Cum scot factorul comun dintr-o expresie?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Scoaterea factorului comun

Cauți ce se repetă în toți termenii și scoți în față acel factor. Partea numerică este cel mai mare divizor comun al coeficienților, iar partea cu litere ia fiecare literă prezentă peste tot, la puterea cea mai mică întâlnită. Apoi împarți fiecare termen la ce ai scos și treci câturile în paranteză. La $6 x^{3} + 9 x^{2}$ factorul este $3 x^{2}$ , deci rezultatul este $3 x^{2} (2 x + 3)$ . Desfaci paranteza ca să verifici.

A descompune în factori înseamnă să transformi o sumă/diferență într-un produs. Cea mai simplă metodă este scoaterea factorului comun: cauți ce au toți termenii în comun și îl scoți în față.

Factorul comun are două părți:

partea numerică = c.m.m.d.c. al coeficienților;
partea literală = fiecare literă prezentă în toți termenii, la exponentul cel mai mic.

Apoi împarți fiecare termen la factorul comun și scrii câturile în paranteză.

Exemplu: $6 x^{3} + 9 x^{2}$ . C.m.m.d.c. $(6, 9) = 3$ , iar $x$ apare la puterile $3$ și $2$ , deci luăm $x^{2}$ . Factorul comun este $3 x^{2}$ : $6 x^{3} + 9 x^{2} = 3 x^{2} (2 x + 3) .$

Atenție la două capcane: dacă un termen este chiar factorul comun, în paranteză rămâne $1$ (nu „nimic”); iar factorul comun poate fi și o paranteză întreagă, ca în $x (a + b) - 2 (a + b) = (a + b) (x - 2)$ . Verifică mereu desfăcând paranteza!

De reținut

partea numerică = cel mai mare divizor comun al coeficienților
partea literală = literele comune, la puterea cea mai mică
verificarea = desfacerea parantezei

Greșeala tipică

Se scoate factorul comun și termenul care era chiar egal cu el dispare din paranteză. În locul lui trebuie scris $1$ , altfel produsul refăcut nu mai coincide cu expresia de la care ai pornit.

Exerciții din această mini-lecție

Care este factorul comun cel mai mare al expresiei $8 x^{3} + 12 x^{2}$ ?
- a) $4 x^{2}$
- b) $4 x^{3}$
- c) $8 x^{2}$
- d) $2 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 x^{2}$

C.m.m.d.c. $(8, 12) = 4$ , iar $x$ apare la exponenții $3$ și $2$ , deci luăm exponentul minim, $x^{2}$ . Factorul comun este $4 x^{2}$ , iar descompunerea este $8 x^{3} + 12 x^{2} = 4 x^{2} (2 x + 3)$ .
Descompune complet $9 a^{2} b - 6 a b^{2}$ , scoțând factorul comun cel mai mare. Care este rezultatul corect?
- a) $3 ab (3 a - 2 b)$
- b) $3 a (3 ab - 2 b^{2})$
- c) $ab (9 a - 6 b)$
- d) $3 ab (3 a + 2 b)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 ab (3 a - 2 b)$

C.m.m.d.c. $(9, 6) = 3$ ; litera $a$ apare la exponenții $2$ și $1$ → $a$ ; litera $b$ apare la exponenții $1$ și $2$ → $b$ . Factor comun: $3 ab$ . Împărțind: $9 a^{2} b : 3 ab = 3 a$ și $6 a b^{2} : 3 ab = 2 b$ , deci $9 a^{2} b - 6 a b^{2} = 3 ab (3 a - 2 b)$ .
Care este factorul comun cel mai mare al expresiei $12 x^{4} - 18 x^{3}$ ?
- a) $6 x^{3}$
- b) $6 x^{4}$
- c) $12 x^{3}$
- d) $3 x^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 x^{3}$

C.m.m.d.c. $(12, 18) = 6$ , iar $x$ apare la exponenții $4$ și $3$ , deci luăm exponentul minim, $x^{3}$ . Factorul comun cel mai mare este $6 x^{3}$ , iar descompunerea este $12 x^{4} - 18 x^{3} = 6 x^{3} (2 x - 3)$ . Atenție: $3 x^{2}$ (varianta d) chiar este un factor comun, dar nu cel mai mare — după scoaterea lui, în paranteză ar rămâne $4 x^{2} - 6 x$ , care încă se poate descompune.

Întrebări conexe

Cum aflu factorul comun al mai multor termeni?

Iei separat partea numerică și partea cu litere. La numere alegi cel mai mare divizor comun al coeficienților, iar la fiecare literă puterea cea mai mică întâlnită. Din $12 a^{3} b$ și $18 a^{2}$ iese factorul comun $6 a^{2}$ .

De ce se ia puterea cea mai mică a literei, nu cea mai mare?

Pentru că factorul trebuie să încapă în fiecare termen. La $x^{5} + x^{2}$ litera apare și cu exponentul $2$ , deci mai mult de $x^{2}$ nu poți scoate. Dacă ai lua $x^{5}$ , al doilea termen ar cere o împărțire care iese cu exponent negativ.

Pot scoate factor comun o paranteză întreagă?

Da, o paranteză repetată se tratează exact ca o literă. Din $x (a + b) - 2 (a + b)$ scoți $(a + b)$ și rămâne $(a + b) (x - 2)$ . Trucul acesta apare des la descompunerea prin grupare, unde paranteza comună este chiar rezultatul primului pas.

Ce se schimbă dacă scot în față minusul odată cu factorul comun?

Toate semnele dinăuntru se inversează. Din $- 4 x^{2} - 8 x$ scoți $- 4 x$ și rămâne $- 4 x (x + 2)$ , cu plus în paranteză, deși expresia inițială avea două minusuri. Alegi varianta asta când ai nevoie de o paranteză care începe cu plus sau când urmărești o formă anume, folosită mai departe.

Cum folosesc factorul comun ca să calculez repede o sumă de numere?

Grupezi numerele după partea care se repetă în ambii termeni. Astfel $37 \cdot 12 + 37 \cdot 8$ devine $37 (12 + 8) = 37 \cdot 20 = 740$ , adică o singură înmulțire în loc de două și o adunare. Exact aceeași idee stă la baza descompunerii expresiilor cu litere.

De ce este utilă descompunerea în factori mai departe?

Pentru că transformă o sumă într-un produs, iar produsele se pot simplifica în fracții algebrice și se pot egala cu zero în ecuații. Fără această trecere, o ecuație de gradul al doilea nu s-ar putea rezolva la gimnaziu.

Oamenii mai întreabă și: scoaterea factorului comun · cum dau factor comun · factor comun la o expresie algebrică · descompunere prin factor comun · cum scot factorul comun forțat