Simplificarea fracțiilor algebrice

Când ai o fracție cu numere, ca $\frac{6}{9}$, o simplifici automat la $\frac{2}{3}$ — împarți sus și jos la $3$. Fracțiile algebrice funcționează exact pe același principiu, doar că în locul numerelor apar și litere: $\frac{6x^2}{9x}$ se simplifică la $\frac{2x}{3}$. Diferența majoră este că, înainte de a tăia ceva, trebuie să descompui numărătorul și numitorul în factori și să ai grijă la condițiile de existență. Aceste deprinderi sunt exact ce ți se cere la Evaluarea Națională, unde simplificarea unei fracții apare aproape sigur în subiectul II sau III, iar redactarea îngrijită îți aduce puncte prețioase.

Ce vei învăța

• Vei ști să descompui în factori numărătorul și numitorul unei fracții algebrice, folosind factor comun, grupare și formulele de calcul prescurtat.
• Vei ști să simplifici o fracție algebrică prin factorul comun nenul, corect și îngrijit.
• Vei ști să recunoști când o fracție este ireductibilă (simplificată complet).
• Vei ști să păstrezi condițiile de existență stabilite înainte de simplificare, ca răspunsul tău să fie complet la examen.
• Vei ști să eviți capcanele clasice, mai ales „tăierea" greșită a termenilor care nu sunt factori.

Hai să descoperim împreună

Regula fundamentală a simplificării

Pornim de la o proprietate pe care o folosești din clasele mici la fracțiile numerice. Dacă împarți și numărătorul, și numitorul unei fracții cu același număr nenul, valoarea fracției nu se schimbă:

$$\frac{6}{9}=\frac{6:3}{9:3}=\frac{2}{3}.$$

La fracțiile algebrice regula este identică, dar cu o precizare importantă:

Regula de simplificare. Dacă $A$, $B$ și $C$ sunt expresii algebrice, iar $B\ne 0$ și $C\ne 0$, atunci $$\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}.$$ Cu alte cuvinte, un factor comun nenul al numărătorului și numitorului se poate simplifica.

Cuvântul-cheie aici este factor. Nu poți simplifica termeni oarecare, ci doar factori — adică expresii care se înmulțesc cu restul. Reține de pe acum: simplificarea se face prin factori, nu prin termeni. Este cea mai importantă idee din toată lecția.

Ca să vezi diferența dintre „factor" și „termen", compară două expresii: în $3\cdot (x+1)$, atât $3$ cât și $(x+1)$ sunt factori, pentru că se înmulțesc; în $3+(x+1)$, ele sunt termeni, pentru că se adună. Doar factorii se pot simplifica. Această distincție, aparent măruntă, este sursa celei mai frecvente greșeli la fracții algebrice, așa că merită să te oprești și să o fixezi bine înainte de a merge mai departe.

De ce trebuie mai întâi să descompunem în factori

Privește fracția $\frac{2x+6}{x^2+3x}$. Ai putea fi tentat să „tai" $x$-ul sau $6$-ul. Ar fi o greșeală. Nici numărătorul, nici numitorul nu sunt încă scriși ca produse de factori — sunt sume. Ca să putem simplifica, transformăm sumele în produse. Aici intră tot arsenalul învățat la unitatea Descompuneri în factori:

• factorul comun (vezi descompunere prin scoaterea factorului comun);
• gruparea termenilor (vezi descompunere prin gruparea termenilor);
• formulele de calcul prescurtat: $(a\pm b{)}^2$ și $a^2-b^2$ (vezi descompunere cu diferența de pătrate).

Să reluăm exemplul. Scoatem factor comun sus și jos:

$$\frac{2x+6}{x^2+3x}=\frac{2(x+3)}{x(x+3)}.$$

Acum numărătorul este produsul $2\cdot (x+3)$, iar numitorul este produsul $x\cdot (x+3)$. Factorul comun este $(x+3)$. Îl simplificăm:

$$\frac{2\cancel{(x+3)}}{x\cancel{(x+3)}}=\frac{2}{x}.$$

Fracția $\frac{2}{x}$ este forma finală, mult mai simplă.

Pașii algoritmului de simplificare

Ori de câte ori ți se cere să simplifici o fracție algebrică, urmează aceiași cinci pași:

1. Stabilește condițiile de existență (CE). Numitorul trebuie să fie diferit de zero. Reține valorile interzise ale necunoscutei — le scrii de la început, cât timp vezi numitorul original. Detalii ai în lecția fracții algebrice: condiții de existență.
2. Descompune numărătorul în factori.
3. Descompune numitorul în factori.
4. Simplifică factorii comuni nenuli.
5. Scrie forma ireductibilă, însoțită de condițiile de existență.

Observă cât de important este pasul 1. Condițiile de existență se citesc de pe fracția inițială, nu de pe cea simplificată. Simplificarea poate „ascunde" un factor din numitor, dar restricția pe care el o impunea rămâne valabilă. Vom vedea imediat de ce.

De ce condițiile se păstrează după simplificare

Reluăm $\frac{2x+6}{x^2+3x}=\frac{2}{x}$. Pe fracția inițială, numitorul $x^2+3x=x(x+3)$ se anulează pentru $x=0$ și pentru $x=-3$. Deci condițiile de existență sunt $x\ne 0$ și $x\ne -3$.

După simplificare a rămas doar $\frac{2}{x}$, care „pare" că interzice doar $x=0$. Însă valoarea $x=-3$ nu a fost niciodată permisă pentru expresia de la care am pornit — acolo fracția inițială nu exista. De aceea, forma corectă și completă a răspunsului este:

$$\frac{2x+6}{x^2+3x}=\frac{2}{x},\text{pentru }x\ne 0\text{ și }x\ne -3.$$

La examen, dacă uiți condiția $x\ne -3$, redactarea nu este completă. Ține minte: egalitatea dintre fracția inițială și cea simplificată este adevărată doar acolo unde ambele expresii au sens.

Rolul formulelor de calcul prescurtat

Cele mai multe fracții de la Evaluarea Națională se simplifică folosind trei formule pe care le știi deja:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2,$$ $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Ideea este să recunoști în numărător sau numitor „forma desfășurată" a uneia dintre aceste formule și să o rescrii ca produs. De exemplu:

• $x^2-25$ este o diferență de pătrate: $x^2-5^2=(x-5)(x+5)$.
• $x^2+6x+9$ este un pătrat perfect: $x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3{)}^2$.
• $x^2-4x+4$ este tot un pătrat perfect: $(x-2{)}^2$.

Odată scrise ca produse, factorii comuni sar în ochi. Să luăm:

$$\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x}.$$

Am descompus $x^2-9=(x-3)(x+3)$ cu diferența de pătrate și $x^2+3x=x(x+3)$ cu factor comun. Factorul comun $(x+3)$ dispare, iar rezultatul este $\frac{x-3}{x}$, cu condițiile $x\ne 0$ și $x\ne -3$.

Trinoame care nu sunt pătrate perfecte: caută două numere

Nu orice trinom de gradul al doilea este pătrat perfect sau diferență de pătrate. Uneori întâlnești o expresie ca $x^2+5x+6$: nu are factor comun, nu este o diferență de pătrate și nu este nici pătratul perfect al unei sume (căci $2\cdot x\cdot ?$ nu se potrivește). Cum o descompui atunci?

Pornim de la o observație simplă. Dacă desfășori produsul a două paranteze de forma $(x+m)(x+n)$, obții:

$$(x+m)(x+n)=x^2+(m+n)x+m\cdot n.$$

Cu alte cuvinte, coeficientul lui $x$ este suma $m+n$, iar termenul liber este produsul $m\cdot n$. Ca să descompui un trinom de forma $x^2+Sx+P$, faci exact drumul invers: cauți două numere a căror sumă este $S$ (coeficientul lui $x$) și al căror produs este $P$ (termenul liber).

Să aplicăm pe $x^2+5x+6$. Avem nevoie de două numere cu suma $5$ și produsul $6$. Le găsim ușor: $2$ și $3$ (căci $2+3=5$ și $2\cdot 3=6$). Deci:

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Verifici imediat refăcând înmulțirea: $(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$. ✓

Un al doilea exemplu, cu semne: $x^2-7x+10$. Căutăm două numere cu suma $-7$ și produsul $+10$. Cum produsul este pozitiv, iar suma negativă, ambele numere sunt negative: $-2$ și $-5$ (căci $-2-5=-7$ și $(-2)\cdot (-5)=10$). Deci $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.

Reține regula de semn, foarte utilă: dacă produsul $P$ este pozitiv, cele două numere au același semn (amândouă cu semnul sumei $S$); dacă produsul $P$ este negativ, numerele au semne opuse. Această tehnică — numită și „spargerea termenului din mijloc" — o vei studia în detaliu la ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ rezolvată prin descompunere în factori; pentru simplificarea fracțiilor îți este suficient să găsești cele două numere.

Ce înseamnă fracție ireductibilă

O fracție algebrică se numește ireductibilă (sau simplificată complet) atunci când numărătorul și numitorul nu mai au niciun factor comun în afară de $1$ (și $-1$). Cu alte cuvinte, nu mai poți simplifica nimic.

De exemplu, $\frac{x-3}{x}$ este ireductibilă: $x-3$ și $x$ nu au factori comuni. În schimb, $\frac{2x+6}{x^2+3x}$ nu era ireductibilă, tocmai fiindcă avea factorul comun $(x+3)$.

Analogia cu numerele te ajută: $\frac{2}{3}$ este ireductibilă (2 și 3 nu au divizor comun mai mare ca 1), la fel cum $\frac{x-3}{x}$ este ireductibilă în lumea literelor. Scopul final al oricărei simplificări este forma ireductibilă.

De ce merită efortul: simplificarea îți ușurează tot ce urmează

Poate te întrebi de ce insistăm atât pe forma ireductibilă. Motivul este practic: aproape toate operațiile pe care le vei învăța în continuare — adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a fracțiilor algebrice — merg mult mai ușor dacă pornești de la fracții simplificate. La adunarea și scăderea fracțiilor algebrice vei căuta un numitor comun; e mult mai simplu să-l găsești când fiecare fracție este deja adusă la forma ei minimă. La înmulțirea și împărțirea fracțiilor, simplificarea „încrucișată" scurtează dramatic calculele. Gândește-te la simplificare ca la o „curățenie" pe care o faci înainte de a construi ceva mai mare: cu cât fracțiile sunt mai simple, cu atât mai puține șanse ai să greșești mai târziu.

Mai mult, la Evaluarea Națională o fracție lăsată nesimplificată poate însemna puncte pierdute, chiar dacă restul raționamentului este corect. Baremul cere de obicei „forma cea mai simplă", iar un rezultat de tipul $\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}$ nu este considerat final. De aceea, ultimul lucru pe care îl faci întotdeauna este să verifici: mai am vreun factor comun de tăiat?

Atenție la semne: trucul factorului $-1$

O situație care încurcă mulți elevi apare când numitorul și numărătorul au factori „aproape identici, dar cu semne schimbate", ca $x-5$ și $5-x$. Ele nu sunt egale, dar sunt opuse:

$$5-x=-(x-5).$$

Folosind acest lucru, putem simplifica. De exemplu:

$$\frac{x^2-25}{5-x}=\frac{(x-5)(x+5)}{-(x-5)}=\frac{\cancel{(x-5)}(x+5)}{-\cancel{(x-5)}}=-(x+5)=-x-5,$$

cu condiția $x\ne 5$. Reține regula practică: $a-b$ și $b-a$ sunt opuse, iar scoaterea factorului $-1$ transformă unul în celălalt. Este un truc care apare frecvent la examen.

Cazul monoamelor: coeficienți și puteri ale literelor

Cele mai simple fracții algebrice au la numărător și la numitor monoame — produse de numere și puteri ale literelor, ca $\frac{12x^{3}y}{18x{y}^2}$. Aici descompunerea în factori înseamnă pur și simplu să separi coeficientul numeric de puterile literelor și să vezi ce este comun.

Procedăm în doi pași. Mai întâi simplificăm partea numerică, exact ca la fracțiile obișnuite: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ (împărțim la $6$). Apoi tratăm fiecare literă separat, folosind regula puterilor cu aceeași bază: la o literă care apare și sus, și jos, scădem exponenții și lăsăm puterea acolo unde exponentul este mai mare.

$$\frac{12x^{3}y}{18x{y}^2}=\frac{12}{18}\cdot \frac{x^3}{x}\cdot \frac{y}{y^2}=\frac{2}{3}\cdot x^{3-1}\cdot \frac{1}{y^{2-1}}=\frac{2x^2}{3y},$$

cu condițiile de existență $x\ne 0$ și $y\ne 0$ (numitorul $18x{y}^2$ se anulează dacă $x=0$ sau $y=0$). Ideea de reținut: la monoame, coeficienții se simplifică între ei, iar literele se simplifică fiecare cu perechea ei. Pentru mai multe detalii despre operațiile cu puteri, revezi lecția înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere.

Când numărătorul „dispare" complet

Uneori, după simplificare, la numărător rămâne doar $1$. Nu te speria — este perfect corect. De exemplu:

$$\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{\cancel{(x-2)}\cdot 1}{\cancel{(x-2)}(x+2)}=\frac{1}{x+2},$$

pentru $x\ne 2$ și $x\ne -2$. Când tai un factor care era „singur" la numărător, în locul lui rămâne $1$, fiindcă orice factor împărțit la el însuși dă $1$. Aceeași idee ca la numere: $\frac{7}{7\cdot 3}=\frac{1}{3}$.

Verificarea rezultatului

Vrei să fii sigur că ai simplificat corect? Alege o valoare permisă pentru necunoscută (una care respectă condițiile de existență) și calculează atât fracția inițială, cât și pe cea finală. Trebuie să obții același număr. De exemplu, pentru $\frac{2x+6}{x^2+3x}=\frac{2}{x}$ luăm $x=2$: inițial $\frac{4+6}{4+6}=\frac{10}{10}=1$; final $\frac{2}{2}=1$. Se potrivește — semn bun că simplificarea e corectă. Este o metodă excelentă de autocontrol în timpul lucrării.

O precizare importantă: verificarea numerică nu înlocuiește raționamentul, ci doar îl confirmă. Faptul că valorile coincid pentru un singur $x$ nu garantează matematic că simplificarea e corectă, dar dacă valorile nu coincid, atunci sigur ai greșit undeva. Folosește metoda ca pe un semnal de alarmă: la examen îți poate salva punctele, prinzând din timp o tăiere greșită de termen.

Când o fracție nu se poate simplifica

La fel de important ca a ști să simplifici este să recunoști când nu ai ce simplifica. O fracție este deja ireductibilă dacă, după ce ai descompus complet numărătorul și numitorul, cele două nu au niciun factor comun. În acest caz, singurul lucru pe care îl scrii sunt condițiile de existență; forma fracției rămâne neschimbată.

De exemplu, $\frac{x+2}{x-3}$ este ireductibilă: ambele paranteze sunt deja factori „elementari", iar $x+2$ nu are nimic comun cu $x-3$. La fel, $\frac{x^2+1}{x-1}$ nu se simplifică, fiindcă $x^2+1$ nu se poate descompune cu instrumentele clasei a VIII-a (nu este diferență de pătrate, căci semnul este plus). Nu forța niciodată o simplificare care nu există — este exact greșeala pe care vrem să o evităm.

Cel mai periculos moment este când numărătorul și numitorul par că au ceva comun, dar de fapt au doar un termen comun. La $\frac{x+2}{x-3}$ vezi litera $x$ sus și jos, dar ea este termen în ambele sume, nu factor — deci rămâne pe loc. Întreabă-te mereu: acest $x$ înmulțește tot numărătorul (respectiv numitorul), sau doar se adună cu altceva? Doar dacă înmulțește tot, se poate tăia.

Cum aleg metoda de descompunere

De multe ori elevii se blochează nu pentru că nu știu metodele, ci pentru că nu știu cu care să înceapă. Iată o ordine simplă, care funcționează aproape mereu. Aplic-o pe fiecare expresie (numărător, apoi numitor) în parte.

1. Există factor comun? Uită-te dacă toți termenii au un factor comun (un număr, o literă sau o paranteză). Dacă da, scoate-l primul — de multe ori ușurează tot ce urmează. De exemplu, la $2x^2-2$ scoți întâi $2$ și rămâi cu $2(x^2-1)$, care e mai ușor de continuat.
2. Sunt doi termeni și o diferență? Dacă expresia are exact doi termeni, verifică dacă este o diferență de pătrate $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Atenție: o sumă de pătrate, ca $x^2+9$, nu se descompune la clasa a VIII-a.
3. Sunt trei termeni? Verifică întâi dacă este pătrat perfect ($a^2\pm 2ab+b^2$). Dacă nu, folosește tehnica celor două numere (sumă și produs) pentru trinomul $x^2+Sx+P$.
4. Sunt patru termeni? Încearcă gruparea câte doi termeni și scoaterea factorului comun din fiecare grupă.

Verifică mereu, la final, dacă factorul obținut se mai poate descompune o dată. De pildă, $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$: după prima diferență de pătrate, mai rămâne una „ascunsă" în $x^2-1$. Descompunerea completă este cheia pentru a nu rata factori comuni la simplificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — simplificare cu monoame (factor comun de bază)

Simplifică fracția $\frac{6x^2}{9x}$.

Condiții de existență: numitorul $9x\ne 0$, adică $x\ne 0$.

Descompunem în factori. Scriem fiecare parte ca produs, evidențiind factorul comun: $$\frac{6x^2}{9x}=\frac{3x\cdot 2x}{3x\cdot 3}.$$ Factorul comun este $3x$. Îl simplificăm: $$\frac{\cancel{3x}\cdot 2x}{\cancel{3x}\cdot 3}=\frac{2x}{3}.$$

Răspuns: $\frac{6x^2}{9x}=\frac{2x}{3}$, pentru $x\ne 0$.

Exemplul 2 — factor comun sus și jos

Simplifică $\frac{3x-12}{x^2-8x+16}$.

Condiții de existență: numitorul $x^2-8x+16\ne 0$. Recunoaștem un pătrat perfect: $x^2-8x+16=(x-4{)}^2$, deci se anulează pentru $x=4$. Condiția: $x\ne 4$.

Descompunem. La numărător scoatem factor comun $3$: $3x-12=3(x-4)$. La numitor avem deja $(x-4{)}^2=(x-4)(x-4)$. $$\frac{3x-12}{x^2-8x+16}=\frac{3(x-4)}{(x-4)(x-4)}.$$ Simplificăm factorul comun $(x-4)$: $$\frac{3\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}(x-4)}=\frac{3}{x-4}.$$

Răspuns: $\frac{3}{x-4}$, pentru $x\ne 4$. Fracția este ireductibilă.

Exemplul 3 — diferență de pătrate la numărător

Simplifică $\frac{x^2-9}{x^2+3x}$.

Condiții de existență: $x^2+3x=x(x+3)\ne 0$, deci $x\ne 0$ și $x\ne -3$.

Descompunem. Numărătorul este o diferență de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Numitorul are factor comun $x$: $x^2+3x=x(x+3)$. $$\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{x\cancel{(x+3)}}=\frac{x-3}{x}.$$

Răspuns: $\frac{x-3}{x}$, pentru $x\ne 0$ și $x\ne -3$.

Exemplul 4 — pătrat perfect și diferență de pătrate împreună

Simplifică $\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$.

Condiții de existență: $x^2-9=(x-3)(x+3)\ne 0$, deci $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Descompunem. Numărătorul este pătrat perfect: $x^2+6x+9=(x+3{)}^2=(x+3)(x+3)$. Numitorul este diferență de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. $$\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3)\cancel{(x+3)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}}=\frac{x+3}{x-3}.$$

Răspuns: $\frac{x+3}{x-3}$, pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Verificare rapidă cu $x=1$: inițial $\frac{1+6+9}{1-9}=\frac{16}{-8}=-2$; final $\frac{1+3}{1-3}=\frac{4}{-2}=-2$. Corect.

Exemplul 5 — descompunere prin grupare

Simplifică $\frac{ax+ay+bx+by}{x+y}$, unde $a,b,x,y$ sunt numere reale.

Condiții de existență: $x+y\ne 0$, adică $x\ne -y$.

Descompunem numărătorul prin gruparea termenilor: $$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).$$ Acum: $$\frac{(x+y)(a+b)}{x+y}=\frac{\cancel{(x+y)}(a+b)}{\cancel{(x+y)}}=a+b.$$

Răspuns: $a+b$, pentru $x\ne -y$. Rezultatul este chiar un polinom — simplificarea a „desființat" complet fracția.

Exemplul 6 — capcana de semn (factorul $-1$)

Simplifică $\frac{3-x}{x^2-9}$.

Condiții de existență: $x^2-9=(x-3)(x+3)\ne 0$, deci $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Descompunem. Numitorul: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Numărătorul $3-x$ este opusul lui $x-3$: $3-x=-(x-3)$. $$\frac{3-x}{x^2-9}=\frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{-\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}(x+3)}=\frac{-1}{x+3}=-\frac{1}{x+3}.$$

Răspuns: $-\frac{1}{x+3}$, pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Exemplul 7 — item tip Evaluare Națională

Se dă fracția $E(x)=\frac{2x^2-2}{x^2+2x+1}$. a) Scrie condițiile de existență. b) Adu fracția la forma ireductibilă. c) Calculează $E(3)$.

a) Numitorul $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ne 0$, deci $x\ne -1$.

b) Numărătorul: scoatem factor comun $2$, apoi diferență de pătrate: $$2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1).$$ Numitorul: $x^2+2x+1=(x+1{)}^2=(x+1)(x+1)$. Deci $$E(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)}=\frac{2(x-1)\cancel{(x+1)}}{(x+1)\cancel{(x+1)}}=\frac{2(x-1)}{x+1}=\frac{2x-2}{x+1}.$$

c) Cum $3\ne -1$, valoarea este permisă. Folosim forma simplificată: $$E(3)=\frac{2\cdot 3-2}{3+1}=\frac{4}{4}=1.$$

Răspuns: a) $x\ne -1$; b) $E(x)=\frac{2x-2}{x+1}$; c) $E(3)=1$.

Exemplul 8 — două litere și factor comun combinat

Simplifică $\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

Condiții de existență: numitorul $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2\ne 0$, deci $a+b\ne 0$, adică $a\ne -b$.

Descompunem. Numărătorul este o diferență de pătrate: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Numitorul este un pătrat perfect: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)$. $$\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a+b)}=\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{(a+b)\cancel{(a+b)}}=\frac{a-b}{a+b}.$$

Răspuns: $\frac{a-b}{a+b}$, pentru $a\ne -b$. Observă cum aceleași două formule de calcul prescurtat lucrează împreună: diferența de pătrate la numărător, pătratul unei sume la numitor.

Exemplul 9 — trinom descompus prin căutarea a două numere

Simplifică $\frac{x^2-x-6}{x^2-9}$.

Condiții de existență: $x^2-9=(x-3)(x+3)\ne 0$, deci $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Descompunem. Numitorul este o diferență de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Numărătorul $x^2-x-6$ nu este pătrat perfect și nici diferență de pătrate, așa că folosim tehnica celor două numere: căutăm două numere cu suma $-1$ (coeficientul lui $x$) și produsul $-6$ (termenul liber). Cum produsul este negativ, numerele au semne opuse; ele sunt $-3$ și $2$ (căci $-3+2=-1$ și $(-3)\cdot 2=-6$). Deci $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. $$\frac{x^2-x-6}{x^2-9}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\frac{\cancel{(x-3)}(x+2)}{\cancel{(x-3)}(x+3)}=\frac{x+2}{x+3}.$$

Verificare rapidă cu $x=0$: inițial $\frac{0-0-6}{0-9}=\frac{-6}{-9}=\frac{2}{3}$; final $\frac{0+2}{0+3}=\frac{2}{3}$. Corect.

Răspuns: $\frac{x+2}{x+3}$, pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Exemplul 10 — mai multe metode combinate

Simplifică $\frac{2x^2-8}{x^2+x-6}$.

Condiții de existență: numitorul $x^2+x-6\ne 0$. Îl descompunem (vezi mai jos): $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$, care se anulează pentru $x=2$ și $x=-3$. Condiții: $x\ne 2$ și $x\ne -3$.

Descompunem, pas cu pas. La numărător aplicăm ordinea din ghid: întâi factor comun $2$, apoi diferență de pătrate: $$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2).$$ La numitor avem un trinom cu trei termeni care nu este pătrat perfect; folosim tehnica celor două numere: căutăm sumă $1$ și produs $-6$, adică $3$ și $-2$. Deci $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$. $$\frac{2x^2-8}{x^2+x-6}=\frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{2\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}(x+3)}=\frac{2(x+2)}{x+3}.$$

Verificare rapidă cu $x=0$: inițial $\frac{0-8}{0+0-6}=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}$; final $\frac{2(0+2)}{0+3}=\frac{4}{3}$. Corect.

Răspuns: $\frac{2(x+2)}{x+3}$, pentru $x\ne 2$ și $x\ne -3$. Observă cum într-o singură problemă au lucrat trei metode: factorul comun, diferența de pătrate și tehnica celor două numere.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare fracție scrie mai întâi condițiile de existență, apoi adu-o la forma ireductibilă.

1. Simplifică $\frac{10x^3}{15x}$.

2. Simplifică $\frac{8a^{2}b}{12a{b}^2}$.

3. Simplifică $\frac{5x+10}{x^2-4}$.

4. Simplifică $\frac{x^2-49}{x^2-7x}$.

5. Simplifică $\frac{x^2+10x+25}{x^2-25}$.

6. Simplifică $\frac{4x^2-9}{4x^2-12x+9}$.

7. Simplifică $\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$.

8. Simplifică $\frac{x^3-x}{x^2-1}$.

9. Simplifică $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$.

10. Simplifică $\frac{2-x}{x^2-4}$. (Atenție la semn!)

11. Adevărat sau fals, cu justificare: „$\frac{x+5}{x}=5$, pentru că se simplifică $x$."

12. Descompune prin grupare și simplifică $\frac{mx-my+nx-ny}{x-y}$.

13. Simplifică $\frac{x^2-7x+10}{x^2-4}$. (Vei avea nevoie să descompui $x^2-7x+10$ în $(x-2)(x-5)$.)

14. Adu fracția $\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}$ la forma ireductibilă și scrie condițiile de existență.

15. (item tip Evaluare Națională) Se dă $E(x)=\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}$. a) Scrie condițiile de existență. b) Adu la forma ireductibilă. c) Calculează $E(0)$.

16. Simplifică $\frac{3x^2+6x}{x^2+4x+4}$.

17. Arată că, pentru orice $x$ pentru care are sens, $\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}+\frac{-4}{x-2}$ se simplifică la $1$ după ce aduci prima fracție la forma ireductibilă. (Simplifică întâi fiecare fracție.)

18. (raționament) Fracția $\frac{x^2+kx+9}{x^2-9}$ se simplifică frumos dacă numărătorul devine pătrat perfect. Ce valoare trebuie să aibă $k>0$ și care este forma ireductibilă atunci?

19. Simplifică $\frac{15a^2{b}^3}{25a^{3}b}$.

20. Simplifică $\frac{a^2-b^2}{2a-2b}$.

21. (item tip Evaluare Națională) Se dă $E(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$. a) Scrie condițiile de existență. b) Adu la forma ireductibilă. c) Arată că $E(4)=\frac{1}{3}$.

22. Adevărat sau fals, cu justificare: „Fracția $\frac{x-3}{x+3}$ se poate simplifica cu $3$."

Răspunsuri și explicații

1. CE: $x\ne 0$. $\frac{10x^3}{15x}=\frac{5x\cdot 2x^2}{5x\cdot 3}=\frac{2x^2}{3}$.

2. CE: $a\ne 0,b\ne 0$. Factor comun $4ab$: $\frac{8a^{2}b}{12a{b}^2}=\frac{4ab\cdot 2a}{4ab\cdot 3b}=\frac{2a}{3b}$.

3. CE: $x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0$, deci $x\ne 2,x\ne -2$. $\frac{5x+10}{x^2-4}=\frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{5}{x-2}$.

4. CE: $x^2-7x=x(x-7)\ne 0$, deci $x\ne 0,x\ne 7$. $\frac{x^2-49}{x^2-7x}=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}=\frac{x+7}{x}$.

5. CE: $x^2-25=(x-5)(x+5)\ne 0$, deci $x\ne 5,x\ne -5$. $\frac{x^2+10x+25}{x^2-25}=\frac{(x+5{)}^2}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+5}{x-5}$.

6. CE: $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2\ne 0$, deci $2x-3\ne 0$, adică $x\ne \frac{3}{2}$. Numărătorul: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$. Rezultă $\frac{(2x-3)(2x+3)}{(2x-3{)}^2}=\frac{2x+3}{2x-3}$.

7. CE: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2\ne 0$, deci $x\ne -2$. Numărătorul $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. Rezultă $\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2{)}^2}=\frac{x+3}{x+2}$.

8. CE: $x^2-1=(x-1)(x+1)\ne 0$, deci $x\ne 1,x\ne -1$. Numărătorul $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$. Rezultă $\frac{x(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=x$.

9. CE: $x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ne 0$, deci $x\ne 1$. $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x+1}{x-1}$.

10. CE: $x\ne 2,x\ne -2$. Numărătorul $2-x=-(x-2)$. $\frac{2-x}{x^2-4}=\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-1}{x+2}=-\frac{1}{x+2}$.

11. Fals. La numărător, $x$ este termen într-o sumă ($x+5$), nu factor, deci nu se poate simplifica cu $x$-ul de la numitor. Corect: $\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$, iar pentru $x=1$ obții $6$, nu $5$. Verifici imediat că afirmația e greșită. Fracția $\frac{x+5}{x}$ este deja ireductibilă.

12. CE: $x\ne y$. Numărătorul $mx-my+nx-ny=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)$. Rezultă $\frac{(x-y)(m+n)}{x-y}=m+n$.

13. CE: $x\ne 2,x\ne -2$. $\frac{x^2-7x+10}{x^2-4}=\frac{(x-2)(x-5)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-5}{x+2}$.

14. CE: $x^2-8x+16=(x-4{)}^2\ne 0$, deci $x\ne 4$. $\frac{x^2-16}{x^2-8x+16}=\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4{)}^2}=\frac{x+4}{x-4}$. Forma ireductibilă este $\frac{x+4}{x-4}$, pentru $x\ne 4$.

15. a) $x^2-9=(x-3)(x+3)\ne 0$, deci $x\ne 3,x\ne -3$. b) $E(x)=\frac{(x-3{)}^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3}{x+3}$. c) $x=0$ e permis: $E(0)=\frac{0-3}{0+3}=\frac{-3}{3}=-1$.

16. CE: $(x+2{)}^2\ne 0$, deci $x\ne -2$. $\frac{3x^2+6x}{x^2+4x+4}=\frac{3x(x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{3x}{x+2}$.

17. CE: $x\ne 2$. Prima fracție: $\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2{)}^2}=\frac{x+2}{x-2}$. Atunci suma este $\frac{x+2}{x-2}+\frac{-4}{x-2}=\frac{x+2-4}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1$. Adevărat.

18. Pentru ca $x^2+kx+9$ să fie pătrat perfect de forma $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$, avem nevoie de $k=6$. Atunci $\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{(x+3{)}^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{x-3}$, pentru $x\ne 3,x\ne -3$ (exact ca la Exemplul 4).

19. CE: $a\ne 0,b\ne 0$. Simplificăm coeficienții ($\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$) și fiecare literă: $\frac{15a^2{b}^3}{25a^{3}b}=\frac{3}{5}\cdot \frac{a^2}{a^3}\cdot \frac{b^3}{b}=\frac{3b^2}{5a}$.

20. CE: $2a-2b=2(a-b)\ne 0$, deci $a\ne b$. $\frac{a^2-b^2}{2a-2b}=\frac{(a-b)(a+b)}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}$.

21. a) $x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0$, deci $x\ne 2,x\ne -2$. b) $E(x)=\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}$. c) $x=4$ e permis: $E(4)=\frac{4-2}{4+2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

22. Fals. Nu poți simplifica cu $3$, deoarece $3$ nu este factor comun: la numărător apare în $x-3$ (termen), la numitor în $x+3$ (termen), nu ca factori care înmulțesc. Fracția $\frac{x-3}{x+3}$ este deja ireductibilă. De pildă, pentru $x=6$: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, iar orice „simplificare cu 3" a literelor ar da alt rezultat.

De reținut

• Simplificarea se face prin factori, niciodată prin termeni. Mai întâi descompui numărătorul și numitorul în produse, abia apoi tai factorii comuni nenuli.
• Instrumentele de descompunere sunt: factor comun, gruparea termenilor și formulele $(a\pm b{)}^2$ și $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
• Regula: $\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}$, dacă $B\ne 0$ și $C\ne 0$.
• Condițiile de existență se citesc de pe fracția inițială și se păstrează în răspuns, chiar dacă factorul care le impunea dispare prin simplificare.
• O fracție este ireductibilă când numărătorul și numitorul nu mai au factori comuni în afară de $\pm 1$.
• $a-b$ și $b-a$ sunt opuse: $b-a=-(a-b)$ — trucul factorului $-1$.

Greșeli frecvente

• „Tăierea" termenilor dintr-o sumă. Scrierea $\frac{x+5}{x}=5$ sau $\frac{x^2+3}{x^2}=3$ este greșită, fiindcă $x$, respectiv $x^2$, nu sunt factori comuni, ci termeni. Simplifici doar când sus și jos ai produse. Test rapid: pot rescrie numărătorul și numitorul ca înmulțiri? Dacă nu, întâi descompun.
• Uitarea condițiilor „ascunse" după simplificare. După ce simplifici $\frac{2x+6}{x^2+3x}=\frac{2}{x}$, condiția $x\ne -3$ tot rămâne. Notează CE de la început, cât timp vezi numitorul original.
• Confuzia de semn la $b-a$. $\frac{5-x}{x-5}$ nu este $1$, ci $-1$, fiindcă $5-x=-(x-5)$. Când numitorul și numărătorul par „la fel, dar întors", scoate factorul $-1$.
• Simplificare parțială (rezultat nefinalizat). Nu te opri la prima tăiere dacă mai există factori comuni. Verifică la final că fracția obținută chiar este ireductibilă.

Aplică acasă

• Rețete la scară. Ia o rețetă care are ingrediente exprimate cu o „porție necunoscută" $x$ (de exemplu, $2x+6$ grame de făină pentru $x^2+3x$ mililitri de lapte). Scrie raportul făină/lapte ca fracție algebrică și simplific-o. Vei obține o „rețetă" mai simplă, valabilă pentru orice $x$ permis. Discută ce valori ale lui $x$ nu au sens practic.
• Rapoarte în geometrie. Construiește un dreptunghi cu lungimea $x^2-9$ și lățimea $x^2+3x$ (pentru un $x$ ales, de exemplu $x=5$). Calculează raportul lungime/lățime întâi cu numere, apoi prin simplificarea fracției $\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{x-3}{x}$, și verifică dacă îți dau același rezultat. Este exact metoda de autocontrol din lecție.
• Fabrică-ți propriile fracții simplificabile. Pornește invers: alege o formă ireductibilă simplă, de exemplu $\frac{x+2}{x-1}$, înmulțește sus și jos cu un factor comun (să zicem $x+3$) și „desfășoară" totul. Obții o fracție „încâlcită" pe care apoi o dai unui coleg să o simplifice. E cel mai bun mod de a înțelege amplificarea și simplificarea ca operații inverse (vezi și amplificarea fracțiilor algebrice).

Pentru părinți și profesori

Simplificarea fracțiilor algebrice este un punct-cheie la Evaluarea Națională: apare frecvent la subiectul II sau III, adesea într-o problemă în mai mulți pași (condiții de existență → aducere la forma ireductibilă → calcularea unei valori sau demonstrarea unei egalități). Baremul acordă punctaj separat pentru descompunerea în factori, pentru simplificarea propriu-zisă și pentru condițiile de existență, deci fiecare pas contează.

Ca să verificați dacă elevul a înțeles, puneți-i aceste întrebări:

• „De ce nu poți tăia direct $x$-ul din $\frac{x+5}{x}$?" (Răspuns corect: pentru că $x$ e termen, nu factor.)
• „Ce trebuie să faci înainte de a simplifica?" (Răspuns: să descompui în factori numărătorul și numitorul.)
• „De ce scriem condiții de existență și după ce am simplificat?" (Răspuns: pentru că egalitatea e valabilă doar acolo unde fracția inițială avea sens.)

Un semn clar că elevul stăpânește subiectul: recunoaște singur formula de calcul prescurtat potrivită ($a^2-b^2$ sau pătrat perfect) fără să i-o sugerați și scrie condițiile de existență înainte de a simplifica, nu la sfârșit. Dacă se blochează la descompuneri, reluați împreună lecțiile descompunere prin factor comun și descompunere cu diferența de pătrate.

Întrebări frecvente

Cum simplific o fracție algebrică la clasa a 8-a, pas cu pas? Întâi scrii condițiile de existență (numitorul diferit de zero). Apoi descompui numărătorul și numitorul în factori, folosind factor comun, grupare sau formulele de calcul prescurtat. Simplifici factorii comuni nenuli și scrii forma ireductibilă, împreună cu condițiile de existență.

Care este diferența dintre amplificare și simplificare? Amplificarea înmulțește numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă (fracția devine „mai complicată", dar cu aceeași valoare). Simplificarea face invers: împarte numărătorul și numitorul la un factor comun nenul, aducând fracția la o formă mai simplă. Sunt operații inverse.

De ce nu pot să tai direct termenii, ca în $\frac{x+3}{x}$? Pentru că simplificarea funcționează numai cu factori, adică expresii care se înmulțesc. La $x+3$, $x$-ul este un termen dintr-o sumă, nu un factor al întregului numărător. Ca să simplifici, ai nevoie ca sus și jos să fie produse.

Ce înseamnă că o fracție algebrică este ireductibilă? Înseamnă că numărătorul și numitorul nu mai au niciun factor comun în afară de $1$ (și $-1$), deci nu mai poate fi simplificată. Este forma finală, cea mai simplă, la care trebuie să ajungi.

De ce trebuie să păstrez condițiile de existență și după simplificare? Fiindcă egalitatea dintre fracția inițială și cea simplificată este adevărată doar pentru valorile la care ambele expresii au sens. Un factor din numitor care dispare prin simplificare tot impunea o restricție, iar acea valoare rămâne interzisă.

Cum simplific o fracție când numitorul are $b-a$ în loc de $a-b$? Folosești faptul că $b-a=-(a-b)$. Scoți factorul $-1$ și apoi simplifici factorul comun. De exemplu, $\frac{5-x}{x-5}=\frac{-(x-5)}{x-5}=-1$.

Ce formule de calcul prescurtat folosesc cel mai des la simplificare? Cele trei formule esențiale: pătratul unei sume $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, pătratul unei diferențe $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ și diferența de pătrate $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Ele te ajută să rescrii sumele ca produse și să evidențiezi factorii comuni.

Cum descompun un trinom care nu este pătrat perfect, ca $x^2+5x+6$? Cauți două numere a căror sumă este coeficientul lui $x$ și al căror produs este termenul liber. Pentru $x^2+5x+6$ ai nevoie de sumă $5$ și produs $6$, adică $2$ și $3$, deci $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. Dacă produsul este pozitiv, cele două numere au același semn; dacă produsul este negativ, au semne opuse.

Cum verific dacă am simplificat corect o fracție algebrică? Alege o valoare permisă a necunoscutei (care respectă condițiile de existență) și înlocuiește-o atât în fracția inițială, cât și în cea simplificată. Dacă obții același număr, simplificarea este aproape sigur corectă; dacă obții numere diferite, sigur ai greșit undeva și trebuie să reiei descompunerea.