De ce (a+b)² nu este egal cu a² + b²?

Pentru că, atunci când înmulțești (a+b)(a+b), apar și produsele „încrucișate" a· b și b· a, care dau împreună 2ab. Cel mai simplu test: pentru a=b=1, (1+1)² = 4, dar 1²+1² = 2. Diferența, chiar 2ab = 2, este exact termenul uitat.

Aplicații ale formulelor de calcul prescurtat

Ai învățat deja, una câte una, cele trei formule de calcul prescurtat: pătratul unei sume, pătratul unei diferențe și produsul sumei cu diferența. Fiecare a fost, până acum, o „unealtă" separată în trusa ta. În această lecție le punem pe toate pe masă în același timp și învățăm ceea ce contează cel mai mult la Evaluarea Națională: să alegi rapid formula potrivită pentru problema din față. Vei calcula $10 3^{2}$ în minte în câteva secunde, vei demonstra egalități care par complicate și vei rezolva probleme reale despre arii, comparări de numere și valori de expresii. Este o lecție de recapitulare activă — puțină teorie nouă, foarte multă strategie și antrenament.

Ce vei învăța

Vei ști să alegi formula potrivită pentru a simplifica sau a calcula rapid o expresie.
Vei ști să faci calcul mental cu numere „urâte" (ca $99$ , $103$ , $998$ ), transformându-le în sume sau diferențe comode.
Vei ști să restrângi și să simplifici expresii algebrice complexe, combinând toate cele trei formule.
Vei ști să demonstrezi egalități și identități numerice și cu litere, redactând corect pentru punctaj.
Vei ști să exprimi și să rezolvi situații concrete (arii, compararea numerelor, valori de expresii) prin calcul algebric.

Hai să descoperim împreună

Recapitulăm cele trei formule într-un singur tablou

Înainte de orice aplicație, avem nevoie ca cele trei formule să fie perfect fixate. Le scriem împreună, ca să le vezi „față în față". Pentru orice numere reale $a$ și $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Observă cele trei diferențe esențiale dintre ele, pentru că exact aici greșesc cei mai mulți elevi:

Primele două formule au trei termeni în rezultat (sunt pătrate perfecte); a treia are doi termeni.
Primele două se deosebesc doar prin semnul termenului din mijloc $2 ab$ : plus la sumă, minus la diferență. Termenii $a^{2}$ și $b^{2}$ sunt mereu pozitivi, pentru că sunt pătrate.
A treia formulă, $a^{2} - b^{2}$ , se numește diferența de pătrate și apare când înmulțești două paranteze care au aceiași termeni, dar semne diferite ( $a - b$ și $a + b$ ).

Dacă vrei să reiei fiecare formulă în detaliu, ai lecțiile dedicate: pătratul unei sume, pătratul unei diferențe și produsul sumei cu diferența. În lecția de față presupunem că le știi și învățăm să le folosim împreună.

Cum aleg formula potrivită? Un algoritm simplu

Când vezi o expresie, pune-ți trei întrebări, în ordine:

Am o singură paranteză ridicată la pătrat? Dacă e $(\dots + \dots)^{2}$ folosesc pătratul sumei; dacă e $(\dots - \dots)^{2}$ folosesc pătratul diferenței.
Am două paranteze înmulțite, cu aceiași doi termeni dar semne opuse? Atunci folosesc diferența de pătrate: rezultatul are doar doi termeni, $a^{2} - b^{2}$ .
Am un rezultat deja desfăcut și vreau să-l „strâng" la loc? Adică am ceva de forma $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ sau $a^{2} - b^{2}$ . Atunci merg invers, de la dreapta la stânga: recunosc formula și scriu paranteza. Aceasta se numește restrângere.

Cheia întregii lecții este că formulele se citesc în ambele sensuri. De la stânga la dreapta le folosim ca să desfacem (dezvoltăm) o expresie; de la dreapta la stânga le folosim ca să restrângem o expresie într-un pătrat sau produs.

Aplicația 1: calculul mental rapid

Prima aplicație spectaculoasă este calculul rapid al unor pătrate sau produse de numere „urâte". Ideea este să scrii numărul urât ca o sumă sau o diferență cu numere rotunde (de obicei o zece, o sută, o mie) și apoi să aplici formula.

Cum alegi? Dacă numărul e puțin peste un număr rotund (de exemplu $103 = 100 + 3$ ), folosești pătratul sumei. Dacă e puțin sub un număr rotund ( $97 = 100 - 3$ ), folosești pătratul diferenței. Iar dacă înmulțești două numere aflate la aceeași distanță de un număr rotund, de o parte și de alta (de exemplu $98 \cdot 102$ , ambele la distanță $2$ de $100$ ), folosești diferența de pătrate.

Să vedem, pas cu pas:

Exemplu A — pătratul sumei. Cât face $10 3^{2}$ ? $10 3^{2} = (100 + 3)^{2} = 10 0^{2} + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^{2} = 10000 + 600 + 9 = 10 609.$ Ai făcut în trei operații simple ceva ce părea o înmulțire lungă.

Exemplu B — pătratul diferenței. Cât face $9 7^{2}$ ? $9 7^{2} = (100 - 3)^{2} = 10 0^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^{2} = 10000 - 600 + 9 = 9 409.$

Exemplu C — diferența de pătrate. Cât face $98 \cdot 102$ ? $98 \cdot 102 = (100 - 2) (100 + 2) = 10 0^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9 996.$ Aici e „vedeta" formulelor: o înmulțire de două numere de trei cifre devine o scădere banală.

Sfat de examen: numărul rotund nu trebuie să fie neapărat $100$ . Poți lucra cu $50$ , cu $200$ , cu $1000$ . De exemplu $5 2^{2} = (50 + 2)^{2} = 2500 + 200 + 4 = 2704$ .

Aplicația 2: restrângerea și simplificarea expresiilor complexe

A doua mare aplicație este să iei o expresie lungă, cu multe paranteze, și să o transformi într-una scurtă. Aici combinăm toate cele trei formule în același calcul. Strategia are trei pași:

Desfaci fiecare pătrat și fiecare produs cu formula potrivită.
Reduci termenii asemenea (aduni și scazi ce se poate). Dacă ai nevoie, revezi reducerea termenilor asemenea.
Verifici dacă rezultatul se mai poate restrânge sau simplifica.

Un fenomen foarte des întâlnit: când aduni un pătrat de sumă cu un pătrat de diferență, termenii din mijloc se anulează, iar când le scazi, rămân doar termenii din mijloc. Să vedem de ce, o dată pentru totdeauna:

$(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = (a^{2} + 2 ab + b^{2}) + (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = 2 a^{2} + 2 b^{2} .$

$(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = (a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = 4 ab .$

Aceste două rezultate sunt identități foarte utile: sunt adevărate pentru orice valori ale lui $a$ și $b$ . Ține-le minte, apar des la Evaluarea Națională.

Mai există o „rudă" a acestor identități, la fel de folositoare, care leagă suma pătratelor de pătratul sumei. Din pătratul sumei, mutând termenul din mijloc, obținem: $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab .$ Cu alte cuvinte, dacă știi cât fac $a + b$ și $a \cdot b$ , poți afla $a^{2} + b^{2}$ fără să cunoști efectiv numerele $a$ și $b$ . Vom folosi această idee într-un exemplu rezolvat; este o tehnică pe care examinatorii o apreciază mult, pentru că arată că înțelegi formula, nu doar că o memorezi.

Aplicația 3: demonstrarea egalităților și identităților

Ce înseamnă „a demonstra o egalitate"? Înseamnă să arăți, prin calcul, că cele două părți (membrul stâng și membrul drept) sunt egale. La gimnaziu, metoda standard este: pornești de la un membru (de obicei cel mai complicat), îl prelucrezi cu formulele și cu reducerea termenilor asemenea, până ajungi exact la celălalt membru.

Este important să înțelegi diferența dintre o egalitate (adevărată pentru anumite valori) și o identitate (adevărată pentru orice valori ale literelor). Când demonstrezi o identitate, nu ai voie să „presupui" că e adevărată și să treci termeni dintr-o parte în alta ca la ecuații — pornești de la o parte și ajungi la cealaltă prin transformări corecte.

Iată o identitate frumoasă pe care o demonstrăm împreună: $(a + b)^{2} - 4 ab = (a - b)^{2} .$ Pornim de la membrul stâng: $(a + b)^{2} - 4 ab = a^{2} + 2 ab + b^{2} - 4 ab = a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2} .$ Am ajuns exact la membrul drept, deci identitatea este adevărată. La final poți scrie „q.e.d." sau pur și simplu tragi o linie și încadrezi concluzia.

La numere, „demonstrarea unei egalități" înseamnă adesea să arăți că o expresie complicată dă un număr frumos, fără să faci calculele „brute". Vom vedea un astfel de exemplu (cu $2024$ ) în secțiunea de exemple.

Aplicația 4: compararea numerelor fără a le calcula

O aplicație elegantă: să compari două numere care, la prima vedere, ar cere calcule mari. Trucul este să folosești diferența de pătrate pentru a transforma o comparație într-o observație simplă despre semn.

De exemplu, vrem să comparăm $A = 2025 \cdot 2023$ cu $B = 202 4^{2}$ . Scriem $A$ cu ajutorul lui $2024$ : $A = (2024 + 1) (2024 - 1) = 202 4^{2} - 1.$ Deci $A = B - 1$ , adică $A < B$ . Nu am calculat niciun număr uriaș! Vei recunoaște acest tipar: produsul „vecinilor" unui număr este mereu cu 1 mai mic decât pătratul numărului, pentru că $(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$ .

Aplicația 5: probleme de arie

Formulele de calcul prescurtat au o interpretare geometrică: pătratul unei sume este chiar aria unui pătrat de latură $a + b$ , iar diferența de pătrate este diferența ariilor a două pătrate. De aceea multe probleme cu arii se rezolvă natural cu aceste formule.

Un exemplu clasic: dacă mărești latura unui pătrat cu $b$ , cu cât crește aria? Pătratul inițial are latura $a$ și aria $a^{2}$ . Cel nou are latura $a + b$ și aria $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . Creșterea de arie este: $(a + b)^{2} - a^{2} = 2 ab + b^{2} .$ Geometric, această creștere este formată din două dreptunghiuri de dimensiuni $a \times b$ (aria $2 ab$ ) și un pătrățel de latură $b$ (aria $b^{2}$ ).

Această „hartă" a pătratului este de fapt o demonstrație geometrică a formulei pătratului sumei. Merită să o desenezi o dată singur — după aceea nu vei mai uita niciodată formula.

Un cuvânt despre redactarea la examen

La Evaluarea Națională nu primești puncte doar pentru rezultatul final, ci pentru fiecare pas justificat. De aceea:

Scrie ce formulă folosești (măcar prin felul în care desfaci paranteza).
Nu sări peste termenul din mijloc $2 ab$ — este exact locul unde se pierd puncte.
La demonstrații, pornește clar dintr-un membru și marchează la final că ai ajuns la celălalt.
Verifică-ți rezultatul, când poți, dând o valoare numerică simplă literelor (de exemplu $a = 1$ , $b = 1$ ).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul mental combinat

Cerință: Calculează rapid, folosind formulele de calcul prescurtat: a) $20 6^{2}$ ; b) $1001 \cdot 999$ ; c) $4 9^{2}$ .

Rezolvare.

a) $206$ este puțin peste $200$ , deci folosim pătratul sumei: $20 6^{2} = (200 + 6)^{2} = 20 0^{2} + 2 \cdot 200 \cdot 6 + 6^{2} = 40000 + 2400 + 36 = 42 436.$

b) Cei doi factori sunt vecinii lui $1000$ , deci folosim diferența de pătrate: $1001 \cdot 999 = (1000 + 1) (1000 - 1) = 100 0^{2} - 1^{2} = 1000000 - 1 = 999 999.$

c) $49$ este puțin sub $50$ , deci folosim pătratul diferenței: $4 9^{2} = (50 - 1)^{2} = 5 0^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2 401.$

Exemplul 2 — Restrângere care combină toate formulele

Cerință: Simplifică expresia $E = (x + 3)^{2} + (x - 3)^{2} - 2 (x + 3) (x - 3)$ .

Rezolvare. Desfacem fiecare bucată:

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ ;
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ ;
$(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ , deci $2 (x + 3) (x - 3) = 2 x^{2} - 18$ .

Înlocuim și reducem termenii asemenea: $E = (x^{2} + 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) - (2 x^{2} - 18) .$ $E = x^{2} + 6 x + 9 + x^{2} - 6 x + 9 - 2 x^{2} + 18.$ $E = (x^{2} + x^{2} - 2 x^{2}) + (6 x - 6 x) + (9 + 9 + 18) = 0 + 0 + 36 = 36.$

Rezultatul este constant: $E = 36$ , oricare ar fi $x$ . Nu întâmplător: expresia era de forma $A^{2} + B^{2} - 2 A B = (A - B)^{2}$ , cu $A = x + 3$ și $B = x - 3$ , deci $E = ((x + 3) - (x - 3))^{2} = 6^{2} = 36$ . Ai văzut aceeași soluție pe două căi — semn că ai înțeles.

Exemplul 3 — Demonstrarea unei identități

Cerință: Demonstrează că, pentru orice numere reale $a$ și $b$ , are loc egalitatea: $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) .$

Rezolvare. Pornim de la membrul stâng și desfacem cele două pătrate: $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = (a^{2} + 2 ab + b^{2}) + (a^{2} - 2 ab + b^{2}) .$ Reducem termenii asemenea (observă că $+ 2 ab$ și $- 2 ab$ se anulează): $= a^{2} + a^{2} + b^{2} + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) .$ Am obținut exact membrul drept, deci egalitatea este adevărată pentru orice $a$ și $b$ .

Exemplul 4 — O egalitate numerică „urâtă" cu rezultat frumos

Cerință: Arată, fără a efectua înmulțiri mari, că numărul $N = 202 4^{2} - 2023 \cdot 2025$ este un număr întreg mic și găsește-i valoarea.

Rezolvare. Observăm că $2023$ și $2025$ sunt vecinii lui $2024$ . Folosim diferența de pătrate pentru produs: $2023 \cdot 2025 = (2024 - 1) (2024 + 1) = 202 4^{2} - 1.$ Înlocuim în $N$ : $N = 202 4^{2} - (202 4^{2} - 1) = 202 4^{2} - 202 4^{2} + 1 = 1.$ Deci $N = 1$ . Un rezultat surprinzător de simplu pentru un calcul care părea imposibil de făcut cu mâna.

Exemplul 5 — Compararea a două numere

Cerință: Compară numerele $A = 35 \cdot 37$ și $B = 3 6^{2}$ , fără a calcula produsele complet.

Rezolvare. $35$ și $37$ sunt vecinii lui $36$ : $A = (36 - 1) (36 + 1) = 3 6^{2} - 1 = B - 1.$ Prin urmare $A = B - 1$ , deci $A < B$ . (Dacă vrem și valorile: $B = 3 6^{2} = 1296$ și $A = 1295$ .)

Exemplul 6 — Valoarea unei expresii pe cale isteață

Cerință: Se dă expresia $E = a^{2} + b^{2}$ . Știind că $a + b = 7$ și $a \cdot b = 10$ , calculează valoarea lui $E$ fără a afla efectiv numerele $a$ și $b$ .

Rezolvare. Aici trucul este să pornim de la pătratul sumei, care leagă exact mărimile pe care le cunoaștem: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} .$ Observăm că în membrul drept apare tocmai $a^{2} + b^{2}$ (adică $E$ ), plus $2 ab$ . Scoatem $E$ : $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab .$ Înlocuim datele: $a + b = 7$ , deci $(a + b)^{2} = 49$ ; iar $ab = 10$ , deci $2 ab = 20$ . Prin urmare: $E = 49 - 20 = 29.$ Această tehnică — de a exprima $a^{2} + b^{2}$ prin $(a + b)^{2} - 2 ab$ — este foarte des folosită la Evaluarea Națională și în concursuri, pentru că îți permite să lucrezi cu suma și produsul, nu cu numerele în sine.

Exemplul 7 — Problemă de arie (item tip Evaluarea Națională)

Cerință: O grădină pătrată are latura de $x$ metri. Proprietarul mărește latura cu $4$ m. a) Scrie, în funcție de $x$ , aria noii grădini. b) Arată că suplimentul de arie față de grădina inițială este $8 x + 16$ metri pătrați. c) Dacă suplimentul de arie este de $96$ m², află latura inițială $x$ .

Rezolvare.

a) Noua latură este $x + 4$ , deci noua arie este $(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = x^{2} + 8 x + 16 (m^{2}) .$

b) Grădina inițială avea aria $x^{2}$ . Suplimentul de arie este: $(x + 4)^{2} - x^{2} = (x^{2} + 8 x + 16) - x^{2} = 8 x + 16 (m^{2}) .$

c) Punem condiția $8 x + 16 = 96$ . Aceasta este o ecuație de gradul I: $8 x = 96 - 16 = 80 ⟹ x = 10.$ Latura inițială era de $10$ m. Verificare: grădina veche avea $1 0^{2} = 100$ m², cea nouă $1 4^{2} = 196$ m², iar diferența este $196 - 100 = 96$ m². Corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind toți pașii. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Calculează rapid, folosind formula potrivită: a) $10 2^{2}$ ; b) $9 9^{2}$ ; c) $104 \cdot 96$ .

2. Calculează rapid: a) $20 1^{2}$ ; b) $49 8^{2}$ ; c) $1003 \cdot 997$ .

3. Dezvoltă și reduce termenii asemenea: $(x + 5)^{2} - (x - 5)^{2}$ .

4. Dezvoltă și reduce termenii asemenea: $(2 a + 1)^{2} + (2 a - 1)^{2}$ .

5. Simplifică expresia: $E = (y + 2) (y - 2) + (y - 3)^{2}$ .

6. Restrânge la un singur pătrat: $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

7. Arată că expresia $F = (n + 7)^{2} - (n + 7) (n - 7)$ se poate scrie sub forma $14 (n + 7)$ . (Indicație: desfă ambele bucăți și reduce.)

8. Adevărat sau fals? Justifică prin calcul: a) $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ pentru orice $a, b$ . b) $5 1^{2} - 4 9^{2} = 200$ .

9. Demonstrează identitatea: $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 4 x$ .

10. Fără a calcula produsele, compară numerele $A = 48 \cdot 52$ și $B = 5 0^{2}$ . Care este mai mare și cu cât?

11. Calculează valoarea expresiei $G = (a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ pentru $a = 25$ și $b = 4$ , folosind o identitate (nu înlocuirea directă).

12. Arată, fără înmulțiri mari, că numărul $M = 10 0^{2} - 99 \cdot 101$ este egal cu $1$ .

13. Un pătrat are latura de $a$ cm. Se construiește un al doilea pătrat cu latura mai mare cu $3$ cm. a) Exprimă diferența ariilor celor două pătrate în funcție de $a$ . b) Dacă diferența ariilor este $45$ cm², află latura pătratului mic.

14. Demonstrează că, pentru orice număr natural $n$ , numărul $(2 n + 1)^{2} - (2 n - 1)^{2}$ este divizibil cu $8$ . (Indicație: calculează întâi expresia; apoi arată de ce rezultatul se împarte exact la $8$ .)

15. Se dă expresia $E (x) = (x + 4)^{2} - (x + 1) (x + 7)$ . a) Arată că $E (x)$ este constantă (nu depinde de $x$ ). b) Precizează valoarea constantei.

16. (Tip Evaluarea Națională) Se consideră $a = \frac{1}{2}$ și $b = \frac{1}{3}$ . Calculează $(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ folosind identitatea corespunzătoare.

17. (Provocare) Arată că numărul $P = 123 4^{2} - 1233 \cdot 1235$ nu depinde de „mărimea" numerelor și găsește-i valoarea.

18. (Provocare, raționament) Doi elevi calculează $3 7^{2}$ . Primul scrie $3 7^{2} = (40 - 3)^{2}$ , al doilea scrie $3 7^{2} = (35 + 2)^{2}$ . Duceți ambele calcule până la capăt și verificați că dau același rezultat.

19. Se știe că $a + b = 6$ și $a \cdot b = 8$ . Calculează $a^{2} + b^{2}$ fără a afla numerele $a$ și $b$ .

20. (Tip Evaluarea Națională) Se dă expresia $E (x) = (x - 2)^{2} + (x + 2)^{2}$ . a) Arată că $E (x) = 2 x^{2} + 8$ . b) Găsește cea mai mică valoare pe care o poate lua $E (x)$ și pentru ce valoare a lui $x$ se obține. (Indicație: $x^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ .)

Răspunsuri și explicații

1. a) $10 2^{2} = (100 + 2)^{2} = 10000 + 400 + 4 = 10404$ . b) $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ . c) $104 \cdot 96 = (100 + 4) (100 - 4) = 10000 - 16 = 9984$ .

2. a) $20 1^{2} = (200 + 1)^{2} = 40000 + 400 + 1 = 40401$ . b) $49 8^{2} = (500 - 2)^{2} = 250000 - 2000 + 4 = 248004$ . c) $1003 \cdot 997 = (1000 + 3) (1000 - 3) = 1000000 - 9 = 999991$ .

3. $(x + 5)^{2} - (x - 5)^{2} = (x^{2} + 10 x + 25) - (x^{2} - 10 x + 25) = 20x$ . (Termenii $x^{2}$ și $25$ se anulează, rămâne dublul termenului din mijloc.)

4. $(2 a + 1)^{2} + (2 a - 1)^{2} = (4 a^{2} + 4 a + 1) + (4 a^{2} - 4 a + 1) = 8 a^{2} + 2$ . (Termenii $\pm 4 a$ se anulează.)

5. $E = (y^{2} - 4) + (y^{2} - 6 y + 9) = 2 y^{2} - 6y + 5$ .

6. $9 x^{2} + 12 x + 4 = (3 x)^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2} = (3x + 2)^{2}$ . (Recunoaștem un pătrat perfect: $a = 3 x$ , $b = 2$ , iar mijlocul $2 ab = 12 x$ se potrivește.)

7. $F = (n^{2} + 14 n + 49) - (n^{2} - 49) = n^{2} + 14 n + 49 - n^{2} + 49 = 14 n + 98$ . Scoatem factorul $14$ : $14 n + 98 = 14 (n + 7)$ . Corect.

8. a) Fals. Formula corectă este $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; lipsește termenul $2 ab$ . Contraexemplu: pentru $a = b = 1$ , $(1 + 1)^{2} = 4$ , dar $1^{2} + 1^{2} = 2$ , iar $4 \neq = 2$ . b) Adevărat. $5 1^{2} - 4 9^{2} = (51 - 49) (51 + 49) = 2 \cdot 100 = 200$ . (Am folosit diferența de pătrate „de la dreapta la stânga".)

9. $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = (x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1) = 4 x$ . Am pornit din membrul stâng și am ajuns la membrul drept, deci identitatea este demonstrată.

10. $A = (50 - 2) (50 + 2) = 5 0^{2} - 4 = B - 4$ . Deci $B$ este mai mare, cu $4$ . ( $A = 2496$ , $B = 2500$ .)

11. Folosim $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ . Deci $G = 4 \cdot 25 \cdot 4 = 400$ .

12. $M = 10 0^{2} - (100 - 1) (100 + 1) = 10 0^{2} - (10 0^{2} - 1) = 1$ .

13. a) Diferența ariilor: $(a + 3)^{2} - a^{2} = a^{2} + 6 a + 9 - a^{2} = 6a + 9$ (cm²). b) $6 a + 9 = 45 ⟹ 6 a = 36 ⟹ a = 6$ cm. Verificare: $9^{2} - 6^{2} = 81 - 36 = 45$ . Corect.

14. $(2 n + 1)^{2} - (2 n - 1)^{2} = (4 n^{2} + 4 n + 1) - (4 n^{2} - 4 n + 1) = 8 n$ . Cum $8 n = 8 \cdot n$ și $n$ este natural, numărul este multiplu de $8$ , adică divizibil cu $8$ . (Se putea și cu diferența de pătrate: $((2 n + 1) - (2 n - 1)) ((2 n + 1) + (2 n - 1)) = 2 \cdot 4 n = 8 n$ .)

15. a) $E (x) = (x^{2} + 8 x + 16) - (x^{2} + 8 x + 7) = x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} - 8 x - 7 = 9$ . (Pentru produsul $(x + 1) (x + 7)$ folosim înmulțirea binoamelor: $x^{2} + 7 x + x + 7 = x^{2} + 8 x + 7$ .) Toți termenii cu $x$ dispar, deci $E (x)$ este constantă. b) Constanta este $9$ .

16. $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

17. $P = 123 4^{2} - (1234 - 1) (1234 + 1) = 123 4^{2} - (123 4^{2} - 1) = 1$ . Rezultatul este mereu $1$ , indiferent de numărul de la mijloc — pentru că $n^{2} - (n - 1) (n + 1) = n^{2} - (n^{2} - 1) = 1$ .

18. Primul: $3 7^{2} = (40 - 3)^{2} = 1600 - 240 + 9 = 1369$ . Al doilea: $3 7^{2} = (35 + 2)^{2} = 1225 + 140 + 4 = 1369$ . Ambele dau $1369$ , deci calculul e corect indiferent de descompunerea aleasă (dar prima e mai simplă, pentru că $40$ e mai „rotund").

19. Folosim $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 6^{2} - 2 \cdot 8 = 36 - 16 = 20$ .

20. a) $E (x) = (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) = 2 x^{2} + 8$ (termenii $\pm 4 x$ se anulează). Corect. b) Cum $x^{2} \geq 0$ , cel mai mic $2 x^{2}$ posibil este $0$ , obținut la $x = 0$ . Atunci $E (0) = 8$ . Deci valoarea minimă a lui $E (x)$ este $8$ , atinsă pentru $x = 0$ .

De reținut

Cele trei formule, citite în ambele sensuri: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
Pentru calcul rapid, scrie numărul urât ca sumă/diferență cu un număr rotund; pentru vecinii unui număr folosește diferența de pătrate: $(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$ .
Două identități-cheie: $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ și $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ .
La demonstrarea unei egalități, pornești dintr-un membru și, prin desfacere + reducerea termenilor asemenea, ajungi la celălalt membru.
La arii, $(a + b)^{2} - a^{2} = 2 ab + b^{2}$ arată exact cu cât crește aria unui pătrat când mărești latura cu $b$ .

Greșeli frecvente

„ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ " — cea mai frecventă greșeală. Uiți termenul din mijloc $2 ab$ . Verifică mental cu $a = b = 1$ : $(1 + 1)^{2} = 4 \neq = 2$ .
Semnul termenului din mijloc. La $(a - b)^{2}$ mijlocul este $- 2 ab$ , dar $a^{2}$ și $b^{2}$ rămân pozitivi. Nu scrie $- b^{2}$ .
Confuzia dintre formule. Când vezi două paranteze $(a - b) (a + b)$ nu desfaci ca la un pătrat — rezultatul are doar doi termeni, $a^{2} - b^{2}$ . Numără termenii la final ca test.
La demonstrații, „muți" termeni ca la ecuații. O identitate nu se rezolvă ca o ecuație; pornești dintr-un membru și transformi până obții celălalt. Nu presupune concluzia adevărată de la început.

Aplică acasă

Antrenamentul de calcul mental. Timp de o săptămână, calculează mental câte trei pătrate pe zi folosind formulele: alege numere ca $53$ , $98$ , $107$ , $995$ . Verifică-te apoi cu calculatorul. Vei observa că devii din ce în ce mai rapid — exact viteza de care ai nevoie la examen.
Harta pătratului. Ia o coală și desenează un pătrat de latură $a + b$ (alege $a = 7$ cm, $b = 3$ cm). Împarte-l în cele patru bucăți ( $a^{2}$ , două dreptunghiuri $ab$ , un pătrat $b^{2}$ ), calculează aria fiecăreia și verifică prin adunare că totalul este $(a + b)^{2} = 100$ cm². Ai „văzut" formula cu ochii tăi.
Vecinii unui număr. Alege 5 numere la întâmplare (de exemplu $8, 15, 20, 41, 100$ ) și, pentru fiecare $n$ , verifică pe calculator că $(n - 1) (n + 1)$ este mereu cu $1$ mai mic decât $n^{2}$ . Explică-i unui coleg de ce se întâmplă asta.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este una de sinteză: elevul nu învață o formulă nouă, ci exersează alegerea formulei potrivite și combinarea lor. Este exact tipul de gândire cerut la Evaluarea Națională, unde formulele de calcul prescurtat apar frecvent, fie explicit (subiectul I, itemi de calcul rapid și comparări de numere), fie „ascunse" în simplificarea fracțiilor algebrice și în descompunerile în factori din subiectul al II-lea.

Câteva întrebări de verificare pe care le puteți pune:

„Cum ai calcula $10 3^{2}$ fără să faci înmulțirea lungă?" (răspunsul corect arată că a interiorizat pătratul sumei).
„De ce $(a + b)^{2}$ nu este $a^{2} + b^{2}$ ?" (dacă poate da un contraexemplu numeric, a înțeles cu adevărat).
„Când folosești diferența de pătrate?" (răspuns: la două paranteze cu aceiași termeni și semne opuse, sau la vecinii unui număr).

Un semn clar că elevul a înțeles este că verifică singur rezultatul, dând valori numerice literelor, și că numără termenii rezultatului (trei la pătrate, doi la diferența de pătrate). Dacă întâmpină dificultăți, reluați lecțiile anterioare despre fiecare formulă separat, apoi reveniți la aplicații. Pentru recapitularea finală înainte de examen, această temă este reluată în lecția de recapitulare: calcul algebric, formule de calcul prescurtat și descompuneri în factori.

Întrebări frecvente

Când folosesc pătratul sumei și când pătratul diferenței la calculul rapid? Uită-te dacă numărul este puțin peste sau puțin sub un număr rotund. Peste (ca $103 = 100 + 3$ ) → pătratul sumei. Sub (ca $97 = 100 - 3$ ) → pătratul diferenței. Diferența dintre formule este doar semnul termenului din mijloc.

Cum știu că trebuie să folosesc diferența de pătrate? Când înmulțești două numere care sunt „vecinii" unui număr rotund (de exemplu $98 \cdot 102$ , ambele la distanță $2$ de $100$ ) sau când ai două paranteze cu aceiași termeni și semne opuse, ca $(a - b) (a + b)$ . Rezultatul are întotdeauna doar doi termeni: $a^{2} - b^{2}$ .

Care este diferența dintre o egalitate și o identitate? O egalitate poate fi adevărată doar pentru anumite valori (ca o ecuație), iar o identitate este adevărată pentru orice valori ale literelor. Formulele de calcul prescurtat sunt identități: funcționează mereu, indiferent ce numere pui în locul lui $a$ și $b$ .

Cum demonstrez o egalitate cu litere fără să greșesc? Pornește de la unul dintre membri (de obicei cel mai complicat), desfă toate parantezele cu formulele, redu termenii asemenea și continuă până ajungi exact la celălalt membru. Nu „muta" termeni dintr-o parte în alta ca la ecuații — la o demonstrație de identitate transformi un singur membru.

De ce $(a + b)^{2}$ nu este egal cu $a^{2} + b^{2}$ ? Pentru că, atunci când înmulțești $(a + b) (a + b)$ , apar și produsele „încrucișate" $a \cdot b$ și $b \cdot a$ , care dau împreună $2 ab$ . Cel mai simplu test: pentru $a = b = 1$ , $(1 + 1)^{2} = 4$ , dar $1^{2} + 1^{2} = 2$ . Diferența, chiar $2 ab = 2$ , este exact termenul uitat.

La ce îmi folosesc aceste formule mai departe la matematică? Sunt baza pentru descompunerea în factori, pentru diferența de pătrate și pentru simplificarea fracțiilor algebrice, toate teme importante la Evaluarea Națională. Practic, le vei folosi în aproape fiecare capitol de algebră care urmează.

Apar aceste aplicații la Evaluarea Națională? Da, foarte des. Calculul rapid și compararea numerelor apar în subiectul I, iar restrângerile, demonstrațiile de identități și simplificările apar în subiectul al II-lea, adesea „ascunse" în probleme mai lungi. A stăpâni alegerea formulei potrivite îți economisește timp prețios la examen.

Cum verific dacă rezultatul unei restrângeri este corect? Dă o valoare numerică simplă literelor (de exemplu $x = 1$ sau $x = 2$ ) în expresia inițială și în cea finală. Dacă ambele dau același număr, este un semn puternic că restrângerea este corectă. Această verificare rapidă te salvează de greșeli de calcul.