Metoda triunghiurilor congruente

Până acum ai învățat să recunoști când două triunghiuri sunt congruente, folosind criteriile LUL, ULU și LLL. Acum vine partea cu adevărat interesantă: vom folosi aceste criterii ca pe niște unelte pentru a demonstra lucruri noi. Aceasta este una dintre cele mai puternice idei din toată geometria de gimnaziu și se numește metoda triunghiurilor congruente. Cu ea vei putea dovedi, fără să măsori cu rigla sau cu raportorul, că două segmente au aceeași lungime sau că două unghiuri au aceeași măsură. E ca un joc de logică în care, plecând de la câteva indicii, ajungi la o concluzie sigură.

Ce vei învăța

Vei ști să demonstrezi că două segmente sunt congruente folosind triunghiuri congruente.
Vei ști să demonstrezi că două unghiuri sunt congruente prin aceeași metodă.
Vei ști să parcurgi corect etapele unei demonstrații: ipoteză, concluzie, identificarea triunghiurilor, criteriul, concluzia finală.
Vei înțelege proprietatea bisectoarei și proprietatea mediatoarei, demonstrate cu triunghiuri congruente.
Vei ști să scrii o demonstrație clară, ordonată și corectă, ca un adevărat matematician.

Hai să descoperim împreună

De la „a recunoaște" la „a demonstra"

Imaginează-ți că ești detectiv. Un detectiv nu spune „cred că vinovatul e cutare", ci adună probe și, pas cu pas, construiește un raționament care duce la o singură concluzie sigură. În geometrie facem exact același lucru: pornim de la ipoteză (ce știm sigur, probele noastre) și ajungem la concluzie (ce vrem să dovedim), legând totul prin pași logici.

Ideea genială a metodei este simplă, dar foarte puternică. Tu deja știi că:

Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci toate elementele lor corespondente sunt congruente — toate cele trei laturi și toate cele trei unghiuri.

Această proprietate are un nume scurt și folositor pe care îl vei întâlni des: e.c.t.c.c., adică „elementele corespondente ale triunghiurilor congruente sunt congruente". Unii profesori o numesc și „regula corespondenței". Ține minte această prescurtare — o vei scrie de zeci de ori.

Iată cum funcționează strategia. Vrei să dovedești că două segmente (sau două unghiuri) sunt congruente. În loc să le măsori, cauți două triunghiuri în figură care:

conțin acele segmente (sau acele unghiuri) ca elemente corespondente, și
pot fi dovedite congruente cu unul dintre criterii.

Odată ce ai arătat că triunghiurile sunt congruente, segmentele (sau unghiurile) tale „călătoresc gratis": ele sunt congruente automat, ca elemente corespondente. Geometria face munca în locul tău.

Un mini-exemplu ca să prinzi ideea

Să zicem că avem un punct $O$ și două segmente $O A$ și $O B$ care pleacă din el, egale ca lungime. Din $O$ tragem o dreaptă care taie segmentul $A B$ în mijlocul lui, în punctul $M$ . Vrem să arătăm că unghiurile $O A B$ și $O B A$ sunt congruente, fără raportor.

Cum gândim? Vedem două triunghiuri: $O A M$ și $O B M$ . Comparăm:

$O A = O B$ (ni s-a dat),
$A M = B M$ (pentru că $M$ e mijlocul lui $A B$ ),
$O M = O M$ (latura comună — e aceeași în ambele triunghiuri).

Avem trei laturi câte trei egale, deci după criteriul LLL triunghiurile sunt congruente. Iar dacă sunt congruente, atunci unghiul $O A M$ (adică $O A B$ ) este congruent cu $O B M$ (adică $O B A$ ). Gata, am demonstrat! Vezi cum unghiurile au „venit la pachet" odată ce triunghiurile au fost congruente?

Latura comună — secretul ascuns în multe figuri

Ai observat trucul de mai sus? Segmentul $O M$ aparținea ambelor triunghiuri. Acesta este unul dintre cele mai folositoare instrumente ale metodei: când două triunghiuri au o latură comună, acea latură este automat congruentă cu ea însăși, $O M = O M$ . Pare banal, dar de multe ori este exact piesa de care ai nevoie ca să completezi criteriul.

La fel, dacă două triunghiuri au un unghi comun sau dacă apar unghiuri opuse la vârf, acelea sunt congruente fără să mai trebuiască ceva. Reține aceste „cadouri gratuite" pe care figura ți le oferă:

latură comună ⇒ congruentă cu ea însăși;
unghi comun ⇒ congruent cu el însuși;
unghiuri opuse la vârf ⇒ congruente (ai învățat la lecția unghiuri opuse la vârf);
mijlocul unui segment ⇒ împarte segmentul în două părți egale;
bisectoarea unui unghi ⇒ împarte unghiul în două unghiuri egale.

Etapele unei demonstrații prin metoda triunghiurilor congruente

Ca să nu te rătăcești, urmează mereu aceiași pași. Scrie-i pe o fișă și ține-i la îndemână până devin reflex. O demonstrație bine scrisă seamănă cu o rețetă: ordonată, fără pași săriți.

Pasul 1 — Scrie IPOTEZA și CONCLUZIA. Notează clar ce ți se dă (ipoteza) și ce ai de demonstrat (concluzia). Aceasta te ajută să știi unde pleci și unde vrei să ajungi.

Pasul 2 — Identifică cele două triunghiuri. Caută în figură două triunghiuri care conțin segmentele sau unghiurile pe care vrei să le demonstrezi congruente. Numește-le clar, de exemplu $△ A B D$ și $△ A C D$ .

Pasul 3 — Adună „probele" (elementele congruente). Scrie tot ce știi despre cele două triunghiuri: laturi egale, unghiuri egale, latura comună, unghiuri opuse la vârf etc. Marchează-le și pe desen.

Pasul 4 — Alege CRITERIUL. Verifică ce ai adunat și potrivește cu un criteriu: LUL, ULU sau LLL (sau criteriile pentru triunghiuri dreptunghice). Scrie concluzia: $△ A B D \equiv △ A C D$ .

Pasul 5 — Trage CONCLUZIA finală (e.c.t.c.c.). Din congruența triunghiurilor, scoate exact elementele corespondente de care aveai nevoie. Acestea sunt segmentele sau unghiurile congruente cerute. Scrie clar ce ai obținut.

Reține ordinea: mai întâi dovedești triunghiurile congruente, apoi scoți segmentele sau unghiurile congruente. Niciodată invers. Este o regulă de aur a metodei.

Cum potrivești corespondența literelor

Un detaliu care îi încurcă pe mulți elevi: ordinea literelor. Când scrii $△ A B D \equiv △ A C D$ , ordinea contează! Litera de pe poziția întâi din primul triunghi corespunde literei de pe poziția întâi din al doilea, și așa mai departe. Deci:

$A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow D$ .

Asta înseamnă că $A B \leftrightarrow A C$ , $B D \leftrightarrow C D$ , $A D \leftrightarrow A D$ , iar unghiurile: $B \leftrightarrow C$ etc. Scriind corect corespondența, vei ști imediat ce segmente și ce unghiuri sunt congruente, fără să te încurci. Dacă scrii ordinea aiurea, riști să tragi o concluzie greșită despre care laturi sunt egale.

Proprietatea bisectoarei (demonstrată cu triunghiuri congruente)

Acum folosim metoda pentru a demonstra o proprietate frumoasă și foarte utilă. Ți-o reamintești pe bisectoare din lecția bisectoarea unui unghi? Bisectoarea este semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri egale.

Proprietatea bisectoarei: Orice punct de pe bisectoarea unui unghi se află la distanțe egale față de cele două laturi ale unghiului.

Reține: „distanța de la un punct la o dreaptă" înseamnă lungimea perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă (ai studiat la distanța de la un punct la o dreaptă).

Să demonstrăm. Fie unghiul $x O y$ și bisectoarea lui, $(O M$ . Luăm un punct $P$ pe bisectoare. Coborâm perpendicularele $P A ⊥ O x$ și $P B ⊥ O y$ . Vrem $P A = P B$ .

Privim triunghiurile $△ O A P$ și $△ O B P$ . Sunt dreptunghice (unghiurile din $A$ și $B$ au câte $90°$ ). Avem:

$A O P \equiv B O P$ (pentru că $(O P$ e bisectoare),
$O P = O P$ (latura comună, ipotenuza),
$O A P \equiv O B P$ (ambele de $90°$ ).

Cele două triunghiuri sunt dreptunghice și au ipotenuza comună $O P$ și câte un unghi ascuțit congruent ( $A O P \equiv B O P$ ). Se aplică deci criteriul IU (ipotenuză–unghi ascuțit) pentru triunghiuri dreptunghice: $△ O A P \equiv △ O B P$ . (Dacă vrei, poți gândi și prin ULU: din cele două unghiuri drepte și din unghiurile egale din $O$ rezultă că și unghiurile din $P$ sunt egale, iar atunci latura $O P$ este cuprinsă între unghiuri egale.) De aici, ca elemente corespondente, $P A = P B$ . Demonstrat!

Proprietatea mediatoarei (demonstrată cu triunghiuri congruente)

La fel de frumoasă este proprietatea mediatoarei, pe care ai întâlnit-o la lecția mediatoarea unui segment. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment care trece prin mijlocul lui.

Proprietatea mediatoarei: Orice punct de pe mediatoarea unui segment se află la distanțe egale față de capetele segmentului.

Să demonstrăm. Fie segmentul $A B$ cu mijlocul $M$ , și fie $d$ mediatoarea lui (deci $d ⊥ A B$ în $M$ ). Luăm un punct $P$ pe mediatoare. Vrem $P A = P B$ .

Privim triunghiurile $△ P M A$ și $△ P M B$ . Avem:

$M A = M B$ (pentru că $M$ e mijlocul lui $A B$ ),
$P M A \equiv P M B$ (ambele de $90°$ , pentru că $d ⊥ A B$ ),
$P M = P M$ (latura comună).

Avem latură-unghi-latură, deci criteriul LUL se aplică: $△ P M A \equiv △ P M B$ . Atunci $P A = P B$ ca elemente corespondente. Demonstrat!

Aceste două proprietăți vor fi cărămizile cu care vei construi, în lecțiile următoare, cercul înscris și cercul circumscris ale unui triunghi. Vezi cât de departe ajunge o singură idee bine stăpânită?

Cum alegi criteriul potrivit

De multe ori întrebarea este: „Care criteriu folosesc?" Răspunsul vine din ce probe ai. Iată un mic ghid:

Dacă ai două laturi și unghiul dintre ele ⇒ LUL.
Dacă ai două unghiuri și latura dintre ele ⇒ ULU.
Dacă ai toate trei laturile ⇒ LLL.
Dacă triunghiurile sunt dreptunghice, folosești criteriile speciale de la lecția criterii de congruență ale triunghiurilor dreptunghice (de exemplu ipotenuză-catetă, ipotenuză-unghi).

Sfat de aur: marchează pe desen, cu simboluri, tot ce știi. Un segmentuleț pe laturile egale, un arc pe unghiurile egale. Când figura e bine marcată, criteriul „sare în ochi" singur.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Segmente congruente cu LUL

Enunț. Fie unghiul $x O y$ și bisectoarea sa $(O z$ . Pe laturile $O x$ și $O y$ luăm punctele $A$ , respectiv $B$ , astfel încât $O A = O B$ . Pe bisectoare luăm un punct $P$ . Demonstrează că $P A = P B$ .

Rezolvare.

Pasul 1 — Ipoteză și concluzie. Ipoteză: $(O z$ bisectoarea lui $x O y$ ; $A \in O x$ , $B \in O y$ ; $O A = O B$ ; $P \in (O z$ . Concluzie: $P A = P B$ .

Pasul 2 — Cele două triunghiuri. Considerăm $△ O A P$ și $△ O B P$ .

Pasul 3 — Probele.

$O A = O B$ (din ipoteză);
$A O P \equiv B O P$ (pentru că $(O z$ e bisectoare, deci împarte unghiul în două părți egale, iar $P$ e pe ea);
$O P = O P$ (latură comună).

Pasul 4 — Criteriul. Avem latură-unghi-latură (laturile $O A$ și $O P$ , cu unghiul $A O P$ dintre ele). Deci, prin LUL: $△ O A P \equiv △ O B P$ .

Pasul 5 — Concluzia. Din congruență, ca elemente corespondente: $P A = P B$ .

Observă cum unghiul folosit este chiar între cele două laturi egale — exact ce cere LUL. Dacă unghiul ar fi fost în alt loc, criteriul nu s-ar fi aplicat.

Exemplul 2 — Unghiuri congruente cu LLL

Enunț. Fie patrulaterul $A B C D$ în care $A B = C D$ și $A D = C B$ . Demonstrează că $B \equiv D$ (adică $A B C \equiv C D A$ ).

Rezolvare.

Ipoteză: $A B = C D$ , $A D = C B$ . Concluzie: $A B C \equiv C D A$ .

Trasăm diagonala $A C$ . Aceasta împarte patrulaterul în două triunghiuri: $△ A B C$ și $△ C D A$ .

Probele:

$A B = C D$ (din ipoteză);
$C B = A D$ (din ipoteză, $A D = C B$ );
$A C = C A$ (latură comună — diagonala aparține ambelor triunghiuri).

Criteriul: avem toate trei laturile congruente, deci LLL: $△ A B C \equiv △ C D A$ .

Concluzia: unghiul $A B C$ corespunde unghiului $C D A$ (sunt unghiurile dintre laturile corespondente), deci $A B C \equiv C D A$ . Demonstrat.

Trasarea diagonalei (sau, în general, a unei linii ajutătoare) este un truc des întâlnit: ea creează cele două triunghiuri de care avem nevoie.

Exemplul 3 — Mijlocul unui segment (LUL)

Enunț. Două drepte se intersectează în punctul $O$ . Pe ele luăm punctele astfel încât $O$ este mijlocul atât al segmentului $A B$ , cât și al segmentului $C D$ (deci $O A = O B$ și $O C = O D$ , cu $A$ , $O$ , $B$ coliniare și $C$ , $O$ , $D$ coliniare). Demonstrează că $A C = B D$ .

Rezolvare.

Ipoteză: $O A = O B$ , $O C = O D$ . Concluzie: $A C = B D$ .

Considerăm triunghiurile $△ O A C$ și $△ O B D$ .

Probele:

$O A = O B$ (ipoteză);
$A O C \equiv B O D$ (unghiuri opuse la vârf — cadou gratuit!);
$O C = O D$ (ipoteză).

Criteriul: latură-unghi-latură, cu unghiul opus la vârf între cele două perechi de laturi egale. Deci LUL: $△ O A C \equiv △ O B D$ .

Concluzia: $A C = B D$ ca elemente corespondente. Demonstrat.

Aici „cadoul" a fost perechea de unghiuri opuse la vârf. Fără el, nu am fi avut al treilea element pentru criteriu.

Exemplul 4 — Două perechi de unghiuri congruente (ULU)

Enunț. Fie segmentul $A B$ și un punct $O$ mijlocul lui. Prin $O$ ducem o dreaptă oarecare. Pe această dreaptă, de o parte și de alta a lui $O$ , construim punctele $C$ și $D$ astfel încât $C A B \equiv D B A$ (deci unghiurile pe care le fac segmentele $A C$ și $B D$ cu $A B$ sunt egale). Demonstrează că $A C = B D$ .

Rezolvare.

Ipoteză: $O$ mijlocul lui $A B$ (deci $A O = B O$ ); $C A O \equiv D B O$ ; $C O A \equiv D O B$ (opuse la vârf). Concluzie: $A C = B D$ .

Considerăm $△ A O C$ și $△ B O D$ .

Probele:

$C A O \equiv D B O$ (din ipoteză);
$A O = B O$ ( $O$ mijloc);
$A O C \equiv B O D$ (opuse la vârf).

Criteriul: avem unghi-latură-unghi, cu latura $A O$ (respectiv $B O$ ) între cele două unghiuri congruente. Deci ULU: $△ A O C \equiv △ B O D$ .

Concluzia: $A C = B D$ ca elemente corespondente. Demonstrat.

Compară cu Exemplul 1: acolo aveam LUL (două laturi + unghi între), aici avem ULU (două unghiuri + latură între). Alegerea criteriului depinde mereu de ce probe îți oferă figura.

Exemplul 5 — Proprietatea mediatoarei în acțiune

Enunț. Fie segmentul $M N$ și mediatoarea sa $d$ . Punctele $P$ și $Q$ se află ambele pe mediatoarea $d$ . Demonstrează că $△ P M N$ și $△ QM N$ sunt amândouă isoscele (cu $P M = P N$ și $QM = QN$ ).

Rezolvare.

Fie $T$ mijlocul lui $M N$ (punctul prin care trece mediatoarea), deci $M T = N T$ și $d ⊥ M N$ în $T$ .

Pentru punctul $P$ : considerăm $△ P T M$ și $△ P T N$ .

$M T = N T$ ( $T$ mijloc);
$P T M \equiv P T N$ (ambele $90°$ , $d ⊥ M N$ );
$P T = P T$ (latură comună).

Prin LUL: $△ P T M \equiv △ P T N$ , deci $P M = P N$ . Așadar $△ P M N$ este isoscel.

Identic, pentru $Q$ obținem $QM = QN$ , deci $△ QM N$ este isoscel.

Am aplicat de două ori aceeași idee — proprietatea mediatoarei — și am demonstrat o concluzie despre două triunghiuri diferite. Frumusețea metodei e tocmai că un singur raționament poate fi refolosit.

Exemplul 6 — Două triunghiuri congruente cu un pas în plus

Enunț. Fie $△ A B C$ isoscel cu $A B = A C$ . Bisectoarea unghiului $A$ taie latura $B C$ în punctul $D$ . Demonstrează că $D$ este mijlocul lui $B C$ (adică $B D = D C$ ).

Rezolvare.

Ipoteză: $A B = A C$ ; $(A D$ bisectoarea lui $B A C$ , $D \in B C$ . Concluzie: $B D = D C$ .

Considerăm $△ A B D$ și $△ A C D$ .

Probele:

$A B = A C$ (ipoteză, triunghi isoscel);
$B A D \equiv C A D$ ( $(A D$ bisectoare);
$A D = A D$ (latură comună).

Criteriul: latură-unghi-latură (laturile $A B$ și $A D$ , cu unghiul $B A D$ între ele). Deci LUL: $△ A B D \equiv △ A C D$ .

Concluzia: $B D = D C$ ca elemente corespondente, deci $D$ este mijlocul lui $B C$ . Demonstrat.

Ca bonus, din aceeași congruență rezultă și $A D B \equiv A D C$ ; cum aceste două unghiuri sunt și adiacente suplementare (împreună fac $180°$ ), fiecare are $90°$ . Asta înseamnă că $A D ⊥ B C$ ! Cu un singur efort am aflat și că bisectoarea din vârful unui triunghi isoscel este și mediană, și înălțime. Vei reîntâlni această proprietate la triunghiul isoscel.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, desenând de fiecare dată figura și marcând elementele cunoscute. Scrie demonstrațiile pe pașii învățați.

1. Completează: Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci toate elementele lor ............... sunt congruente.

2. Adevărat sau fals? „Pentru a demonstra că două segmente sunt congruente, întâi dovedim că triunghiurile care le conțin sunt congruente."

3. Adevărat sau fals? „O latură comună a două triunghiuri este congruentă cu ea însăși."

4. Încercuiește criteriul potrivit. În $△ A B C$ și $△ D E F$ se știe că $A B = D E$ , $A \equiv D$ , $A C = D F$ . Criteriul este: a) LLL; b) LUL; c) ULU.

5. Încercuiește criteriul potrivit. Avem $B \equiv E$ , $B C = E F$ , $C \equiv F$ . Criteriul este: a) LLL; b) LUL; c) ULU.

6. Ordonează etapele unei demonstrații, scriind cifrele de la 1 la 5: ( ) Aleg criteriul și scriu congruența triunghiurilor. ( ) Scriu ipoteza și concluzia. ( ) Trag concluzia finală (e.c.t.c.c.). ( ) Identific cele două triunghiuri. ( ) Adun elementele congruente (probele).

7. Potrivește: leagă fiecare situație din figură cu „cadoul" potrivit. a) două triunghiuri au o latură comună → ... b) două drepte se taie → ... c) un punct e mijlocul unui segment → ... Variante: (I) împarte segmentul în două părți egale; (II) latura e congruentă cu ea însăși; (III) apar unghiuri opuse la vârf congruente.

8. Fie $x O y$ cu bisectoarea $(O z$ . Punctul $P$ este pe bisectoare. Distanța de la $P$ la latura $O x$ este $5$ cm. Cât este distanța de la $P$ la latura $O y$ ? Justifică cu o proprietate.

9. Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $A B$ . Știind că $P A = 7, 3$ cm, cât este $P B$ ? Ce proprietate folosești?

10. Fie segmentele $A B$ și $C D$ care se intersectează în mijlocul lor comun $O$ . Demonstrează că $A C = B D$ . Scrie demonstrația completă pe cei 5 pași.

11. În triunghiul $△ A B C$ avem $A B = A C$ . Fie $M$ mijlocul lui $B C$ . Demonstrează că $B \equiv C$ . (Indicație: compară $△ A B M$ cu $△ A C M$ .)

12. Fie $△ A B C$ și $D$ un punct astfel încât $(A D$ este bisectoarea unghiului $A$ și, în plus, $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ . Demonstrează că $A B = A C$ . (Indicație: $△ A B D$ și $△ A C D$ sunt dreptunghice.)

13. Pe laturile unghiului $x O y$ luăm $A, A^{'} \in O x$ și $B, B^{'} \in O y$ astfel încât $O A = O B$ și $O A^{'} = O B^{'}$ . Demonstrează că $A B^{'} = A^{'} B$ . (Indicație: compară $△ O A B^{'}$ cu $△ O B A^{'}$ .)

14. Fie $△ A B C$ isoscel cu $A B = A C$ . Pe laturile $A B$ și $A C$ luăm punctele $M$ și $N$ astfel încât $A M = A N$ . Demonstrează că $A B N \equiv A C M$ . (Indicație: $△ A B N$ și $△ A C M$ .)

15. Adevărat sau fals? „Dacă scriu $△ A B C \equiv △ D E F$ , atunci $B C = E F$ ." Explică pe baza corespondenței literelor.

16. Fie $△ A B C$ cu $A B = A C$ . Bisectoarea unghiului $B$ și bisectoarea unghiului $C$ se intersectează în punctul $I$ . Demonstrează că $△ B I C$ este isoscel (adică $I B = I C$ ). (Indicație: arată mai întâi că $I B C \equiv I C B$ , folosind $B \equiv C$ .)

17. Desenează un segment $A B$ de $6$ cm și mediatoarea lui. Alege trei puncte diferite pe mediatoare și măsoară cu rigla distanțele de la fiecare la $A$ și la $B$ . Ce observi? Cum explici cu proprietatea mediatoarei?

18. Problemă de gândire. Fie $△ A B C$ oarecare. Prelungim segmentul $B A$ dincolo de $A$ până într-un punct $D$ astfel încât $A D = A B$ , și prelungim segmentul $C A$ dincolo de $A$ până într-un punct $E$ astfel încât $A E = A C$ . Demonstrează că $D E = B C$ . (Indicație: compară $△ A B C$ cu $△ A D E$ ; ce fel de unghiuri sunt $B A C$ și $D A E$ ? Atenție unde se află unghiul față de laturile egale.)

Răspunsuri și explicații

1. corespondente. Definiția congruenței triunghiurilor: toate elementele corespondente (laturi și unghiuri) sunt congruente — regula e.c.t.c.c.

2. Adevărat. Întâi dovedim congruența triunghiurilor; segmentele „vin la pachet" ca elemente corespondente.

3. Adevărat. Orice segment este congruent cu el însuși; o latură comună aparține ambelor triunghiuri.

4. b) LUL. Avem două laturi ( $A B, A C$ ) și unghiul $A$ dintre ele — latură-unghi-latură.

5. c) ULU. Avem două unghiuri ( $B, C$ ) și latura $B C$ dintre ele — unghi-latură-unghi.

6. Ordinea corectă: (4) Aleg criteriul; (1) Scriu ipoteza și concluzia; (5) Trag concluzia finală; (2) Identific cele două triunghiuri; (3) Adun probele. Adică succesiunea pe pași: 1 = ipoteză/concluzie, 2 = triunghiurile, 3 = probele, 4 = criteriul, 5 = e.c.t.c.c.

7. a) → (II) latura e congruentă cu ea însăși; b) → (III) unghiuri opuse la vârf congruente; c) → (I) împarte segmentul în două părți egale.

8. 5 cm. Punctul de pe bisectoare se află la distanțe egale față de laturile unghiului (proprietatea bisectoarei). Deci distanța la $O y$ este tot $5$ cm.

9. $P B = 7, 3$ cm. Punctul de pe mediatoare se află la distanțe egale față de capetele segmentului (proprietatea mediatoarei), deci $P B = P A = 7, 3$ cm.

10. Triunghiurile $△ A O C$ și $△ B O D$ : $O A = O B$ ( $O$ mijlocul lui $A B$ ), $A O C \equiv B O D$ (opuse la vârf), $O C = O D$ ( $O$ mijlocul lui $C D$ ). Prin LUL, $△ A O C \equiv △ B O D$ , deci $A C = B D$ .

11. $△ A B M$ și $△ A C M$ : $A B = A C$ (ipoteză), $B M = C M$ ( $M$ mijloc), $A M = A M$ (latură comună). Prin LLL, $△ A B M \equiv △ A C M$ , deci $B \equiv C$ (unghiuri corespondente). Aceasta este chiar proprietatea triunghiului isoscel: unghiurile de la bază sunt congruente.

12. $△ A B D$ și $△ A C D$ sunt dreptunghice în $D$ . Avem: $B A D \equiv C A D$ (bisectoare), $A D = A D$ (latură comună), $A D B \equiv A D C$ (ambele $90°$ ). Prin ULU, $△ A B D \equiv △ A C D$ , deci $A B = A C$ .

13. $△ O A B^{'}$ și $△ O B A^{'}$ : $O A = O B$ (ipoteză), $O$ comun (același unghi $x O y$ ), $O B^{'} = O A^{'}$ (ipoteză, $O A^{'} = O B^{'}$ ). Prin LUL (unghiul $O$ este între laturile $O A, O B^{'}$ , respectiv $O B, O A^{'}$ ), $△ O A B^{'} \equiv △ O B A^{'}$ , deci $A B^{'} = A^{'} B$ .

14. $△ A B N$ și $△ A C M$ : $A B = A C$ (ipoteză), $A$ comun, $A N = A M$ (ipoteză, $A M = A N$ ). Prin LUL, $△ A B N \equiv △ A C M$ , deci $A B N \equiv A C M$ (unghiuri corespondente).

15. Adevărat. Din corespondența $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ rezultă $B C \leftrightarrow E F$ , deci $B C = E F$ . Ordinea literelor arată exact ce laturi sunt corespondente.

16. Din $A B = A C$ , triunghiul e isoscel, deci $A B C \equiv A C B$ . Bisectoarele le înjumătățesc, deci $I B C = \frac{1}{2} A B C$ și $I C B = \frac{1}{2} A C B$ ; jumătăți de unghiuri egale sunt egale, deci $I B C \equiv I C B$ . Atunci $△ B I C$ are două unghiuri la bază congruente, deci este isoscel: $I B = I C$ . (Folosim reciproca: unghiuri egale la bază ⇒ laturi egale.)

17. Toate cele trei puncte sunt egal depărtate de $A$ și de $B$ (la fiecare punct $P$ vei măsura $P A = P B$ ). Explicație: orice punct de pe mediatoare se află la distanțe egale față de capetele segmentului (proprietatea mediatoarei).

18. $△ A B C$ și $△ A D E$ : $A B = A D$ (din construcție), $A C = A E$ (din construcție), iar $B A C \equiv D A E$ pentru că sunt unghiuri opuse la vârf (latura $A D$ este prelungirea lui $A B$ , iar $A E$ este prelungirea lui $A C$ ). Unghiul $B A C$ este chiar între laturile $A B$ și $A C$ , iar $D A E$ este între laturile $A D$ și $A E$ , deci avem latură-unghi-latură. Prin LUL: $△ A B C \equiv △ A D E$ , de unde $B C = D E$ . Notă: această problemă e mai grea și arată că trebuie mereu să fii atent care unghi e între laturile egale. Aici „cadoul" a fost perechea de unghiuri opuse la vârf, care ne-a dat exact unghiul cuprins între laturile egale. Dacă unghiul cunoscut nu ar fi fost cel dintre laturile egale, criteriul LUL nu s-ar fi aplicat direct.

De reținut

Metoda triunghiurilor congruente: pentru a demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, le „prinzi" în două triunghiuri pe care le dovedești congruente; apoi ele sunt congruente ca elemente corespondente (e.c.t.c.c.).
Etapele: 1) ipoteză și concluzie; 2) cele două triunghiuri; 3) elementele congruente (probele); 4) criteriul (LUL / ULU / LLL); 5) concluzia finală.
Ordinea de aur: întâi triunghiurile congruente, apoi segmentele/unghiurile.
„Cadouri gratuite" din figură: latură comună, unghi comun, unghiuri opuse la vârf, mijloc de segment, bisectoare.
Proprietatea bisectoarei: orice punct de pe bisectoarea unui unghi este la distanțe egale de laturile unghiului.
Proprietatea mediatoarei: orice punct de pe mediatoarea unui segment este la distanțe egale de capetele segmentului.

Greșeli frecvente

Sari peste demonstrația triunghiurilor. Mulți elevi scriu direct „deci $A B = A C$ " fără să fi arătat întâi că triunghiurile sunt congruente. Concluzia despre segmente vine doar după ce ai scris congruența triunghiurilor și ai invocat e.c.t.c.c.
Confunzi unghiul „dintre laturi" cu un unghi oarecare. La LUL, unghiul trebuie să fie exact între cele două laturi cunoscute. Dacă unghiul e în alt loc, criteriul nu se aplică. Verifică mereu poziția unghiului pe figură.
Greșești corespondența literelor. Când scrii $△ A B C \equiv △ D E F$ , $A$ corespunde lui $D$ , $B$ lui $E$ , $C$ lui $F$ . Dacă inversezi ordinea, riști să spui că laturi care nu se corespund ar fi egale. Scrie vârfurile congruente în aceeași ordine.
Confunzi proprietatea bisectoarei cu cea a mediatoarei. Bisectoarea ↔ distanțe egale față de laturile unui unghi; mediatoarea ↔ distanțe egale față de capetele unui segment. Ține minte: bisectoare–unghi, mediatoare–segment.

Joc acasă

Jocul 1 — Detectivul de triunghiuri. Ia o foaie și desenează un patrulater cu o diagonală. Marchează două laturi egale (cu rigla, fă-le egale). Provoacă un părinte sau un prieten să descopere, doar prin raționament (nu prin măsurare), care unghiuri ies congruente. Apoi verificați cu raportorul. Discutați ce criteriu ați folosit.

Jocul 2 — Pliul mediatoarei. Pe o foaie, marchează două puncte $A$ și $B$ . Îndoaie foaia astfel încât $A$ să cadă fix peste $B$ . Linia pliului este chiar mediatoarea segmentului $A B$ ! Acum alege un punct oarecare pe pliu, înțeapă-l ușor cu vârful creionului și măsoară distanțele până la $A$ și până la $B$ . Sunt egale? De ce? (Pentru că punctul e pe mediatoare.)

Jocul 3 — Bisectoarea cu hârtie. Desenează un unghi pe o foaie. Îndoaie foaia astfel încât o latură a unghiului să cadă exact peste cealaltă. Pliul format este bisectoarea unghiului. Alege un punct pe pliu și verifică, măsurând perpendicularele, că este egal depărtat de cele două laturi. Ai demonstrat „cu mâna" proprietatea bisectoarei.

Pentru părinți și învățători

Această lecție marchează trecerea de la recunoaștere la demonstrație — un salt cognitiv important pentru un elev de clasa a VI-a. Scopul nu este memorarea, ci formarea unui mod de gândire ordonat: de la ce știu (ipoteză) la ce vreau (concluzie), prin pași logici justificați.

Cum sprijiniți elevul:

Insistați pe desenarea figurii și pe marcarea elementelor cunoscute (segmente egale, unghiuri egale). O figură bine marcată face criteriul evident.
Cereți-i mereu să respecte cei 5 pași. La început poate părea birocratic, dar disciplina structurii previne greșelile și îl pregătește pentru demonstrațiile mai complexe din anii următori.
Verificați înțelegerea cu întrebări de tipul: „De ce sunt aceste două triunghiuri congruente?", „Care e unghiul dintre laturile egale?", „De ce $O M = O M$ ?", „Ce înseamnă e.c.t.c.c.?".

Semnale că a înțeles: poate explica de ce întâi se demonstrează congruența triunghiurilor și abia apoi egalitatea segmentelor; identifică singur „cadourile" din figură (latură comună, unghiuri opuse la vârf); distinge corect proprietatea bisectoarei de cea a mediatoarei.

Dacă se blochează: întoarceți-vă la lecțiile despre criteriile LUL, ULU și LLL. Metoda nu poate funcționa fără criteriile pe care se sprijină.

Întrebări frecvente

Ce este metoda triunghiurilor congruente la clasa a 6-a? Este o tehnică de demonstrație prin care arăți că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, „prinzându-le" în două triunghiuri pe care le dovedești congruente cu un criteriu (LUL, ULU sau LLL). Apoi segmentele sau unghiurile sunt congruente automat, ca elemente corespondente.

Care sunt etapele unei demonstrații cu triunghiuri congruente? Cinci pași: 1) scrii ipoteza și concluzia; 2) identifici cele două triunghiuri; 3) aduni elementele congruente cunoscute; 4) alegi criteriul de congruență; 5) tragi concluzia finală despre segmente sau unghiuri (e.c.t.c.c.). Respectarea ordinii previne greșelile.

Cum demonstrez că două segmente sunt congruente? Cauți două triunghiuri care conțin cele două segmente ca laturi corespondente, dovedești că triunghiurile sunt congruente cu un criteriu, apoi spui că segmentele sunt congruente fiind elemente corespondente. Nu măsori cu rigla — dovedești prin raționament.

Ce înseamnă e.c.t.c.c.? Este prescurtarea de la „elementele corespondente ale triunghiurilor congruente sunt congruente". Adică, dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci toate cele trei laturi și toate cele trei unghiuri care își corespund sunt egale. Este pasul cheie prin care „scoți" segmentul sau unghiul dorit.

Care este proprietatea bisectoarei? Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi se află la distanțe egale față de cele două laturi ale unghiului. Se demonstrează ducând perpendicularele din acel punct pe cele două laturi și arătând că triunghiurile dreptunghice formate sunt congruente.

Care este proprietatea mediatoarei? Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de cele două capete ale segmentului. Se demonstrează comparând cele două triunghiuri formate de punct cu mijlocul și cu capetele segmentului, care sunt congruente prin LUL.

Cum știu ce criteriu de congruență să folosesc? Te uiți la ce elemente egale ai: două laturi și unghiul dintre ele ⇒ LUL; două unghiuri și latura dintre ele ⇒ ULU; toate trei laturile ⇒ LLL. Marchează totul pe figură și criteriul potrivit devine vizibil.

De ce trebuie să demonstrez întâi că triunghiurile sunt congruente? Pentru că egalitatea segmentelor sau unghiurilor decurge din congruența triunghiurilor, nu invers. Concluzia despre elemente este valabilă doar dacă ai stabilit mai întâi că triunghiurile întregi sunt congruente. Este regula de ordine a întregii metode.

Metoda triunghiurilor congruente

Ce vei învăța

Hai să descoperim împreună

De la „a recunoaște" la „a demonstra"

Un mini-exemplu ca să prinzi ideea

Latura comună — secretul ascuns în multe figuri

Etapele unei demonstrații prin metoda triunghiurilor congruente

Cum potrivești corespondența literelor

Proprietatea bisectoarei (demonstrată cu triunghiuri congruente)

Proprietatea mediatoarei (demonstrată cu triunghiuri congruente)

Cum alegi criteriul potrivit

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Segmente congruente cu LUL

Exemplul 2 — Unghiuri congruente cu LLL

Exemplul 3 — Mijlocul unui segment (LUL)

Exemplul 4 — Două perechi de unghiuri congruente (ULU)

Exemplul 5 — Proprietatea mediatoarei în acțiune

Exemplul 6 — Două triunghiuri congruente cu un pas în plus

Să exersăm

Răspunsuri și explicații

De reținut

Greșeli frecvente

Joc acasă

Pentru părinți și învățători

Întrebări frecvente

Continuă cu