Triunghiuri congruente. Elemente corespondente

Ai observat vreodată că două piese de șah identice, două telefoane de același model sau două steaguri tricolore tăiate din aceeași formă se pot suprapune perfect? În geometrie, când două figuri „se potrivesc una peste alta" fără să rămână nimic în plus și nimic în minus, spunem că sunt congruente. În această lecție vom învăța ce înseamnă triunghiuri congruente și, mai ales, cum recunoaștem și notăm corect elementele corespondente: vârfurile, laturile și unghiurile care se „potrivesc" unul cu altul. Este o lecție-cheie: tot capitolul de congruență a triunghiurilor se sprijină pe ea.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici, cu cuvintele tale, ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente (se suprapun perfect).
• Vei ști să recunoști elementele corespondente a două triunghiuri congruente: vârfuri, laturi și unghiuri care se potrivesc.
• Vei ști să notezi corect congruența a două triunghiuri, respectând ordinea vârfurilor.
• Vei ști să citești o notație de congruență și să deduci ce laturi și ce unghiuri sunt congruente.
• Vei ști să folosești simbolul „≡" și să eviți confuzia dintre congruent și egal.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la o idee simplă: suprapunerea perfectă

Imaginează-ți că ai decupat din carton două triunghiuri. Le iei pe rând și încerci să le așezi unul peste celălalt. Dacă reușești să le suprapui astfel încât marginile să se acopere exact, vârf peste vârf și latură peste latură, fără să rămână colțuri care ies în afară, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Cuvântul „congruent" vine din latină și înseamnă, pe scurt, „care se potrivește". În clasa a V-a ai folosit deja ideea de segmente congruente (de aceeași lungime) și de unghiuri congruente (de aceeași măsură). Acum facem pasul firesc mai departe: vorbim despre figuri întregi care se potrivesc.

Definiție. Două triunghiuri sunt congruente dacă, printr-o mișcare (alunecare, rotire sau, dacă e nevoie, întoarcere pe partea cealaltă), unul dintre ele se poate suprapune perfect peste celălalt.

Reține cuvântul-cheie: perfect. Nu „aproximativ", nu „cam la fel", ci exact. Dacă rămâne și un mic colț care iese în afară, triunghiurile nu sunt congruente.

Congruent nu înseamnă „în aceeași poziție"

O greșeală de la început: mulți elevi cred că două triunghiuri sunt congruente doar dacă sunt așezate la fel pe foaie. Fals! Un triunghi poate fi rotit, mutat în altă parte a paginii sau chiar întors ca o oglindă, și totuși să fie congruent cu altul.

Gândește-te la o piesă de puzzle: o poți roti în mână cum vrei, dar forma ei nu se schimbă. La fel, congruența privește forma și mărimea, nu poziția pe foaie.

Vârfurile corespondente: cine se așază peste cine

Acum vine partea cea mai importantă a lecției. Când suprapunem două triunghiuri congruente, fiecare vârf al primului se așază exact peste un vârf al celuilalt. Aceste perechi de vârfuri care „se potrivesc" se numesc vârfuri corespondente.

Să luăm triunghiul $ABC$ și triunghiul $MNP$. Să presupunem că, atunci când le suprapunem perfect:

• vârful $A$ ajunge peste vârful $M$,
• vârful $B$ ajunge peste vârful $N$,
• vârful $C$ ajunge peste vârful $P$.

Atunci spunem că $A$ corespunde lui $M$, $B$ corespunde lui $N$, iar $C$ corespunde lui $P$.

Odată ce știm corespondența vârfurilor, totul despre cele două triunghiuri se deduce imediat. De ce? Pentru că laturile și unghiurile sunt determinate de vârfuri.

Laturile corespondente

O latură este dată de două vârfuri. Dacă vârfurile corespund, atunci și laturile dintre ele corespund. Folosind corespondența $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$:

• latura $AB$ (între $A$ și $B$) corespunde laturii $MN$ (între $M$ și $N$);
• latura $BC$ (între $B$ și $C$) corespunde laturii $NP$ (între $N$ și $P$);
• latura $CA$ (între $C$ și $A$) corespunde laturii $PM$ (între $P$ și $M$).

La suprapunere, laturile corespondente se așază una peste alta, deci au aceeași lungime. Scriem: $$AB\equiv MN,BC\equiv NP,CA\equiv PM.$$

Liniuțele de pe laturi (un semn, două semne, trei semne) sunt limbajul desenului prin care arătăm care laturi sunt congruente. E ca un cod de culori: laturile cu același număr de liniuțe au aceeași lungime.

Unghiurile corespondente

La fel se întâmplă cu unghiurile. Fiecare unghi „stă" într-un vârf. Dacă vârfurile corespund, atunci și unghiurile din acele vârfuri corespund:

• unghiul $\hat{A}$ corespunde unghiului $\hat{M}$;
• unghiul $\hat{B}$ corespunde unghiului $\hat{N}$;
• unghiul $\hat{C}$ corespunde unghiului $\hat{P}$.

La suprapunere, aceste unghiuri se potrivesc exact, deci au aceeași măsură. Scriem: $$\hat{A}\equiv \hat{M},\hat{B}\equiv \hat{N},\hat{C}\equiv \hat{P}.$$

Notarea corectă a congruenței — regula de aur

Acum ajungem la cel mai important lucru tehnic din lecție. Congruența a două triunghiuri se scrie cu simbolul ≡: $$△ABC\equiv △MNP.$$

Dar atenție: ordinea literelor nu este la întâmplare! Ordinea spune cine corespunde cu cine. Litera de pe poziția întâi a primului triunghi corespunde literei de pe poziția întâi a celui de-al doilea, a doua cu a doua, a treia cu a treia.

Așadar, scrierea $△ABC\equiv △MNP$ ne transmite dintr-o privire:

• $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$ (vârfuri),
• $AB\equiv MN$, $BC\equiv NP$, $CA\equiv PM$ (laturi),
• $\hat{A}\equiv \hat{M}$, $\hat{B}\equiv \hat{N}$, $\hat{C}\equiv \hat{P}$ (unghiuri).

Este uimitor: o singură linie de scriere conține șase informații (trei laturi și trei unghiuri congruente)! De aceea notarea corectă este atât de valoroasă — și de aceea ordinea contează enorm.

Regula de aur: scrie literele în ordinea corespondenței. Dacă scrii $△ABC\equiv △NPM$ în loc de $△ABC\equiv △MNP$, ai transmis o cu totul altă informație (acum ai spus că $A\leftrightarrow N$, ceea ce poate fi fals).

O analogie care te ajută să nu greșești

Gândește-te la corespondență ca la o listă de prieteni care își dau mâna. Dacă spui „echipa $A,B,C$ dă mâna cu echipa $M,N,P$ în ordine", atunci $A$ dă mâna cu $M$, $B$ cu $N$, $C$ cu $P$. Dacă schimbi ordinea numelor, schimbi perechile de mâini. La triunghiuri e exact la fel: ordinea literelor = perechile care „își dau mâna".

Consecințele congruenței: pe scurt

Reține esența, fiindcă o vei folosi tot capitolul:

În două triunghiuri congruente, laturile corespondente sunt congruente și unghiurile corespondente sunt congruente. Pe scurt, prescurtarea folosită des este „elemente corespondente congruente".

Mai târziu (lecțiile despre criteriile LUL, ULU și LLL) vei învăța cum demonstrezi că două triunghiuri sunt congruente fără să le decupezi și să le suprapui — folosind doar câteva elemente. Dar mai întâi trebuie să stăpânești bine ce înseamnă congruența și cum se notează. Asta facem acum.

Congruent vs. egal: o distincție de gimnaziu

În clasa a VI-a începem să fim riguroși cu limbajul. Spunem că segmentele sunt congruente (au aceeași lungime) și că lungimile lor sunt egale (numere egale). La fel, unghiurile sunt congruente, iar măsurile lor sunt egale.

• Corect: $AB\equiv MN$ (laturile sunt congruente) sau $AB=MN$ când ne referim la lungimi.
• Corect: $\hat{A}\equiv \hat{M}$ sau $m(\hat{A})=m(\hat{M})$.

Pentru triunghiuri folosim simbolul congruenței: $△ABC\equiv △MNP$. Nu scriem „$△ABC=△MNP$", pentru că două triunghiuri ca figuri nu sunt „același obiect" — sunt două figuri distincte care au aceeași formă și mărime.

Cum recunoști vârfurile corespondente dintr-un desen

Adesea nu ți se spune corespondența direct, ci o citești din desen, după semnele de pe laturi și unghiuri:

1. Caută unghiul marcat la fel în ambele triunghiuri (același număr de arce). Vârfurile acelor unghiuri corespund.
2. Caută laturile marcate la fel (același număr de liniuțe). Ele sunt corespondente.
3. Verifică: vârful comun al două laturi corespondente trebuie să fie un vârf corespondent.

Cu puțin exercițiu, vei „citi" corespondența instantaneu.

Ce „moștenesc" două triunghiuri congruente

Dacă două triunghiuri sunt congruente, ele împart absolut toate proprietățile măsurabile care țin de formă și mărime. Iată ce putem spune cu siguranță despre $△ABC\equiv △MNP$:

• Toate cele trei laturi sunt, două câte două, congruente.
• Toate cele trei unghiuri sunt, două câte două, congruente.
• Perimetrul este același, fiindcă se obține adunând aceleași trei lungimi.
• Aria este aceeași: dacă suprapui perfect un triunghi peste celălalt, acoperă exact aceeași suprafață.
• Dacă unul este dreptunghic (are un unghi de $90^{\circ }$), atunci și celălalt este dreptunghic; dacă unul este isoscel, și celălalt este isoscel; și așa mai departe pentru orice caracteristică de formă.

Pe scurt: congruența este cea mai „tare" formă de asemănare dintre două figuri. Două figuri asemenea (despre care vei învăța mai târziu) au doar aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite. Două figuri congruente au și aceeași formă, și aceeași mărime — sunt copii fidele una a celeilalte.

Ce NU putem deduce din congruență

Este la fel de important să știm ce nu ne spune congruența. Faptul că $△ABC\equiv △MNP$ nu ne spune nimic despre:

• poziția triunghiurilor pe foaie (pot fi oriunde);
• orientarea lor (unul poate fi rotit sau oglindit față de celălalt);
• culoarea, grosimea liniei sau alte detalii de desen — acestea nu fac parte din „forma matematică".

Cu alte cuvinte, congruența privește doar forma și mărimea. Tot restul poate să difere fără ca asta să strice congruența. Hai să vedem totul la lucru în exemple.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește notația

Se dă $△DEF\equiv △KLM$. Scrie toate perechile de laturi și de unghiuri congruente.

Rezolvare. Aliniem literele în ordine: $D\leftrightarrow K$, $E\leftrightarrow L$, $F\leftrightarrow M$.

Vârfuri corespondente: $D\leftrightarrow K$, $E\leftrightarrow L$, $F\leftrightarrow M$.

Laturi corespondente (combinăm vârfurile două câte două, în aceeași ordine): $$DE\equiv KL,EF\equiv LM,FD\equiv MK.$$

Unghiuri corespondente: $$\hat{D}\equiv \hat{K},\hat{E}\equiv \hat{L},\hat{F}\equiv \hat{M}.$$

Idee de reținut: ai obținut 6 informații dintr-o singură linie de notație.

Exemplul 2 — Scrie notația corectă pornind de la corespondență

Două triunghiuri, $RST$ și $XYZ$, se suprapun astfel încât $R$ ajunge peste $Y$, $S$ peste $Z$ și $T$ peste $X$. Scrie congruența corect.

Rezolvare. Trebuie să respectăm ordinea corespondenței. $R\leftrightarrow Y$ (poziția 1), $S\leftrightarrow Z$ (poziția 2), $T\leftrightarrow X$ (poziția 3).

Scriem primul triunghi în ordinea $R,S,T$ și, sub fiecare literă, corespondentul ei: $$△RST\equiv △YZX.$$

Atenție: NU scriem $△RST\equiv △XYZ$! Acea scriere ar însemna $R\leftrightarrow X$, ceea ce este fals. Litera potrivită pentru $R$ este $Y$, deci $Y$ trebuie pusă prima în al doilea triunghi.

De aici deducem, de exemplu, $ST\equiv ZX$ și $\hat{T}\equiv \hat{X}$.

Exemplul 3 — Folosește congruența ca să afli o lungime

Se știe că $△ABC\equiv △MNP$ și că $AB=7$ cm, $BC=5$ cm, $CA=6$ cm. Află lungimile laturilor triunghiului $MNP$.

Rezolvare. Din notație, corespondența este $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$. Laturile corespondente sunt congruente, deci au lungimi egale: $$MN=AB=7\text{ cm},NP=BC=5\text{ cm},PM=CA=6\text{ cm}.$$

Bonus: perimetrul lui $MNP$ este $7+5+6=18$ cm — același cu al lui $ABC$. Triunghiurile congruente au mereu același perimetru, fiindcă au aceleași laturi.

Exemplul 4 — Folosește congruența ca să afli o măsură de unghi

Se dă $△GHI\equiv △JKL$. Se știe că $m(\hat{G})=50^{\circ }$ și $m(\hat{H})=70^{\circ }$. Află $m(\hat{L})$.

Rezolvare. Corespondența: $G\leftrightarrow J$, $H\leftrightarrow K$, $I\leftrightarrow L$. Deci $\hat{I}\equiv \hat{L}$, adică $m(\hat{L})=m(\hat{I})$.

Nu cunoaștem direct $m(\hat{I})$, dar îl putem afla din triunghiul $GHI$. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$ (vezi lecția suma măsurilor unghiurilor unui triunghi): $$m(\hat{I})=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }.$$

Prin urmare $m(\hat{L})=m(\hat{I})=60^{\circ }$.

Exemplul 5 — Verifică dacă o notație de congruență e scrisă corect

Doi elevi au un desen în care $A\leftrightarrow Q$, $B\leftrightarrow R$, $C\leftrightarrow P$. Andrei scrie $△ABC\equiv △QRP$, iar Bianca scrie $△ABC\equiv △PQR$. Cine are dreptate?

Rezolvare. Citim cerința: $A$ corespunde lui $Q$, deci pe prima poziție a triunghiului din dreapta trebuie să stea $Q$. $B$ corespunde lui $R$ (poziția a doua), $C$ corespunde lui $P$ (poziția a treia).

Ordinea corectă în triunghiul al doilea este: $Q$, $R$, $P$. Deci scrierea corectă este $△ABC\equiv △QRP$ — Andrei are dreptate.

Bianca a greșit: scrierea ei $△ABC\equiv △PQR$ ar însemna $A\leftrightarrow P$, ceea ce contrazice datele ($A\leftrightarrow Q$).

Exemplul 6 — Deduci congruențe dintr-un desen cu marcaje

În două triunghiuri, $△UVW$ și $△XYZ$, sunt marcate: latura $UV$ cu o liniuță și latura $XY$ cu o liniuță; latura $VW$ cu două liniuțe și $YZ$ cu două liniuțe; unghiul $\hat{V}$ cu un arc și $\hat{Y}$ cu un arc. Ce vârfuri sunt corespondente și cum scrii congruența (presupunând că triunghiurile sunt congruente)?

Rezolvare. Semnele identice ne ghidează:

• $UV\equiv XY$ și $VW\equiv YZ$ → laturile cu un capăt comun în $V$ (la primul) corespund laturilor cu capăt comun în $Y$ (la al doilea). Deci $V\leftrightarrow Y$.
• Confirmă și unghiul: $\hat{V}\equiv \hat{Y}$, deci chiar $V\leftrightarrow Y$.
• Pe latura $UV\equiv XY$: capătul $V$ corespunde lui $Y$, deci celălalt capăt $U$ corespunde lui $X$.
• Pe latura $VW\equiv YZ$: capătul $V\leftrightarrow Y$, deci $W\leftrightarrow Z$.

Corespondența: $U\leftrightarrow X$, $V\leftrightarrow Y$, $W\leftrightarrow Z$. Scriem: $$△UVW\equiv △XYZ.$$

Exemplul 7 — Problemă combinată: perimetru și unghi

Se dă $△ABC\equiv △DEF$. Se cunosc $AB=9$ cm, $BC=12$ cm, iar perimetrul triunghiului $DEF$ este $33$ cm. În plus, $m(\hat{D})=48^{\circ }$ și $m(\hat{F})=72^{\circ }$. Află lungimea laturii $CA$ și măsura unghiului $\hat{B}$.

Rezolvare. Corespondența dată de notație este $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.

Pentru latura $CA$: triunghiurile fiind congruente, au același perimetru, deci perimetrul lui $ABC$ este tot $33$ cm. Cunoaștem două laturi: $$CA=33-AB-BC=33-9-12=12\text{ cm}.$$

Pentru unghiul $\hat{B}$: din corespondență, $\hat{A}\equiv \hat{D}$ și $\hat{C}\equiv \hat{F}$, deci $m(\hat{A})=48^{\circ }$ și $m(\hat{C})=72^{\circ }$. Folosind suma unghiurilor în triunghiul $ABC$: $$m(\hat{B})=180^{\circ }-48^{\circ }-72^{\circ }=60^{\circ }.$$

Așadar $CA=12$ cm și $m(\hat{B})=60^{\circ }$. Observă cum am combinat două instrumente: congruența (care ne-a dat perimetrul și unghiurile corespondente) și suma unghiurilor unui triunghi (care ne-a dat unghiul lipsă). Multe probleme din capitol arată exact așa.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos — verifică-te abia după ce încerci singur.

1. Completează: Două triunghiuri sunt congruente dacă se pot ________ perfect unul peste celălalt.

2. Adevărat sau fals? Două triunghiuri congruente trebuie să fie așezate la fel pe foaie (în aceeași poziție).

3. Se dă $△ABC\equiv △DEF$. Scrie toate cele trei perechi de laturi corespondente congruente.

4. Se dă $△ABC\equiv △DEF$. Scrie toate cele trei perechi de unghiuri corespondente congruente.

5. Încercuiește scrierea corectă, dacă se știe că $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$, $C\leftrightarrow R$: a) $△ABC\equiv △QPR$ ; b) $△ABC\equiv △PQR$ ; c) $△ABC\equiv △RQP$.

6. $△MNP$ se suprapune perfect peste $△STU$ astfel: $M\leftrightarrow U$, $N\leftrightarrow S$, $P\leftrightarrow T$. Scrie corect congruența celor două triunghiuri.

7. Se dă $△KLM\equiv △XYZ$ cu $KL=8$ cm, $LM=6$ cm, $MK=9$ cm. Află perimetrul triunghiului $XYZ$.

8. Se dă $△ABC\equiv △DEF$ și $m(\hat{A})=40^{\circ }$, $m(\hat{B})=85^{\circ }$. Află $m(\hat{F})$.

9. Potrivește elementul din coloana stângă cu corespondentul lui, știind că $△ABC\equiv △MNP$: a) $AB$ — ... ; b) $\hat{C}$ — ... ; c) $BC$ — ... ; d) $\hat{A}$ — ... (opțiuni: $\hat{M}$, $NP$, $MN$, $\hat{P}$)

10. Adevărat sau fals? Dacă $△ABC\equiv △DEF$, atunci $AC\equiv DF$.

11. Se dă $△RST\equiv △UVW$. Andrei spune că $ST\equiv VW$. Are dreptate? Justifică.

12. Desenează (schițat) două triunghiuri congruente și marchează cu liniuțe și arce trei perechi de elemente corespondente (cel puțin două laturi și un unghi).

13. Se dă $△ABC\equiv △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ și $m(\hat{A})=90^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{A^{\prime }})$?

14. Completează ordinea care lipsește. Dacă $D\leftrightarrow N$, $E\leftrightarrow L$, $F\leftrightarrow K$, atunci $△DEF\equiv △\_\_\_$.

15. Problemă. Două drapele triunghiulare congruente, $△ABC$ și $△MNP$, au fiecare perimetrul de $24$ cm. La primul, $AB=10$ cm și $BC=8$ cm. Cât măsoară latura $MP$?

16. Adevărat sau fals? Scrierile $△ABC\equiv △DEF$ și $△BAC\equiv △EDF$ transmit aceeași corespondență de vârfuri.

17. Se dă $△ABC\equiv △DEF$. Se știe că $m(\hat{D})=55^{\circ }$ și $m(\hat{E})=65^{\circ }$. Triunghiul $ABC$ este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic? (Indicație: află $m(\hat{C})$.)

18. Problemă de logică. Dacă $△ABC\equiv △MNP$ și $△MNP\equiv △XYZ$, ce poți spune despre $△ABC$ și $△XYZ$? Scrie congruența dintre ele.

19. Se dă $△ABC\equiv △DEF$ cu $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $CA=5$ cm. Ce fel de triunghi (după laturi) este $DEF$: isoscel, echilateral sau oarecare? Justifică.

20. Problemă. Se dă $△ABC\equiv △DEF$. Se știe că $DE=2x+1$ (cm) și că latura corespondentă din $ABC$ măsoară $AB=11$ cm. Află valoarea lui $x$.

21. Se dă $△ABC\equiv △DEF$ și $m(\hat{A})=m(\hat{B})$. Ce poți spune despre unghiurile $\hat{D}$ și $\hat{E}$ ale celuilalt triunghi?

22. Problemă. Două triunghiuri congruente, $△ABC\equiv △MNP$, au perimetrul de $30$ cm fiecare. Se știe că $AB=MN$, $BC=NP$, $CA=PM$ și că $AB=BC$, iar $CA=12$ cm. Află lungimile laturilor $MN$ și $NP$.

Răspunsuri și explicații

1. suprapune. Definiția congruenței = suprapunere perfectă.

2. Fals. Congruența nu depinde de poziția pe foaie; triunghiul poate fi rotit, mutat sau oglindit.

3. Corespondența $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$ dă: $AB\equiv DE$, $BC\equiv EF$, $CA\equiv FD$.

4. $\hat{A}\equiv \hat{D}$, $\hat{B}\equiv \hat{E}$, $\hat{C}\equiv \hat{F}$.

5. b) $△ABC\equiv △PQR$. Pentru că $A\leftrightarrow P$ (poziția 1), $B\leftrightarrow Q$ (2), $C\leftrightarrow R$ (3), deci ordinea în al doilea triunghi este $P,Q,R$.

6. Ordinea în primul triunghi este $M,N,P$. Corespondenții: $M\to U$, $N\to S$, $P\to T$. Deci $△MNP\equiv △UST$.

7. Laturile corespondente sunt congruente, deci $XYZ$ are aceleași lungimi: $8,6,9$. Perimetrul $=8+6+9=23$ cm.

8. $\hat{F}\equiv \hat{C}$. Aflăm $m(\hat{C})=180^{\circ }-40^{\circ }-85^{\circ }=55^{\circ }$. Deci $m(\hat{F})=55^{\circ }$.

9. a) $AB$ — $MN$ ; b) $\hat{C}$ — $\hat{P}$ ; c) $BC$ — $NP$ ; d) $\hat{A}$ — $\hat{M}$. (corespondență $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$.)

10. Adevărat. $A\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow F$, deci latura $AC$ corespunde laturii $DF$: $AC\equiv DF$.

11. Are dreptate. Din $△RST\equiv △UVW$ avem $S\leftrightarrow V$, $T\leftrightarrow W$, deci latura $ST$ corespunde laturii $VW$, prin urmare $ST\equiv VW$.

12. Răspuns deschis. Verifică: laturile marcate la fel trebuie să fie congruente, iar vârfurile unghiurilor congruente trebuie să corespundă. Exemplu corect: $△ABC$ și $△DEF$ cu $AB\equiv DE$ (o liniuță), $BC\equiv EF$ (două liniuțe), $\hat{B}\equiv \hat{E}$ (un arc).

13. $\hat{A}\equiv \widehat{A^{\prime }}$, deci $m(\widehat{A^{\prime }})=90^{\circ }$.

14. Ordinea $D,E,F$ → corespondenți $N,L,K$. Deci $△DEF\equiv △NLK$.

15. Perimetrul lui $ABC$ este $24$ cm. $AC=24-10-8=6$ cm. Cum $△ABC\equiv △MNP$, latura $AC$ corespunde laturii $MP$ ($A\leftrightarrow M$, $C\leftrightarrow P$), deci $MP=AC=6$ cm.

16. Adevărat. În ambele scrieri, literele aliniate pe coloane dau aceleași perechi: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. Important e că am mutat literele în aceeași ordine în ambele triunghiuri.

17. $\hat{C}\equiv \hat{F}$. Aflăm $m(\hat{F})=180^{\circ }-55^{\circ }-65^{\circ }=60^{\circ }$, deci $m(\hat{C})=60^{\circ }$. Toate unghiurile lui $ABC$ ($55^{\circ }$, $65^{\circ }$, $60^{\circ }$) sunt mai mici de $90^{\circ }$, deci triunghiul este ascuțitunghic.

18. Congruența se „transmite" (este tranzitivă): dacă primul e congruent cu al doilea, iar al doilea cu al treilea, atunci primul e congruent cu al treilea. Respectând lanțul de corespondențe $A\leftrightarrow M\leftrightarrow X$ etc., scriem $△ABC\equiv △XYZ$.

19. Laturile lui $DEF$ sunt congruente cu cele ale lui $ABC$, deci au lungimile $DE=AB=5$ cm, $EF=BC=7$ cm, $FD=CA=5$ cm. Două laturi sunt egale ($5$ și $5$), iar a treia diferită ($7$), deci $DEF$ este isoscel (nu echilateral, fiindcă nu toate trei laturile sunt egale).

20. Latura corespondentă lui $AB$ este $DE$ ($A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$), deci $DE=AB=11$ cm. Rezolvăm ecuația $2x+1=11$, de unde $2x=10$, deci $x=5$.

21. Din corespondență, $\hat{D}\equiv \hat{A}$ și $\hat{E}\equiv \hat{B}$. Cum $\hat{A}\equiv \hat{B}$, rezultă $\hat{D}\equiv \hat{E}$ — adică și unghiurile $\hat{D}$, $\hat{E}$ sunt congruente între ele. (Cele două triunghiuri sunt, de fapt, isoscele.)

22. Din $AB=BC$ și $AB+BC+CA=30$, cu $CA=12$, avem $2\cdot AB+12=30$, deci $2\cdot AB=18$ și $AB=BC=9$ cm. Cum laturile corespondente sunt congruente: $MN=AB=9$ cm și $NP=BC=9$ cm.

De reținut

• Triunghiuri congruente = se suprapun perfect; au aceeași formă și aceeași mărime, indiferent de poziție.
• La suprapunere apar elementele corespondente: vârfuri, laturi și unghiuri care se potrivesc.
• Notarea contează: în $△ABC\equiv △MNP$, ordinea literelor dă corespondența ($A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$).
• Consecință: în triunghiuri congruente, laturile corespondente și unghiurile corespondente sunt congruente (6 informații dintr-o singură notație).
• Folosește simbolul ≡ pentru congruență; figurile congruente nu se scriu cu „=".

Greșeli frecvente

• Scrii literele în ordine greșită. $△ABC\equiv △MNP$ și $△ABC\equiv △NPM$ spun lucruri diferite. Întotdeauna aliniază vârful întâi cu vârful întâi. Verifică: pune literele una sub alta pe coloane.
• Confunzi laturile corespondente. Latura $AB$ NU corespunde automat laturii „de pe aceeași poziție în desen", ci celei date de vârfurile corespondente ($A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$ ⇒ $AB\equiv MN$). Lasă-te ghidat de corespondența vârfurilor, nu de cum arată pe foaie.
• Crezi că poziția contează. Un triunghi rotit sau oglindit rămâne congruent. Congruența privește forma și mărimea, nu orientarea.
• Folosești „=" în loc de „≡" pentru triunghiuri sau confunzi congruent cu egal. Segmentele/unghiurile sunt congruente; lungimile/măsurile lor sunt egale. Pentru triunghiuri ca figuri, folosește „≡".

Joc acasă

1) Suprapunerea cu hârtie de calc (sau geam). Desenează un triunghi oarecare pe o foaie. Pune deasupra o hârtie de calc (sau lipește foaia pe geam ziua) și copiază exact triunghiul. Decupează copia și încearcă să o suprapui peste original, rotind-o și întorcând-o. Vei vedea că se potrivește mereu — ai construit un triunghi congruent! Notează corespondența vârfurilor.

2) Detectivul de marcaje. Desenează două triunghiuri congruente. Marchează laturile cu una/două/trei liniuțe și unghiurile cu unul/două/trei arce, astfel încât semnele identice să fie pe elemente corespondente. Roagă un părinte sau un coleg să citească corespondența vârfurilor și să scrie notația congruenței. Verificați împreună.

3) Provocarea ordinii. Scrie pe un bilețel o corespondență de vârfuri (de exemplu „$A\to S$, $B\to T$, $C\to R$"). Cere cuiva din familie să scrie corect $△ABC\equiv △???$. Punctezi 1 punct pentru ordinea corectă. Schimbați rolurile. Cine adună primul 5 puncte câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune temelia întregului capitol de congruență. Dacă elevul stăpânește bine corespondența vârfurilor și notarea, criteriile LUL/ULU/LLL care urmează vor fi mult mai ușoare.

Cum sprijiniți:

• Folosiți obiecte fizice. Decupați două triunghiuri identice din carton și lăsați copilul să le suprapună, rotindu-le și întorcându-le. Ideea de „suprapunere perfectă" se înțelege mult mai bine cu mâna decât din carte.
• Insistați pe ordinea literelor. Cea mai frecventă greșeală este scrierea aleatorie a celui de-al doilea triunghi. Trucul „literele una sub alta, pe coloane" elimină aproape toate erorile.
• Cereți elevului să „citească" o notație: dați-i $△ABC\equiv △DEF$ și cereți-i să spună rapid ce este congruent cu $BC$ și cu $\hat{A}$. Dacă răspunde fără ezitare ($EF$, respectiv $\hat{D}$), a înțeles.

Întrebări bune de pus:

• „De ce contează ordinea în care scriu literele?"
• „Dacă $A$ corespunde lui $E$, ce latură corespunde laturii $AB$?"
• „Două triunghiuri congruente au mereu același perimetru? Dar aceleași unghiuri?" (Da la ambele.)

Cum verificați că a înțeles: dați-i o congruență și o lungime/măsură de unghi și cereți-i să afle un element din celălalt triunghi (ca în Exemplele 3 și 4). Dacă folosește corect corespondența, e pe drumul bun.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente? Înseamnă că se pot suprapune perfect unul peste celălalt, potrivindu-se vârf cu vârf și latură cu latură. Au aceeași formă și aceeași mărime, chiar dacă sunt așezate diferit pe foaie. Pe scurt, sunt „identice" ca figură.

Ce sunt elementele corespondente la triunghiurile congruente? Sunt perechile de vârfuri, laturi și unghiuri care se potrivesc atunci când suprapunem triunghiurile. De exemplu, dacă $A$ se așază peste $M$, atunci $A$ și $M$ sunt vârfuri corespondente, iar latura $AB$ corespunde laturii $MN$.

De ce contează ordinea literelor când scriu congruența? Pentru că ordinea spune cine corespunde cu cine. În $△ABC\equiv △MNP$, prima literă $A$ corespunde primei litere $M$ și așa mai departe. Dacă schimbi ordinea, schimbi corespondența și poți scrie ceva fals.

Cum notez corect congruența a două triunghiuri? Folosești simbolul „≡" și scrii vârfurile celui de-al doilea triunghi în aceeași ordine ca vârfurile corespondente din primul. Trucul sigur: scrie literele una sub alta, pe coloane, și verifică fiecare pereche de vârfuri.

Care e diferența dintre congruent și egal? „Congruent" se folosește pentru figuri, segmente și unghiuri care se potrivesc (același simbol „≡"). „Egal" se folosește pentru numere, adică pentru lungimi și măsuri. De exemplu, laturile sunt congruente ($AB\equiv MN$), iar lungimile lor sunt egale ($AB=MN$).

Două triunghiuri congruente au același perimetru? Da, întotdeauna. Pentru că au laturile corespondente congruente, deci aceleași trei lungimi, iar suma lor (perimetrul) este aceeași. La fel, au și aceeași sumă a unghiurilor (mereu $180^{\circ }$, ca la orice triunghi).

Un triunghi rotit sau oglindit mai este congruent cu cel original? Da. Congruența nu ține cont de poziție sau de orientare. Poți roti, muta sau întoarce triunghiul ca în oglindă — atâta timp cât forma și mărimea rămân aceleași, este congruent cu originalul.

Cum aflu o latură sau un unghi necunoscut folosind congruența? Identifici elementul corespondent din celălalt triunghi (cu ajutorul ordinii literelor) și folosești faptul că elementele corespondente sunt congruente. Dacă elementul corespondent nu e dat direct, îl poți afla din celelalte date, de exemplu folosind suma unghiurilor de $180^{\circ }$ sau perimetrul.

Câte elemente trebuie verificate ca să fim siguri că două triunghiuri sunt congruente? Nu este nevoie să le verifici pe toate șase (trei laturi și trei unghiuri). Există „scurtături" numite criterii de congruență — LUL, ULU și LLL — care îți spun că, dacă se potrivesc doar trei elemente bine alese, atunci automat se potrivesc toate șase. Vei învăța aceste criterii în lecțiile următoare; lecția de față pune baza, arătându-ți ce înseamnă, de fapt, congruența și cum se notează corect.

Pot exista două triunghiuri cu aceleași unghiuri, dar care să nu fie congruente? Da. Dacă două triunghiuri au aceleași trei unghiuri, ele au aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite (unul mic, unul mare) — sunt asemenea, nu neapărat congruente. Pentru congruență e nevoie și ca laturile să se potrivească, nu doar unghiurile. De aceea congruența cere atât forma, cât și mărimea identice.