Distanța dintre două puncte din plan

Imaginează-ți că deschizi o aplicație de hărți pe telefon și cauți cel mai scurt drum, în linie dreaptă, între casa ta și școală. În spatele acelei linii se ascunde o formulă de matematică pe care o poți învăța chiar acum: formula distanței dintre două puncte din plan. Dacă știi coordonatele a două puncte în reperul cartezian, poți afla exact cât de departe sunt unul de celălalt, fără să măsori cu rigla. În această lecție vei descoperi cum se obține această formulă pornind de la un instrument pe care îl vei studia mai târziu în detaliu — teorema lui Pitagora — și cum o folosești pentru a calcula lungimi de segmente și perimetre de figuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi distanța dintre două puncte situate pe aceeași orizontală sau pe aceeași verticală.
• Vei ști să deduci formula distanței dintre două puncte pornind de la teorema lui Pitagora.
• Vei ști să aplici formula $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ și să lucrezi corect cu radicali.
• Vei ști să calculezi distanța de la un punct la originea reperului.
• Vei ști să folosești distanța dintre puncte pentru a afla lungimea unui segment și perimetrul unei figuri date prin coordonatele vârfurilor.

Hai să descoperim împreună

Recapitulare rapidă: reperul cartezian

Înainte de a merge mai departe, să ne reamintim câteva lucruri pe care le-ai învățat la lecțiile Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct și Reprezentarea punctelor în plan. Cadrane și cazuri particulare.

Un reper cartezian (sau sistem de axe ortogonale) este format din două axe perpendiculare: axa orizontală $Ox$ (axa absciselor) și axa verticală $Oy$ (axa ordonatelor). Ele se intersectează în punctul $O$, numit origine.

Fiecare punct $A$ din plan are o pereche de numere numite coordonate, scrise $A(x_A,y_A)$, unde:

• $x_A$ este abscisa (cât de mult mergem la dreapta sau la stânga față de origine),
• $y_A$ este ordonata (cât de mult mergem în sus sau în jos).

Întrebarea centrală a acestei lecții este simplă: dacă avem două puncte cu coordonatele cunoscute, cum aflăm distanța dintre ele? Prin „distanța dintre punctele $A$ și $B$" înțelegem lungimea segmentului $[AB]$, adică lungimea drumului în linie dreaptă de la $A$ la $B$.

Pasul 1. Distanța pe orizontală (puncte pe aceeași linie orizontală)

Să începem cu cel mai ușor caz. Două puncte se află pe aceeași orizontală atunci când au aceeași ordonată, adică același $y$.

Fie $A(2,3)$ și $B(7,3)$. Observă că ambele au ordonata $3$: ele se află pe aceeași linie orizontală.

Cât de departe sunt? Pe orizontală ne mutăm de la abscisa $2$ la abscisa $7$. Deci parcurgem $$AB=7-2=5\text{ unita˘ți}.$$

Ai grijă la ordine: dacă am fi calculat $2-7=-5$, am fi obținut un număr negativ, iar o distanță nu poate fi niciodată negativă. Pentru a fi mereu în siguranță, folosim modulul (valoarea absolută), noțiune studiată la lecția Modulul ca distanță pe axa numerelor:

$$AB=|x_B-x_A|.$$

În exemplul nostru: $AB=|7-2|=|5|=5$. Dacă am fi scris $|2-7|=|-5|=5$, am fi obținut același rezultat. Iată frumusețea modulului: nu mai contează ordinea în care luăm punctele.

Reține: pentru două puncte de pe aceeași orizontală (același $y$), distanța dintre ele este diferența (în modul) a absciselor.

Pasul 2. Distanța pe verticală (puncte pe aceeași linie verticală)

În mod asemănător, două puncte se află pe aceeași verticală atunci când au aceeași abscisă, adică același $x$.

Fie $C(4,1)$ și $D(4,6)$. Ambele au abscisa $4$, deci sunt pe aceeași linie verticală. Distanța dintre ele o măsurăm pe direcția verticală, folosind ordonatele:

$$CD=|y_D-y_C|=|6-1|=5.$$

Reține: pentru două puncte de pe aceeași verticală (același $x$), distanța dintre ele este diferența (în modul) a ordonatelor.

Aceste două cazuri sunt simple pentru că segmentul este paralel cu una dintre axe. Dar ce ne facem când punctele sunt „pieziș" unul față de celălalt, ca în drumul dintre casă și școală de la începutul lecției? Aici intervine ideea genială a lecției.

Pasul 3. Cazul general: construim un triunghi dreptunghic

Să luăm două puncte care nu sunt nici pe aceeași orizontală, nici pe aceeași verticală. De exemplu $A(1,2)$ și $B(5,5)$.

Segmentul $[AB]$ este „oblic". Cum îi aflăm lungimea? Ideea este să construim un triunghi dreptunghic care are $[AB]$ drept ipotenuză, iar catetele paralele cu axele.

Cum facem asta? Ne folosim de un al treilea punct, pe care îl notăm $C$, ales astfel încât:

• $C$ să fie pe aceeași orizontală cu $A$ (aceeași ordonată ca $A$),
• $C$ să fie pe aceeași verticală cu $B$ (aceeași abscisă ca $B$).

Punctul care îndeplinește ambele condiții are abscisa lui $B$ și ordonata lui $A$, deci $C(5,2)$.

Acum privește triunghiul $ABC$:

• Cateta $AC$ este orizontală (de la $A(1,2)$ la $C(5,2)$, aceeași ordonată $2$). Lungimea ei este $$AC=|x_B-x_A|=|5-1|=4.$$
• Cateta $CB$ este verticală (de la $C(5,2)$ la $B(5,5)$, aceeași abscisă $5$). Lungimea ei este $$CB=|y_B-y_A|=|5-2|=3.$$
• Ipotenuza este chiar segmentul $[AB]$ pe care vrem să îl aflăm.

Unghiul din $C$ este drept (de $90^{\circ }$), pentru că o linie orizontală și una verticală sunt perpendiculare. Deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$.

Pasul 4. Aplicăm teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. (Vei studia riguros această teoremă la lecția Teorema lui Pitagora; deocamdată o folosim ca instrument.)

Pentru triunghiul nostru dreptunghic în $C$: $$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2.$$

Înlocuim lungimile catetelor: $$A{B}^2=4^2+3^2=16+9=25.$$

De aici, pentru a afla $AB$, extragem rădăcina pătrată (o distanță este mereu pozitivă): $$AB=\sqrt{25}=5.$$

Deci distanța dintre $A(1,2)$ și $B(5,5)$ este $5$ unități. Frumos, nu? Am transformat o problemă „oblică" într-un triunghi dreptunghic pe care știm să îl rezolvăm.

Pasul 5. Formula distanței dintre două puncte

Acum generalizăm. În loc de numere concrete, folosim litere. Fie două puncte oarecare: $$A(x_A,y_A)\text{și}B(x_B,y_B).$$

Repetăm exact raționamentul de mai sus. Construim punctul $C(x_B,y_A)$ (abscisa lui $B$, ordonata lui $A$). Atunci:

• cateta orizontală are lungimea $AC=|x_B-x_A|$;
• cateta verticală are lungimea $CB=|y_B-y_A|$.

Din teorema lui Pitagora: $$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2=|x_B-x_A{|}^2+|y_B-y_A{|}^2.$$

Aici apare o observație foarte utilă: pătratul modulului unui număr este egal cu pătratul numărului. De ce? Pentru că orice număr ridicat la pătrat dă un rezultat pozitiv sau zero, iar $|a{|}^2=a^2$ mereu (de exemplu $|-3{|}^2=3^2=9$ și $(-3{)}^2=9$). Prin urmare putem renunța liniștiți la bare de modul când ridicăm la pătrat: $$A{B}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2.$$

Extragem rădăcina pătrată și obținem formula distanței dintre două puncte:

$$\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}}$$

Aceasta este formula-cheie a întregii lecții. Ea funcționează pentru orice două puncte din plan, indiferent de cadran și indiferent dacă segmentul este oblic, orizontal sau vertical.

De ce nu contează ordinea punctelor?

Poate te întrebi: dacă schimb $A$ cu $B$, obțin alt rezultat? Nu! Să vedem de ce. În formulă apar diferențele la pătrat. Iar un număr și opusul lui au același pătrat: $$(x_B-x_A{)}^2=(x_A-x_B{)}^2.$$

De exemplu, $(5-1{)}^2=4^2=16$ și $(1-5{)}^2=(-4{)}^2=16$. Sunt egale. Deci $AB=BA$, exact cum ne așteptăm: distanța de la casă la școală este aceeași cu distanța de la școală la casă. Poți alege ordinea care ți se pare mai comodă (de obicei, scădem astfel încât să obținem numere pozitive, ca să calculăm mai ușor).

Cazul particular: distanța de la un punct la origine

Un caz special foarte util este când unul dintre puncte este chiar originea $O(0,0)$. Fie un punct oarecare $M(x,y)$. Aplicăm formula cu $A=O(0,0)$ și $B=M(x,y)$:

$$OM=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Deci distanța de la un punct la origine este rădăcina pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale:

$$\boxed{OM=\sqrt{x^2+y^2}}$$

De exemplu, pentru $M(6,8)$ avem $OM=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Când rezultatul este un radical

Nu întotdeauna iese un număr „rotund". De cele mai multe ori, sub radical rămâne un număr care nu este pătrat perfect, iar rezultatul este un număr irațional scris cu radical. Nu te speria: acesta este un răspuns perfect corect și acceptat.

De exemplu, fie $A(1,1)$ și $B(4,5)$: $$AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Aici a ieșit frumos. Dar pentru $A(0,0)$ și $B(2,3)$: $$AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.$$

$\sqrt{13}$ nu se simplifică (13 este prim, deci nu are factori pătrați). Rezultatul rămâne $\sqrt{13}$. Dacă vrei o valoare aproximativă, $\sqrt{13}\approx 3,61$.

Alteori, radicalul se poate simplifica prin scoaterea factorilor de sub radical (vezi lecția Scoaterea factorilor de sub radical). De exemplu, dacă sub radical obții $\sqrt{8}$, îl scrii mai simplu: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$. Este bine să lași mereu rezultatul în forma cea mai simplă.

Rezumatul metodei (algoritmul de calcul)

Ori de câte ori trebuie să afli distanța dintre două puncte, urmează acești pași:

1. Scrie coordonatele celor două puncte: $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$.
2. Calculează diferența absciselor $x_B-x_A$ și diferența ordonatelor $y_B-y_A$.
3. Ridică la pătrat fiecare diferență.
4. Adună cele două pătrate.
5. Extrage rădăcina pătrată a sumei.
6. Dacă se poate, simplifică radicalul (scoate factorii de sub radical) sau, dacă e pătrat perfect, scrie numărul întreg.

Cu acest algoritm în minte, hai să rezolvăm împreună câteva exemple complete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puncte pe aceeași orizontală și pe aceeași verticală

Se dau punctele $A(-3,2)$, $B(5,2)$ și $C(5,-4)$. Calculează $AB$ și $BC$.

Rezolvare.

Observăm întâi pozițiile. $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y=2$), deci sunt pe aceeași orizontală. $B$ și $C$ au aceeași abscisă ($x=5$), deci sunt pe aceeași verticală. La astfel de puncte nu e nevoie de toată formula — folosim diferența simplă.

Pentru $AB$ (orizontal), folosim abscisele: $$AB=|x_B-x_A|=|5-(-3)|=|5+3|=|8|=8.$$

Pentru $BC$ (vertical), folosim ordonatele: $$BC=|y_C-y_B|=|-4-2|=|-6|=6.$$

Răspuns: $AB=8$ și $BC=6$.

Observație: dacă am fi vrut, am fi putut folosi și formula generală. De exemplu pentru $AB$: $\sqrt{(5-(-3){)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{8^2+0^2}=\sqrt{64}=8$. Iese același lucru, dar în cazul orizontal e mai rapidă metoda cu diferența.

Exemplul 2 — Aplicarea directă a formulei

Calculează distanța dintre punctele $P(2,1)$ și $Q(6,4)$.

Rezolvare.

Aplicăm formula distanței. Alegem $A=P(2,1)$ și $B=Q(6,4)$.

Pasul 2: diferențele. $x_Q-x_P=6-2=4$ și $y_Q-y_P=4-1=3$.

Pasul 3-4: ridicăm la pătrat și adunăm. $$PQ=\sqrt{(6-2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.$$

Pasul 5: extragem rădăcina. $\sqrt{25}=5$.

Răspuns: $PQ=5$.

Exemplul 3 — Rezultat cu radical care se simplifică

Calculează distanța dintre $M(-1,3)$ și $N(3,-1)$.

Rezolvare.

Diferențele: $x_N-x_M=3-(-1)=4$ și $y_N-y_M=-1-3=-4$.

Aplicăm formula: $$MN=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{4^2+(-4{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.$$

$\sqrt{32}$ nu este pătrat perfect, dar se simplifică. Descompunem: $32=16\cdot 2$, iar $16$ este pătrat perfect. Deci: $$MN=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$

Răspuns: $MN=4\sqrt{2}$ (aproximativ $5,66$).

Fii atent la semnul din interiorul parantezei: $-1-3=-4$, iar $(-4{)}^2=16$ (nu $-16$!). Ridicarea la pătrat face rezultatul pozitiv întotdeauna.

Exemplul 4 — Distanța de la un punct la origine

Se dă punctul $T(-5,12)$. Află distanța de la $T$ la originea reperului.

Rezolvare.

Folosim formula distanței la origine, $OT=\sqrt{x^2+y^2}$, cu $x=-5$ și $y=12$: $$OT=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Răspuns: $OT=13$.

Remarcă: deși abscisa este negativă, la pătrat devine pozitivă. Distanța la origine nu depinde de cadranul în care se află punctul, ci doar de „cât de departe" este pe fiecare direcție.

Exemplul 5 — Perimetrul unui triunghi dat prin coordonate

Se dau vârfurile unui triunghi: $A(0,0)$, $B(4,0)$ și $C(4,3)$. Calculează perimetrul triunghiului $ABC$.

Rezolvare.

Perimetrul este suma lungimilor celor trei laturi: $P=AB+BC+CA$. Calculăm fiecare latură.

Latura $AB$: $A(0,0)$ și $B(4,0)$ au aceeași ordonată ($y=0$), deci sunt pe orizontală. $$AB=|4-0|=4.$$

Latura $BC$: $B(4,0)$ și $C(4,3)$ au aceeași abscisă ($x=4$), deci sunt pe verticală. $$BC=|3-0|=3.$$

Latura $CA$: $C(4,3)$ și $A(0,0)$ sunt „oblice", deci folosim formula generală. $$CA=\sqrt{(0-4{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

Adunăm: $$P=AB+BC+CA=4+3+5=12.$$

Răspuns: perimetrul triunghiului este $12$ unități.

Observație interesantă: laturile $4$, $3$, $5$ formează un triunghi dreptunghic (cu unghiul drept în $B$), fiindcă $3^2+4^2=5^2$. Vei recunoaște acest fapt la reciproca teoremei lui Pitagora.

Exemplul 6 — Verificăm dacă un triunghi este isoscel

Se dau punctele $A(1,1)$, $B(5,3)$ și $C(3,7)$. Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Rezolvare.

Un triunghi este isoscel dacă are (cel puțin) două laturi egale. Calculăm toate cele trei laturi cu formula distanței și le comparăm.

$$AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}.$$

$$BC=\sqrt{(3-5{)}^2+(7-3{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.$$

$$CA=\sqrt{(1-3{)}^2+(1-7{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}.$$

Comparăm: $AB=\sqrt{20}$, $BC=\sqrt{20}$, $CA=\sqrt{40}$. Observăm că $AB=BC=\sqrt{20}$, deci două laturi sunt egale.

Concluzie: triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=BC$.

Dacă vrem forma simplificată: $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$ și $\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$. Deci laturile sunt $2\sqrt{5}$, $2\sqrt{5}$ și $2\sqrt{10}$.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile de mai jos într-un caiet. Sunt așezate de la ușor la greu. Verifică-ți răspunsurile la final.

1. Punctele $A(1,4)$ și $B(6,4)$ sunt pe aceeași orizontală. Calculează $AB$.

2. Punctele $C(-2,1)$ și $D(-2,7)$ sunt pe aceeași verticală. Calculează $CD$.

3. Calculează distanța dintre $P(0,0)$ și $Q(3,4)$.

4. Calculează distanța dintre $M(2,1)$ și $N(8,9)$.

5. Află distanța de la punctul $E(9,12)$ la originea reperului.

6. Calculează distanța dintre $A(-3,-1)$ și $B(1,2)$.

7. Calculează $RS$, unde $R(2,5)$ și $S(-1,1)$.

8. Distanța dintre $A(2,3)$ și $B(2,-5)$ este egală cu distanța dintre $C(0,0)$ și $D(8,0)$? Justifică prin calcul.

9. Adevărat sau fals (motivează): „Distanța de la $A$ la $B$ este întotdeauna aceeași cu distanța de la $B$ la $A$."

10. Calculează distanța dintre $K(-4,2)$ și $L(1,-3)$ și scrie rezultatul în forma cea mai simplă (cu factor scos de sub radical).

11. Un triunghi are vârfurile $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$. Calculează perimetrul lui.

12. Adevărat sau fals (motivează): „Punctul $P(-6,8)$ este mai aproape de origine decât punctul $Q(0,9)$."

13. Se dau $A(1,2)$, $B(4,6)$, $C(8,3)$. Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel.

14. Se dau punctele $A(-2,0)$, $B(2,0)$ și $C(0,3)$. Arată că triunghiul $ABC$ este isoscel și calculează-i perimetrul.

15. Patrulaterul $ABCD$ are vârfurile $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,4)$, $D(1,4)$. Calculează perimetrul lui. Ce fel de patrulater este?

16. Determină numărul real $a>0$ știind că distanța dintre punctele $A(1,2)$ și $B(1,a)$ este egală cu $5$.

17. Arată că punctele $A(0,0)$, $B(3,4)$ și $C(6,8)$ sunt coliniare, verificând că $AB+BC=AC$.

18. Se dau $A(-1,3)$ și $B(4,-2)$. Fie $M$ mijlocul segmentului $[AB]$, cu coordonatele $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Calculează coordonatele lui $M$ și apoi distanța $AM$. Verifică apoi că $AM=\frac{AB}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. Aceeași ordonată, deci folosim abscisele: $AB=|6-1|=5$.

2. Aceeași abscisă, deci folosim ordonatele: $CD=|7-1|=6$.

3. $PQ=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

4. $MN=\sqrt{(8-2{)}^2+(9-1{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

5. $OE=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.

6. $AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

7. $RS=\sqrt{(-1-2{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

8. $AB$: puncte pe verticală, $AB=|-5-3|=|-8|=8$. $CD$: puncte pe orizontală, $CD=|8-0|=8$. Deci $AB=CD=8$: da, distanțele sunt egale.

9. Adevărat. În formulă apar diferențele la pătrat, iar $(x_B-x_A{)}^2=(x_A-x_B{)}^2$ și $(y_B-y_A{)}^2=(y_A-y_B{)}^2$. Prin urmare $AB=BA$; ordinea punctelor nu schimbă rezultatul.

10. $KL=\sqrt{(1-(-4){)}^2+(-3-2{)}^2}=\sqrt{5^2+(-5{)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$. Simplificăm: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.

11. $AB=|6-0|=6$ (orizontal), $AC=|8-0|=8$ (vertical), $BC=\sqrt{(0-6{)}^2+(8-0{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Perimetrul: $P=6+8+10=24$.

12. $OP=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. $OQ=\sqrt{0^2+9^2}=\sqrt{81}=9$. Cum $9<10$, punctul $Q$ este mai aproape de origine, deci afirmația este falsă ($P$ este mai departe).

13. $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. $BC=\sqrt{(8-4{)}^2+(3-6{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. $CA=\sqrt{(1-8{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Cum $AB=BC=5$, triunghiul este isoscel.

14. $AC=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. $BC=\sqrt{(0-2{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. Deci $AC=BC=\sqrt{13}$: triunghiul este isoscel. Latura $AB=|2-(-2)|=4$ (orizontal). Perimetrul: $P=4+\sqrt{13}+\sqrt{13}=4+2\sqrt{13}$.

15. $AB=|5-1|=4$, $BC=|4-1|=3$, $CD=|5-1|=4$, $DA=|4-1|=3$. Perimetrul: $P=4+3+4+3=14$. Laturile opuse sunt egale ($AB=CD=4$, $BC=DA=3$) și toate unghiurile sunt drepte (laturi orizontale și verticale), deci patrulaterul este un dreptunghi.

16. Punctele au aceeași abscisă ($x=1$), deci $AB=|a-2|=5$. De aici $a-2=5$ sau $a-2=-5$, deci $a=7$ sau $a=-3$. Cum cerem $a>0$, rămâne $a=7$. (Verificare: $B(1,7)$, $AB=|7-2|=5$. Corect.)

17. $AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. $BC=\sqrt{(6-3{)}^2+(8-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. $AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Cum $AB+BC=5+5=10=AC$, punctele sunt coliniare (drumul prin $B$ are aceeași lungime ca linia dreaptă de la $A$ la $C$, deci $B$ este pe segmentul $[AC]$).

18. Mijlocul: $M\left(\frac{-1+4}{2},\frac{3+(-2)}{2}\right)=M\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$. Distanța $AM=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}-(-1)\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Verificare: $AB=\sqrt{(4-(-1){)}^2+(-2-3{)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, iar $\frac{AB}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}=AM$. Corect.

De reținut

• Puncte pe aceeași orizontală (același $y$): distanța este $|x_B-x_A|$ (diferența absciselor, în modul).
• Puncte pe aceeași verticală (același $x$): distanța este $|y_B-y_A|$ (diferența ordonatelor, în modul).
• Formula generală (distanța dintre două puncte): $$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$$
• Distanța de la un punct $M(x,y)$ la origine: $OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Formula se obține construind un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $[AB]$ și catetele paralele cu axele, apoi aplicând teorema lui Pitagora. Ordinea punctelor nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.

Greșeli frecvente

• Uiți să ridici la pătrat sau aduni greșit. O greșeală des întâlnită este să calculezi $\sqrt{x_B-x_A}+\sqrt{y_B-y_A}$. Greșit! Se ridică la pătrat diferențele, se adună, și abia la final se ia rădăcina din întreaga sumă: $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Greșești semnul la scădere. Când coordonatele sunt negative, atenție la $x_B-x_A$. De exemplu $1-(-3)=1+3=4$, nu $-2$. Un minus cu minus dă plus. Din fericire, la pătrat, chiar dacă ai fi greșit semnul diferenței, rezultatul iese la fel; problema apare doar dacă uiți paranteza.
• Crezi că $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$. Fals! De pildă $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$, dar $3+4=7$. Rădăcina din sumă NU este suma rădăcinilor. Nu poți „desface" radicalul peste adunare.
• Lași radicalul nesimplificat. Dacă obții $\sqrt{50}$, scrie-l ca $5\sqrt{2}$. Forma cea mai simplă este cea corectă la un test.

Aplică acasă

• Harta orașului tău. Deschide o aplicație de hărți cu grilă (sau desenează una) și alege un „reper": pune casa ta în origine. Estimează coordonatele (în „pătrățele" de hartă) pentru două locuri (școala, un magazin) și calculează cu formula distanța în linie dreaptă între ele. Compară cu distanța pe drum — vei vedea că drumul pe străzi este mai lung decât linia dreaptă.
• Tabla de șah sau Minecraft. Pe o tablă de șah, dă coordonate colțurilor (de la $(0,0)$ la $(8,8)$). Alege două piese și calculează distanța „în linie dreaptă" dintre ele cu formula. La fel poți face într-un joc pe grilă, folosind coordonatele blocurilor.
• Verifică o formă geometrică. Desenează pe hârtie milimetrică un patrulater cu vârfuri la coordonate întregi alese de tine. Calculează lungimile celor patru laturi cu formula distanței și decide dacă figura este pătrat, dreptunghi sau altceva. Măsoară apoi cu rigla ca să confirmi.

Pentru părinți și profesori

Această lecție leagă două idei pe care elevul le-a întâlnit separat: coordonatele din reperul cartezian și teorema lui Pitagora. Ideea centrală de sprijinit este construcția triunghiului dreptunghic auxiliar: dacă elevul înțelege că segmentul oblic devine ipotenuza unui triunghi cu catete orizontale și verticale, formula nu mai trebuie memorată mecanic — o poate re-deduce oricând.

Întrebări bune de verificare:

• „De ce nu contează ordinea în care iei punctele?" (Răspuns așteptat: pentru că diferențele apar la pătrat.)
• „Cum afli distanța de la un punct la origine, fără să reții o formulă separată?" (Aplici formula generală cu $O(0,0)$.)
• „Când distanța iese număr întreg și când iese radical?" (Depinde dacă suma pătratelor este pătrat perfect.)

Vei ști că elevul a înțeles dacă poate: (1) calcula corect o distanță cu coordonate negative, gestionând semnele; (2) simplifica un radical de tipul $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$; și (3) calcula perimetrul unei figuri combinând laturile orizontale/verticale (diferență simplă) cu cele oblice (formula completă). O greșeală de semn izolată nu înseamnă neînțelegere; confuzia $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$, în schimb, cere revenire la exemplul $3,4,5$.

Întrebări frecvente

Care este formula distanței dintre două puncte la clasa a 7-a? Formula este $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, unde $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ sunt cele două puncte. Se calculează diferența absciselor și diferența ordonatelor, se ridică fiecare la pătrat, se adună, iar din sumă se extrage rădăcina pătrată.

Cum se deduce formula distanței cu teorema lui Pitagora? Se construiește un triunghi dreptunghic care are segmentul $[AB]$ drept ipotenuză, cu o catetă orizontală de lungime $|x_B-x_A|$ și o catetă verticală de lungime $|y_B-y_A|$. Din teorema lui Pitagora, $A{B}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2$, de unde rezultă formula distanței.

Cum calculez distanța de la un punct la origine? Folosești formula generală cu originea $O(0,0)$: pentru un punct $M(x,y)$ obții $OM=\sqrt{x^2+y^2}$. De exemplu, pentru $M(6,8)$ ai $OM=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Contează ordinea punctelor când calculez distanța? Nu. Distanța de la $A$ la $B$ este egală cu distanța de la $B$ la $A$, deoarece în formulă diferențele apar ridicate la pătrat, iar $(x_B-x_A{)}^2=(x_A-x_B{)}^2$. Poți alege ordinea care îți dă calcule mai comode.

Ce fac dacă rezultatul iese un radical care nu este pătrat perfect? Îl lași sub formă de radical, dar în forma cea mai simplă, scoțând factorii de sub radical. De exemplu $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Un răspuns de tipul $\sqrt{13}$, care nu se simplifică, este perfect corect ca atare.

Cum aflu perimetrul unei figuri date prin coordonatele vârfurilor? Calculezi pe rând lungimea fiecărei laturi cu formula distanței (pentru laturile orizontale sau verticale poți folosi doar diferența coordonatelor) și apoi aduni toate lungimile. Suma obținută este perimetrul.

De ce $\sqrt{a^2+b^2}$ nu este egal cu $a+b$? Pentru că rădăcina pătrată nu se distribuie peste adunare. Un contraexemplu simplu: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$, în timp ce $3+4=7$. Trebuie mai întâi să aduni pătratele, apoi să extragi rădăcina din rezultat.

La ce folosește în viața reală distanța dintre două puncte? Este ideea din spatele navigației GPS, al hărților digitale, al graficii pe calculator și al jocurilor pe grilă: oriunde ai poziții date prin coordonate și vrei distanța „în linie dreaptă" dintre ele, folosești exact această formulă.