de unghiuri prin metoda triunghiurilor congruente.