Ce este un trinom pătrat perfect?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Trinom pătrat perfect

Un trinom pătrat perfect este o expresie cu trei termeni care se strânge într-o singură paranteză ridicată la pătrat. Îl recunoști dacă primul și ultimul termen sunt pătrate, iar cel din mijloc este dublul produsului bazelor lor. La $x^{2} + 6 x + 9$ bazele sunt $x$ și $3$ , controlul $2 \cdot x \cdot 3$ dă chiar $6 x$ , deci expresia devine $(x + 3)^{2}$ . Semnul din mijloc arată dacă paranteza are plus sau minus.

Formulele $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ și $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ le știi deja "de la stânga la dreapta". Acum le citești invers: dacă ai trei termeni de forma $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , îi "strângi" înapoi într-un singur pătrat.

Rețeta în 3 pași (test T.P.P.): (1) găsești cele două pătrate și extragi $a$ , $b$ (pozitive); (2) calculezi termenul de control $2 ab$ și îl compari cu termenul din mijloc; (3) alegi semnul — plus dă $(a + b)^{2}$ , minus dă $(a - b)^{2}$ .

Exemplu: $x^{2} + 6 x + 9$ . Aici $a = x$ , $b = 3$ (din $9 = 3^{2}$ ), controlul $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ se potrivește exact, deci $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ . Cele două pătrate sunt mereu pozitive — doar mijlocul poartă semnul.

De reținut

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
testul: dublul produsului bazelor = termenul din mijloc

Greșeala tipică

Se restrânge la pătrat orice trinom cu primul și ultimul termen pătrate, fără să se verifice mijlocul. Fără testul dublului produs, o expresie ca $x^{2} + 5 x + 9$ pare pătrat, deși nu este.

Exerciții din această mini-lecție

Descompune trinomul $x^{2} - 14 x + 49$ .
- a) $(x - 7)^{2}$
- b) $(x + 7)^{2}$
- c) $(x - 7) (x + 7)$
- d) nu este trinom pătrat perfect
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x - 7)^{2}$

Pătratele sunt $x^{2}$ ( $a = x$ ) și $49 = 7^{2}$ ( $b = 7$ ). Termenul de control $2 ab = 2 \cdot x \cdot 7 = 14 x$ se potrivește cu mijlocul, iar semnul este minus, deci $x^{2} - 14 x + 49 = (x - 7)^{2}$ .
Care dintre următoarele expresii este trinom pătrat perfect?
- a) $x^{2} + 8 x + 15$
- b) $x^{2} + 8 x + 16$
- c) $x^{2} + 8 x - 16$
- d) $x^{2} + 9 x + 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} + 8 x + 16$

Pentru $x^{2} + 8 x + 16$ : $a = x$ , $b = 4$ (din $16 = 4^{2}$ ), control $2 \cdot x \cdot 4 = 8 x$ — se potrivește perfect, deci $(x + 4)^{2}$ . Celelalte pică: la (a) $15$ nu e pătrat, la (c) ultimul termen e negativ, la (d) $9 x \neq = 8 x$ .
Descompune trinomul $x^{2} + 20 x + 100$ .
- a) $(x + 10)^{2}$
- b) $(x - 10)^{2}$
- c) $(x - 10) (x + 10)$
- d) nu este trinom pătrat perfect
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + 10)^{2}$

Pătratele sunt $x^{2}$ ( $a = x$ ) și $100 = 1 0^{2}$ ( $b = 10$ ). Termenul de control $2 ab = 2 \cdot x \cdot 10 = 20 x$ se potrivește cu mijlocul, iar semnul este plus, deci $x^{2} + 20 x + 100 = (x + 10)^{2}$ .

Întrebări conexe

Cum verific dacă un trinom este pătrat perfect fără să ghicesc?

Extragi radicalul din primul și din ultimul termen, apoi înmulțești rezultatele și dublezi. Dacă numărul obținut coincide cu termenul din mijloc, trinomul se restrânge. La $4 x^{2} + 12 x + 9$ bazele sunt $2 x$ și $3$ , iar $2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x$ se potrivește.

Cum aflu minimul unei expresii restrângând la pătrat?

Scrii expresia ca pătrat plus un rest: $x^{2} - 6 x + 11 = (x - 3)^{2} + 2$ . Fiindcă pătratul nu coboară sub zero, valoarea cea mai mică este $2$ și se atinge în $x = 3$ . Metoda se folosește mult la inegalități.

Ce fac dacă trinomul are un factor comun înainte de restrângere?

Scoți factorul și abia apoi te uiți la ce rămâne. Din $2 x^{2} + 12 x + 18$ scoți $2$ și obții $2 (x^{2} + 6 x + 9)$ , care devine $2 (x + 3)^{2}$ . Fără primul pas, testul cu dublul produs nu se potrivește și pari să dai peste o expresie nedescompozabilă.

Cum descompun un trinom care nu este pătrat perfect, ca x la a doua plus 5x plus 6?

Cauți două numere cu suma egală cu coeficientul din mijloc și produsul egal cu termenul liber. Aici perechea $2$ și $3$ potrivește, deci expresia devine $(x + 2) (x + 3)$ . Metoda aceasta acoperă trinoamele care nu trec testul dublului produs.

La ce folosește restrângerea la pătrat într-o problemă cu arii?

Ajută când aria unui pătrat este dată printr-un trinom și ți se cere latura. Dacă aria este $x^{2} + 10 x + 25$ , latura iese direct $x + 5$ , fără nicio ecuație. Restrângerea transformă o sumă complicată într-o mărime pe care o poți citi.

Cum arată forma restrânsă dacă mijlocul are semnul minus?

Paranteza primește tot semnul minus: $x^{2} - 14 x + 49$ devine $(x - 7)^{2}$ . Bazele rămân pozitive, doar legătura dintre ele se schimbă. Ridicând la pătrat înapoi obții aceiași trei termeni, ceea ce îți confirmă alegerea semnului.

Oamenii mai întreabă și: trinom pătrat perfect · trinom la pătrat · cum recunosc un trinom pătrat perfect · restrângerea unui trinom la pătrat · x la a doua plus 6x plus 9