Cum descompun în factori prin grupare?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Descompunere prin gruparea termenilor

Când ai patru termeni fără nimic comun la toți, îi iei doi câte doi și scoți factorul comun din fiecare pereche. Dacă gruparea a fost bine aleasă, rămâne aceeași paranteză în ambele locuri, iar ea devine noul factor comun. Astfel $a x + a y + b x + b y$ ajunge la $a (x + y) + b (x + y)$ , adică $(x + y) (a + b)$ . Dacă parantezele ies diferite, schimbi perechile și încerci din nou.

Când o expresie are 4 termeni și nu găsești un factor comun pentru toți deodată, o poți descompune totuși în factori prin gruparea termenilor: împerechezi termenii doi câte doi, scoți factorul comun din fiecare grup și, dacă ai grupat bine, apare aceeași paranteză în ambele grupuri. Acea paranteză devine noul factor comun.

Exemplu minimal: $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b) .$

Două lucruri de reținut: (1) verifică întâi dacă nu cumva toți termenii au un factor comun total — dacă au, scoate-l primul; (2) atenție la semnul minus — dacă un grup începe cu minus, scoți factorul cu semnul minus inclus (ex. $- b x + b y = - b (x - y)$ ). La final, verifici mereu refăcând înmulțirea, ca să te asiguri că ai obținut din nou expresia inițială.

De reținut

patru termeni fără factor comun general → grupare doi câte doi
aceeași paranteză în ambele grupe = semn că ai grupat bine
verificarea = refacerea înmulțirii

Greșeala tipică

Se scoate factorul dintr-o grupă care începe cu minus fără să se schimbe semnele dinăuntru. Corect este să iei minusul odată cu factorul și să inversezi fiecare semn rămas în paranteză.

Exerciții din această mini-lecție

Descompune în factori: $E = 4 x + 4 y + c x + cy$ .
- a) $(x + y) (4 + c)$
- b) $4 (x + y + c)$
- c) $(x + c) (4 + y)$
- d) $(4 x + c) (y)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + y) (4 + c)$

Grupăm $(4 x + 4 y) + (c x + cy) = 4 (x + y) + c (x + y)$ . Apare aceeași paranteză $(x + y)$ , deci $E = (x + y) (4 + c)$ .
Descompune în factori, cu atenție la semn: $E = p m - p n - q m + q n$ .
- a) $(m - n) (p + q)$
- b) $(m - n) (p - q)$
- c) $(m + n) (p - q)$
- d) $(p - n) (m - q)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(m - n) (p - q)$

Grupăm $(p m - p n) + (- q m + q n) = p (m - n) - q (m - n)$ . Din al doilea grup scoatem $- q$ (nu $+ q$ ), ca să obținem aceeași paranteză $(m - n)$ . Rezultă $(m - n) (p - q)$ .
Descompune în factori: $E = 3 x + 3 y + t x + t y$ .
- a) $(x + y) (3 + t)$
- b) $3 (x + y + t)$
- c) $(x + t) (3 + y)$
- d) $(3 x + t) (y)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + y) (3 + t)$

Grupăm $(3 x + 3 y) + (t x + t y) = 3 (x + y) + t (x + y)$ . Apare aceeași paranteză $(x + y)$ , deci $E = (x + y) (3 + t)$ .

Întrebări conexe

Cum descompun prin grupare expresia x³ + x² + x + 1?

Grupezi primii doi termeni și ultimii doi: $x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$ . Paranteza $(x + 1)$ apare în amândouă, deci o scoți în față și obții $(x + 1) (x^{2} + 1)$ . Al doilea factor nu se mai desface peste numere reale, fiindcă o sumă de pătrate nu se anulează.

De ce trebuie multă atenție la minusul dinaintea unei grupe?

Fiindcă semnul se scoate odată cu factorul și schimbă tot ce rămâne înăuntru. Din $- b x + b y$ scoți $- b$ și obții $- b (x - y)$ , nu $- b (x + y)$ . O singură inversare uitată strică paranteza comună și pare că metoda nu funcționează.

Câți termeni trebuie să aibă o expresie ca să o grupez?

Cel puțin patru, fiindcă îți trebuie două grupe cu câte un factor comun propriu. La trei termeni metoda nu are cu ce lucra, iar la cinci sau la șapte una dintre grupe rămâne cu un singur termen și trebuie aleasă cu grijă, de obicei chiar cea care conține paranteza comună.

Ce verific înainte de a începe gruparea termenilor?

Verifici dacă nu cumva toți termenii au ceva comun de la bun început. La $2 a x + 2 a y + 2 b x + 2 b y$ scoți întâi pe $2$ și abia apoi grupezi, altfel duci un factor în plus prin toți pașii și descompunerea rămâne neterminată.

Cum se leagă gruparea de scoaterea factorului comun?

Gruparea este scoaterea factorului comun făcută de două ori: întâi în fiecare grupă, apoi pe paranteza rămasă la amândouă. De aceea metoda cere ca după primul pas parantezele să coincidă — abia atunci există un factor comun de scos la pasul al doilea.

Unde ajută gruparea termenilor la rezolvarea unei ecuații?

Aduce membrul stâng la forma de produs, iar de acolo folosești faptul că un produs egal cu zero cere ca un factor să fie zero. Din $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$ grupezi și obții $(x + 1) (x - 2) (x + 2) = 0$ , deci trei soluții.

Oamenii mai întreabă și: gruparea termenilor · descompunere prin gruparea termenilor · cum descompun o expresie cu patru termeni · metoda grupării la descompuneri · gruparea termenilor doi câte doi