Descompunerea folosind formula diferenței de pătrate a² − b²

Imaginează-ți că ai o pardoseală pătrată cu latura de $8$ metri și tai din ea un pătrat mic cu latura de $3$ metri, exact într-un colț. Cât material îți rămâne? Ai putea calcula $8^2-3^2=64-9=55$ metri pătrați. Dar există o cale mai deșteaptă: acea suprafață în formă de „echer" se poate rearanja într-un dreptunghi cu laturile $8-3=5$ și $8+3=11$, iar $5\cdot 11=55$. Tocmai ai folosit, fără să știi, formula diferenței de pătrate. În această lecție transformăm acest truc într-un instrument puternic de descompunere în factori, unul dintre cele mai cerute subiecte la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o diferență de pătrate: o scădere între două pătrate perfecte, de forma $a^2-b^2$.
• Vei ști să identifici bazele $a$ și $b$, chiar și când apar coeficienți (de exemplu $9x^2-25$).
• Vei ști să descompui orice diferență de pătrate în produsul $(a-b)(a+b)$.
• Vei ști să combini această formulă cu scoaterea factorului comun și să o aplici de mai multe ori.
• Vei ști să folosești formula pentru calcule numerice rapide, de tipul $101^2-99^2$, fără să ridici la pătrat.

Hai să descoperim împreună

Punctul de plecare: o formulă pe care deja o cunoști

La lecția despre produsul sumei cu diferența ai învățat că, dacă înmulțești o sumă cu diferența acelorași două numere, parantezele „se sparg" frumos și rămâne o scădere de pătrate:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Acum vrem să mergem în sens invers. Adică pornim de la $a^2-b^2$ și vrem să-l scriem ca un produs de doi factori. Această operație se numește descompunere în factori. Citită de la dreapta la stânga, aceeași egalitate devine formula pe care o studiem astăzi:

$$\boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$$

Reține: formula de calcul prescurtat și formula de descompunere sunt aceeași egalitate, doar privită din direcții diferite. La calcul prescurtat desfaci un produs; la descompunere strângi termenii într-un produs.

De ce funcționează? O justificare pas cu pas

Nu trebuie să crezi formula „pe încredere" — o putem verifica prin înmulțire. Desfacem produsul $(a-b)(a+b)$ folosind proprietatea de distributivitate (fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua):

$$(a-b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b-b\cdot a-b\cdot b=a^2+ab-ab-b^2.$$

Termenii din mijloc, $+ab$ și $-ab$, se reduc (se anulează reciproc), pentru că sunt opuși. Rămâne:

$$a^2-b^2.$$

Așadar produsul $(a-b)(a+b)$ este chiar $a^2-b^2$. Egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui $a$ și $b$, iar tocmai de aceea o putem folosi ca instrument sigur.

Pas 1 — Recunoașterea a două pătrate perfecte legate prin scădere

Ca să poți aplica formula, expresia trebuie să îndeplinească trei condiții simultan:

1. să fie exact doi termeni (un binom);
2. ambii termeni să fie pătrate perfecte;
3. între ei să fie semnul minus (o scădere).

Un pătrat perfect este o expresie care poate fi scrisă ca „ceva la pătrat". De exemplu:

• $25=5^2$, deci $25$ este pătrat perfect;
• $x^2=(x{)}^2$, evident;
• $9x^2=(3x{)}^2$, pentru că $(3x{)}^2=3^2\cdot x^2=9x^2$;
• $\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$;
• $49y^4=(7y^2{)}^2$, deoarece $(7y^2{)}^2=49y^4$.

Pentru a verifica rapid dacă un monom este pătrat perfect, pune-ți două întrebări: coeficientul este pătratul unui număr? (ex. $9,16,25,36,49,64,81,100$ sunt pătrate). Și puterea literei este număr par? (pentru că $x^2,x^4,x^6$ sunt pătrate: $x^6=(x^3{)}^2$).

Pas 2 — Identificarea bazelor a și b

După ce ai recunoscut cele două pătrate, trebuie să afli cine este $a$ și cine este $b$, adică bazele lor. Baza este exact expresia care, ridicată la pătrat, dă termenul respectiv.

Regula practică: $a$ este rădăcina pătrată a primului termen, $b$ este rădăcina pătrată a celui de-al doilea termen.

Să luăm $9x^2-25$:

• primul termen: $9x^2=(3x{)}^2\Rightarrow a=3x$;
• al doilea termen: $25=5^2\Rightarrow b=5$.

Nu-ți rămâne decât să scrii direct rezultatul cu formula:

$$9x^2-25=(3x{)}^2-5^2=(3x-5)(3x+5).$$

Truc de siguranță: mereu poți verifica desfăcând produsul înapoi. $(3x-5)(3x+5)=9x^2+15x-15x-25=9x^2-25$. Corect.

Pas 3 — Ordinea factorilor nu contează, dar semnele da

Poți scrie rezultatul fie $(a-b)(a+b)$, fie $(a+b)(a-b)$ — înmulțirea este comutativă, deci ambele sunt corecte. Contează însă ca într-o paranteză să fie minus și în cealaltă plus. Un factor este „$a$ minus $b$", celălalt „$a$ plus $b$".

Pas 4 — Combinarea cu factorul comun (foarte important!)

De multe ori o expresie nu este de la început o diferență de pătrate curată, dar devine una după ce scoți factorul comun. Regula de aur a descompunerilor: întotdeauna cauți mai întâi factor comun, apoi vezi ce a mai rămas în paranteză.

Exemplu: $2x^2-8$. Termenii nu sunt amândoi pătrate perfecte ($2x^2$ nu este pătrat, fiindcă $2$ nu e pătrat). Dar au factor comun $2$:

$$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2).$$

Abia după scoaterea lui $2$ a apărut diferența de pătrate $x^2-4$. Dacă ai fi sărit peste factorul comun, ai fi rămas blocat.

Îți recomand să recitești descompunerea prin scoaterea factorului comun, fiindcă cele două tehnici lucrează mereu împreună.

Pas 5 — Aplicarea repetată a formulei

Uneori, după ce ai descompus o dată, unul dintre factori este iarăși o diferență de pătrate. Atunci aplici formula din nou, până când nu mai poți descompune. Spunem că descompunem complet (până la capăt).

Exemplu-vedetă: $x^4-16$. Aici $x^4=(x^2{)}^2$ și $16=4^2$, deci $a=x^2$, $b=4$:

$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4).$$

Dar primul factor, $x^2-4$, este tot o diferență de pătrate! Îl mai descompunem o dată:

$$x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4).$$

Atenție: factorul $x^2+4$ este o sumă de pătrate, nu se descompune (peste numerele reale de gimnaziu). Doar diferența de pătrate se descompune, nu și suma. Reține clar: $a^2+b^2$ nu are formulă de descompunere la acest nivel.

Pas 6 — Când unul dintre pătrate este „ascuns" ca o paranteză

Formula funcționează chiar dacă baza $a$ sau $b$ este ea însăși o expresie mai mare, de exemplu o paranteză. Ideea rămâne aceeași: recunoști două pătrate și o scădere.

Exemplu: $(x+1{)}^2-9$. Aici $a=x+1$ (fiindcă $(x+1{)}^2$ este deja un pătrat) și $b=3$:

$$(x+1{)}^2-9=[(x+1)-3\left]\right[(x+1)+3]=(x-2)(x+4).$$

Am scris parantezele mari doar ca să nu greșim semnele, apoi am redus termenii asemenea în fiecare.

Pas 7 — Trucul de calcul numeric rapid

Formula nu e utilă doar cu litere; ne ajută să facem calcule mari în minte. Când vezi o scădere de forma „un pătrat minus alt pătrat", nu ridica la pătrat — descompune!

Exemplu: $101^2-99^2$. Cu formula, $a=101$, $b=99$:

$$101^2-99^2=(101-99)(101+99)=2\cdot 200=400.$$

Fără formulă ar fi trebuit să calculezi $10201-9801=400$ — mult mai anevoios. Diferența de pătrate transformă o scădere grea de numere mari într-o simplă înmulțire.

Vom folosi această idee și mai departe, la ecuațiile de forma $a{x}^2-b^2=0$, unde descompunerea în factori este cheia rezolvării prin produsul nul.

Recapitulare: rețeta în trei întrebări

Ca să nu te încurci niciodată, pune-ți, în această ordine, trei întrebări scurte de fiecare dată când vezi o expresie de descompus:

1. Am factor comun? Dacă da, îl scot mai întâi. (Ex. $12x^2-3=3(4x^2-1)$.)
2. Ce a rămas este o diferență de două pătrate perfecte? Verific: doi termeni, ambii pătrate, semnul minus.
3. Cine sunt bazele? Iau rădăcina pătrată a fiecărui termen, scriu $(a-b)(a+b)$ și mă întreb dacă vreun factor se mai descompune.

Această disciplină — factor comun întâi, apoi formula, apoi verific dacă e complet — te scapă de aproape toate greșelile tipice și îți asigură punctajul complet la redactarea de examen. Observă că cele trei tehnici de descompunere pe care le-ai studiat până acum (factor comun, gruparea termenilor și formulele pătratelor) se combină natural cu diferența de pătrate: rar o problemă cere o singură tehnică izolată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — descompunere de bază

Enunț: Descompune în factori $x^2-49$.

Rezolvare: Verificăm cele trei condiții: doi termeni, ambii pătrate perfecte ($x^2=(x{)}^2$ și $49=7^2$), semnul minus. Bazele sunt $a=x$ și $b=7$. Aplicăm formula:

$$x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7).$$

Verificare: $(x-7)(x+7)=x^2+7x-7x-49=x^2-49$. Corect.

Exemplul 2 — coeficienți la ambii termeni

Enunț: Descompune în factori $16a^2-81b^2$.

Rezolvare: $16a^2=(4a{)}^2$ și $81b^2=(9b{)}^2$. Deci baza întâi este $4a$, baza a doua este $9b$:

$$16a^2-81b^2=(4a{)}^2-(9b{)}^2=(4a-9b)(4a+9b).$$

Verificare: $(4a-9b)(4a+9b)=16a^2+36ab-36ab-81b^2=16a^2-81b^2$. Corect.

Exemplul 3 — mai întâi factor comun

Enunț: Descompune complet $3x^2-27$.

Rezolvare: Termenii nu sunt amândoi pătrate ($3x^2$ nu e pătrat perfect), dar au factor comun $3$:

$$3x^2-27=3(x^2-9).$$

Acum $x^2-9$ este o diferență de pătrate cu $a=x$, $b=3$:

$$3x^2-27=3(x-3)(x+3).$$

Verificare: $3(x-3)(x+3)=3(x^2-9)=3x^2-27$. Corect.

Exemplul 4 — aplicare repetată (descompunere completă)

Enunț: Descompune complet $y^4-81$.

Rezolvare: $y^4=(y^2{)}^2$ și $81=9^2$, deci $a=y^2$, $b=9$:

$$y^4-81=(y^2-9)(y^2+9).$$

Primul factor este iar o diferență de pătrate ($y^2-9=(y-3)(y+3)$), al doilea este o sumă de pătrate și rămâne neschimbat:

$$y^4-81=(y-3)(y+3)(y^2+9).$$

Verificare (parțială): $(y-3)(y+3)=y^2-9$, apoi $(y^2-9)(y^2+9)=y^4-81$. Corect.

Exemplul 5 — baza este o paranteză

Enunț: Descompune în factori $(2x-1{)}^2-25$.

Rezolvare: Aici $a=2x-1$ și $b=5$. Aplicăm formula, păstrând paranteze mari:

$$(2x-1{)}^2-25=[(2x-1)-5\left]\right[(2x-1)+5].$$

Reducem termenii asemenea în fiecare paranteză:

$$=(2x-6)(2x+4).$$

Se poate merge mai departe scoțând factori comuni: $2x-6=2(x-3)$ și $2x+4=2(x+2)$, deci forma cea mai simplă este:

$$(2x-1{)}^2-25=2(x-3)\cdot 2(x+2)=4(x-3)(x+2).$$

Verificare: $4(x-3)(x+2)=4(x^2-x-6)=4x^2-4x-24$. Iar $(2x-1{)}^2-25=4x^2-4x+1-25=4x^2-4x-24$. Corect.

Exemplul 6 — calcul numeric rapid

Enunț: Calculează, folosind diferența de pătrate, valoarea expresiei $E=250^2-150^2$.

Rezolvare: Cu $a=250$, $b=150$:

$$E=(250-150)(250+150)=100\cdot 400=40000.$$

Verificare: $250^2=62500$, $150^2=22500$, iar $62500-22500=40000$. Corect — dar mult mai greu de făcut fără formulă.

Exemplul 7 — diferența de două paranteze la pătrat

Enunț: Adu la o formă cât mai simplă expresia $E=(2x+3{)}^2-(2x-3{)}^2$.

Rezolvare: Recunoaștem o diferență de pătrate în care bazele sunt ele însele paranteze: $a=2x+3$ și $b=2x-3$. Aplicăm formula, cu paranteze mari ca să nu greșim semnele:

$$E=[(2x+3)-(2x-3)][(2x+3)+(2x-3)].$$

Reducem termenii asemenea în fiecare paranteză. Prima: $2x+3-2x+3=6$. A doua: $2x+3+2x-3=4x$. Prin urmare:

$$E=6\cdot 4x=24x.$$

Verificare: desfăcând pătratele, $(2x+3{)}^2-(2x-3{)}^2=(4x^2+12x+9)-(4x^2-12x+9)=24x$. Corect — observă cât de repede a scos formula rezultatul, față de calculul direct.

Exemplul 8 — aplicație la o fracție algebrică

Enunț: Simplifică fracția algebrică $\frac{x^2-9}{2x-6}$, precizând valoarea interzisă a lui $x$.

Rezolvare: Aici diferența de pătrate ne ajută să descompunem numărătorul, iar factorul comun ne ajută la numitor. La numărător: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. La numitor scoatem factorul comun $2$: $2x-6=2(x-3)$. Numitorul se anulează pentru $x=3$, deci valoarea interzisă este $x=3$ și punem condiția $x\ne 3$. Fracția devine:

$$\frac{x^2-9}{2x-6}=\frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)}=\frac{x+3}{2},x\ne 3.$$

Am simplificat factorul comun $(x-3)$ de la numărător și numitor.

Verificare: pentru $x=5$, fracția inițială este $\frac{25-9}{10-6}=\frac{16}{4}=4$, iar forma simplificată dă $\frac{5+3}{2}=4$. Corect. Vei folosi exact acest procedeu la lecția despre simplificarea fracțiilor algebrice.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi compară cu secțiunea de răspunsuri. Descompune complet (până când niciun factor nu se mai descompune).

1. Descompune: $x^2-36$.

2. Descompune: $a^2-1$.

3. Descompune: $4x^2-9$.

4. Descompune: $25-y^2$.

5. Descompune: $49m^2-16n^2$.

6. Calculează rapid, cu diferența de pătrate: $102^2-98^2$.

7. Calculează rapid: $57^2-43^2$.

8. Descompune complet (mai întâi factor comun): $5x^2-45$.

9. Descompune complet: $x^4-1$.

10. Descompune: $\frac{1}{9}{x}^2-4$.

11. Descompune, tratând paranteza ca bază: $(x+3{)}^2-16$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „$x^2+25$ se descompune folosind formula diferenței de pătrate."

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „$x^2-5$ este o diferență de pătrate care se descompune cu $a=x$ și $b=\sqrt{5}$, deci $x^2-5=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$."

14. Descompune complet: $18a^3-2a$ (indiciu: scoate întâi factorul comun).

15. Problemă aplicată. O placă metalică pătrată are latura de $x$ cm. Din ea se decupează un pătrat cu latura de $7$ cm. Scrie aria rămasă ca produs de doi factori și calculează-o pentru $x=10$.

16. Item tip Evaluare Națională. Se dă expresia $E(x)=(x-4{)}^2-(x+2{)}^2$. Adu-o la o formă mai simplă folosind diferența de pătrate, apoi calculează $E(5)$.

17. Descompune complet: $x^4-16y^4$.

18. Raționament. Arată că numărul $N=41^2-39^2$ este divizibil cu $8$, folosind descompunerea în factori.

19. Descompune complet: $12x^2-3$ (indiciu: factor comun întâi).

20. Item tip Evaluare Națională. Se dă $F(x)=x^2-16$. Descompune $F(x)$ în factori și determină valorile lui $x$ pentru care $F(x)=0$ (folosește produsul nul: un produs este zero doar dacă unul dintre factori este zero).

21. Descompune complet (factor comun întâi): $50-2x^2$.

22. Simplifică fracția algebrică $\frac{x^2-49}{x-7}$ și precizează valoarea interzisă a lui $x$.

23. Calculează rapid, cu diferența de pătrate: $1000^2-999^2$.

24. Item tip Evaluare Națională. Adu la o formă mai simplă expresia $G(x)=(3x-2{)}^2-(x+4{)}^2$, apoi descompune rezultatul în factori.

Răspunsuri și explicații

1. $a=x$, $b=6$: $x^2-36=(x-6)(x+6)$.

2. $a=a$, $b=1$ (fiindcă $1=1^2$): $a^2-1=(a-1)(a+1)$.

3. $4x^2=(2x{)}^2$, $9=3^2$: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.

4. Atenție la ordine: $25-y^2=5^2-y^2=(5-y)(5+y)$. (Primul termen e pătratul, minus al doilea.)

5. $49m^2=(7m{)}^2$, $16n^2=(4n{)}^2$: $49m^2-16n^2=(7m-4n)(7m+4n)$.

6. $102^2-98^2=(102-98)(102+98)=4\cdot 200=800$.

7. $57^2-43^2=(57-43)(57+43)=14\cdot 100=1400$.

8. Factor comun $5$: $5x^2-45=5(x^2-9)=5(x-3)(x+3)$.

9. $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$. Factorul $x^2+1$ (sumă de pătrate) rămâne neschimbat.

10. $\frac{1}{9}{x}^2={\left(\frac{1}{3}x\right)}^2$, $4=2^2$: $\frac{1}{9}{x}^2-4=\left(\frac{1}{3}x-2\right)\left(\frac{1}{3}x+2\right)$.

11. $a=x+3$, $b=4$: $(x+3{)}^2-16=[(x+3)-4\left]\right[(x+3)+4]=(x-1)(x+7)$.

12. Fals. $x^2+25$ este o sumă de pătrate, nu o diferență. Formula $a^2-b^2$ cere semnul minus; suma de pătrate nu se descompune la acest nivel.

13. Adevărat. Deși $5$ nu este pătratul unui număr întreg, este pătratul lui $\sqrt{5}$ ($(\sqrt{5}{)}^2=5$). Deci $x^2-5=x^2-(\sqrt{5}{)}^2=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$. (De obicei, la descompuneri „în întregi" ne oprim, dar formula rămâne valabilă și cu radicali.)

14. Factor comun $2a$: $18a^3-2a=2a(9a^2-1)=2a(3a-1)(3a+1)$.

15. Aria rămasă $=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$. Pentru $x=10$: $(10-7)(10+7)=3\cdot 17=51$ cm². (Verificare: $100-49=51$ cm².)

16. Cu $a=x-4$, $b=x+2$: $$E(x)=(x-4{)}^2-(x+2{)}^2=[(x-4)-(x+2)][(x-4)+(x+2)].$$ Prima paranteză: $(x-4-x-2)=-6$. A doua: $(x-4+x+2)=2x-2$. Deci $E(x)=-6(2x-2)=-12x+12$. Pentru $x=5$: $E(5)=-12\cdot 5+12=-60+12=-48$. (Verificare directă: $(5-4{)}^2-(5+2{)}^2=1-49=-48$. Corect.)

17. $x^4-16y^4=(x^2{)}^2-(4y^2{)}^2=(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)$. Primul factor se mai descompune: $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$. Rezultat complet: $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)$.

18. $N=41^2-39^2=(41-39)(41+39)=2\cdot 80=160$. Cum $160=8\cdot 20$, numărul este divizibil cu $8$. (Mai mult, forma $2\cdot 80$ arată direct că avem factorul $80$, iar $80=8\cdot 10$.)

19. Factor comun $3$: $12x^2-3=3(4x^2-1)=3(2x-1)(2x+1)$, deoarece $4x^2=(2x{)}^2$ și $1=1^2$.

20. $F(x)=x^2-16=(x-4)(x+4)$. Un produs este zero doar dacă un factor este zero: $x-4=0\Rightarrow x=4$ sau $x+4=0\Rightarrow x=-4$. Deci $F(x)=0$ pentru $x\in \{-4,4\}$. (Verificare: $F(4)=16-16=0$, $F(-4)=16-16=0$.)

21. Factor comun $2$: $50-2x^2=2(25-x^2)=2(5-x)(5+x)$, deoarece $25=5^2$. (Atenție la ordine: primul termen din paranteză este pătratul, $25$, apoi se scade $x^2$.)

22. Numărătorul: $x^2-49=(x-7)(x+7)$; valoarea interzisă este $x=7$ (pentru ea numitorul se anulează), deci lucrăm cu $x\ne 7$. Simplificând factorul $(x-7)$: $\frac{x^2-49}{x-7}=\frac{(x-7)(x+7)}{x-7}=x+7$, pentru $x\ne 7$.

23. $1000^2-999^2=(1000-999)(1000+999)=1\cdot 1999=1999$.

24. Cu $a=3x-2$ și $b=x+4$: $G(x)=[(3x-2)-(x+4)][(3x-2)+(x+4)]=(2x-6)(4x+2)$. Scoatem factorii comuni din fiecare paranteză: $2x-6=2(x-3)$ și $4x+2=2(2x+1)$, deci $G(x)=4(x-3)(2x+1)$. (Verificare: $(3x-2{)}^2-(x+4{)}^2=(9x^2-12x+4)-(x^2+8x+16)=8x^2-20x-12=4(2x^2-5x-3)=4(x-3)(2x+1)$.)

De reținut

• Formula-cheie: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. O paranteză cu minus, una cu plus.
• O expresie este diferență de pătrate doar dacă are doi termeni, ambii pătrate perfecte, legați prin scădere.
• Baza $a$ este rădăcina pătrată a primului termen, baza $b$ este rădăcina pătrată a celui de-al doilea (de exemplu $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$).
• Întâi factorul comun, apoi diferența de pătrate; descompune complet, aplicând formula de câte ori e nevoie.
• Suma de pătrate $a^2+b^2$ nu se descompune la acest nivel — doar diferența.
• La numere: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ transformă o scădere grea într-o înmulțire ușoară (ex. $101^2-99^2=2\cdot 200=400$).

Greșeli frecvente

• Confuzia sumă–diferență. Mulți elevi „descompun" $x^2+9$ ca $(x+3)(x+3)$ sau $(x-3)(x+3)$. Ambele sunt greșite: $x^2+9$ este sumă de pătrate și nu se descompune. Formula funcționează doar cu minus.
• Uitarea coeficientului la bază. La $9x^2-25$ se scrie greșit $(x-5)(x+5)$. Corect este $(3x-5)(3x+5)$, pentru că $9x^2=(3x{)}^2$, nu $(x{)}^2$. Verifică mereu ridicând baza la pătrat.
• Descompunere incompletă. La $x^4-16$ te oprești prea devreme la $(x^2-4)(x^2+4)$. Factorul $x^2-4$ se mai descompune: $(x-2)(x+2)$. Cere-ți mereu: „mai pot descompune vreun factor?"
• Sărirea peste factorul comun. La $2x^2-8$ pare că nu e diferență de pătrate și te blochezi. Scoate întâi $2$: $2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$. Factorul comun scoate la iveală formula.
• Greșeli de semn când baza e o paranteză. La $(x+1{)}^2-9$, mulți scriu direct $x+1-3$ și $x+1+3$ fără paranteze mari și se încurcă. Pune întâi paranteze: $[(x+1)-3][(x+1)+3]$, abia apoi reduci termenii asemenea. La expresii de tip $(2x-1{)}^2-(x+2{)}^2$, unde scazi tot o paranteză la pătrat, atenție să schimbi toate semnele celei de-a doua paranteze: $(2x-1)-(x+2)=2x-1-x-2=x-3$.
• Confundarea rădăcinii cu jumătatea. Baza lui $16$ este $4$ (fiindcă $4^2=16$), nu $8$. Rădăcina pătrată nu înseamnă „împărțit la $2$". Verifică mereu ridicând baza la pătrat: dacă nu obții exact termenul, baza e greșită.

Aplică acasă

• Cronometrul mental. Roagă pe cineva să-ți dea perechi de numere apropiate (ex. $52$ și $48$, $105$ și $95$) și calculează în minte $a^2-b^2$ folosind $(a-b)(a+b)$. Compară cu timpul necesar dacă ai ridica efectiv la pătrat — vei simți puterea formulei.
• Vânătoarea de pătrate. Alege 5 numere pătrate perfecte pe care le vezi în jur (numărul unei case, o vârstă, un preț rotund) și construiește-ți singur diferențe de pătrate, apoi descompune-le. De exemplu, dacă vezi $64$ și $25$, scrie $64-25=8^2-5^2=(8-5)(8+5)=3\cdot 13=39$.
• Proiect „placa decupată". Desenează pe hârtie un pătrat de latură $a$ și decupează un pătrat de latură $b$ dintr-un colț. Taie efectiv figura în forma de echer și rearanjeaz-o într-un dreptunghi. Măsoară laturile dreptunghiului: vei obține $(a-b)$ și $(a+b)$. Ai demonstrat formula cu foarfeca.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este un pilon al unității „Descompuneri în factori" și apare an de an la Evaluarea Națională, atât ca item de sine stătător (descompune / calculează rapid), cât și ca pas intermediar în probleme mai mari: simplificarea fracțiilor algebrice și rezolvarea ecuațiilor de gradul al II-lea prin produsul nul.

Cum verificați dacă elevul a înțeles cu adevărat (nu doar memorat):

• Cereți-i să explice cu cuvintele lui de ce $x^2+4$ nu se descompune. Dacă spune corect „e sumă, nu diferență", a prins ideea esențială.
• Dați-i un exemplu cu coeficient, de tipul $16x^2-9$, și întrebați „cine este $a$ și cine este $b$". Răspunsul corect ($a=4x$, $b=3$) arată că știe să extragă baza, nu doar să copie un tipar.
• Puneți o „capcană" de descompunere incompletă, de exemplu $x^4-1$, și cereți răspunsul complet. Dacă se oprește la $(x^2-1)(x^2+1)$, reamintiți întrebarea-cheie: „mai pot descompune vreun factor?"
• Un test rapid de autocorectare: orice descompunere se verifică înmulțind înapoi. Încurajați-l să facă mereu acest pas — elimină aproape toate greșelile de semn.

Semnul că stăpânește materia: descompune fără ezitare, scoate factorul comun înainte de a căuta pătratele și folosește formula și la calcule numerice, nu doar cu litere.

Întrebări frecvente

Ce este diferența de pătrate la clasa a 8-a? Este o expresie de forma $a^2-b^2$, adică un pătrat perfect minus alt pătrat perfect. Ea se descompune întotdeauna în produsul $(a-b)(a+b)$. Este una dintre formulele de calcul prescurtat pe care le folosești la descompuneri în factori.

Care este formula $a^2-b^2$? Formula este $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: o paranteză conține diferența bazelor, cealaltă suma lor. Ordinea factorilor nu contează, dar semnele da — mereu un minus și un plus.

Cum descompun $9x^2-25$? Recunoști două pătrate: $9x^2=(3x{)}^2$ și $25=5^2$. Deci $a=3x$ și $b=5$, iar $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$. Poți verifica înmulțind parantezele.

Se descompune și suma de pătrate $a^2+b^2$? Nu, la nivel de gimnaziu suma de pătrate $a^2+b^2$ nu se descompune în factori. Formula funcționează doar pentru diferență (semnul minus). Aceasta este cea mai frecventă capcană la examen.

Cum calculez rapid $101^2-99^2$? Folosești diferența de pătrate: $101^2-99^2=(101-99)(101+99)=2\cdot 200=400$. Transformi o scădere de numere mari într-o simplă înmulțire, fără să ridici la pătrat.

De ce trebuie să scot mai întâi factorul comun? Pentru că multe expresii, ca $2x^2-8$, nu par diferențe de pătrate, dar devin după ce scoți factorul comun: $2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$. Regula generală a descompunerilor este: întâi factor comun, apoi formulele.

Ce înseamnă „descompune complet"? Înseamnă să continui până când niciun factor nu se mai poate descompune. De exemplu $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ — te-ai oprit corect doar când ai ajuns la factori care nu mai pot fi descompuși.

Unde folosesc diferența de pătrate mai departe? O vei folosi la simplificarea fracțiilor algebrice, la rezolvarea ecuațiilor de forma $a{x}^2-b^2=0$ prin produsul nul și în probleme de la Evaluarea Națională. Este un instrument pe care îl vei întâlni constant până la finalul clasei a VIII-a și mai departe.