Cum descompun un trinom de forma x²+bx+c?

Cauți două numere m și n cu m· n=c (produsul lor este termenul liber) și m+n=b (suma lor este coeficientul lui x). Atunci x²+bx+c=(x+m)(x+n). Dacă c>0 numerele au același semn; dacă c<0, au semne diferite.

Pot simplifica direct (x²-9)/(x-3) tăind x -urile?

Nu. Nu se taie niciodată termeni dintr-o sumă sau diferență. Descompui întâi: (x²-9)/(x-3)= ((x-3)(x+3))/(x-3)=x+3 (pentru x≠ 3). Simplifici doar factori comuni, obținuți după descompunere.

Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Descompuneri combinate și aplicații (inclusiv ecuații ax² + bx + c = 0)

Descompuneri combinate și aplicații (inclusiv ecuații ax² + bx + c = 0)

Până acum ai învățat metodele de descompunere în factori una câte una: factorul comun, gruparea termenilor, formulele de calcul prescurtat. La Evaluarea Națională însă, expresiile nu vin niciodată cu o etichetă care să-ți spună „aici aplic factorul comun" sau „aici folosesc diferența de pătrate". Trebuie să recunoști singur ce ai în față și, de foarte multe ori, să combini două sau trei metode în aceeași expresie. Vestea bună: există o ordine logică, aproape mecanică, pe care dacă o respecți nu te mai rătăcești. În această lecție punem la un loc tot arsenalul de descompuneri și îl folosim pentru ceva foarte concret: rezolvarea ecuațiilor de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ și simplificarea fracțiilor algebrice — două teme care apar aproape sigur pe biletul de examen.

Ce vei învăța

Vei ști să alegi ordinea corectă a metodelor: întâi factor comun, apoi grupare sau formule de calcul prescurtat.
Vei ști să combini două sau mai multe metode într-o singură expresie, până obții o descompunere completă.
Vei ști să rezolvi ecuații de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ prin descompunere în factori și regula produsului nul.
Vei ști să simplifici fracții și expresii algebrice descompunând numărătorul și numitorul.
Vei ști să redactezi rezolvarea îngrijit, pas cu pas, așa cum cere baremul de la Evaluarea Națională.

Hai să descoperim împreună

1. De ce avem nevoie de o „ordine a metodelor"

A descompune în factori înseamnă a scrie o sumă (sau o diferență) ca un produs. Ai la dispoziție trei unelte, învățate în lecțiile anterioare:

factorul comun (lecția Descompunerea prin scoaterea factorului comun);
gruparea termenilor (lecția Descompunerea prin gruparea termenilor);
formulele de calcul prescurtat: $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ și $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ (lecțiile pătratul unei sume/diferențe și diferența de pătrate).

Problema apare când o expresie „cere" mai multe dintre ele. Ca să nu te blochezi, ține minte un algoritm în trei pași, pe care îl vom folosi de fiecare dată:

Pasul 1 — Factor comun. Verifică ÎNTOTDEAUNA prima dată dacă toți termenii au un factor comun (număr și/sau literă). Dacă da, scoate-l în față.

Pasul 2 — Ce a rămas în paranteză? Numără termenii rămași:

2 termeni → încearcă o diferență de pătrate $a^{2} - b^{2}$ ;

3 termeni → încearcă un pătrat perfect $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ ;

4 termeni → încearcă gruparea.

Pasul 3 — Descompune din nou. După ce ai aplicat o metodă, uită-te la fiecare factor obținut: mai poate fi descompus? Dacă da, repetă. Te oprești doar când niciun factor nu se mai descompune.

De ce factor comun întâi? Pentru că scoaterea factorului comun face numerele mai mici și scoate la iveală structura ascunsă. Compară:

$2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4) = 2 (x - 2) (x + 2) .$

Dacă n-ai scos întâi $2$ -ul, ai fi văzut $2 x^{2} - 8$ și te-ai fi întrebat degeaba ce pătrat este $8$ . După ce scoți $2$ , apare imediat diferența de pătrate $x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2}$ . Factorul comun curăță drumul.

2. Combinație factor comun + diferență de pătrate

Să lucrăm încet exemplul $3 a^{3} - 12 a$ .

Pasul 1 (factor comun). Coeficienții $3$ și $12$ au factor comun $3$ ; literele $a^{3}$ și $a$ au în comun $a$ . Deci factorul comun este $3 a$ : $3 a^{3} - 12 a = 3 a (a^{2} - 4) .$

Pasul 2 (ce a rămas?). În paranteză sunt $2$ termeni: $a^{2} - 4$ . Recunosc $a^{2} - 2^{2}$ , o diferență de pătrate: $a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2) .$

Pasul 3 (verific). Rezultatul complet: $3 a^{3} - 12 a = 3 a (a - 2) (a + 2) .$

Niciun factor nu se mai descompune ( $3 a$ , $a - 2$ , $a + 2$ sunt „elementari"). Gata. Observă că am folosit două metode una după alta, în ordinea din algoritm.

3. Combinație factor comun + pătrat perfect

Fie $2 x^{3} + 12 x^{2} + 18 x$ .

Pasul 1. Factor comun: numerele $2, 12, 18$ se împart la $2$ ; literele au în comun $x$ . Deci $2 x$ : $2 x^{3} + 12 x^{2} + 18 x = 2 x (x^{2} + 6 x + 9) .$

Pasul 2. În paranteză sunt $3$ termeni → caut un pătrat perfect. Am nevoie ca primul și ultimul să fie pătrate: $x^{2} = (x)^{2}$ și $9 = 3^{2}$ . Verific „mijlocul": $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ — exact ce am! Deci: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2} .$

Rezultat: $2 x^{3} + 12 x^{2} + 18 x = 2 x (x + 3)^{2} .$

Verificarea „mijlocului" este esențială: nu orice trinom cu primul și ultimul pătrat este pătrat perfect. Trebuie ca termenul din mijloc să fie exact $2 ab$ .

4. Combinație grupare + diferență de pătrate

Uneori nici măcar nu există factor comun pentru toți termenii, dar există structură. Fie: $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4.$

Pasul 1. Factor comun pe toți patru? Nu ( $x^{3}, x^{2}, 4 x, 4$ nu au nimic comun). Trecem la $4$ termeni → grupare.

Pasul 2 (grupare). Grupez primii doi și ultimii doi: $(x^{3} - x^{2}) + (- 4 x + 4) = x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) .$

Atenție la semn: din a doua grupă scot $- 4$ , ca să rămână $(x - 1)$ la fel ca la prima. Acum $(x - 1)$ e factor comun: $= (x - 1) (x^{2} - 4) .$

Pasul 3 (mai descompun?). Factorul $x^{2} - 4$ este diferență de pătrate: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) .$

Rezultat: $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = (x - 1) (x - 2) (x + 2) .$

Trei factori, niciunul nu se mai descompune. Am folosit grupare + diferență de pătrate.

Și când se combină trei metode? Se întâmplă des la Evaluarea Națională să ai nevoie de toate uneltele, una după alta. Fie: $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8.$ Pasul 1 (factor comun). Toți cei patru termeni se împart la $2$ : $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 = 2 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) .$ Pasul 2 (câți termeni?). În paranteză sunt $4$ termeni → grupare: $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 4) .$ Pasul 3 (mai descompun?). Factorul $x^{2} - 4$ este o diferență de pătrate: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) .$ Rezultat complet: $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 = 2 (x - 1) (x - 2) (x + 2) .$ Am folosit, în ordine, factor comun → grupare → diferență de pătrate. Când verifici (înmulțind înapoi), trebuie să regăsești exact expresia de la care ai pornit — dacă nu, ai greșit undeva un semn. Ține minte: nu contează câte metode combini, contează să le aplici în ordinea din algoritm și să nu te oprești până când niciun factor nu se mai descompune.

5. Trinomul $x^{2} + b x + c$ : descompunere prin „suma și produsul"

Ajungem la inima lecției de azi, pentru că exact acest tip de expresie apare în ecuațiile $a x^{2} + b x + c = 0$ . Cum descompun un trinom ca $x^{2} + 5 x + 6$ care nu este pătrat perfect (mijlocul nu iese $2 ab$ )?

Ideea: caut două numere $m$ și $n$ astfel încât $m \cdot n = c (produsul lor = termenul liber)$ $m + n = b (suma lor = coeficientul lui x) .$ Atunci $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ .

De ce funcționează? Pentru că, desfăcând parantezele, $(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + mn$ . Deci ca să coincidă cu $x^{2} + b x + c$ , avem nevoie de $m + n = b$ și $mn = c$ . E o „ghicire organizată": scriu perechile de numere cu produsul $c$ și aleg pe cea cu suma $b$ .

Pentru $x^{2} + 5 x + 6$ : caut $m \cdot n = 6$ și $m + n = 5$ . Perechile cu produs $6$ : $(1, 6), (2, 3)$ . Suma $5$ o dă $(2, 3)$ . Deci: $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) .$

Verific desfăcând: $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6.$ Corect.

Cum aleg semnele? Ține minte:

dacă $c > 0$ → $m$ și $n$ au același semn (amândouă „+" dacă $b > 0$ , amândouă „−" dacă $b < 0$ );
dacă $c < 0$ → $m$ și $n$ au semne diferite (cel mare în modul preia semnul lui $b$ ).

Exemplu cu $c < 0$ : $x^{2} - x - 12$ . Caut produs $- 12$ și sumă $- 1$ . Perechile cu produs $- 12$ : $(1, - 12), (- 1, 12), (2, - 6), (- 2, 6), (3, - 4), (- 3, 4)$ . Suma $- 1$ o dă $(3, - 4)$ . Deci: $x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4) .$

6. Regula produsului nul — motorul rezolvării ecuațiilor

Toată munca de descompunere are un scop foarte practic. Se sprijină pe o proprietate simplă a numerelor reale, pe care ai folosit-o deja intuitiv:

Regula produsului nul: dacă un produs de factori este egal cu $0$ , atunci cel puțin unul dintre factori este $0$ . Adică: $A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 sau B = 0$ .

De ce e adevărat? Pentru că înmulțind două numere nenule obții mereu un rezultat nenul (plus × plus, minus × minus dau plus; plus × minus dă minus — dar niciodată $0$ ). Singurul mod de a obține $0$ din înmulțire este ca măcar un factor să fie $0$ .

Cum folosim asta la ecuații? Dacă reușesc să aduc o ecuație la forma produs = 0, atunci o „spulber" în ecuații simple, de gradul I. Aceasta este metoda standard cerută la gimnaziu pentru $a x^{2} + b x + c = 0$ — fără formula discriminantului, care se învață abia la liceu.

7. Rezolvarea ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ prin descompunere

Strategia generală (3 pași):

Adu totul într-un membru, ca ecuația să fie de forma $\dots = 0$ .
Descompune membrul stâng în factori (folosind exact algoritmul din lecția asta).
Aplică regula produsului nul: egalează fiecare factor cu $0$ și rezolvă ecuațiile de gradul I rezultate.

Să vedem toate cazurile mari.

Cazul A: lipsește termenul liber ( $c = 0$ ) → factor comun. $x^{2} - 7 x = 0.$ Factor comun $x$ : $x (x - 7) = 0$ . Produs nul: $x = 0$ sau $x - 7 = 0$ . Soluții: $x_{1} = 0, x_{2} = 7$ . Mulțimea soluțiilor: $S = {0; 7}$ .

Detaliez această temă în lecția Ecuații $a x^{2} + b x = 0$ prin factor comun.

Cazul B: lipsește termenul din mijloc ( $b = 0$ ) → diferență de pătrate. $4 x^{2} - 9 = 0.$ Scriu ca diferență de pătrate: $(2 x)^{2} - 3^{2} = 0 \Rightarrow (2 x - 3) (2 x + 3) = 0$ . Produs nul: $2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ ; sau $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{2}$ . Deci $S = {- \frac{3}{2}; \frac{3}{2}}$ .

Cazul C: ecuația completă → trinom „sumă și produs". $x^{2} + 5 x + 6 = 0.$ Am descompus deja: $(x + 2) (x + 3) = 0$ . Produs nul: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ ; sau $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ . Deci $S = {- 3; - 2}$ .

Cazul D: $a \neq = 1$ , dar există factor comun. $2 x^{2} + 6 x - 20 = 0.$ Scot întâi factorul comun $2$ : $2 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$ . Împart prin $2$ (sau spun că $2 \neq = 0$ , deci $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ ). Descompun trinomul: caut produs $- 10$ , sumă $3$ → perechea $(5, - 2)$ . Deci $(x + 5) (x - 2) = 0$ , de unde $x = - 5$ sau $x = 2$ . $S = {- 5; 2}$ .

Observă cât de mult ajută factorul comun scos întâi: a transformat numerele mari într-un trinom simplu cu $a = 1$ .

Cazul E: ecuație de grad mai mare, adusă tot la produs nul. Metoda nu se schimbă dacă gradul crește — atâta timp cât reușești să descompui în factori de gradul I, regula produsului nul funcționează la fel. Fie: $x^{3} - 4 x = 0.$ Factor comun $x$ : $x (x^{2} - 4) = 0$ . Diferență de pătrate: $x (x - 2) (x + 2) = 0$ . Produs nul cu trei factori: $x = 0$ sau $x - 2 = 0$ sau $x + 2 = 0$ . Soluții: $x_{1} = 0, x_{2} = 2, x_{3} = - 2$ , adică $S = {- 2; 0; 2}$ . Ai obținut trei soluții pentru că ai trei factori distincți. Ideea de reținut: numărul de soluții este dat de câți factori distincți de gradul I obții (un factor la pătrat aduce o singură soluție, nu două).

Aceste tipuri sunt aprofundate în lecțiile din unitatea următoare: Ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ și principiul produsului nul și Ecuația completă prin descompunere.

⚠️ Foarte important pentru examen: la Evaluarea Națională NU ai voie să folosești formula $x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ (discriminantul) — aceea e materie de clasa a IX-a. Toate ecuațiile din programa clasei a VIII-a se pot descompune în factori cu metodele de aici. Dacă nu găsești descompunerea, cel mai probabil ai greșit un semn — recalculează, nu sări la formule de liceu.

8. Simplificarea fracțiilor algebrice prin descompunere

A doua mare aplicație. O fracție algebrică se simplifică tăind factorii comuni de la numărător și numitor. Dar factorii apar doar dacă descompui mai întâi sus și jos. Regula de aur: nu simplifici niciodată termeni dintr-o sumă; simplifici doar factori dintr-un produs.

Exemplu: $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9} .$

Descompun separat:

numărătorul: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ (diferență de pătrate);
numitorul: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ (pătrat perfect).

Fracția devine: $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x + 3}, pentru x \neq = - 3.$

Am tăiat un singur factor $(x + 3)$ . Condiția $x \neq = - 3$ vine din faptul că numitorul inițial nu are voie să fie $0$ ; vom aprofunda condițiile de existență în lecția Fracții algebrice. Condiții de existență și Simplificarea fracțiilor algebrice.

Un al doilea exemplu, cu factor comun: $\frac{2 x ^{2} - 8}{x ^{2} - 4 x + 4} = \frac{2 ( x ^{2} - 4 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x - 2 )} = \frac{2 ( x + 2 )}{x - 2}, x \neq = 2.$

9. Cum recunosc rapid ce metodă folosesc — „harta" completă

Ține minte întrebările, în ordine, de fiecare dată:

Au toți termenii ceva în comun? → scoate factorul comun.
Câți termeni au rămas? 2 → diferență de pătrate; 3 → pătrat perfect sau „sumă și produs"; 4 → grupare.
Fiecare factor obținut se mai descompune? → repetă până nu mai poți.

Cu aceste trei întrebări treci prin aproape orice item de descompunere de la Evaluarea Națională.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — factor comun + diferență de pătrate. Descompune $E = 5 x^{3} - 20 x$ .

Rezolvare. Factor comun $5 x$ : $E = 5 x (x^{2} - 4)$ . Paranteza are $2$ termeni, diferență de pătrate: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Deci $E = 5 x (x - 2) (x + 2) .$

Exemplul 2 — factor comun + pătrat perfect. Descompune $F = 3 a^{2} - 12 a + 12$ .

Rezolvare. Factor comun $3$ : $F = 3 (a^{2} - 4 a + 4)$ . Trei termeni: verific pătratul perfect — $a^{2} = (a)^{2}$ , $4 = 2^{2}$ , mijloc $2 \cdot a \cdot 2 = 4 a$ , potrivit. Deci $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ și $F = 3 (a - 2)^{2} .$

Exemplul 3 — grupare + diferență de pătrate. Descompune $G = a^{3} + 2 a^{2} - 9 a - 18$ .

Rezolvare. Patru termeni → grupez: $(a^{3} + 2 a^{2}) + (- 9 a - 18) = a^{2} (a + 2) - 9 (a + 2) = (a + 2) (a^{2} - 9)$ . Factorul $a^{2} - 9 = (a - 3) (a + 3)$ . Rezultat: $G = (a + 2) (a - 3) (a + 3) .$

Exemplul 4 — ecuație completă prin descompunere. Rezolvă în $R$ : $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ .

Rezolvare. Caut două numere cu produs $- 15$ și sumă $- 2$ . Perechile cu produs $- 15$ : $(3, - 5)$ dă suma $- 2$ . Deci $x^{2} - 2 x - 15 = (x + 3) (x - 5)$ și ecuația devine $(x + 3) (x - 5) = 0$ . Produs nul: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ ; sau $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ . Soluții: $S = {- 3; 5}$ . Verificare: $(- 3)^{2} - 2 (- 3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$ ✓; $5^{2} - 2 \cdot 5 - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$ ✓.

Exemplul 5 — ecuație cu factor comun scos întâi. Rezolvă: $3 x^{2} - 27 = 0$ .

Rezolvare. Factor comun $3$ : $3 (x^{2} - 9) = 0$ , deci $x^{2} - 9 = 0$ . Diferență de pătrate: $(x - 3) (x + 3) = 0$ . Produs nul: $x = 3$ sau $x = - 3$ . Soluții: $S = {- 3; 3}$ .

Exemplul 6 — item tip Evaluarea Națională (simplificare de fracție). Se dă $A = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4}$ , unde $x \in R ∖ {- 2; 2}$ . Arată că $A = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

Rezolvare. Descompun numărătorul: $x^{2} - 5 x + 6$ — produs $6$ , sumă $- 5$ → $(- 2, - 3)$ , deci $(x - 2) (x - 3)$ . Numitorul: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Atunci $A = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{x + 2},$ după simplificarea factorului $(x - 2)$ (permisă căci $x \neq = 2$ ). Egalitatea este demonstrată. ∎

Exemplul 7 — ecuație de gradul al III-lea prin descompunere completă. Rezolvă în $R$ : $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$ .

Rezolvare. Patru termeni, fără factor comun pe toți → grupare: $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x^{2} - 4) .$ Factorul $x^{2} - 4$ mai este o diferență de pătrate: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Ecuația devine $(x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0.$ Regula produsului nul dă trei ecuații de gradul I: $x - 3 = 0$ , $x - 2 = 0$ , $x + 2 = 0$ , adică $x = 3$ , $x = 2$ , $x = - 2$ . Soluții: $S = {- 2; 2; 3}$ . (O ecuație de gradul al III-lea descompusă în trei factori distincți are trei soluții — câte una din fiecare factor.)

Exemplul 8 — fracție care cere grupare la numărător. Simplifică $B = \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 1}$ , pentru $x \in R ∖ {- 1; 1}$ .

Rezolvare. Numărătorul are patru termeni → grupare: $x^{2} (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x^{2} - 1)$ . Numitorul este o diferență de pătrate: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ . Dar și $x^{2} - 1$ din numărător se descompune la fel, deci $B = \frac{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = x + 2,$ după simplificarea factorilor comuni $(x - 1)$ și $(x + 1)$ (permisă căci $x \neq = \pm 1$ ). Observă cât de mult se scurtează totul odată ce ai descompus corect sus și jos.

Să exersăm

Descompuneri combinate

Descompune în factori: $4 x^{2} - 16$ .
Descompune: $a^{3} - 25 a$ .
Descompune: $2 x^{2} + 20 x + 50$ .
Descompune: $3 a^{2} - 24 a + 48$ .
Descompune prin grupare, apoi finalizează: $x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ .
Descompune: $x^{2} + 7 x + 10$ (metoda sumă și produs).
Descompune: $x^{2} - 3 x - 28$ .

Ecuații $a x^{2} + b x + c = 0$

Rezolvă în $R$ : $x^{2} - 9 x = 0$ .
Rezolvă: $x^{2} - 49 = 0$ .
Rezolvă: $x^{2} + x - 6 = 0$ .
Rezolvă: $2 x^{2} - 18 = 0$ .
Rezolvă: $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ (atenție la numărul de soluții!).

Fracții și expresii

Simplifică: $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x + 1}$ , cu $x \neq = - 1$ .
Simplifică: $\frac{3 x ^{2} - 12}{x ^{2} - 4 x + 4}$ , cu $x \neq = 2$ .

Raționament și itemi tip examen

Adevărat sau fals, cu justificare: „Descompunerea $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2) (x + 2)$ este corectă."
Fără a rezolva complet, explică de ce ecuația $5 x^{2} = 0$ are o singură soluție și spune care este.
Item Evaluarea Națională: Se dă $E (x) = x^{3} - x^{2} - 6 x$ . a) Descompune $E (x)$ în factori. b) Rezolvă ecuația $E (x) = 0$ . c) Determină pentru câte valori întregi negative ale lui $x$ avem $E (x) = 0$ .
Numărul $n$ verifică $n^{2} - 13 n + 40 = 0$ și $n$ este vârsta (în ani) a unei persoane care are între $2$ și $6$ ani. Câți ani are? (folosește descompunerea)

Provocări (combinație de trei metode)

Descompune complet, combinând trei metode: $3 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 12$ .
Rezolvă în $R$ : $x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 0$ .
Simplifică: $\frac{x ^{3} + x ^{2} - 4 x - 4}{x ^{2} - 4}$ , cu $x \neq = - 2$ și $x \neq = 2$ .

Răspunsuri și explicații

$4 x^{2} - 16 = 4 (x^{2} - 4) = 4 (x - 2) (x + 2)$ . (Factor comun $4$ , apoi diferență de pătrate.)
$a^{3} - 25 a = a (a^{2} - 25) = a (a - 5) (a + 5)$ . (Factor comun $a$ , apoi diferență de pătrate.)
$2 x^{2} + 20 x + 50 = 2 (x^{2} + 10 x + 25) = 2 (x + 5)^{2}$ . (Factor comun $2$ ; mijloc $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ ✓, pătrat perfect.)
$3 a^{2} - 24 a + 48 = 3 (a^{2} - 8 a + 16) = 3 (a - 4)^{2}$ . (Factor comun $3$ ; mijloc $2 \cdot a \cdot 4 = 8 a$ ✓.)
$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = x^{2} (x + 3) - (x + 3) = (x + 3) (x^{2} - 1) = (x + 3) (x - 1) (x + 1)$ . (Grupare, apoi diferență de pătrate.)
Produs $10$ , sumă $7$ → $(2, 5)$ : $x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ . Verificare: $x^{2} + 5 x + 2 x + 10$ ✓.
Produs $- 28$ , sumă $- 3$ → $(4, - 7)$ : $x^{2} - 3 x - 28 = (x + 4) (x - 7)$ . Verificare: $x^{2} - 7 x + 4 x - 28$ ✓.
$x^{2} - 9 x = 0 \Rightarrow x (x - 9) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 9$ . $S = {0; 9}$ .
$x^{2} - 49 = 0 \Rightarrow (x - 7) (x + 7) = 0 \Rightarrow x = 7$ sau $x = - 7$ . $S = {- 7; 7}$ .
Produs $- 6$ , sumă $1$ → $(3, - 2)$ : $(x + 3) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = - 3$ sau $x = 2$ . $S = {- 3; 2}$ .
$2 x^{2} - 18 = 0 \Rightarrow 2 (x^{2} - 9) = 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$ . $S = {- 3; 3}$ .
$x^{2} - 8 x + 16 = (x - 4)^{2} = 0 \Rightarrow x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ . O singură soluție (soluție dublă): $S = {4}$ . (Când descompunerea dă un pătrat perfect $(x - m)^{2} = 0$ , ecuația are o singură soluție $x = m$ .)
$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1}$ , $x \neq = - 1$ .
$\frac{3 x ^{2} - 12}{x ^{2} - 4 x + 4} = \frac{3 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{3 ( x + 2 )}{x - 2}$ , $x \neq = 2$ .
Fals. $x^{2} - 4 x + 4$ este un pătrat perfect, $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)$ , nu $(x - 2) (x + 2)$ . Verificare rapidă: $(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ (diferență de pătrate), care are termenul din mijloc lipsă — deci nu poate fi egal cu $x^{2} - 4 x + 4$ .
$5 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ . Un pătrat este $0$ doar când baza este $0$ , deci singura soluție posibilă este $x = 0$ . $S = {0}$ .
a) $E (x) = x^{3} - x^{2} - 6 x = x (x^{2} - x - 6) = x (x - 3) (x + 2)$ (factor comun $x$ , apoi produs $- 6$ sumă $- 1$ → $(- 3, 2)$ ). b) $E (x) = 0 \Rightarrow x (x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 3$ sau $x = - 2$ . $S = {- 2; 0; 3}$ . c) Valorile întregi negative din $S$ sunt: doar $- 2$ . Deci o singură valoare.
$n^{2} - 13 n + 40 = 0$ . Produs $40$ , sumă $- 13$ → $(- 5, - 8)$ : $(n - 5) (n - 8) = 0 \Rightarrow n = 5$ sau $n = 8$ . Condiția „între $2$ și $6$ ani" selectează $n = 5$ . Persoana are $5$ ani. (Soluția $8$ se respinge, nefiind în intervalul dat.)
Factor comun $3$ : $3 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 12 = 3 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)$ . Grupare în paranteză: $x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 4)$ ; apoi diferență de pătrate $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Rezultat complet: $3 (x - 1) (x - 2) (x + 2)$ . (Trei metode: factor comun → grupare → diferență de pătrate.)
Factor comun $x$ : $x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = x (x^{2} - 5 x + 4)$ . Trinomul: produs $4$ , sumă $- 5$ → $(- 1, - 4)$ , deci $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ . Ecuația: $x (x - 1) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 1$ sau $x = 4$ . $S = {0; 1; 4}$ .
Numărătorul (grupare): $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ . Numitorul: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Fracția: $\frac{( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = x + 1$ , pentru $x \neq = \pm 2$ .

De reținut

Ordinea metodelor: întâi factor comun, apoi (după numărul de termeni rămași) diferență de pătrate (2 termeni), pătrat perfect / sumă și produs (3 termeni) sau grupare (4 termeni). Descompune până niciun factor nu mai poate fi descompus.
Trinomul $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ , unde $m \cdot n = c$ și $m + n = b$ .
Regula produsului nul: $A \cdot B = 0 ⟺ A = 0$ sau $B = 0$ . Aceasta transformă ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ (adusă la forma produs $= 0$ ) în ecuații de gradul I.
Un factor la pătrat egalat cu zero, $(x - m)^{2} = 0$ , dă o singură soluție $x = m$ .
Numărul de soluții = numărul de factori distincți de gradul I pe care îi obții după descompunere. O ecuație de grad mai mare (de exemplu $x^{3} - 4 x = 0$ ) se rezolvă la fel: descompune complet și aplică produsul nul pe fiecare factor.
Simplifici factori, nu termeni: descompune numărătorul și numitorul, apoi taie doar factorii comuni.

Greșeli frecvente

Sari peste factorul comun. Te arunci direct pe formule și te încurci în numere mari. Verifică ÎNTÂI factorul comun — face totul mai simplu.
Confuzi pătratul perfect cu diferența de pătrate. $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ (trei termeni), dar $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ (doi termeni). Numără termenii și verifică „mijlocul" $2 ab$ .
Uiți că descompunerea nu s-a terminat. După o metodă, mai uită-te o dată la fiecare factor. Ex.: $2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4)$ nu este complet — mai urmează $(x - 2) (x + 2)$ .
Folosești discriminantul (Δ). Este materie de liceu și nu se punctează la Evaluarea Națională. Toate ecuațiile din programă se descompun; dacă „nu iese", ai greșit un semn — reia descompunerea.

Aplică acasă

Vânătoarea de descompuneri. Deschide culegerea și alege $10$ expresii de descompus. Înainte de a rezolva, scrie lângă fiecare (doar din privire) ce metodă crezi că vei folosi și în ce ordine. Rezolvă apoi și vezi de câte ori ai ghicit metoda. Scopul e să antrenezi recunoașterea rapidă, nu doar calculul.
Fabrica de ecuații. Alege două numere întregi la întâmplare, de exemplu $m = 4$ și $n = - 3$ . Construiește ecuația pornind de la produsul nul: $(x - 4) (x + 3) = 0$ , apoi desfă parantezele: $x^{2} - x - 12 = 0$ . Ai creat singur o ecuație $a x^{2} + b x + c = 0$ cu soluții știute! Fă $5$ astfel de ecuații și dă-le unui coleg să le rezolve — verificarea e imediată, căci tu știi soluțiile.
Simplifică o „monstruozitate". Scrie o fracție punând sus și jos câte un produs de doi-trei factori care au un factor comun (de ex. sus $(x - 1) (x + 2)$ , jos $(x - 1) (x + 5)$ ), apoi desfă parantezele ca să pară complicată. Peste o zi, încearcă să o simplifici din nou descompunând — vei „redescoperi" factorul comun.
Provocarea celor trei metode. Construiește o expresie care să ceară toate cele trei unelte. Pornește de la un produs de forma $k (x - m) (x - p) (x + p)$ — de exemplu $2 (x - 1) (x - 2) (x + 2)$ — și desfă parantezele complet, până obții un polinom cu patru termeni și numere „urâte". A doua zi, uită de unde ai pornit și încearcă să descompui polinomul înapoi, urmând algoritmul: întâi factor comun, apoi grupare, apoi diferență de pătrate. Dacă ajungi exact la produsul de la care ai plecat, ai stăpânit combinarea metodelor.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este un nod al algebrei de gimnaziu: reunește toate metodele de descompunere și le pune imediat în slujba ecuațiilor de gradul al II-lea și a fracțiilor algebrice — două teme cu pondere mare la Evaluarea Națională (subiectul II conține frecvent o ecuație $a x^{2} + b x + c = 0$ și o expresie/fracție de simplificat, punctate pe pași).

Cum sprijiniți elevul:

Cereți-i să spună ce metodă folosește ȘI de ce, înainte să calculeze. Recunoașterea metodei este partea grea; calculul e ușor odată aleasă metoda.
Verificați împreună prin desfacerea parantezelor. Orice descompunere se poate controla înmulțind înapoi — dacă nu obții expresia inițială, ceva e greșit. Aceeași idee pentru ecuații: se înlocuiește soluția în ecuație.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce scoatem întâi factorul comun?"; „Cum știi câți termeni are un pătrat perfect față de o diferență de pătrate?"; „De ce ecuația $(x - 2)^{2} = 0$ are o singură soluție, nu două?"; „Se poate rezolva $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ fără descompunere, la clasa a VIII-a?" (Răspuns așteptat: nu cu formule; doar prin descompunere.)

Un semn clar că elevul a înțeles: rezolvă corect un item nou fără să întrebe „ce metodă folosesc?", pentru că parcurge singur cele trei întrebări (factor comun → câți termeni → mai descompun?). Un al doilea semn de stăpânire reală este că elevul își verifică singur răspunsul, fără să i se ceară: înmulțește factorii înapoi la descompuneri și înlocuiește soluțiile în ecuație — reflexul de autoverificare valorează, la examen, cât metoda însăși.

Întrebări frecvente

Care este ordinea corectă a metodelor de descompunere în factori? Întotdeauna începi cu factorul comun. Apoi te uiți câți termeni au rămas în paranteză: $2$ termeni → diferență de pătrate, $3$ termeni → pătrat perfect sau metoda sumei și produsului, $4$ termeni → grupare. La final, verifici dacă fiecare factor obținut se mai poate descompune.

Cum rezolv o ecuație $a x^{2} + b x + c = 0$ în clasa a VIII-a? O aduci la forma „produs $= 0$ " prin descompunere în factori, apoi aplici regula produsului nul: egalezi fiecare factor cu zero și rezolvi ecuațiile de gradul I. La gimnaziu nu se folosește formula cu discriminant — aceea este de clasa a IX-a.

Ce este regula produsului nul? Este proprietatea: dacă un produs de factori este $0$ , atunci cel puțin unul dintre factori este $0$ ( $A \cdot B = 0 ⟺ A = 0$ sau $B = 0$ ). Ea permite transformarea unei ecuații descompuse în factori în ecuații simple de gradul I.

De ce trebuie să scot factorul comun înaintea celorlalte metode? Pentru că scoaterea factorului comun micșorează coeficienții și scoate la iveală structura reală a expresiei (de exemplu o diferență de pătrate sau un pătrat perfect care altfel rămâneau ascunse). Sărind peste acest pas, ajungi la calcule inutil de grele.

Cum descompun un trinom de forma $x^{2} + b x + c$ ? Cauți două numere $m$ și $n$ cu $m \cdot n = c$ (produsul lor este termenul liber) și $m + n = b$ (suma lor este coeficientul lui $x$ ). Atunci $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ . Dacă $c > 0$ numerele au același semn; dacă $c < 0$ , au semne diferite.

Câte soluții are o ecuație de gradul al II-lea rezolvată prin descompunere? De regulă două soluții (câte una din fiecare factor), dar poate avea și una singură dacă descompunerea dă un pătrat perfect, de exemplu $(x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$ . Poate să nu aibă nicio soluție reală, dar astfel de cazuri nu apar la descompunerile din programa clasei a VIII-a.

Pot simplifica direct $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ tăind $x$ -urile? Nu. Nu se taie niciodată termeni dintr-o sumă sau diferență. Descompui întâi: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ (pentru $x \neq = 3$ ). Simplifici doar factori comuni, obținuți după descompunere.

Se pot combina și trei metode într-o singură expresie? Da, și se întâmplă frecvent. Aplici mereu aceeași ordine: întâi factorul comun, apoi (după numărul de termeni) grupare / diferență de pătrate / pătrat perfect, iar la final reiei fiecare factor obținut și îl mai descompui dacă se poate. De exemplu $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 = 2 (x - 1) (x - 2) (x + 2)$ folosește factor comun, apoi grupare, apoi diferență de pătrate. Nu te oprești până când niciun factor nu se mai descompune.

Cum rezolv o ecuație de gradul al III-lea la clasa a VIII-a? Exact ca pe cele de gradul al II-lea: aduci totul într-un membru (forma „ $\dots = 0$ "), descompui complet în factori (de obicei scoți factorul comun și/sau grupezi) și aplici regula produsului nul, egalând fiecare factor cu zero. O ecuație descompusă în trei factori distincți, precum $x (x - 1) (x - 4) = 0$ , are trei soluții. Nu ai nevoie de nicio formulă de liceu.

Unde apar descompunerile combinate la Evaluarea Națională? Cel mai des la subiectul II: o expresie de descompus complet, o ecuație $a x^{2} + b x + c = 0$ de rezolvat prin descompunere și o fracție algebrică de adus la formă simplă. Toate se punctează pe pași, deci redactarea îngrijită (fiecare factor egalat cu zero, fiecare soluție scrisă clar) aduce punctaj chiar și pentru pași parțiali.