Descompunerea în factori prin gruparea termenilor

Uneori te uiți la o expresie precum $a x + a y + b x + b y$ și cauți un factor comun pentru toți termenii — dar nu găsești niciunul. Toți termenii sunt diferiți: primul are $a$ și $x$ , al patrulea are $b$ și $y$ . Pare că descompunerea în factori nu e posibilă. Și totuși, cu un mic truc — gruparea termenilor în perechi — expresia se transformă frumos într-un produs. Este exact ideea de care ai nevoie la Evaluarea Națională atunci când o expresie „refuză" să fie descompusă direct. În lecția aceasta înveți să grupezi convenabil, să scoți factorul comun din fiecare grup și să obții produsul final, riguros și fără greșeli.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști când se folosește metoda grupării (expresii cu 4 sau mai mulți termeni, fără factor comun total).
Vei ști să grupezi convenabil termenii în perechi și să scoți factorul comun din fiecare grup.
Vei ști să obții paranteza comună și să scrii expresia ca produs de doi factori.
Vei ști să alegi gruparea potrivită și să tratezi corect semnele minus la grupare.
Vei ști să verifici rezultatul, refăcând înmulțirea produsului obținut.

Hai să descoperim împreună

De la ce plecăm

În lecția anterioară, descompunerea prin scoaterea factorului comun, ai văzut că a descompune în factori înseamnă a scrie o sumă ca un produs. Când toți termenii au un factor comun, îl scoatem în față și gata:

$6 x + 9 = 3 (2 x + 3) .$

Dar ce facem cu o expresie ca aceasta?

$a x + a y + b x + b y .$

Aici nu există un factor care să apară în toți cei patru termeni. Nu putem scoate nimic din față dintr-o dată. Și totuși, expresia se poate descompune. Secretul este să nu privim toți termenii deodată, ci doi câte doi.

Ideea centrală: împărțim „problema mare" în două probleme mici

Metoda grupării spune așa: dacă o expresie are 4 termeni (sau 6, sau 8...) și nu are factor comun total, grupăm termenii în perechi și scoatem factorul comun din fiecare pereche separat. Dacă alegem bine perechile, în urma acestei operații apare aceeași paranteză în ambele grupuri — iar acea paranteză devine noul nostru factor comun.

Să urmărim pas cu pas pe $a x + a y + b x + b y$ .

Pasul 1 — grupăm în perechi. Luăm primii doi termeni împreună și ultimii doi împreună:

$grupul I (a x + a y) + grupul II (b x + b y) .$

Pasul 2 — scoatem factorul comun din fiecare grup.

În grupul I, $a x + a y$ , factorul comun este $a$ : $a x + a y = a (x + y)$ .
În grupul II, $b x + b y$ , factorul comun este $b$ : $b x + b y = b (x + y)$ .

Obținem:

$a (x + y) + b (x + y) .$

Pasul 3 — observăm paranteza comună. Priviți: și primul, și al doilea termen conțin acum exact aceeași paranteză, $(x + y)$ . Asta e „steaua" pe care o urmăream. Acum $(x + y)$ joacă rolul unui factor comun obișnuit, ca și cum ar fi un simplu număr:

$a \cdot (x + y) + b \cdot (x + y) = (x + y) \cdot (a + b) .$

Pasul 4 — scriem produsul final.

$a x + a y + b x + b y = (x + y) (a + b) .$

Am transformat o sumă de patru termeni într-un produs de doi factori. Asta e tot ce înseamnă descompunerea prin gruparea termenilor clasa 8.

De ce funcționează? (justificarea)

Nu e magie, e proprietatea de distributivitate citită „invers". Știi că $(x + y) (a + b) = (x + y) \cdot a + (x + y) \cdot b = a x + a y + b x + b y .$ Deci $(x + y) (a + b)$ chiar este egal cu suma de patru termeni. Metoda grupării doar ne arată drumul de la sumă înapoi spre produs, când produsul nu se vede din prima. De aceea, la final, putem oricând verifica refăcând înmulțirea: dacă redesfacem parantezele și obținem expresia inițială, descompunerea e corectă.

Cum recunosc că trebuie să grupez?

Folosește metoda grupării când vezi aceste semne:

Expresia are 4 termeni (uneori 6). Este cazul tipic.
Nu există un factor comun în toți termenii (dacă ar exista, l-ai scoate întâi — vezi mai jos).
Termenii pot fi „împerecheați" astfel încât fiecare pereche să aibă propriul factor comun.

Atenție — pasul zero, mereu: înainte de a grupa, verifică dacă nu cumva toți termenii au totuși un factor comun. Dacă au, scoate-l mai întâi. De exemplu, în $2 a x + 2 a y + 2 b x + 2 b y$ toți termenii au factorul $2$ ; scoatem $2$ întâi, apoi grupăm ce rămâne. Descompunerea prin gruparea termenilor clasa a 8-a se face după ce ai epuizat factorul comun total.

Rolul semnelor: cazul cel mai „prietenos" cu greșelile

Cel mai des greșit pas apare când al doilea grup începe cu minus. Priviți expresia:

$a x - a y - b x + b y .$

Grupăm: $(a x - a y) + (- b x + b y)$ .

Din primul grup scoatem $a$ : $a x - a y = a (x - y)$ .
Din al doilea grup, $- b x + b y$ , ne dorim tot paranteza $(x - y)$ . Pentru asta scoatem $- b$ (minus b), nu $+ b$ : $- b x + b y = - b (x - y) .$ Verifică: $- b \cdot x = - b x$ și $- b \cdot (- y) = + b y$ . Corect.

Astfel: $a (x - y) - b (x - y) = (x - y) (a - b) .$

Regula de aur a semnelor: când grupul începe cu minus, scoate factorul comun cu tot cu semnul minus și schimbă semnele din paranteză. Alege întotdeauna factorul astfel încât în ambele grupuri să rămână exact aceeași paranteză. Dacă parantezele ies diferite (de exemplu $(x - y)$ și $(y - x)$ ), înseamnă că trebuie să corectezi semnul factorului scos.

Un truc util: $(y - x) = - (x - y)$ . Deci dacă îți iese $(x - y)$ într-un grup și $(y - x)$ în celălalt, dă factor $(- 1)$ ca să le faci identice.

O analogie ca să „vezi" mecanismul

Imaginează-ți că ai patru cutii de piese și vrei să le organizezi. Primele două cutii conțin piese cu litera $a$ (o cutie cu $x$ bucăți, alta cu $y$ ), iar ultimele două conțin piese cu litera $b$ (tot $x$ și $y$ bucăți). În loc să numeri totul la grămadă, tu grupezi întâi piesele după literă: „atâtea de tip $a$ " înseamnă $a (x + y)$ , „atâtea de tip $b$ " înseamnă $b (x + y)$ . Observi că, în ambele cazuri, ai aceeași combinație $(x + y)$ — și atunci poți spune scurt: „am $(x + y)$ seturi, dintre care $a$ de un fel și $b$ de altul", adică $(x + y) (a + b)$ . Gruparea termenilor nu e altceva decât o organizare inteligentă a unei sume dezordonate.

Gruparea funcționează și cu numere

Metoda nu este doar pentru litere. Privește suma $12 \cdot 5 + 12 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 8 \cdot 3$ . Grupăm după primul factor: $12 (5 + 3) + 8 (5 + 3) = (5 + 3) (12 + 8) = 8 \cdot 20 = 160.$ Am transformat patru înmulțiri și trei adunări într-un singur produs simplu. Este exact aceeași idee ca la $a x + a y + b x + b y$ , doar că literele au devenit numere. Reține acest lucru: la Evaluarea Națională apar uneori itemi în care ți se cere să calculezi „inteligent" o expresie numerică — gruparea este unealta potrivită.

Cum ajută gruparea la simplificarea fracțiilor

Una dintre cele mai importante utilizări ale grupării, chiar în programa clasei a VIII-a, este simplificarea fracțiilor algebrice. O fracție se simplifică doar când numărătorul și numitorul sunt scrise ca produse și au un factor comun. Gruparea este exact instrumentul care transformă o sumă într-un produs, deschizând drumul spre simplificare. Privește fracția:

$\frac{a x + a y + b x + b y}{x + y} .$

Numărătorul, descompus prin grupare, este $(x + y) (a + b)$ . Deci fracția devine:

$\frac{( x + y ) ( a + b )}{x + y} = a + b (pentru x + y \neq = 0) .$

Am tăiat factorul comun $(x + y)$ și am obținut o expresie mult mai simplă. Fără descompunere, această simplificare ar fi fost imposibilă — nu ai voie să „tai" termeni dintr-o sumă, ci doar factori dintr-un produs. Ține minte condiția $x + y \neq = 0$ : nu simplificăm niciodată cu o expresie care ar putea fi zero fără s-o menționăm. Vei aprofunda acest lucru în lecția despre fracții algebrice, dar reține de pe acum: gruparea îți pregătește numărătorul pentru simplificare.

Ce faci când sunt 6 termeni

Uneori întâlnești expresii cu 6 termeni. Ideea rămâne aceeași, doar că grupezi $2 + 2 + 2$ sau $3 + 3$ . Să luăm $a x + a y + a z + b x + b y + b z$ . Grupăm câte trei, după literă: $(a x + a y + a z) + (b x + b y + b z) = a (x + y + z) + b (x + y + z) = (x + y + z) (a + b) .$ Din nou, cheia este să apară aceeași paranteză în toate grupurile. Nu contează dacă grupezi câte doi sau câte trei; contează rezultatul.

Alegerea grupării — nu contează cum, contează să meargă

Uneori prima grupare pe care o încerci nu duce la o paranteză comună. Nu e o dramă: reordonează termenii și încearcă altă împerechere. Adunarea e comutativă, deci ai voie să muți termenii.

Exemplu: $a x + b y + a y + b x$ . Dacă grupezi primii doi și ultimii doi, $(a x + b y) + (a y + b x)$ , primul grup nu are factor comun util. Rescrie: $a x + a y + b x + b y$ (am mutat termenii) și acum grupezi ca la început. Rezultat: $(x + y) (a + b)$ .

Morala: dacă gruparea „naturală" nu merge, caută doi termeni care au ceva în comun și pune-i împreună.

Un mic algoritm pe care îl poți urma mereu, în ordinea aceasta: (1) scoate factorul comun total, dacă există; (2) numără termenii rămași și încearcă o împerechere; (3) scoate factorul comun din fiecare grup; (4) dacă apare aceeași paranteză, dă-o în factor; (5) dacă nu apare, reordonează termenii și reia de la pasul 2; (6) verifică refăcând înmulțirea; (7) uită-te dacă vreun factor se mai descompune. Cu acești șapte pași în minte, nu vei rămâne blocat la niciun item de grupare din examen.

Ce câștigăm cu descompunerea?

Descompunerea în factori nu e un scop în sine. Ea îți servește mai departe la:

simplificarea fracțiilor algebrice (vei tăia factori comuni la numărător și numitor — vezi simplificarea fracțiilor algebrice);
rezolvarea ecuațiilor de tip $a x^{2} + b x + c = 0$ prin principiul produsului nul: dacă un produs e zero, măcar un factor e zero;
calcule numerice inteligente, unde un produs se evaluează mult mai ușor decât o sumă lungă.

De aceea gruparea termenilor este o unealtă pe care o vei folosi în multe lecții următoare.

Legătura cu formulele de calcul prescurtat

Uneori, după ce grupezi și scoți paranteza comună, unul dintre factori se mai poate descompune încă o dată — de exemplu cu o formulă de calcul prescurtat învățată deja: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Descompunerea completă înseamnă să mergi până la capăt, adică până când niciun factor nu se mai poate descompune. Privește:

$x^{3} + x^{2} - x - 1.$

Grupăm: $(x^{3} + x^{2}) + (- x - 1) = x^{2} (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 1)$ . Dar $x^{2} - 1$ este o diferență de pătrate, deci $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ . Rezultatul complet este:

$x^{3} + x^{2} - x - 1 = (x + 1) (x - 1) (x + 1) = (x - 1) (x + 1)^{2} .$

Reține deci un principiu de aur: după grupare, uită-te mereu dacă vreun factor se mai poate descompune. Gruparea nu e neapărat ultimul pas.

O capcană clasică: gruparea „falsă"

Nu orice împerechere de patru termeni duce la o descompunere. Ia, de exemplu, $a x + b y + c x + d y$ cu litere toate diferite. Grupăm $(a x + b y) + (c x + d y)$ : niciun grup nu are factor comun. Rescriem după $x$ și $y$ : $(a x + c x) + (b y + d y) = x (a + c) + y (b + d)$ — dar acum parantezele $(a + c)$ și $(b + d)$ nu coincid, deci expresia nu se poate descompune prin grupare. Concluzia: gruparea funcționează doar când structura expresiei o permite; dacă nicio reordonare nu produce o paranteză comună, expresia respectivă este deja în forma ei cea mai simplă. Este important să recunoști și acest caz, ca să nu pierzi timp forțând o descompunere inexistentă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — cazul de bază

Descompune în factori: $E = 5 x + 5 y + a x + a y$ .

Grupăm: $(5 x + 5 y) + (a x + a y)$ . Scoatem factorul comun din fiecare grup: $5 (x + y) + a (x + y) .$ Paranteza comună este $(x + y)$ : $E = (x + y) (5 + a) .$ Verificare: $(x + y) (5 + a) = 5 x + a x + 5 y + a y = 5 x + 5 y + a x + a y$ . ✓

Exemplul 2 — cu minus în al doilea grup

Descompune: $E = 3 m - 3 n + x m - x n$ .

Grupăm: $(3 m - 3 n) + (x m - x n)$ . Scoatem factorul comun: $3 (m - n) + x (m - n) .$ Paranteza comună $(m - n)$ : $E = (m - n) (3 + x) .$ Verificare: $(m - n) (3 + x) = 3 m + x m - 3 n - x n = 3 m - 3 n + x m - x n$ . ✓

Exemplul 3 — al doilea grup începe cu minus

Descompune: $E = 2 ab - 6 a - b + 3$ .

Aici trebuie grijă la semne. Grupăm primii doi și ultimii doi: $(2 ab - 6 a) + (- b + 3) .$

Din primul grup scoatem $2 a$ : $2 ab - 6 a = 2 a (b - 3)$ .
Din al doilea grup, $- b + 3$ , vrem paranteza $(b - 3)$ ; scoatem factorul $- 1$ : $- b + 3 = - (b - 3) .$ Obținem: $2 a (b - 3) - 1 \cdot (b - 3) = (b - 3) (2 a - 1) .$ Verificare: $(b - 3) (2 a - 1) = 2 ab - b - 6 a + 3 = 2 ab - 6 a - b + 3$ . ✓

Exemplul 4 — cu pătrate (grad mai mare)

Descompune: $E = x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

Grupăm: $(x^{3} + x^{2}) + (x + 1)$ .

Din primul grup scoatem $x^{2}$ : $x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)$ .
Al doilea grup este chiar $(x + 1)$ ; îl privim ca $1 \cdot (x + 1)$ . $x^{2} (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) = (x + 1) (x^{2} + 1) .$ Verificare: $(x + 1) (x^{2} + 1) = x^{3} + x + x^{2} + 1 = x^{3} + x^{2} + x + 1$ . ✓

Observație: $x^{2} + 1$ nu se mai descompune (suma de pătrate nu are formulă la gimnaziu), deci ne oprim aici.

Exemplul 5 — după ce scoatem întâi factorul comun total

Descompune complet: $E = 4 a x + 4 a y + 8 b x + 8 b y$ .

Pasul 0 — factor comun total. Toți termenii se împart la $4$ : $E = 4 (a x + a y + 2 b x + 2 b y) .$ Acum grupăm în paranteză: $a x + a y + 2 b x + 2 b y = a (x + y) + 2 b (x + y) = (x + y) (a + 2 b) .$ Rezultat final: $E = 4 (x + y) (a + 2 b) .$ Verificare (parțial): $(x + y) (a + 2 b) = a x + 2 b x + a y + 2 b y$ ; înmulțit cu $4$ dă $4 a x + 8 b x + 4 a y + 8 b y$ , adică expresia inițială. ✓

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională

Se dă expresia $E = x y + 2 x + 3 y + 6$ . a) Descompune $E$ în factori. b) Calculează valoarea lui $E$ pentru $x = 8$ și $y = 4$ , folosind forma descompusă.

a) Grupăm: $(x y + 2 x) + (3 y + 6) = x (y + 2) + 3 (y + 2) = (y + 2) (x + 3)$ .

b) Cu forma descompusă, calculul e ușor: $E = (y + 2) (x + 3) = (4 + 2) (8 + 3) = 6 \cdot 11 = 66$ . Verificare directă: $x y + 2 x + 3 y + 6 = 8 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 + 6 = 32 + 16 + 12 + 6 = 66$ . ✓

De ce contează? La examen, forma descompusă îți dă un calcul mult mai scurt și mai sigur decât înlocuirea directă în suma de patru termeni — mai puține operații înseamnă mai puține șanse de greșeală.

Exemplul 7 — alegerea grupării potrivite

Descompune: $E = 12 a + 8 b + 3 a c + 2 b c$ .

O primă încercare — primii doi și ultimii doi: $(12 a + 8 b) + (3 a c + 2 b c) = 4 (3 a + 2 b) + c (3 a + 2 b) = (3 a + 2 b) (4 + c) .$ Din prima grupare a apărut deja paranteza comună $(3 a + 2 b)$ , deci nu a fost nevoie să reordonăm. Verificare: $(3 a + 2 b) (4 + c) = 12 a + 3 a c + 8 b + 2 b c = 12 a + 8 b + 3 a c + 2 b c$ . ✓

Dacă însă am fi grupat nefericit, de exemplu $(12 a + 3 a c) + (8 b + 2 b c)$ , am fi obținut $3 a (4 + c) + 2 b (4 + c) = (4 + c) (3 a + 2 b)$ — același rezultat! Observă că ambele grupări corecte duc la același produs. Asta confirmă că descompunerea unei expresii este unică (până la ordinea factorilor).

Exemplul 8 — reordonarea termenilor

Descompune: $E = a x + b + a + b x$ .

Dacă grupăm așa cum sunt scriși, $(a x + b) + (a + b x)$ , niciun grup nu are factor comun util. Reordonăm convenabil, punând împreună termenii care conțin $x$ și, separat, cei care nu-l conțin:

$E = a x + b x + a + b = (a x + b x) + (a + b) = x (a + b) + 1 \cdot (a + b) = (a + b) (x + 1) .$

Verificare: $(a + b) (x + 1) = a x + a + b x + b = a x + b + a + b x$ . ✓ Morala: nu te bloca la ordinea din enunț — comutativitatea adunării îți dă voie să rearanjezi termenii cum îți convine.

Exemplul 9 — grupare urmată de o a doua descompunere

Descompune complet: $E = a^{3} - a^{2} - 4 a + 4$ .

Grupăm: $(a^{3} - a^{2}) + (- 4 a + 4) = a^{2} (a - 1) - 4 (a - 1) = (a - 1) (a^{2} - 4)$ .

Observăm că $a^{2} - 4 = a^{2} - 2^{2}$ este o diferență de pătrate, deci $a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)$ . Descompunerea completă este:

$E = (a - 1) (a - 2) (a + 2) .$

Verificare (parțial): $(a - 1) (a^{2} - 4) = a^{3} - 4 a - a^{2} + 4 = a^{3} - a^{2} - 4 a + 4$ . ✓ Reține: după grupare, verifică mereu dacă vreun factor se mai descompune.

Să exersăm

Descompune în factori prin gruparea termenilor (exercițiile 1–10). Verifică fiecare rezultat refăcând înmulțirea.

$a x + a y + 3 x + 3 y$
$mn + m + n + 1$
$7 a + 7 b + c a + c b$
$x^{2} + 5 x + x y + 5 y$
$2 a - 2 b + a x - b x$
$6 x y - 9 x + 4 y - 6$
$ab - a - b + 1$
$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$
$3 m^{2} - 3 mn + m - n$ (indiciu: scoate din primul grup $3 m$ )
$10 a x + 5 a y + 4 b x + 2 b y$

Adevărat sau fals (motivează pe scurt):

Descompunerea $2 x + 2 y + a x + a y = (x + y) (2 + a)$ este corectă.
Pentru a grupa, o expresie trebuie să aibă obligatoriu exact 4 termeni.
$ab - a - b + 1 = (a - 1) (b + 1)$ .

Raționament și aplicații:

Descompune folosind o grupare potrivită (reordonează termenii dacă e nevoie): $a x + b y + a y + b x$ .
Se dă $E = x y - 4 x + 2 y - 8$ . a) Descompune $E$ în factori. b) Calculează $E$ pentru $x = 10, y = 4$ folosind forma descompusă.
Arată că numărul $N = 37 \cdot 51 + 37 \cdot 49 + 63 \cdot 51 + 63 \cdot 49$ se poate scrie ca un produs de forma $(37 + 63) (51 + 49)$ și calculează-l. (Indiciu: gruparea funcționează și cu numere!)
Rezolvă ecuația $x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = 0$ , descompunând mai întâi membrul stâng în factori și aplicând principiul produsului nul.
Descompune complet: $E = 5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 x + 10$ (scoate întâi factorul comun total, apoi grupează).
Descompune complet: $E = x^{3} - x^{2} - 9 x + 9$ (indiciu: după grupare, folosește diferența de pătrate).
Descompune reordonând termenii: $E = 2 x + 3 y + 2 x y + 3$ (grupează convenabil termenii).
Se dă $E = ab + 5 a + 2 b + 10$ . a) Descompune $E$ în factori. b) Calculează $E$ pentru $a = 3$ și $b = 7$ folosind forma descompusă.
Rezolvă ecuația $2 x^{2} - 6 x + x - 3 = 0$ prin descompunere și principiul produsului nul.

Răspunsuri și explicații

$(x + y) (a + 3)$ . Din $(a x + a y) + (3 x + 3 y) = a (x + y) + 3 (x + y)$ .
$(n + 1) (m + 1)$ . Din $m (n + 1) + (n + 1)$ ; al doilea grup e $1 \cdot (n + 1)$ .
$(a + b) (7 + c)$ . Din $7 (a + b) + c (a + b)$ .
$(x + 5) (x + y)$ . Din $x (x + 5) + y (x + 5)$ ; grupăm $(x^{2} + 5 x) + (x y + 5 y)$ .
$(a - b) (2 + x)$ . Din $2 (a - b) + x (a - b)$ .
$(2 y - 3) (3 x + 2)$ . Grupăm $(6 x y - 9 x) + (4 y - 6) = 3 x (2 y - 3) + 2 (2 y - 3)$ . Verificare: $(2 y - 3) (3 x + 2) = 6 x y + 4 y - 9 x - 6$ . ✓
$(a - 1) (b - 1)$ . Din $(ab - a) + (- b + 1) = a (b - 1) - 1 \cdot (b - 1)$ . Verificare: $(a - 1) (b - 1) = ab - a - b + 1$ . ✓
$(x + 2) (x^{2} + 5)$ . Din $x^{2} (x + 2) + 5 (x + 2)$ ; $x^{2} + 5$ nu se mai descompune.
$(m - n) (3 m + 1)$ . Din $3 m (m - n) + 1 \cdot (m - n)$ . Verificare: $(m - n) (3 m + 1) = 3 m^{2} + m - 3 mn - n$ . ✓
$(2 x + y) (5 a + 2 b)$ . Grupăm după $a$ și $b$ : $(10 a x + 5 a y) + (4 b x + 2 b y) = 5 a (2 x + y) + 2 b (2 x + y)$ . Verificare: $(2 x + y) (5 a + 2 b) = 10 a x + 4 b x + 5 a y + 2 b y$ . ✓
Adevărat. $2 (x + y) + a (x + y) = (x + y) (2 + a)$ ; refăcând înmulțirea obținem exact expresia dată.
Fals. Se poate grupa și la 6, 8 termeni etc. Numărul tipic e 4, dar nu e o regulă absolută; contează să apară o paranteză comună.
Fals. Descompunerea corectă este $ab - a - b + 1 = a (b - 1) - (b - 1) = (a - 1) (b - 1)$ , iar $(a - 1) (b - 1) = ab - a - b + 1$ . Afirmația din enunț scrie $(a - 1) (b + 1)$ , care desfăcut dă $ab + a - b - 1 \neq = ab - a - b + 1$ . Deci forma din enunț este greșită; corect este $(a - 1) (b - 1)$ .
$(x + y) (a + b)$ . Reordonăm: $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)$ .
a) $E = (y - 4) (x + 2)$ : din $(x y - 4 x) + (2 y - 8) = x (y - 4) + 2 (y - 4)$ . b) $E = (4 - 4) (10 + 2) = 0 \cdot 12 = 0$ . Verificare directă: $10 \cdot 4 - 4 \cdot 10 + 2 \cdot 4 - 8 = 40 - 40 + 8 - 8 = 0$ . ✓
$N = 37 \cdot 51 + 37 \cdot 49 + 63 \cdot 51 + 63 \cdot 49 = 37 (51 + 49) + 63 (51 + 49) = (51 + 49) (37 + 63) = 100 \cdot 100 = 10000$ .
$x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x (x + 3) + 2 (x + 3) = (x + 3) (x + 2)$ . Ecuația $(x + 3) (x + 2) = 0$ dă, prin produs nul, $x + 3 = 0$ sau $x + 2 = 0$ , deci $x = - 3$ sau $x = - 2$ . $S = {- 3, - 2}$ .
$E = 5 (x^{3} + x^{2} + 2 x + 2) = 5 (x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)) = 5 (x + 1) (x^{2} + 2)$ . Verificare: $(x + 1) (x^{2} + 2) = x^{3} + 2 x + x^{2} + 2$ ; înmulțit cu 5 dă $5 x^{3} + 5 x^{2} + 10 x + 10$ . ✓
$(x - 1) (x - 3) (x + 3)$ . Din $(x^{3} - x^{2}) + (- 9 x + 9) = x^{2} (x - 1) - 9 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 9)$ ; apoi $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ . Verificare: $(x - 1) (x^{2} - 9) = x^{3} - 9 x - x^{2} + 9 = x^{3} - x^{2} - 9 x + 9$ . ✓
$(y + 1) (2 x + 3)$ . Reordonăm: $2 x + 2 x y + 3 y + 3 = 2 x (1 + y) + 3 (y + 1) = (y + 1) (2 x + 3)$ . Verificare: $(y + 1) (2 x + 3) = 2 x y + 3 y + 2 x + 3$ . ✓
a) $E = (b + 5) (a + 2)$ : din $a (b + 5) + 2 (b + 5)$ . b) $E = (7 + 5) (3 + 2) = 12 \cdot 5 = 60$ . Verificare directă: $3 \cdot 7 + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 7 + 10 = 21 + 15 + 14 + 10 = 60$ . ✓
$2 x^{2} - 6 x + x - 3 = 2 x (x - 3) + 1 \cdot (x - 3) = (x - 3) (2 x + 1)$ . Ecuația $(x - 3) (2 x + 1) = 0$ dă, prin produs nul, $x - 3 = 0$ sau $2 x + 1 = 0$ , deci $x = 3$ sau $x = - \frac{1}{2}$ . $S = {- \frac{1}{2}, 3}$ .

De reținut

Când grupezi: expresie cu 4 (sau mai mulți) termeni, fără factor comun total. Verifică întâi dacă poți scoate un factor comun din toți termenii; dacă poți, fă-o mai întâi.
Cum grupezi: împerechezi termenii, scoți factorul comun din fiecare grup, până apare aceeași paranteză în ambele grupuri.
Formula-model: $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)$ .
Semnele: dacă grupul începe cu minus, scoate factorul cu tot cu semnul minus; ține minte $(y - x) = - (x - y)$ .
Verifică mereu: refă înmulțirea produsului obținut — trebuie să reapară expresia inițială.

Greșeli frecvente

Uiți să scoți întâi factorul comun total. Rezultatul rămâne nedescompus complet. Regula: pasul 0 e mereu factorul comun al tuturor termenilor.
Greșeli de semn la al doilea grup. Când grupul e $- b + \dots$ , elevii scot $+ b$ și obțin paranteze diferite. Scoate $- b$ și verifică desfăcând paranteza.
Parantezele nu ies identice și te oprești. Nu e cazul: reordonează termenii și încearcă altă împerechere — sau dă factor $(- 1)$ dacă ai $(x - y)$ și $(y - x)$ .
Te oprești la $a (x + y) + b (x + y)$ . Acesta e o sumă, nu un produs. Descompunerea nu e gata până nu scrii $(x + y) (a + b)$ .

Aplică acasă

Trucul cu numere mari. Calculează rapid, fără calculator, $23 \cdot 17 + 23 \cdot 13 + 77 \cdot 17 + 77 \cdot 13$ grupând ca la exercițiul 16. Verifică apoi cu calculatorul că ai obținut $23 \cdot 17 + \dots$ . (Răspuns de control: $(17 + 13) (23 + 77) = 30 \cdot 100 = 3000$ .)
Fabrica de expresii. Alege tu patru litere sau numere pentru $a, b, x, y$ și scrie expresia $a x + a y + b x + b y$ . Descompune-o și verifică, apoi dă expresia unui coleg fără forma descompusă și cere-i să o factorizeze — comparați rezultatele.
Pod spre ecuații. Ia ecuația $x^{2} + 4 x + 3 x + 12 = 0$ , descompune membrul stâng prin grupare și rezolv-o prin produs nul. Notează pașii curat, ca la examen, ca să te obișnuiești cu redactarea pentru punctaj. (Răspuns de control: $(x + 4) (x + 3) = 0$ , deci $x = - 4$ sau $x = - 3$ .)
Descompunere completă. Descompune $E = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ prin grupare, apoi verifică dacă vreun factor se mai poate descompune cu diferența de pătrate. (Răspuns de control: $(x - 3) (x - 1) (x + 1)$ .)
Simplificare de fracție. Simplifică fracția $\frac{ab + 2 a + 3 b + 6}{b + 2}$ , descompunând mai întâi numărătorul prin grupare. Precizează pentru ce valoare a lui $b$ fracția nu are sens. (Răspuns de control: se simplifică la $a + 3$ , pentru $b \neq = - 2$ .)

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la „sumă" la „produs", esențială pentru fracțiile algebrice și pentru ecuațiile de tip $a x^{2} + b x + c = 0$ din a doua parte a anului. La Evaluarea Națională, gruparea apare frecvent în subiectul II, la itemi de forma „descompuneți în factori și apoi calculați / simplificați / rezolvați ecuația".

Cum verificați că elevul a înțeles, nu doar a memorat:

Cereți-i să vă explice de ce grupăm câte doi termeni și de ce apare paranteza comună.
Puneți-i o expresie cu semn minus în al doilea grup (ex. $2 ab - 6 a - b + 3$ ) și urmăriți dacă tratează corect semnul factorului scos.
Întrebați „cum verifici că e corect?" — răspunsul așteptat este refacerea înmulțirii.
Dați-i o grupare care „nu iese" din prima (ex. $a x + b y + a y + b x$ ) și vedeți dacă reordonează termenii, în loc să se blocheze.

Un semn bun de înțelegere reală: elevul nu se oprește la $a (x + y) + b (x + y)$ , ci duce descompunerea până la produsul $(x + y) (a + b)$ și verifică.

O sugestie de lucru acasă: alternați între exerciții „directe" (unde gruparea firească merge din prima) și exerciții care cer reordonare sau atenție la semne. Elevii care rezolvă doar itemi ușori capătă un fals sentiment de siguranță și se blochează la examen când întâlnesc un minus în al doilea grup sau o ordine „amestecată" a termenilor. De asemenea, obișnuiți elevul să scrie fiecare pas — gruparea, factorul scos din fiecare paranteză, paranteza comună — pentru că la Evaluarea Națională punctajul se acordă pe pași, nu doar pe rezultatul final. Un răspuns corect fără justificare pierde puncte, iar un raționament corect scris curat aduce punctaj chiar dacă se strecoară o mică eroare de calcul la final.

Întrebări frecvente

Când folosesc gruparea și nu scoaterea factorului comun? Folosești gruparea când expresia are 4 (sau mai mulți) termeni și nu există un factor prezent în toți termenii. Dacă ar exista un astfel de factor, l-ai scoate direct prin metoda factorului comun. Practic: încearcă întâi factorul comun total; dacă nu merge pentru toți termenii, treci la grupare.

Cum grupez termenii corect la clasa a 8-a? Împerechezi termenii care au ceva în comun, scoți factorul comun din fiecare pereche și urmărești să rămână aceeași paranteză în ambele grupuri. Dacă parantezele ies diferite, reordonează termenii sau ajustează semnul factorului scos.

Ce fac dacă parantezele nu ies la fel? Ai două soluții: fie reordonezi termenii și încerci altă împerechere, fie observi că paranteze de tip $(x - y)$ și $(y - x)$ sunt opuse, adică $(y - x) = - (x - y)$ , și dai factor $(- 1)$ ca să le faci identice.

De ce trebuie să am grijă la semnul minus? Pentru că, dacă al doilea grup începe cu minus, factorul corect de scos include și semnul minus. De exemplu, $- b x + b y = - b (x - y)$ , nu $b (x - y)$ . Verifică întotdeauna desfăcând paranteza: trebuie să reobții termenii inițiali cu semnele lor.

Pot grupa și trei câte trei sau altfel? De obicei grupăm câte doi termeni, dar la 6 termeni poți grupa $2 + 2 + 2$ sau $3 + 3$ , în funcție de ce duce la o paranteză comună. Nu contează cum împarți, contează ca la final să apară același factor în toate grupurile.

Cum verific dacă descompunerea e corectă? Refaci înmulțirea (desfaci parantezele) produsului obținut. Dacă reobții exact expresia de la care ai plecat, descompunerea este corectă. Este cel mai sigur mod de a nu pierde puncte la examen.

La ce îmi folosește descompunerea prin grupare mai departe? O vei folosi la simplificarea fracțiilor algebrice (tai factori comuni la numărător și numitor) și la rezolvarea ecuațiilor de tip $a x^{2} + b x + c = 0$ prin principiul produsului nul, unde un produs egal cu zero înseamnă că măcar un factor este zero.

Apare gruparea la Evaluarea Națională? Da. Este o tehnică frecventă în subiectul de algebră, adesea combinată cu o cerință ulterioară: „descompuneți, apoi calculați valoarea", „simplificați fracția" sau „rezolvați ecuația". A o stăpâni îți aduce puncte sigure și îți ușurează itemii mai grei.

Trebuie să memorez o formulă anume? Nu memorezi o formulă rigidă, ci un algoritm: verifică factorul comun total, grupează termenii în perechi, scoate factorul comun din fiecare grup, dă în factor paranteza comună și, la final, verifică refăcând înmulțirea. Singurul model util de reținut este $a x + a y + b x + b y = (x + y) (a + b)$ , dar și acela se reconstruiește oricând din pași, nu se toacă pe de rost.

Contează ordinea factorilor în răspuns? Nu. $(x + y) (a + b)$ și $(a + b) (x + y)$ sunt același produs, fiindcă înmulțirea este comutativă. La examen, oricare dintre cele două forme este corectă; important este ca factorii, luați ca un tot, să fie cei corecți și descompunerea să fie completă.