Cum descompun 4x² + 12x + 9?

Din 4x²=(2x)² ai a=2x, iar din 9=3² ai b=3. Termenul de control 2· 2x· 3 = 12x se potrivește, iar semnul este plus, deci 4x² + 12x + 9 = (2x+3)².

Care este diferența între (a+b)² și (a-b)² la descompunere?

Ambele au aceleași două pătrate pozitive, a² și b². Diferă doar termenul din mijloc: dacă e +2ab, folosești (a+b)²; dacă e -2ab, folosești (a-b)². Ultimul termen rămâne mereu pozitiv, indiferent de formulă.

Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Descompunerea folosind formulele (a±b)²: pătratul unei sume și al unei diferențe

Descompunerea folosind formulele (a±b)²: pătratul unei sume și al unei diferențe

Când ai învățat formulele de calcul prescurtat, ai mers într-o singură direcție: aveai o paranteză la pătrat, precum $(a + b)^{2}$ , și o „desfăceai" ca să obții trei termeni. Acum înveți să mergi înapoi: pornești de la trei termeni, precum $x^{2} + 6 x + 9$ , și îi „strângi" într-un singur pătrat, $(x + 3)^{2}$ . Este exact ca la o piesă de puzzle: dacă recunoști piesele, le poți așeza la loc. Această „strângere" se numește descompunere în factori și este una dintre cele mai valoroase deprinderi pentru Evaluarea Națională, pentru că apare la simplificarea fracțiilor algebrice, la rezolvarea ecuațiilor de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ și la calcule aparent complicate care devin banale odată recunoscut tiparul.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști un trinom pătrat perfect, adică o expresie de forma $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ .
Vei ști să identifici corect pe $a$ și pe $b$ pornind de la cele două pătrate ale expresiei.
Vei ști să descompui expresia ca $(a + b)^{2}$ sau $(a - b)^{2}$ , în funcție de semnul termenului din mijloc.
Vei ști să lucrezi cu coeficienți și cu mai multe litere, de exemplu $4 x^{2} + 12 x + 9$ .
Vei ști să verifici descompunerea dezvoltând pătratul obținut înapoi în trinom.

Hai să descoperim împreună

1. De unde pornim: cele două formule pe care le întorci

În lecțiile Pătratul unei sume: (a + b)² și Pătratul unei diferențe: (a − b)² ai demonstrat și ai exersat aceste două egalități:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Până acum le-ai citit de la stânga la dreapta: aveai paranteza și o dezvoltai. La descompunere le citești de la dreapta la stânga:

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$

$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

Nimic nou de memorat! Sunt aceleași formule, doar că le folosești în sens invers. Egalitatea funcționează în ambele direcții, exact cum $2 + 3 = 5$ înseamnă și $5 = 2 + 3$ .

2. Ce este un trinom pătrat perfect

Un trinom este o expresie cu trei termeni (prefixul „tri-" înseamnă „trei"). Un trinom pătrat perfect este acel trinom special care se poate scrie ca pătratul unei paranteze, adică sub forma $(a + b)^{2}$ sau $(a - b)^{2}$ .

Nu orice trinom este pătrat perfect! De exemplu, $x^{2} + 5 x + 9$ nu este pătrat perfect, iar $x^{2} + 6 x + 9$ este. Toată dibăcia constă în a recunoaște rapid care trinom se pliază frumos într-un pătrat și care nu.

Uită-te cu atenție la structura formulei $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . Are exact trei „ingrediente":

primul pătrat: $a^{2}$ (un termen care este pătratul a ceva);
al doilea pătrat: $b^{2}$ (alt termen care este pătratul a altceva);
dublul produsului: $2 ab$ (termenul din mijloc, care este de două ori produsul celor două „rădăcini" $a$ și $b$ ).

3. Rețeta de recunoaștere în trei pași

Ca să verifici dacă un trinom este pătrat perfect, urmează mereu acești trei pași. Îi vom numi test T.P.P. (trinom pătrat perfect):

Găsești două pătrate. Doi dintre cei trei termeni trebuie să fie pătrate perfecte (adică pătratul unui număr, al unei litere sau al unei expresii). Din ei extragi $a$ și $b$ : $a$ este ceea ce, ridicat la pătrat, dă primul pătrat, iar $b$ este ceea ce, ridicat la pătrat, dă al doilea pătrat. Atenție: $a$ și $b$ le luăm pozitive (rădăcina pătrată aritmetică).
Verifici termenul din mijloc. Calculezi $2 \cdot a \cdot b$ și compari cu al treilea termen (în valoare absolută). Dacă se potrivește, ai un pătrat perfect. Acesta este termenul de control — cel mai important pas.
Alegi semnul. Dacă termenul din mijloc este plus, scrii $(a + b)^{2}$ . Dacă este minus, scrii $(a - b)^{2}$ .

Reține: cele două pătrate ( $a^{2}$ și $b^{2}$ ) sunt întotdeauna pozitive într-un trinom pătrat perfect. Semnul care contează, cel care decide între sumă și diferență, este semnul termenului din mijloc.

4. Primul exemplu, complet detaliat

Să descompunem $x^{2} + 6 x + 9$ .

Pasul 1 — cele două pătrate. Primul termen este $x^{2}$ , deci $a = x$ (pentru că $x^{2} = x \cdot x$ ). Ultimul termen este $9$ , iar $9 = 3^{2}$ , deci $b = 3$ .

Pasul 2 — termenul de control. Calculez $2 ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ . Compar cu termenul din mijloc al expresiei: chiar $6 x$ . Se potrivește! Deci trinomul este pătrat perfect.

Pasul 3 — semnul. Termenul din mijloc, $+ 6 x$ , are semnul plus, deci folosesc formula sumei:

$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$

Verificare (pasul pe care nu-l sari niciodată la examen): ridic paranteza $(x + 3)$ la pătrat, adică dezvolt $(x + 3)^{2}$ .

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9 ✓$

Am obținut exact expresia de la care am plecat. Descompunerea este corectă.

5. Al doilea exemplu: cu minus în mijloc

Să descompunem $y^{2} - 10 y + 25$ .

Cele două pătrate: $y^{2} \Rightarrow a = y$ și $25 = 5^{2} \Rightarrow b = 5$ .
Termenul de control: $2 ab = 2 \cdot y \cdot 5 = 10 y$ . Se potrivește cu $10 y$ din mijloc. Este pătrat perfect.
Semnul termenului din mijloc este minus ( $- 10 y$ ), deci folosesc formula diferenței:

$y^{2} - 10 y + 25 = (y - 5)^{2}$

Verificare: $(y - 5)^{2} = y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 25 = y^{2} - 10 y + 25 ✓$ .

Observă ceva important: chiar dacă în mijloc am avut minus, ultimul termen a rămas plus 25. De ce? Pentru că pătratul lui $- 5$ este $(- 5)^{2} = 25 > 0$ — ultimul termen provine dintr-un pătrat, deci este pozitiv mereu. Pătratul oricărui număr nenul, indiferent de semn, este pozitiv. Deci într-un trinom pătrat perfect ambele „pătrate" sunt pozitive; doar mijlocul poartă semnul.

6. Când apar coeficienți: $4 x^{2} + 12 x + 9$

Aici primul termen nu mai este un simplu $x^{2}$ , ci are un coeficient. Nicio problemă — pasul 1 rămâne același: căutăm din ce, ridicat la pătrat, obținem fiecare termen.

Primul termen $4 x^{2}$ . Ne întrebăm: „ce, la pătrat, dă $4 x^{2}$ ?" Răspuns: $2 x$ , pentru că $(2 x)^{2} = 2^{2} \cdot x^{2} = 4 x^{2}$ . Deci $a = 2 x$ .
Ultimul termen $9 = 3^{2}$ , deci $b = 3$ .
Termenul de control: $2 ab = 2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ . Se potrivește cu $12 x$ . Pătrat perfect!
Semnul din mijloc este plus:

$4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$

Verificare: $(2 x + 3)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9 ✓$ .

Această imagine geometrică arată de ce funcționează formula: un pătrat de latură $2 x + 3$ se împarte în patru bucăți a căror arie totală este chiar trinomul.

7. Cu două litere: $9 m^{2} - 30 mn + 25 n^{2}$

Formula merge la fel și când ambele „rădăcini" conțin litere.

Primul pătrat: $9 m^{2} = (3 m)^{2} \Rightarrow a = 3 m$ .
Al doilea pătrat: $25 n^{2} = (5 n)^{2} \Rightarrow b = 5 n$ .
Termenul de control: $2 ab = 2 \cdot 3 m \cdot 5 n = 30 mn$ . Se potrivește (în valoare absolută) cu $30 mn$ . Pătrat perfect!
Semnul din mijloc este minus:

$9 m^{2} - 30 mn + 25 n^{2} = (3 m - 5 n)^{2}$

Verificare: $(3 m - 5 n)^{2} = (3 m)^{2} - 2 \cdot 3 m \cdot 5 n + (5 n)^{2} = 9 m^{2} - 30 mn + 25 n^{2} ✓$ .

8. Foarte important: contraexemple (când NU e pătrat perfect)

Rețeta ar fi incompletă dacă nu ai ști să respingi trinoamele care doar par pătrate perfecte. Iată capcanele:

Capcana A — termenul din mijloc nu se potrivește. Fie $x^{2} + 5 x + 9$ . Cele două pătrate sunt $x^{2}$ (deci $a = x$ ) și $9$ (deci $b = 3$ ). Termenul de control ar trebui să fie $2 ab = 6 x$ , dar în mijloc avem $5 x \neq = 6 x$ . Nu este pătrat perfect. Nu îl poți scrie ca $(x + 3)^{2}$ (acela ar da $x^{2} + 6 x + 9$ , nu ce ai tu).

Capcana B — ultimul termen nu e pătrat perfect. Fie $x^{2} + 4 x + 5$ . Aici $5$ nu este pătratul unui număr rațional pe care îl folosim la gimnaziu, deci trinomul nu se descompune cu această formulă.

Capcana C — semnul greșit la ultimul termen. Fie $x^{2} + 6 x - 9$ . Ultimul termen este $- 9$ , negativ. Dar într-un pătrat perfect $b^{2}$ este mereu pozitiv! Deci $x^{2} + 6 x - 9$ nu este pătrat perfect. (Acest tip de expresie se descompune, dacă se poate, cu altă metodă.)

Concluzie: verifică întotdeauna pasul 2, termenul de control. Fără el, poți crede că ai pătrat perfect când de fapt nu ai.

Ca să prinzi mai bine diferența, compară două expresii aproape identice: $x^{2} + 12 x + 36$ și $x^{2} + 13 x + 36$ . Amândouă au aceleași pătrate, $x^{2}$ și $36 = 6^{2}$ , deci în ambele $a = x$ și $b = 6$ . Termenul de control este $2 ab = 12 x$ . Prima expresie are chiar $12 x$ în mijloc, deci este pătrat perfect: $x^{2} + 12 x + 36 = (x + 6)^{2}$ . A doua are $13 x$ , care nu coincide cu $12 x$ , deci nu este pătrat perfect. O singură unitate la coeficientul din mijloc face toată diferența. Iată de ce nu poți sări niciodată peste pasul de control.

8.1. De ce funcționează formula (o justificare)

Poate te întrebi: de ce, dacă termenul de control se potrivește, sunt sigur că expresia este un pătrat? Justificarea este simplă și merită înțeleasă, nu doar memorată. Presupune că expresia este $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , cu cele două pătrate potrivite și mijlocul exact $2 ab$ . Grupăm și dăm factor comun în pași:

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a (a + b) + b (a + b) = (a + b) (a + b) = (a + b)^{2} .$

Am folosit descompunerea prin gruparea termenilor, învățată în lecția Descompunerea prin gruparea termenilor: am spart $2 ab$ în $ab + ab$ , am grupat câte doi termeni și am scos de fiecare dată factorul comun. Rezultatul, $(a + b) (a + b)$ , este chiar $(a + b)^{2}$ . Așadar formula pătratului perfect nu este un „truc" izolat, ci un caz particular al metodelor de descompunere pe care le știi deja. La fel se demonstrează și pentru diferență: $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .

9. Ordinea termenilor și scoaterea factorului comun întâi

Uneori trinomul nu vine în ordinea „frumoasă" $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ . De exemplu $- 24 t + 16 t^{2} + 9$ . Îl rearanjezi după puterile lui $t$ : $16 t^{2} - 24 t + 9$ . Acum aplici rețeta: $a = 4 t$ , $b = 3$ , control $2 \cdot 4 t \cdot 3 = 24 t$ ✔, semn minus $\Rightarrow (4 t - 3)^{2}$ .

Alteori, primul lucru pe care îl faci este să scoți factorul comun, învățat în lecția Descompunerea prin scoaterea factorului comun. De exemplu $2 x^{2} + 12 x + 18$ : toți termenii se împart la $2$ , deci

$2 x^{2} + 12 x + 18 = 2 (x^{2} + 6 x + 9) = 2 (x + 3)^{2} .$

Regula de aur a descompunerilor: întâi cauți factor comun, apoi formule. Așa obții forma cea mai simplă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — pătrat perfect cu sumă

Descompune $a^{2} + 14 a + 49$ .

Pătrate: $a^{2} \Rightarrow$ rădăcina $a$ ; $49 = 7^{2} \Rightarrow$ rădăcina $7$ .
Control: $2 \cdot a \cdot 7 = 14 a$ , exact termenul din mijloc. ✔
Semn plus $\Rightarrow$ folosim $(a + b)^{2}$ .

$a^{2} + 14 a + 49 = (a + 7)^{2}$

Verificare: $(a + 7)^{2} = a^{2} + 14 a + 49 ✓$ .

Exemplul 2 — pătrat perfect cu diferență și coeficient

Descompune $25 x^{2} - 20 x + 4$ .

Pătrate: $25 x^{2} = (5 x)^{2} \Rightarrow$ rădăcina $5 x$ ; $4 = 2^{2} \Rightarrow$ rădăcina $2$ .
Control: $2 \cdot 5 x \cdot 2 = 20 x$ , se potrivește cu $∣ - 20 x ∣$ . ✔
Semn minus $\Rightarrow (5 x - 2)^{2}$ .

$25 x^{2} - 20 x + 4 = (5 x - 2)^{2}$

Verificare: $(5 x - 2)^{2} = 25 x^{2} - 20 x + 4 ✓$ .

Exemplul 3 — două litere

Descompune $49 p^{2} + 42 pq + 9 q^{2}$ .

Pătrate: $49 p^{2} = (7 p)^{2} \Rightarrow 7 p$ ; $9 q^{2} = (3 q)^{2} \Rightarrow 3 q$ .
Control: $2 \cdot 7 p \cdot 3 q = 42 pq$ . ✔
Semn plus $\Rightarrow (7 p + 3 q)^{2}$ .

$49 p^{2} + 42 pq + 9 q^{2} = (7 p + 3 q)^{2}$

Verificare: $(7 p + 3 q)^{2} = 49 p^{2} + 42 pq + 9 q^{2} ✓$ .

Exemplul 4 — scoatem întâi factorul comun

Descompune complet $3 x^{2} - 24 x + 48$ .

Toți termenii se împart la $3$ :

$3 x^{2} - 24 x + 48 = 3 (x^{2} - 8 x + 16) .$

În paranteză: pătrate $x^{2} \Rightarrow x$ și $16 = 4^{2} \Rightarrow 4$ ; control $2 \cdot x \cdot 4 = 8 x$ ✔; semn minus $\Rightarrow (x - 4)^{2}$ . Deci

$3 x^{2} - 24 x + 48 = 3 (x - 4)^{2} .$

Verificare: $3 (x - 4)^{2} = 3 (x^{2} - 8 x + 16) = 3 x^{2} - 24 x + 48 ✓$ .

Exemplul 5 — item tip Evaluare Națională (calcul numeric isteț)

Calculează rapid, fără calculator, valoarea expresiei $E = 4 3^{2} + 2 \cdot 43 \cdot 7 + 7^{2}$ .

Recunoști tiparul $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ cu $a = 43$ și $b = 7$ . Atunci

$E = (43 + 7)^{2} = 5 0^{2} = 2500.$

Descompunerea în pătrat perfect transformă un calcul urât într-unul care se face în minte. Exact acest gen de „truc" aduce puncte și timp câștigat la examen.

Un alt exemplu de calcul rapid: cât face $E = 2 7^{2} - 2 \cdot 27 \cdot 17 + 1 7^{2}$ ? Recunoști $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ cu $a = 27$ , $b = 17$ , deci $E = (27 - 17)^{2} = 1 0^{2} = 100$ . Fără formulă ar trebui să calculezi $729 - 918 + 289$ ; cu formula, răspunsul apare instantaneu.

Exemplul 6 — recunoaște și decide

Se dau expresiile: (i) $x^{2} - 12 x + 36$ ; (ii) $x^{2} - 12 x + 35$ ; (iii) $9 x^{2} + 24 x + 16$ . Care sunt pătrate perfecte și cum se descompun?

(i) $x^{2} - 12 x + 36$ : $a = x$ , $b = 6$ , control $2 \cdot x \cdot 6 = 12 x$ ✔, minus $\Rightarrow (x - 6)^{2}$ . Este pătrat perfect.
(ii) $x^{2} - 12 x + 35$ : $a = x$ ; dar $35$ nu este pătrat perfect, deci nu putem lua un $b$ rațional cu $b^{2} = 35$ . Nu este pătrat perfect (cu această formulă). Chiar dacă am forța $36$ , aici avem $35 \neq = 36$ .
(iii) $9 x^{2} + 24 x + 16$ : $a = 3 x$ , $b = 4$ , control $2 \cdot 3 x \cdot 4 = 24 x$ ✔, plus $\Rightarrow (3 x + 4)^{2}$ . Este pătrat perfect.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Verifică fiecare descompunere prin ridicare la pătrat.

1. Descompune $x^{2} + 8 x + 16$ .

2. Descompune $x^{2} - 4 x + 4$ .

3. Descompune $m^{2} + 20 m + 100$ .

4. Descompune $y^{2} - 18 y + 81$ .

5. Descompune $4 a^{2} + 4 a + 1$ .

6. Descompune $9 x^{2} - 12 x + 4$ .

7. Descompune $16 t^{2} + 40 t + 25$ .

8. Descompune $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ și apoi $4 p^{2} - 28 pq + 49 q^{2}$ .

9. Adevărat sau fals, cu justificare: „ $x^{2} + 10 x + 100$ este un trinom pătrat perfect."

10. Găsește termenul care lipsește, astfel încât expresia să fie pătrat perfect: $x^{2} + □ + 49$ (completează termenul din mijloc, cu semn plus).

11. Găsește termenul care lipsește: $x^{2} - 16 x + □$ (completează ultimul termen).

12. Scoate întâi factorul comun, apoi descompune complet: $5 x^{2} + 30 x + 45$ .

13. Descompune complet: $2 y^{2} - 20 y + 50$ .

14. Rearanjează și descompune: $12 a + 4 + 9 a^{2}$ .

15. Calculează rapid, folosind un pătrat perfect: $E = 9 8^{2} + 2 \cdot 98 \cdot 2 + 2^{2}$ .

16. Item tip Evaluare Națională. Se consideră expresia $E (x) = x^{2} - 6 x + 9$ . a) Arată că $E (x) = (x - 3)^{2}$ . b) Justifică faptul că $E (x) \geq 0$ pentru orice număr real $x$ . c) Determină valoarea lui $x$ pentru care $E (x) = 0$ .

17. Adevărat sau fals, cu justificare: „ $25 x^{2} - 30 x + 9 = (5 x - 3)^{2}$ ."

18. Provocare. Determină valoarea reală a lui $k$ astfel încât $x^{2} + k x + 36$ să fie pătrat perfect. Câte valori posibile are $k$ ?

19. Item aplicat. Un pătrat are latura de lungime $(x + 5)$ cm. Scrie aria lui ca trinom (dezvoltând pătratul), apoi verifică descompunând înapoi trinomul obținut. Ce observi?

20. Provocare pentru fracții algebrice (pregătire pentru lecțiile următoare). Descompune numărătorul și numitorul, apoi simplifică fracția $\frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} - 9}$ , indicând ce factor se reduce. (Folosește și formula diferenței de pătrate de la $x^{2} - 9$ .)

Răspunsuri și explicații

1. $a = x$ , $b = 4$ , control $8 x$ ✔, plus $\Rightarrow (x + 4)^{2}$ .

2. $a = x$ , $b = 2$ , control $4 x$ ✔, minus $\Rightarrow (x - 2)^{2}$ .

3. $a = m$ , $b = 10$ , control $20 m$ ✔, plus $\Rightarrow (m + 10)^{2}$ .

4. $a = y$ , $b = 9$ , control $18 y$ ✔, minus $\Rightarrow (y - 9)^{2}$ .

5. Rădăcina primului pătrat este $2 a$ (din $(2 a)^{2} = 4 a^{2}$ ), iar a ultimului este $1$ (din $1 = 1^{2}$ ); control $2 \cdot 2 a \cdot 1 = 4 a$ ✔, plus $\Rightarrow (2 a + 1)^{2}$ .

6. $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , $4 = 2^{2}$ ; control $2 \cdot 3 x \cdot 2 = 12 x$ ✔, minus $\Rightarrow (3 x - 2)^{2}$ .

7. $16 t^{2} = (4 t)^{2}$ , $25 = 5^{2}$ ; control $2 \cdot 4 t \cdot 5 = 40 t$ ✔, plus $\Rightarrow (4 t + 5)^{2}$ .

8. Prima: $a = x$ , $b = y$ , control $2 x y$ ✔, plus $\Rightarrow (x + y)^{2}$ . A doua: $4 p^{2} = (2 p)^{2}$ , $49 q^{2} = (7 q)^{2}$ , control $2 \cdot 2 p \cdot 7 q = 28 pq$ ✔, minus $\Rightarrow (2 p - 7 q)^{2}$ .

9. Fals. Pătratele ar da $a = x$ și $b = 10$ (din $100 = 1 0^{2}$ ), deci termenul de control ar trebui să fie $2 \cdot x \cdot 10 = 20 x$ , dar în expresie avem doar $10 x$ . Cum $10 x \neq = 20 x$ , nu este pătrat perfect.

10. $b = 7$ (din $49 = 7^{2}$ ), deci termenul din mijloc este $2 \cdot x \cdot 7 = 14 x$ . Expresia devine $x^{2} + 14 x + 49 = (x + 7)^{2}$ . Răspuns: $14 x$ .

11. $a = x$ ; din control $16 x = 2 \cdot x \cdot b$ rezultă $b = 8$ , deci ultimul termen este $b^{2} = 64$ . Expresia: $x^{2} - 16 x + 64 = (x - 8)^{2}$ . Răspuns: $64$ .

12. Factor comun $5$ : $5 x^{2} + 30 x + 45 = 5 (x^{2} + 6 x + 9) = 5 (x + 3)^{2}$ .

13. Factor comun $2$ : $2 y^{2} - 20 y + 50 = 2 (y^{2} - 10 y + 25) = 2 (y - 5)^{2}$ .

14. Rearanjat: $9 a^{2} + 12 a + 4$ ; rădăcina primului pătrat este $3 a$ (din $(3 a)^{2} = 9 a^{2}$ ), iar a ultimului este $2$ (din $4 = 2^{2}$ ); control $2 \cdot 3 a \cdot 2 = 12 a$ ✔, plus $\Rightarrow (3 a + 2)^{2}$ .

15. $a = 98$ , $b = 2$ : $E = (98 + 2)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ .

16. a) $a = x$ , $b = 3$ , control $6 x$ ✔, minus $\Rightarrow (x - 3)^{2}$ . b) Un pătrat este mereu mai mare sau egal cu $0$ : $(x - 3)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, deci $E (x) \geq 0$ . c) $E (x) = 0 \Leftrightarrow (x - 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .

17. Adevărat. $25 x^{2} = (5 x)^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , control $2 \cdot 5 x \cdot 3 = 30 x$ ✔, semn minus. Verificare: $(5 x - 3)^{2} = 25 x^{2} - 30 x + 9$ , exact expresia dată.

18. Din $36 = 6^{2}$ avem $b = 6$ , iar $a = x$ . Termenul de control este $2 \cdot x \cdot 6 = 12 x$ , deci $∣ k ∣ = 12$ . Cum semnul poate fi plus (dă $(x + 6)^{2}$ ) sau minus (dă $(x - 6)^{2}$ ), obținem $k = 12$ sau $k = - 12$ . Deci $k$ are două valori posibile.

19. Aria $= (x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ . Descompunând înapoi: $a = x$ , $b = 5$ , control $10 x$ ✔, plus $\Rightarrow (x + 5)^{2}$ . Observație: obții exact latura la pătrat de la care ai plecat — cele două operații, dezvoltarea și descompunerea, sunt una inversa celeilalte.

20. Numărătorul: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ . Numitorul, cu diferența de pătrate: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ . Deci $\frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} - 9} = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{( x + 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 3}{x - 3} .$ Se reduce un factor $(x + 3)$ . (Simplificarea este validă pentru $x \neq = 3$ și $x \neq = - 3$ , condiții pe care le vei studia la fracții algebrice.)

De reținut

Formulele întoarse: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ și $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .
Test T.P.P. în 3 pași: (1) găsești cele două pătrate și extragi $a$ , $b$ ; (2) verifici că termenul din mijloc este exact $2 ab$ — termenul de control; (3) alegi semnul după semnul din mijloc.
Cele două pătrate ( $a^{2}$ și $b^{2}$ ) sunt mereu pozitive; doar termenul din mijloc poartă semnul care decide sumă sau diferență.
Întâi factor comun, apoi formule. Și rearanjează termenii după puterile literei înainte de a aplica rețeta.
Verifică mereu descompunerea ridicând paranteza la pătrat — la examen aduce siguranță și puncte.

Greșeli frecvente

Uiți de termenul de control. Vezi două pătrate și scrii direct pătratul parantezei, fără să verifici mijlocul. Așa transformi din greșeală $x^{2} + 5 x + 9$ în $(x + 3)^{2}$ , ceea ce e fals. Calculează întotdeauna $2 ab$ și compară.
Confuzi coeficientul cu rădăcina lui. La $4 x^{2}$ scrii $a = 4 x$ în loc de $a = 2 x$ . Reține: $a$ este ceea ce, ridicat la pătrat, dă termenul. $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ , nu $(4 x)^{2}$ .
Pui semn greșit la ultimul termen. Crezi că $(a - b)^{2}$ dă $a^{2} - 2 ab - b^{2}$ . Greșit! Ultimul termen este $+ b^{2}$ , mereu pozitiv. Doar mijlocul are minus.
Aplici formula pe ceva ce nu e pătrat perfect. Dacă ultimul termen e negativ (ex. $x^{2} + 6 x - 9$ ) sau nu e pătrat perfect (ex. $x^{2} + 4 x + 5$ ), formula $(a \pm b)^{2}$ nu se aplică.

Aplică acasă

Fabrica de trinoame. Alege singur un $a$ și un $b$ (de exemplu $a = 2 x$ , $b = 5$ ), dezvoltă $(a + b)^{2}$ pe hârtie și obții un trinom. Dă trinomul unui coleg sau unui membru al familiei să-l descompună înapoi. Comparați rezultatele: e cel mai bun mod de a exersa în ambele sensuri.
Calcule mentale la cumpărături. Data viitoare când vezi un preț apropiat de o „cifră rotundă", ridică-l rapid la pătrat cu trucul din Exemplul 5: $5 2^{2} = 5 0^{2} + 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^{2} = 2500 + 200 + 4 = 2704$ . Exersează cu $101$ , $99$ , $103$ .
Pătratul de carton. Decupează un pătrat mare din carton și, cu creionul, împarte-i latura în „ $2 x$ " și „ $3$ ". Trasează liniile și numără cele patru bucăți: vei „vedea" cu ochii de ce $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$ . Notează aria fiecărei bucăți.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este o piesă centrală în lanțul de pregătire pentru Evaluarea Națională: recunoașterea trinomului pătrat perfect apare la simplificarea fracțiilor algebrice, la rezolvarea ecuațiilor de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ prin descompunere și la itemii de calcul rapid. Elevul poate rezolva bine subiectul de examen doar dacă automatizează testul T.P.P. în trei pași.

Cum sprijiniți elevul acasă:

Cereți-i să explice cu voce tare cei trei pași înainte de a scrie răspunsul. Dacă spune „cele două pătrate sunt..., termenul de control este..., semnul este...", a înțeles metoda; dacă sare direct la răspuns, insistați pe verificarea mijlocului.
Întrebări de verificare rapidă: „Cum știi că nu e $(x + 9)^{2}$ acolo?" (răspunsul corect trebuie să menționeze termenul de control $2 ab$ ). „De ce ultimul termen e pozitiv chiar dacă în mijloc e minus?"
Semn de înțelegere reală: elevul verifică singur descompunerea, ridicând paranteza la pătrat, fără să i se ceară. Aceasta e deprinderea care aduce puncte la barem.
La examen, redactarea contează: descompunerea corectă scrisă clar, cu pașii vizibili, se punctează integral. Încurajați scrisul îngrijit al fiecărui pas.

Întrebări frecvente

Ce este un trinom pătrat perfect la clasa a 8-a? Este o expresie cu trei termeni de forma $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ sau $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , care se poate scrie ca pătratul unei paranteze: $(a + b)^{2}$ , respectiv $(a - b)^{2}$ . Recunoașterea lui înseamnă să găsești două pătrate și să verifici că termenul din mijloc este dublul produsului rădăcinilor.

Cum îmi dau seama dacă un trinom este pătrat perfect? Aplici testul în trei pași: identifici cele două pătrate (extrăgând $a$ și $b$ ), verifici dacă termenul din mijloc este exact $2 ab$ și, dacă da, alegi semnul după semnul din mijloc. Dacă termenul de control $2 ab$ nu se potrivește, trinomul nu este pătrat perfect.

Cum descompun $4 x^{2} + 12 x + 9$ ? Din $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ ai $a = 2 x$ , iar din $9 = 3^{2}$ ai $b = 3$ . Termenul de control $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ se potrivește, iar semnul este plus, deci $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$ .

Care este diferența între $(a + b)^{2}$ și $(a - b)^{2}$ la descompunere? Ambele au aceleași două pătrate pozitive, $a^{2}$ și $b^{2}$ . Diferă doar termenul din mijloc: dacă e $+ 2 ab$ , folosești $(a + b)^{2}$ ; dacă e $- 2 ab$ , folosești $(a - b)^{2}$ . Ultimul termen rămâne mereu pozitiv, indiferent de formulă.

De ce ultimul termen este pozitiv chiar și la $(a - b)^{2}$ ? Pentru că el este $b^{2}$ , adică pătratul unui număr, iar pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero. Semnul minus din formula $(a - b)^{2}$ apare doar la termenul din mijloc, $- 2 ab$ , nu și la $b^{2}$ .

La ce îmi folosește descompunerea în pătrat perfect la Evaluarea Națională? Îți folosește la simplificarea fracțiilor algebrice (unde numărătorul sau numitorul se scrie ca $(a \pm b)^{2}$ ), la rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea prin descompunere și la calcule numerice rapide. Este o unealtă care apare, direct sau indirect, în mai mulți itemi ai subiectului.

Ce fac dacă expresia are un factor comun? Scoți întâi factorul comun, apoi aplici formula pe ce rămâne în paranteză. De exemplu, $2 x^{2} + 12 x + 18 = 2 (x^{2} + 6 x + 9) = 2 (x + 3)^{2}$ . Regula este mereu: întâi factor comun, apoi formulele de calcul prescurtat.

Poate un trinom cu ultimul termen negativ să fie pătrat perfect? Nu. Într-un trinom pătrat perfect ultimul termen este $b^{2}$ , deci pozitiv. Dacă vezi $x^{2} + 6 x - 9$ (cu $- 9$ ), nu poți aplica formula $(a \pm b)^{2}$ ; expresia trebuie tratată prin altă metodă de descompunere, dacă se poate.