Pătratul unei sume: (a + b)²

Imaginează-ți că vrei să calculezi rapid, fără calculator, cât face $41^2$. Ai putea să înmulțești $41\times 41$ pe hârtie, dar există un truc mult mai elegant: scrii $41=40+1$ și folosești o formulă care îți dă răspunsul aproape instant. Această formulă se numește pătratul unei sume și este una dintre cele mai importante formule de calcul prescurtat din clasa a 8-a. O vei folosi la calcule numerice rapide, la descompuneri în factori, la rezolvarea ecuațiilor și, foarte des, la Evaluarea Națională. Hai să o descoperim și să o stăpânim perfect.

Ce vei învăța

• Vei ști să dezvolți pătratul unei sume folosind formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.
• Vei ști să recunoști cei trei termeni ai dezvoltării: pătratul primului, dublul produs și pătratul celui de-al doilea.
• Vei ști să demonstrezi formula prin înmulțire și să o înțelegi geometric, ca arie a unui pătrat.
• Vei ști să aplici formula pentru expresii cu litere și coeficienți, precum $(3x+5{)}^2$.
• Vei ști să faci calcule numerice rapide, de exemplu $41^2=(40+1{)}^2$, fără calculator.

Hai să descoperim împreună

De la ce pornim

În lecțiile anterioare ai învățat să lucrezi cu expresii algebrice: să reduci termenii asemenea și să înmulțești expresii cu litere (vezi lecția Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere). Îți amintești două lucruri esențiale de care vom avea nevoie:

1. Ridicarea la pătrat înseamnă înmulțirea unui număr sau a unei expresii cu ea însăși: $$x^2=x\cdot x.$$ Deci $(a+b{)}^2$ înseamnă $(a+b)\cdot (a+b)$. Atenție: nu înseamnă $a^2+b^2$! Vom vedea imediat de ce.

2. Înmulțirea a două paranteze se face termen cu termen (fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua), regulă cunoscută și ca „proprietatea de distributivitate".

Cu aceste două idei putem descoperi singuri formula.

Descoperirea formulei prin înmulțire

Vrem să aflăm cu ce este egal $(a+b{)}^2$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale oarecare. Scriem pătratul ca produs și înmulțim cele două paranteze:

$$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b).$$

Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua. Avem $a$ și $b$ în prima, $a$ și $b$ în a doua, deci obținem $2\times 2=4$ produse:

$$(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b.$$

Calculăm fiecare produs:

• $a\cdot a=a^2$
• $a\cdot b=ab$
• $b\cdot a=ab$ (înmulțirea este comutativă, deci $b\cdot a=ab$)
• $b\cdot b=b^2$

Rezultă:

$$(a+b{)}^2=a^2+ab+ab+b^2.$$

Acum reducem termenii asemenea: $ab+ab=2ab$. Obținem formula:

$$\boxed{(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2}$$

Aceasta este formula pătratului unei sume. Am demonstrat-o riguros, prin înmulțire — exact tipul de justificare cerut la examen. Reține că ea este valabilă pentru orice numere reale $a$ și $b$ (pozitive, negative sau nule) și pentru orice expresii algebrice puse în locul lui $a$ și $b$.

Cum citim formula: cei trei termeni

Rezultatul dezvoltării are trei termeni, nu doi. Îi citim în ordine și le dăm nume clare:

• Pătratul primului termen: $a^2$.
• Dublul produs al celor doi termeni: $2ab$ (adică $2$ înmulțit cu primul, înmulțit cu al doilea).
• Pătratul celui de-al doilea termen: $b^2$.

În cuvinte, formula se citește: pătratul unei sume este egal cu pătratul primului, plus dublul produsului dintre ei, plus pătratul celui de-al doilea. Dacă memorezi această propoziție, ai memorat formula.

Termenul din mijloc, $2ab$, se numește dublul produs și este partea pe care elevii o uită cel mai des. El apare tocmai pentru că, la înmulțirea parantezelor, produsul „încrucișat" $ab$ apare de două ori. Fără el, formula ar fi greșită.

De ce (a+b)² NU este a² + b²

Aceasta este cea mai frecventă greșeală din tot capitolul, așa că o lămurim cu un exemplu numeric simplu. Luăm $a=3$ și $b=4$.

• Calcul corect: $(3+4{)}^2=7^2=49$.
• Calcul greșit (uitând dublul produs): $3^2+4^2=9+16=25$.

$49\ne 25$! Diferența este exact dublul produs: $2ab=2\cdot 3\cdot 4=24$, iar $25+24=49$. Vezi cât de mult contează termenul din mijloc? Reține pentru totdeauna:

$$(a+b{)}^2\ne a^2+b^2\text{(greșit)},(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\text{(corect)}.$$

Interpretarea geometrică: aria unui pătrat

Formula are o semnificație vizuală foarte frumoasă, care te ajută să nu o uiți niciodată. Să presupunem că $a$ și $b$ sunt lungimi pozitive. Construim un pătrat mare cu latura $a+b$.

Aria pătratului mare, calculată direct, este latura la pătrat: $$A=(a+b{)}^2.$$

Dar, dacă împărțim latura mare în $a$ și $b$, pătratul se descompune în patru bucăți, ale căror arii le putem calcula separat:

• pătratul mic din colț, de latură $a$: aria $a^2$;
• pătratul mic din celălalt colț, de latură $b$: aria $b^2$;
• două dreptunghiuri identice cu laturile $a$ și $b$: fiecare are aria $ab$, deci împreună $2ab$.

Însumând ariile bucăților obținem aceeași arie totală: $$A=a^2+2ab+b^2.$$

Cum cele două calcule dau aceeași arie, avem: $$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.$$

Iată de ce apare $2ab$: sunt cele două dreptunghiuri din interior. Interpretarea geometrică confirmă demonstrația algebrică și îți arată că formula nu e o simplă regulă memorată, ci exprimă un adevăr despre arii.

Aplicarea formulei pas cu pas

Când vrei să dezvolți un pătrat de forma $(\text{primul}+\text{al doilea}{)}^2$, urmează mereu aceiași trei pași:

1. Identifică ce joacă rolul lui $a$ (primul termen) și ce joacă rolul lui $b$ (al doilea termen).
2. Scrie cei trei termeni după șablon: $a^2+2ab+b^2$.
3. Calculează fiecare termen cu atenție (mai ales pătratele coeficienților și puterile literelor).

Să aplicăm pe un caz simplu, $(x+3{)}^2$. Aici $a=x$ și $b=3$:

• pătratul primului: $a^2=x^2$;
• dublul produs: $2ab=2\cdot x\cdot 3=6x$;
• pătratul celui de-al doilea: $b^2=3^2=9$.

Deci: $$(x+3{)}^2=x^2+6x+9.$$

Atenție la coeficienți: pătratul „prinde" tot termenul

Un pas în care se greșește frecvent apare când termenul are un coeficient sau o putere. Regula de aur: când ridici la pătrat un termen ca $3x$, ridici la pătrat tot termenul, adică și numărul, și litera: $$(3x{)}^2=3^2\cdot x^2=9x^2.$$ Nu doar litera! Similar, $(5a{)}^2=25a^2$, iar $(x^2{)}^2=x^4$ (la putere ridicată la putere, exponenții se înmulțesc).

Hai să dezvoltăm $(3x+5{)}^2$. Aici $a=3x$ și $b=5$:

• pătratul primului: $a^2=(3x{)}^2=9x^2$;
• dublul produs: $2ab=2\cdot 3x\cdot 5=30x$;
• pătratul celui de-al doilea: $b^2=5^2=25$.

Rezultă: $$(3x+5{)}^2=9x^2+30x+25.$$

Trucul vedetă: calcule numerice rapide

Aici formula devine cu adevărat utilă în viața de zi cu zi și la examen, când nu ai voie cu calculatorul. Ideea este să scrii un număr „urât" ca o sumă convenabilă, de obicei o rotunjire la zeci sau sute plus un rest mic, și apoi să aplici formula.

Calculăm $41^2$. Scriem $41=40+1$, deci $a=40$, $b=1$:

$$41^2=(40+1{)}^2=40^2+2\cdot 40\cdot 1+1^2=1600+80+1=1681.$$

Gata, în câteva secunde și doar cu calcule ușoare! Verifică singur: $41\times 41=1681$. Corect.

Încă un exemplu, $102^2$. Scriem $102=100+2$: $$102^2=100^2+2\cdot 100\cdot 2+2^2=10000+400+4=10404.$$

Trucul funcționează cel mai bine când al doilea termen este mic ($1$, $2$, $3$…) sau este un multiplu rotund, pentru că atunci pătratul lui și dublul produs se calculează ușor în minte. Este exact genul de tehnică ce te face să pari „genial la mate" în fața colegilor.

Să mai vedem un caz în care merită să te gândești puțin la descompunere. Vrei $25^2$. Poți scrie $25=20+5$: $$25^2=20^2+2\cdot 20\cdot 5+5^2=400+200+25=625.$$ Ai obținut $625$ fără să înmulțești $25\times 25$ pe hârtie. Observă cum alegerea „rotunjirii" la $20$ a făcut ca toate cele trei bucăți ($400$, $200$, $25$) să fie ușor de adunat în minte. Cu puțin exercițiu, vei face astfel de calcule aproape instant — o abilitate foarte apreciată la testele fără calculator.

Când suma are trei termeni

Uneori vei întâlni pătratul unei sume cu trei termeni, de exemplu $(a+b+c{)}^2$. Nu ai nevoie de o formulă nouă: grupezi doi termeni împreună și aplici tot pătratul sumei. Scrii $(a+b+c{)}^2=((a+b)+c{)}^2$ și aplici formula cu „primul" $=a+b$ și „al doilea" $=c$: $$((a+b)+c{)}^2=(a+b{)}^2+2(a+b)c+c^2.$$ Dezvolți apoi $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ și desfaci $2(a+b)c=2ac+2bc$, obținând în final: $$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$ Nu trebuie să memorezi acest rezultat pentru clasa a VIII-a; important este să reții metoda: orice pătrat mai complicat se reduce la formula de bază prin grupare. Vom folosi această idee și la lecția Aplicații ale formulelor de calcul prescurtat.

Formula funcționează și „invers"

Un lucru foarte valoros: formula se citește și de la dreapta la stânga. Dacă vezi o expresie de forma $a^2+2ab+b^2$, ea este de fapt $(a+b{)}^2$ „strâns la loc". Recunoașterea acestui tipar se numește descompunere în factori și o vei studia amănunțit în lecția Descompunerea folosind formulele (a±b)². De exemplu, $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$, pentru că $2ab=10x$ înseamnă $b=5$, iar $b^2=25$ confirmă. Deocamdată reține doar ideea; vom reveni.

Cum îți verifici singur dezvoltarea

O deprindere care te scapă de multe greșeli la examen este verificarea prin substituție numerică. După ce ai dezvoltat un pătrat, alegi o valoare simplă pentru literă (de obicei $x=1$ sau $x=2$) și calculezi ambele forme: paranteza inițială și rezultatul dezvoltat. Dacă îți dau același număr, dezvoltarea este aproape sigur corectă.

Să verificăm, de exemplu, dacă $(3x+5{)}^2=9x^2+30x+25$ este corect. Punem $x=1$:

• forma inițială: $(3\cdot 1+5{)}^2=8^2=64$;
• forma dezvoltată: $9\cdot 1^2+30\cdot 1+25=9+30+25=64$.

Ambele dau $64$, deci dezvoltarea este corectă. Această verificare durează câteva secunde și îți prinde imediat greșelile clasice, precum uitarea dublului produs sau ridicarea greșită la pătrat a coeficientului. Fă-ți un obicei din ea.

Legătura cu celelalte formule de calcul prescurtat

Pătratul sumei este prima dintr-o mică familie de formule de calcul prescurtat clasa a 8-a. Foarte curând vei învăța:

• pătratul unei diferențe: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ — lecția Pătratul unei diferențe; observă că singura schimbare este semnul dublului produs;
• produsul sumei cu diferența: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ — lecția Produsul sumei cu diferența.

Toate aceste formule se demonstrează la fel ca cea de azi: prin înmulțirea parantezelor. Dacă înțelegi bine pătratul sumei, celelalte vor veni natural.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — un pătrat simplu cu literă

Enunț: Dezvoltă $(x+7{)}^2$.

Rezolvare: Identificăm $a=x$, $b=7$ și aplicăm $a^2+2ab+b^2$:

• pătratul primului: $x^2$;
• dublul produs: $2\cdot x\cdot 7=14x$;
• pătratul celui de-al doilea: $7^2=49$.

$$(x+7{)}^2=x^2+14x+49.$$

Exemplul 2 — termen cu coeficient

Enunț: Dezvoltă $(2a+3{)}^2$.

Rezolvare: Aici primul termen este $2a$, al doilea este $3$. Grijă mare la primul: $(2a{)}^2=4a^2$.

• pătratul primului: $(2a{)}^2=4a^2$;
• dublul produs: $2\cdot 2a\cdot 3=12a$;
• pătratul celui de-al doilea: $3^2=9$.

$$(2a+3{)}^2=4a^2+12a+9.$$

Exemplul 3 — ambii termeni cu coeficienți

Enunț: Dezvoltă $(4x+5y{)}^2$.

Rezolvare: Primul termen $a=4x$, al doilea $b=5y$.

• pătratul primului: $(4x{)}^2=16x^2$;
• dublul produs: $2\cdot 4x\cdot 5y=40xy$;
• pătratul celui de-al doilea: $(5y{)}^2=25y^2$.

$$(4x+5y{)}^2=16x^2+40xy+25y^2.$$

Observă că, având două litere diferite, dublul produs conține produsul $xy$ — nu se reduce cu nimic, este un termen de sine stătător.

Exemplul 4 — calcul numeric rapid

Enunț: Calculează $53^2$ fără calculator, folosind formula.

Rezolvare: Scriem $53=50+3$, deci $a=50$, $b=3$:

$$53^2=(50+3{)}^2=50^2+2\cdot 50\cdot 3+3^2=2500+300+9=2809.$$

Verificare: $53\times 53=2809$. Corect.

Exemplul 5 — dezvoltare urmată de reducerea termenilor asemenea

Enunț: Adu la o formă mai simplă expresia $E=(x+4{)}^2+(x+1{)}^2$.

Rezolvare: Dezvoltăm fiecare pătrat separat.

$$(x+4{)}^2=x^2+8x+16,$$ $$(x+1{)}^2=x^2+2x+1.$$

Adunăm și reducem termenii asemenea: $$E=x^2+8x+16+x^2+2x+1=2x^2+10x+17.$$

Exemplul 6 — pătrat cu fracție

Enunț: Dezvoltă ${\left(2x+\frac{1}{3}\right)}^2$.

Rezolvare: $a=2x$, $b=\frac{1}{3}$.

• pătratul primului: $(2x{)}^2=4x^2$;
• dublul produs: $2\cdot 2x\cdot \frac{1}{3}=\frac{4x}{3}$;
• pătratul celui de-al doilea: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$.

$${\left(2x+\frac{1}{3}\right)}^2=4x^2+\frac{4x}{3}+\frac{1}{9}.$$

Fracțiile nu schimbă cu nimic metoda: aplici același șablon, doar ai grijă la calculul cu numere raționale.

Exemplul 7 — item tip Evaluarea Națională (justificare)

Enunț: Arată că numărul $N=(n+3{)}^2-n^2-6n$ nu depinde de valoarea numărului natural $n$ și precizează valoarea lui.

Rezolvare: Dezvoltăm pătratul sumei: $$(n+3{)}^2=n^2+6n+9.$$ Înlocuim în $N$: $$N=n^2+6n+9-n^2-6n.$$ Reducem termenii asemenea: $n^2-n^2=0$ și $6n-6n=0$, deci rămâne: $$N=9.$$ Cum am obținut o constantă, $N$ nu depinde de $n$; oricare ar fi $n$, avem $N=9$. Acesta este exact tipul de raționament punctat la examen: dezvoltare corectă, reducere corectă, concluzie clară.

Exemplul 8 — recunoașterea unui pătrat perfect într-o ecuație

Enunț: Rezolvă ecuația $x^2+6x+9=0$.

Rezolvare: Privim membrul stâng cu ochiul „formulei citite invers". Termenii sunt $x^2$, $6x$ și $9$. Verificăm dacă e un pătrat perfect: primul termen este $x^2$ (deci „primul" $=x$), ultimul este $9=3^2$ (deci „al doilea" $=3$), iar dublul produs ar trebui să fie $2\cdot x\cdot 3=6x$ — exact ce avem. Prin urmare: $$x^2+6x+9=(x+3{)}^2.$$ Ecuația devine $(x+3{)}^2=0$. Un pătrat este zero doar când baza lui este zero, deci $x+3=0$, de unde $x=-3$. Ecuația are soluția unică $x=-3$.

Observă că aici rezolvarea ecuației de forma $a{x}^2+bx+c=0$ s-a făcut prin descompunere în factori (am scris expresia ca un pătrat și am folosit că un produs este nul doar când un factor este nul) — exact metoda pe care o folosești la clasa a VIII-a, fără vreo altă „formulă" specială.

Exemplul 9 — simplificarea unei fracții algebrice

Enunț: Simplifică fracția $\frac{x^2+10x+25}{x+5}$, unde $x\ne -5$.

Rezolvare: Numărătorul este un pătrat perfect: $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$, deoarece $2ab=10x$ dă $b=5$, iar $b^2=25$ confirmă. Rescriem fracția și simplificăm factorul comun $(x+5)$: $$\frac{x^2+10x+25}{x+5}=\frac{(x+5{)}^2}{x+5}=x+5.$$ Condiția $x\ne -5$ este necesară ca numitorul să nu fie zero. Vezi cât de util este să recunoști formula „strânsă la loc": ea transformă o fracție algebrică complicată într-o expresie simplă.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Completează: $(a+b{)}^2=a^2+\dots +b^2$. Cum se numește termenul lipsă?

2. Dezvoltă $(x+2{)}^2$.

3. Dezvoltă $(y+9{)}^2$.

4. Dezvoltă $(m+1{)}^2$.

5. Dezvoltă $(3x+4{)}^2$.

6. Dezvoltă $(5a+2{)}^2$.

7. Dezvoltă $(2m+7n{)}^2$.

8. Calculează, fără calculator, $21^2$ folosind $21=20+1$.

9. Calculează, fără calculator, $101^2$.

10. Calculează, fără calculator, $62^2$ folosind $62=60+2$.

11. Adevărat sau fals, cu justificare: $(a+b{)}^2=a^2+b^2$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: dublul produs din dezvoltarea lui $(3x+5{)}^2$ este $15x$.

13. Dezvoltă ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$.

14. Adu la o formă mai simplă: $(x+3{)}^2+(x+2{)}^2$.

15. Adu la o formă mai simplă: $(a+5{)}^2-a^2$.

16. Știind că $x^2+8x+16$ este dezvoltarea unui pătrat perfect de forma $(x+b{)}^2$, află $b$.

17. (Tip Evaluarea Națională) Arată că numărul $P=(x+4{)}^2-8x-x^2$ este constant și găsește-i valoarea.

18. (Problemă aplicată) O grădină pătrată are latura de $a$ metri. Proprietarul îi mărește latura cu $3$ metri, obținând tot un pătrat. Scrie, folosind formula pătratului sumei, cu cât crește aria grădinii față de cea inițială (aria nouă minus aria veche).

19. Dezvoltă $(x^2+3{)}^2$. (Atenție la $(x^2{)}^2$.)

20. (Tip Evaluarea Națională) Se știe că $x+y=6$ și $xy=5$. Folosind formula pătratului sumei, calculează $x^2+y^2$. (Indicație: pornește de la $(x+y{)}^2$.)

21. Rezolvă prin descompunere ecuația $x^2+4x+4=0$. (Indicație: recunoaște un pătrat perfect.)

22. Simplifică fracția $\frac{x^2+2x+1}{x+1}$, unde $x\ne -1$.

23. Calculează, fără calculator, $45^2$ folosind $45=40+5$.

24. (Tip Evaluarea Națională) Arată că, pentru orice număr natural $n$, avem $(n+1{)}^2-n^2=2n+1$. (Aceasta explică de ce diferența pătratelor a două numere naturale consecutive este mereu un număr impar.)

Răspunsuri și explicații

1. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$. Termenul lipsă este $2ab$, numit dublul produs.

2. $a=x$, $b=2$: $x^2+2\cdot x\cdot 2+4=x^2+4x+4$.

3. $a=y$, $b=9$: $y^2+18y+81$.

4. $a=m$, $b=1$: $m^2+2m+1$.

5. $(3x{)}^2=9x^2$; dublul produs $2\cdot 3x\cdot 4=24x$; $4^2=16$. Rezultat: $9x^2+24x+16$.

6. $(5a{)}^2=25a^2$; $2\cdot 5a\cdot 2=20a$; $2^2=4$. Rezultat: $25a^2+20a+4$.

7. $(2m{)}^2=4m^2$; $2\cdot 2m\cdot 7n=28mn$; $(7n{)}^2=49n^2$. Rezultat: $4m^2+28mn+49n^2$.

8. $21^2=(20+1{)}^2=400+2\cdot 20\cdot 1+1=400+40+1=441$.

9. $101^2=(100+1{)}^2=10000+200+1=10201$.

10. $62^2=(60+2{)}^2=3600+2\cdot 60\cdot 2+4=3600+240+4=3844$.

11. Fals. Lipsește dublul produs: corect este $a^2+2ab+b^2$. Contraexemplu: pentru $a=1$, $b=1$, $(1+1{)}^2=4$, dar $1^2+1^2=2$; $4\ne 2$.

12. Fals. Dublul produs este $2\cdot 3x\cdot 5=30x$, nu $15x$. (Greșeala tipică e să uiți factorul $2$.)

13. $x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+x+\frac{1}{4}$.

14. $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ și $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$. Sumă: $2x^2+10x+13$.

15. $(a+5{)}^2=a^2+10a+25$; scădem $a^2$: rămâne $10a+25$.

16. Dublul produs este $8x=2\cdot x\cdot b$, deci $b=4$. Verificare: $b^2=16$, corect. Așadar $x^2+8x+16=(x+4{)}^2$.

17. $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$. Atunci $P=x^2+8x+16-8x-x^2=16$. Termenii $x^2$ și $8x$ se anulează, deci $P=16$, constant, independent de $x$.

18. Aria veche: $a^2$. Aria nouă: $(a+3{)}^2=a^2+6a+9$. Creșterea: $(a+3{)}^2-a^2=a^2+6a+9-a^2=6a+9$ (metri pătrați). Deci aria crește cu $6a+9$ m².

19. $a=x^2$, $b=3$: $(x^2{)}^2+2\cdot x^2\cdot 3+3^2=x^4+6x^2+9$. (Reține: $(x^2{)}^2=x^4$, exponenții se înmulțesc.)

20. Din $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ rezultă $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$. Înlocuim: $x^2+y^2=6^2-2\cdot 5=36-10=26$.

21. $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, pentru că $2ab=4x$ dă $b=2$, iar $b^2=4$ confirmă. Ecuația devine $(x+2{)}^2=0$, deci $x+2=0$, adică $x=-2$ (soluție unică).

22. Numărătorul este $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$. Fracția devine $\frac{(x+1{)}^2}{x+1}=x+1$ (cu condiția $x\ne -1$).

23. $45^2=(40+5{)}^2=40^2+2\cdot 40\cdot 5+5^2=1600+400+25=2025$.

24. $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$. Scădem $n^2$: $(n+1{)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$. Numărul $2n+1$ este impar pentru orice $n$ natural, deci diferența pătratelor a două numere consecutive este mereu impară.

De reținut

• Formula pătratului unei sume: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ — pătratul primului, plus dublul produs, plus pătratul celui de-al doilea.
• Dublul produs $2ab$ este termenul din mijloc și partea cea mai des uitată; el provine din cele două dreptunghiuri egale ale interpretării geometrice.
• $(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$. Diferența este exact $2ab$.
• Când un termen are coeficient, îl ridici la pătrat întreg: $(3x{)}^2=9x^2$, nu $3x^2$.
• Formula servește la calcule numerice rapide: scrii numărul ca sumă convenabilă, de exemplu $41^2=(40+1{)}^2=1600+80+1=1681$.

Greșeli frecvente

• „$(a+b{)}^2=a^2+b^2$". Cea mai gravă și frecventă. Uiți dublul produs $2ab$. Antidot: verifică mereu cu numere mici — $(3+4{)}^2=49$, nu $25$.
• Uiți factorul 2 din dublul produs. Scrii $ab$ în loc de $2ab$. Reține că produsul încrucișat apare de două ori la înmulțirea parantezelor.
• Ridici la pătrat doar litera, nu și coeficientul. Scrii $(2a{)}^2=2a^2$ în loc de $4a^2$. Pătratul „prinde" tot termenul: și numărul, și litera.
• Greșeli de semn la pătratul lui $b$. Chiar și când $b$ este pozitiv, verifică fiecare pătrat; $b^2$ este mereu pozitiv, dar calculul lui (ex. $7^2=49$) trebuie făcut cu atenție.

Aplică acasă

1. Provocarea calculului mintal. Alege 5 numere din intervalul $21$–$99$ (de exemplu vârste, numere de bloc, scoruri) și calculează-le pătratul folosind trucul $(a+b{)}^2$, scriind fiecare număr ca zeci $+$ unități. Verifică apoi cu calculatorul telefonului. Ține cont: cu cât alegi bine „rotunjirea", cu atât e mai ușor.

2. Arii în casă. Măsoară o suprafață aproximativ pătrată din casă (o masă, o dală, un covor), notează latura $a$, apoi imaginează-ți că o mărești cu $b$ centimetri. Calculează cu formula cu cât ar crește aria: $(a+b{)}^2-a^2=2ab+b^2$. Desenează schița cu cele patru bucăți din interpretarea geometrică.

3. Fabrica de pătrate perfecte. Inventează 3 expresii de forma $(px+q{)}^2$ cu coeficienți la alegere, dezvoltă-le și dă-i unui coleg doar rezultatul (ex. $9x^2+24x+16$), provocându-l să găsească paranteza inițială. Este exact deprinderea folosită mai târziu la descompuneri în factori.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce prima formulă de calcul prescurtat din programa de clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), piatra de temelie pentru descompunerile în factori, fracțiile algebrice și ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ care urmează. Elevul trebuie să treacă dincolo de memorare: să poată demonstra formula prin înmulțirea parantezelor și să o recunoască vizual ca arie a unui pătrat.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Cât face $(a+b{)}^2$ și de ce nu e $a^2+b^2$?" — dacă răspunde corect și explică rolul dublului produs, a înțeles esența.
• „Dezvoltă $(3x+2{)}^2$." — urmăriți dacă ridică la pătrat corect coeficientul: $9x^2$, nu $3x^2$.
• „Calculează $41^2$ fără calculator." — semnalul că poate transfera formula în calcul rapid.

Semne că a înțeles cu adevărat: verifică singur cu numere mici, nu uită factorul 2 și explică de unde apare $2ab$ (cele două dreptunghiuri). La Evaluarea Națională, tema apare atât ca item scurt de calcul (dezvoltarea unui pătrat), cât și integrată în probleme de tipul „arată că expresia este constantă / demonstrează o inegalitate / descompune în factori", unde redactarea îngrijită și pas cu pas aduce punctajul. Sprijiniți exercițiul de calcul mintal din „Aplică acasă" — automatizează formula și dă încredere.

Întrebări frecvente

Care este formula pentru pătratul unei sume la clasa a 8-a? Formula este $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: pătratul primului termen, plus dublul produs al celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea termen. Este valabilă pentru orice numere reale $a$ și $b$.

De ce $(a+b{)}^2$ nu este egal cu $a^2+b^2$? Pentru că $(a+b{)}^2$ înseamnă $(a+b)(a+b)$, iar la înmulțirea parantezelor apare de două ori produsul $ab$, adică termenul $2ab$. Dacă îl omiți, rezultatul e greșit: de exemplu $(3+4{)}^2=49$, dar $3^2+4^2=25$.

Ce este dublul produs în formula pătratului sumei? Dublul produs este termenul din mijloc, $2ab$, adică $2$ înmulțit cu primul termen, înmulțit cu al doilea. Geometric, el reprezintă cele două dreptunghiuri identice de laturi $a$ și $b$ din interpretarea prin arie.

Cum calculez rapid $41^2$ cu formula? Scrii $41=40+1$ și aplici formula: $41^2=40^2+2\cdot 40\cdot 1+1^2=1600+80+1=1681$. Trucul merge cel mai bine când al doilea termen este mic.

Cum ridic la pătrat un termen cu coeficient, de exemplu $(3x{)}^2$? Ridici la pătrat tot termenul, adică și numărul, și litera: $(3x{)}^2=3^2\cdot x^2=9x^2$. O greșeală des întâlnită este să scrii $3x^2$, ceea ce e incorect.

Se demonstrează formula sau doar se memorează? Se demonstrează, iar la Evaluarea Națională poate fi cerută justificarea. Demonstrația: $(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$, după reducerea termenilor asemenea.

Care este legătura cu pătratul unei diferențe? Sunt formule „surori": $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Singura diferență este semnul dublului produs, care devine minus. O vei studia în lecția Pătratul unei diferențe.

Unde folosesc mai târziu pătratul unei sume? La descompuneri în factori (recunoști $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$), la simplificarea fracțiilor algebrice, la rezolvarea ecuațiilor $a{x}^2+bx+c=0$ prin descompunere și în multe probleme de la Evaluarea Națională care cer redactare riguroasă.

Cum recunosc că o expresie este un pătrat perfect de forma $(a+b{)}^2$? Verifici trei lucruri: primul și ultimul termen trebuie să fie pătrate (de exemplu $x^2$ și $25=5^2$), iar termenul din mijloc trebuie să fie exact dublul produsului bazelor lor, adică $2\cdot x\cdot 5=10x$. Dacă toate trei se potrivesc, expresia este $(x+5{)}^2$. Aceasta este „citirea inversă" a formulei, foarte utilă la descompuneri în factori și la rezolvarea ecuațiilor prin descompunere.