Pătratul unei diferențe: (a − b)²

Imaginează-ți că vrei să calculezi rapid, în minte, cât face $99^2$, fără calculator și fără să faci înmulțirea „în coloană". Pare greu, dar există un truc elegant: scrii $99=100-1$ și folosești o formulă de calcul prescurtat. În câteva secunde afli că $99^2=9801$. Această formulă se numește pătratul unei diferențe și este una dintre cele mai folosite unelte din tot calculul algebric de gimnaziu. O vei întâlni la Evaluarea Națională, la descompuneri în factori, la fracții algebrice și la ecuații. În lecția de față o construim pas cu pas, o demonstrăm și învățăm să o folosim fără să cădem în capcana celei mai frecvente greșeli.

Această lecție continuă în mod natural pătratul unei sume $(a+b{)}^2$ și se sprijină pe regulile de la înmulțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere.

Ce vei învăța

• Vei ști să dezvolți pătratul unei diferențe folosind formula $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$.
• Vei ști să recunoști legătura cu pătratul unei sume: se schimbă doar semnul termenului din mijloc.
• Vei ști să aplici formula la expresii cu litere și coeficienți (de exemplu $(3x-5{)}^2$).
• Vei ști să faci calcule numerice rapide, precum $99^2$ sau $48^2$, scriind numărul ca o diferență.
• Vei ști să eviți greșeala tipică $(a-b{)}^2=a^2-b^2$, care este falsă.

Hai să descoperim împreună

1. De la ce pornim: ce înseamnă „pătratul unei diferențe"

O diferență este o scădere de forma $a-b$. „Pătratul" ei înseamnă că o ridicăm la puterea a doua, adică o înmulțim cu ea însăși:

$$(a-b{)}^2=(a-b)\cdot (a-b).$$

Aici $a$ și $b$ pot fi numere, dar și expresii cu litere. Scopul nostru este să găsim o formă desfășurată (fără paranteză) a acestei expresii, ca s-o putem calcula repede de fiecare dată, fără să refacem înmulțirea.

Reține un lucru important încă de la început: $(a-b{)}^2$ nu este același lucru cu $a^2-b^2$. Vom vedea exact de ce, dar merită să ai această avertizare în minte de la primul pas.

2. Demonstrarea formulei prin înmulțire

Cel mai sigur mod de a găsi formula este să facem chiar înmulțirea $(a-b)(a-b)$, termen cu termen. Folosim regula „fiecare cu fiecare" (proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de scădere):

$$(a-b)(a-b)=a\cdot a+a\cdot (-b)+(-b)\cdot a+(-b)\cdot (-b).$$

Calculăm fiecare produs, cu mare atenție la semne:

• $a\cdot a=a^2$;
• $a\cdot (-b)=-ab$;
• $(-b)\cdot a=-ab$;
• $(-b)\cdot (-b)=+b^2$ (minus ori minus dă plus).

Așadar obținem:

$$(a-b{)}^2=a^2-ab-ab+b^2.$$

Termenii $-ab$ și $-ab$ sunt termeni asemenea, așa că îi reducem: $-ab-ab=-2ab$. (Dacă vrei să reîmprospătezi acest pas, revezi reducerea termenilor asemenea.) Rezultă formula pe care o vom folosi tot restul lecției:

$$\boxed{(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2}$$

Cu cuvinte, o citim așa: pătratul unei diferențe este egal cu pătratul primului termen, minus dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea termen.

3. Legătura cu pătratul unei sume

La lecția anterioară ai demonstrat că:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.$$

Pune cele două formule una lângă alta:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2.$$

Observă: singura diferență este semnul termenului din mijloc. La sumă avem $+2ab$, la diferență avem $-2ab$. Restul (pătratul primului termen și pătratul celui de-al doilea) rămâne exact la fel, iar $b^2$ este mereu pozitiv, indiferent că era $+b$ sau $-b$, pentru că orice pătrat este pozitiv sau zero.

Această observație este utilă din două motive:

1. Ții minte o singură formulă și îi schimbi doar un semn.
2. Îți dai imediat seama când ai greșit: dacă la o diferență îți iese $+2ab$ la mijloc, ai încurcat semnul.

De ce apare $-2ab$? Pentru că cei doi termeni „încrucișați" din înmulțire au fost $a\cdot (-b)$ și $(-b)\cdot a$, adică ambii negativi. Semnul minus din față se „păstrează", dar pătratele nu, deoarece $(-b{)}^2=b^2\ge 0$.

4. O interpretare geometrică (opțional, dar ajută memoria)

Pentru cei care rețin mai ușor cu imagini, formula are un sens vizual. Ia un pătrat mare cu latura $a$; aria lui este $a^2$. Vrem aria pătratului mai mic, cu latura $a-b$ (deci tăiem o fâșie de lățime $b$ de pe fiecare dintre cele două direcții).

Din desen, aria pătratului mare $a^2$ se descompune în: pătratul mic $(a-b{)}^2$, plus cele două dreptunghiuri de arie $b(a-b)$ fiecare, plus pătrățelul de colț $b^2$:

$$a^2=(a-b{)}^2+2b(a-b)+b^2.$$

De aici, scoțând $(a-b{)}^2$, obținem $(a-b{)}^2=a^2-2b(a-b)-b^2$, care, desfăcut, redă tot $a^2-2ab+b^2$. Nu vom insista pe partea geometrică (demonstrația algebrică de la punctul 2 este suficientă și riguroasă), dar reține ideea intuitivă: când micșorezi latura cu $b$, aria nu scade doar cu $b^2$, ci mult mai mult, pentru că tai o fâșie pe două laturi. Exact de aici vine termenul $-2ab$ și tot de aici se vede geometric de ce $(a-b{)}^2\ne a^2-b^2$.

5. Cum aplicăm formula pas cu pas

Ori de câte ori vezi ceva de forma $(\text{ceva}-\text{altceva}{)}^2$, procedezi în trei pași:

1. Identifici cine este $a$ (primul termen) și cine este $b$ (al doilea termen). Atenție: $b$ este termenul fără semnul minus din față — semnul minus îl duce formula.
2. Scrii formula: $a^2-2ab+b^2$.
3. Calculezi fiecare bucată: $a^2$, apoi $2ab$, apoi $b^2$, și le pui la locul lor cu semnele corecte.

Să vedem un sub-exemplu simplu: $(x-4{)}^2$.

• Aici $a=x$ și $b=4$.
• $a^2=x^2$; $2ab=2\cdot x\cdot 4=8x$; $b^2=4^2=16$.
• Deci $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$.

Alt sub-exemplu, cu coeficient: $(2y-3{)}^2$.

• $a=2y$, $b=3$.
• $a^2=(2y{)}^2=4y^2$ (atenție: ridicăm la pătrat și coeficientul, și litera).
• $2ab=2\cdot 2y\cdot 3=12y$.
• $b^2=9$.
• Rezultat: $(2y-3{)}^2=4y^2-12y+9$.

Cea mai frecventă greșeală la acest pas este $(2y{)}^2=2y^2$. Fals! $(2y{)}^2=2^2\cdot y^2=4y^2$. Paranteza pune la pătrat tot ce e în ea, inclusiv coeficientul numeric.

6. Aplicarea la calcule numerice rapide

Aici formula devine un adevărat truc de matematică mentală, util și la teste unde nu ai voie cu calculatorul. Ideea: scrii un număr „incomod" ca o diferență dintre un număr rotund și un număr mic.

Exemplu: $99^2$. Scriem $99=100-1$, deci $a=100$, $b=1$:

$$99^2=(100-1{)}^2=100^2-2\cdot 100\cdot 1+1^2=10000-200+1=9801.$$

Alt exemplu: $48^2$. Scriem $48=50-2$, deci $a=50$, $b=2$:

$$48^2=(50-2{)}^2=50^2-2\cdot 50\cdot 2+2^2=2500-200+4=2304.$$

De ce funcționează? Pentru că $a$ este mereu un număr rotund (100, 50, 30, 200...), iar pătratul lui, dublul produsului și pătratul lui $b$ sunt ușor de calculat în minte. Compară cu înmulțirea directă $48\times 48$ „în coloană": trucul este mult mai rapid și mai puțin predispus la erori.

7. Marea capcană: $(a-b{)}^2\ne a^2-b^2$

Aceasta este greșeala numărul unu la formulele de calcul prescurtat, și e testată intens la Evaluarea Națională. Mulți elevi „distribuie pătratul" pe fiecare termen și scriu $(a-b{)}^2=a^2-b^2$. Este greșit, pentru că lipsește termenul din mijloc $-2ab$.

Verifică pe numere, ca să te convingi definitiv. Ia $a=5$, $b=3$:

• Corect: $(5-3{)}^2=2^2=4$.
• Greșit: $5^2-3^2=25-9=16$.

$4\ne 16$, deci formula $(a-b{)}^2=a^2-b^2$ nu poate fi adevărată. Concluzia este sigură și verificată numeric: cele două expresii dau rezultate diferite, deci nu sunt egale. Ce lipsește din forma greșită este chiar termenul din mijloc: la $(a-b{)}^2$ apar trei termeni ($a^2$, $-2ab$, $b^2$), pe când $a^2-b^2$ are doar doi. Termenul $-2ab$ nu poate fi ignorat niciodată.

Atenție să nu confunzi nici cu o altă formulă adevărată: $a^2-b^2$ chiar apare, dar ca rezultat al lui $(a-b)(a+b)$, adică produsul sumei cu diferența — o vei studia în lecția următoare. Nu confunda $(a-b{)}^2$ (pătratul unei diferențe) cu $(a-b)(a+b)$ (produsul sumei cu diferența): sunt lucruri diferite.

8. Formula citită „invers": de la desfășurat la pătrat

Un algebrist bun știe formula în ambele sensuri. Dacă vezi o expresie de forma $a^2-2ab+b^2$, o poți „strânge" înapoi la $(a-b{)}^2$. Acest lucru se numește descompunere în factori și îl vei aprofunda la lecția 21. De exemplu:

$$x^2-6x+9=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2=(x-3{)}^2.$$

Cheia recunoașterii: primul și ultimul termen sunt pătrate perfecte ($x^2$ și $9=3^2$), iar termenul din mijloc este dublul produsului bazelor lor, cu semnul minus. Îți spun asta acum ca să vezi că formula nu este doar „de dus", ci și „de adus". La examen ambele direcții aduc puncte.

9. Formula în interiorul unor calcule mai mari

De multe ori $(a-b{)}^2$ nu apare singură, ci ca parte dintr-o expresie mai mare pe care trebuie s-o aduci la o formă simplă. Regula de aur este: întâi dezvolți fiecare pătrat cu formula, apoi reduci termenii asemenea. Nu amesteca cele două operații.

Sub-exemplu: simplifică $E=(x-5{)}^2-(x-2{)}^2$.

Pas 1 — dezvolt fiecare pătrat separat:

• $(x-5{)}^2=x^2-10x+25$;
• $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$.

Pas 2 — scad, cu grijă la semne (schimb semnul la fiecare termen din a doua paranteză): $$E=(x^2-10x+25)-(x^2-4x+4)=x^2-10x+25-x^2+4x-4.$$

Pas 3 — reduc termenii asemenea: $x^2-x^2=0$, $-10x+4x=-6x$, $25-4=21$. Rezultă: $$E=-6x+21.$$

Observă cum termenii $x^2$ s-au anulat — asta se întâmplă des la scăderea a două pătrate care au același prim termen, și e un semn că ai lucrat corect. Sfat de examen: dacă după reducere îți rămâne un termen cu $x^2$ la o astfel de scădere, verifică-ți calculele, pentru că foarte probabil ai greșit un semn la desfacerea parantezei.

Alt sub-exemplu, cu semn minus în față: dezvoltă $-(3-x{)}^2$. Întâi dezvolt paranteza, apoi aplic minusul: $(3-x{)}^2=9-6x+x^2$, deci $-(3-x{)}^2=-9+6x-x^2$. Minusul din față schimbă toate semnele. O greșeală tipică aici este să lași doar primul semn schimbat — atenție la toate cele trei.

10. Nu contează ordinea: $(a-b{)}^2=(b-a{)}^2$

Un detaliu util: pătratul unei diferențe nu depinde de ordinea în care scazi. De exemplu: $$(x-4{)}^2=x^2-8x+16\text{și}(4-x{)}^2=16-8x+x^2,$$ iar cele două rezultate sunt identice (aceiași termeni, doar rearanjați). Motivul: $b-a=-(a-b)$, iar ridicarea la pătrat „mănâncă" semnul minus, pentru că $(-1{)}^2=1$. Așadar poți alege ordinea care îți convine, mai ales la calcule numerice — de exemplu la $98^2$ e mai comod $(100-2{)}^2$ decât $(2-100{)}^2$, deși ambele ar da același rezultat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — o diferență simplă cu literă. Dezvoltă $(x-7{)}^2$.

Identificăm $a=x$, $b=7$. Aplicăm $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: $$x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2=x^2-14x+49.$$ Deci $(x-7{)}^2=x^2-14x+49$.

Exemplul 2 — coeficient la primul termen. Dezvoltă $(4a-3{)}^2$.

Aici primul termen este $4a$, al doilea este $3$.

• $(4a{)}^2=16a^2$;
• $2\cdot (4a)\cdot 3=24a$;
• $3^2=9$.

Rezultat: $(4a-3{)}^2=16a^2-24a+9$.

Exemplul 3 — ambii termeni cu literă. Dezvoltă $(5m-2n{)}^2$.

$a=5m$, $b=2n$.

• $(5m{)}^2=25m^2$;
• $2\cdot (5m)\cdot (2n)=20mn$;
• $(2n{)}^2=4n^2$.

Rezultat: $(5m-2n{)}^2=25m^2-20mn+4n^2$.

Exemplul 4 — calcul numeric rapid. Calculează $198^2$ folosind formula.

Scriem $198=200-2$, deci $a=200$, $b=2$: $$198^2=200^2-2\cdot 200\cdot 2+2^2=40000-800+4=39204.$$

Exemplul 5 — cu fracție (număr rațional). Dezvoltă ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$.

$a=x$, $b=\frac{1}{2}$.

• $a^2=x^2$;
• $2ab=2\cdot x\cdot \frac{1}{2}=x$;
• $b^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

Rezultat: ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=x^2-x+\frac{1}{4}$.

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională (arată că o expresie este pozitivă). Arată că, pentru orice număr real $x$, expresia $E=x^2-10x+25+3$ este mai mare sau egală cu $3$.

Observăm că $x^2-10x+25=x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2=(x-5{)}^2$. Deci: $$E=(x-5{)}^2+3.$$ Pentru că orice pătrat este mai mare sau egal cu $0$, avem $(x-5{)}^2\ge 0$, prin urmare $E\ge 0+3=3$. Egalitatea $E=3$ se obține când $(x-5{)}^2=0$, adică pentru $x=5$. Am demonstrat cerința.

Acest tip de raționament — a scrie o expresie ca un pătrat plus o constantă — este foarte apreciat la examen și se sprijină exact pe formula din această lecție.

Exemplul 7 — combinație cu pătratul sumei. Adu la o formă cât mai simplă expresia $E=(x+3{)}^2-(x-3{)}^2$.

Dezvoltăm fiecare pătrat cu formula potrivită:

• $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ (pătratul unei sume);
• $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ (pătratul unei diferențe).

Scădem, schimbând semnele din a doua paranteză: $$E=(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)=x^2+6x+9-x^2+6x-9=12x.$$ Deci $E=12x$. Observă cum s-au anulat atât $x^2$, cât și constantele, rămânând doar $12x$ — un rezultat surprinzător de simplu, care arată puterea combinării celor două formule.

Exemplul 8 — de la desfășurat înapoi la pătrat, cu coeficient. Scrie expresia $9x^2-24x+16$ ca pătratul unei diferențe.

Căutăm bazele. Primul termen: $9x^2=(3x{)}^2$, deci prima bază este $3x$. Ultimul termen: $16=4^2$, deci a doua bază este $4$. Verificăm termenul din mijloc: dublul produsului bazelor este $2\cdot 3x\cdot 4=24x$, cu semnul minus, exact ca în expresie. Prin urmare: $$9x^2-24x+16=(3x-4{)}^2.$$ Verificarea prin dezvoltare confirmă: $(3x-4{)}^2=9x^2-24x+16$. ✓ Reține pasul de verificare a termenului din mijloc: fără el, ai putea confunda un adevărat pătrat perfect cu o expresie oarecare.

Să exersăm

Nivel de bază

1. Dezvoltă: $(x-6{)}^2$.
2. Dezvoltă: $(y-1{)}^2$.
3. Dezvoltă: $(a-10{)}^2$.
4. Completează termenul care lipsește: $(x-3{)}^2=x^2-?+9$.

Nivel mediu

5. Dezvoltă: $(2x-5{)}^2$.
6. Dezvoltă: $(3a-4{)}^2$.
7. Dezvoltă: $(7-m{)}^2$.
8. Dezvoltă: $(6x-2y{)}^2$.
9. Calculează rapid, folosind formula: $97^2$.
10. Calculează rapid, folosind formula: $49^2$.
11. Adevărat sau fals, cu justificare: $(a-b{)}^2=a^2-b^2$.
12. Dezvoltă: ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2$.

Nivel avansat / tip examen

13. Scrie ca pătrat al unei diferențe: $x^2-12x+36$.
14. Calculează $(2x-3{)}^2-(2x-1{)}^2$ (dezvoltă și reduce termenii asemenea).
15. Arată că $E=a^2-8a+16+5\ge 5$ pentru orice număr real $a$, și precizează pentru ce valoare a lui $a$ se atinge minimul.
16. Un pătrat are latura $(x-4)$ cm, cu $x>4$. Scrie aria lui ca expresie desfășurată și calculează aria pentru $x=9$.
17. Adevărat sau fals, cu justificare: dacă $x-y=5$ și $xy=3$, atunci $x^2+y^2=31$. (Indiciu: pornește de la $(x-y{)}^2$.)
18. Verifică prin două metode că $(50-1{)}^2=49^2$: o dată cu formula pătratului diferenței, o dată calculând direct $49\times 49$.
19. Simplifică expresia: $(x-3{)}^2-(x-5{)}^2$ (dezvoltă fiecare pătrat și reduce termenii asemenea).
20. Item tip examen: se știe că $a-b=7$ și $a^2+b^2=65$. Calculează valoarea produsului $ab$. (Indiciu: pleacă de la $(a-b{)}^2$.)
21. Dezvoltă: $(3x-2y{)}^2$.
22. Adu la o formă simplă: $(x-4{)}^2+8x$.
23. Scrie ca pătrat al unei diferențe: $4a^2-4a+1$.
24. Item tip examen: dacă $x+\frac{1}{x}=3$, calculează $x^2+\frac{1}{x^2}$. (Indiciu: folosește $(x+\frac{1}{x}{)}^2$; deși e o sumă, principiul „dublul produs" este același, iar produsul celor doi termeni este $1$.)

Răspunsuri și explicații

1. $a=x$, $b=6$: $x^2-12x+36$.
2. $a=y$, $b=1$: $y^2-2y+1$.
3. $a=a$, $b=10$: $a^2-20a+100$.
4. Termenul lipsă este $2\cdot x\cdot 3=6x$. Deci $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$.
5. $(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2=4x^2-20x+25$.
6. $(3a{)}^2-2\cdot 3a\cdot 4+4^2=9a^2-24a+16$.
7. $a=7$, $b=m$: $49-14m+m^2$ (adică $m^2-14m+49$).
8. $(6x{)}^2-2\cdot 6x\cdot 2y+(2y{)}^2=36x^2-24xy+4y^2$.
9. $97=100-3$: $100^2-2\cdot 100\cdot 3+3^2=10000-600+9=9409$.
10. $49=50-1$: $50^2-2\cdot 50\cdot 1+1^2=2500-100+1=2401$.
11. Fals. Contraexemplu: pentru $a=4$, $b=1$, avem $(4-1{)}^2=9$, dar $4^2-1^2=15$. Cum $9\ne 15$, egalitatea nu este adevărată. Formula corectă este $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$; lipsea termenul $-2ab$.
12. $x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$.
13. $x^2-12x+36=x^2-2\cdot x\cdot 6+6^2=(x-6{)}^2$.
14. Dezvoltăm fiecare pătrat: $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$ și $(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1$. Scădem: $(4x^2-12x+9)-(4x^2-4x+1)=4x^2-12x+9-4x^2+4x-1=-8x+8$. Deci rezultatul este $-8x+8$ (sau $8-8x$).
15. $a^2-8a+16=a^2-2\cdot a\cdot 4+4^2=(a-4{)}^2$, deci $E=(a-4{)}^2+5$. Cum $(a-4{)}^2\ge 0$, rezultă $E\ge 5$. Minimul $E=5$ se atinge pentru $a-4=0$, adică $a=4$.
16. Aria $=(x-4{)}^2=x^2-8x+16$ cm². Pentru $x=9$: latura este $9-4=5$ cm, deci aria $=5^2=25$ cm². (Verificare cu formula: $81-72+16=25$. ✓)
17. Adevărat. Din $(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$ obținem $x^2+y^2=(x-y{)}^2+2xy=5^2+2\cdot 3=25+6=31$. ✓
18. Cu formula: $(50-1{)}^2=2500-100+1=2401$. Direct: $49\times 49=2401$. Ambele metode dau $2401$, deci egalitatea se verifică.
19. $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ și $(x-5{)}^2=x^2-10x+25$. Scădem: $(x^2-6x+9)-(x^2-10x+25)=x^2-6x+9-x^2+10x-25=4x-16$.
20. Din $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avem $7^2=(a^2+b^2)-2ab$, adică $49=65-2ab$. Rezultă $2ab=65-49=16$, deci $ab=8$.
21. $a=3x$, $b=2y$: $(3x{)}^2-2\cdot 3x\cdot 2y+(2y{)}^2=9x^2-12xy+4y^2$.
22. Dezvoltăm întâi pătratul: $(x-4{)}^2+8x=x^2-8x+16+8x=x^2+16$. Termenii $-8x$ și $+8x$ se anulează, deci rezultatul este $x^2+16$.
23. $4a^2-4a+1=(2a{)}^2-2\cdot 2a\cdot 1+1^2=(2a-1{)}^2$. Verificare: primul termen $4a^2=(2a{)}^2$, ultimul $1=1^2$, mijlocul $2\cdot 2a\cdot 1=4a$ cu minus — corect.
24. Ridicăm relația la pătrat: ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}$. Cum ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=3^2=9$, obținem $x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7$.

De reținut

• Formula fundamentală: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ — „pătratul primului, minus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea".
• Legătura cu suma: față de $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, se schimbă doar semnul termenului din mijloc; $b^2$ rămâne mereu pozitiv.
• Nu uita termenul din mijloc: $(a-b{)}^2\ne a^2-b^2$. Verifică mereu numeric dacă ai dubii.
• Truc numeric: pentru $n^2$ scrie $n$ ca diferență față de un număr rotund (ex. $99=100-1$) și aplică formula.
• Formula merge în ambele sensuri: $a^2-2ab+b^2$ se „strânge" înapoi la $(a-b{)}^2$ (util la descompuneri și la demonstrații de tipul „pătrat plus constantă").

Greșeli frecvente

• „Uit termenul din mijloc": $(a-b{)}^2=a^2-b^2$. Este greșeala nr. 1. Ridicarea la pătrat nu se împarte pe termeni. Cum o eviți: scrie mereu toate cele trei bucăți ($a^2$, $-2ab$, $b^2$) și, la nevoie, verifică pe numere mici.
• Nu ridic coeficientul la pătrat: $(2y{)}^2=2y^2$. Fals — corect este $(2y{)}^2=4y^2$. Paranteza pune la pătrat tot ce e înăuntru, coeficient și literă deopotrivă.
• Greșesc semnul din mijloc. La o diferență, mijlocul este $-2ab$, nu $+2ab$. Dacă îți iese plus la mijloc pornind de la o scădere, ai încurcat formula sumei cu cea a diferenței.
• Confund $(a-b{)}^2$ cu $(a-b)(a+b)$. Prima este pătratul diferenței (trei termeni), a doua este produsul sumei cu diferența și dă $a^2-b^2$ (doi termeni). Sunt formule diferite.

Aplică acasă

1. Antrenament de calcul mental. Timp de o săptămână, ori de câte ori vezi un număr apropiat de o „sută rotundă" (prețuri ca 99 lei, 198 lei, 49 lei), încearcă să-i calculezi pătratul în minte cu formula $(a-b{)}^2$. Notează-ți răspunsul și verifică-l apoi cu telefonul. Vei fi surprins cât de repede devii.
2. Vânător de pătrate perfecte. Alege trei numere de forma $x^2-2\cdot x\cdot k+k^2$ (de exemplu $x^2-14x+49$) și verifică dacă le poți scrie ca $(x-k{)}^2$. Provoacă un coleg sau un părinte să găsească baza $k$ înaintea ta.
3. Măsurători reale. Ia o cutie sau o ramă pătrată din casă, măsoară-i latura, apoi imaginează-ți că o „micșorezi" cu 2 cm pe fiecare latură. Calculează noua arie cu formula $(a-2{)}^2$ și verifică cu măsurarea directă. Observă cât de mult scade aria — mai mult decât ai crede, exact din cauza termenului $-2ab$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este un pilon al algebrei de clasa a VIII-a și apare frecvent la Evaluarea Națională, atât direct (dezvoltări, calcul prescurtat), cât și indirect, ca instrument pentru descompuneri în factori, fracții algebrice și demonstrații de tipul „arătați că expresia este pozitivă/atinge un minim".

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să recite formula cu cuvinte, nu doar cu litere: „pătratul primului, minus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea". Dacă o poate spune în cuvinte, o va scrie corect.
• Puneți-i mereu testul numeric: „calculează $(5-3{)}^2$ în două feluri". Dacă înțelege de ce $a^2-b^2$ e greșit, a prins esența.
• Verificați cu întrebări precum: De ce apare minus la mijloc? Ce ridici la pătrat în $(3x{)}^2$? Cum ai scrie $97$ ca diferență ca să calculezi $97^2$?
• Semn că a înțeles: aplică formula fără să deseneze de fiecare dată paranteza dublă, evită automat greșeala $a^2-b^2$ și recunoaște un pătrat perfect „citit invers".

Întrebări frecvente

Care este formula pătratului unei diferențe la clasa a 8-a? Formula este $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Se citește: pătratul primului termen, minus dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea termen.

De ce $(a-b{)}^2$ nu este egal cu $a^2-b^2$? Pentru că, atunci când înmulțești $(a-b)$ cu el însuși, apar doi termeni „încrucișați" $-ab$ și $-ab$, care dau $-2ab$. Acest termen din mijloc lipsește din $a^2-b^2$. Verifică pe numere: $(5-3{)}^2=4$, dar $5^2-3^2=16$.

Care este diferența dintre pătratul sumei și pătratul diferenței? Doar semnul termenului din mijloc. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, iar $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Pătratul primului termen și pătratul celui de-al doilea sunt identice și mereu pozitive.

Cum calculez $99^2$ fără calculator? Scrie $99=100-1$ și aplică formula: $99^2=100^2-2\cdot 100\cdot 1+1^2=10000-200+1=9801$.

Ce ridic la pătrat în $(3x-2{)}^2$? Ridici la pătrat fiecare termen complet: $(3x{)}^2=9x^2$ și $2^2=4$, iar termenul din mijloc este $-2\cdot 3x\cdot 2=-12x$. Rezultatul este $9x^2-12x+4$. Atenție: $(3x{)}^2$ este $9x^2$, nu $3x^2$.

Formula pătratului diferenței apare la Evaluarea Națională? Da, foarte des. Apare la subiectele de algebră (dezvoltări și calcul prescurtat), la descompuneri în factori și la itemi în care trebuie să arăți că o expresie are un minim, scriind-o ca „un pătrat plus o constantă".

Cum recunosc că o expresie este un pătrat perfect de tip $(a-b{)}^2$? Verifici trei lucruri: primul termen este un pătrat perfect, ultimul termen este un pătrat perfect, iar termenul din mijloc este dublul produsului bazelor lor, cu semnul minus. De exemplu $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.

Pot folosi formula și pentru trei termeni, ca $(a-b-c{)}^2$? Formula din această lecție este doar pentru doi termeni. Pentru trei termeni se folosește o formulă extinsă, care nu face parte din programa acestei lecții; deocamdată aplic-o strict la diferențe de forma $(a-b{)}^2$.