Reprezentarea punctelor în plan. Cadrane și cazuri particulare

Când deschizi o hartă pe telefon și vezi un punct roșu care arată unde ești, în spate se ascunde exact ideea din această lecție: fiecare loc din plan poate fi descris cu ajutorul a două numere. La fel funcționează și o tablă de șah, un joc de tip „amiral" sau graficul de creștere a economiilor tale. În lecția de față vei învăța cum reprezinți un punct în reperul cartezian pornind de la o pereche de numere $(x,y)$, cum recunoști în ce cadran se află și cum găsești rapid simetricele unui punct față de axe și față de origine. Este o lecție foarte vizuală, așa că ține un caiet cu pătrățele și un creion aproape.

Ce vei învăța

• Vei ști să reprezinți în plan un punct pornind de la coordonatele sale $(x,y)$, indiferent dacă sunt numere întregi, fracționare sau iraționale (prin aproximare pe axă).
• Vei ști să recunoști în ce cadran se află un punct doar uitându-te la semnele coordonatelor.
• Vei ști să plasezi puncte speciale: pe axe, pe bisectoarele cadranelor, cu coordonate egale sau opuse.
• Vei ști să determini coordonatele simetricului unui punct față de axa Ox, față de axa Oy și față de origine.
• Vei ști să recunoști configurații simple (segmente, poligoane) date prin vârfurile lor.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim pe scurt reperul cartezian

Din lecția anterioară, Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct, știi deja că un reper cartezian (sau sistem de axe ortogonale) este format din două axe perpendiculare:

• axa orizontală Ox, numită axa absciselor;
• axa verticală Oy, numită axa ordonatelor.

Cele două axe se întâlnesc în punctul $O$, numit origine, care are coordonatele $(0,0)$.

Fiecărui punct $M$ din plan îi corespunde o pereche ordonată de numere reale $(x,y)$, unde:

• $x$ se numește abscisa punctului (arată deplasarea pe orizontală, stânga–dreapta);
• $y$ se numește ordonata punctului (arată deplasarea pe verticală, jos–sus).

Scriem $M(x,y)$ și citim „punctul $M$ de coordonate $x$ și $y$". Foarte important: perechea este ordonată, adică ordinea contează. Punctul $A(3,1)$ NU este același cu punctul $B(1,3)$. Primul număr este întotdeauna abscisa, al doilea este întotdeauna ordonata. Această idee de pereche ordonată vine din lecția despre Produsul cartezian a două mulțimi.

2. Cum reprezinți un punct pas cu pas

Să presupunem că vrei să reprezinți punctul $A(4,3)$. Urmezi mereu aceiași pași simpli:

Pasul 1 — Pornești din origine. Degetul (sau creionul) este în $O(0,0)$.

Pasul 2 — Te deplasezi pe orizontală cu abscisa. Abscisa este $x=4$, un număr pozitiv, deci mergi 4 unități spre dreapta pe axa Ox. Dacă abscisa ar fi fost negativă, mergeai spre stânga.

Pasul 3 — Te deplasezi pe verticală cu ordonata. Ordonata este $y=3$, pozitivă, deci de acolo urci 3 unități în sus, paralel cu axa Oy. Dacă ordonata ar fi fost negativă, coborai.

Pasul 4 — Marchezi punctul. Unde te-ai oprit, pui un punct și scrii alături eticheta $A(4,3)$.

O analogie utilă: coordonatele sunt ca instrucțiunile „mergi 4 blocuri spre est, apoi 3 blocuri spre nord". Întâi mișcarea pe orizontală, apoi pe verticală.

Hai să mai facem unul cu numere negative: $B(-2,-5)$.

• Din $O$ mergem $2$ unități spre stânga (abscisa $-2$ este negativă).
• Apoi coborâm $5$ unități în jos (ordonata $-5$ este negativă).
• Marcăm punctul $B$.

Poți verifica singur direcțiile cu regula semnelor: plus înseamnă dreapta/sus, minus înseamnă stânga/jos.

3. Cele patru cadrane

Cele două axe împart planul în patru regiuni numite cadrane. Ele se numerotează cu cifre romane, în sens invers acelor de ceasornic, pornind din dreapta-sus:

• Cadranul I — dreapta-sus: $x>0$ și $y>0$ (ambele coordonate pozitive);
• Cadranul II — stânga-sus: $x<0$ și $y>0$;
• Cadranul III — stânga-jos: $x<0$ și $y<0$ (ambele negative);
• Cadranul IV — dreapta-jos: $x>0$ și $y<0$.

Trucul ca să nu le încurci niciodată: privește doar semnele perechii $(x,y)$.

De exemplu, punctul $C(7,-2)$ are abscisa pozitivă și ordonata negativă, deci semnele sunt $(+,-)$: se află în cadranul IV. Punctul $D(-3,5)$ are semnele $(-,+)$, deci este în cadranul II. Nu ai nevoie să desenezi ca să afli cadranul — semnele îți spun totul.

4. Cazuri particulare: puncte pe axe

Ce se întâmplă dacă una dintre coordonate este $0$? Atunci punctul nu se află în niciun cadran, ci chiar pe o axă. Aceasta e o observație pe care mulți elevi o uită.

Puncte pe axa Ox. Un punct de pe axa Ox are ordonata zero: forma $(x,0)$. De exemplu, $P(5,0)$ și $Q(-4,0)$ sunt pe axa orizontală. De ce? Pentru că nu urci și nu cobori deloc ($y=0$), rămâi lipit de linia orizontală.

Puncte pe axa Oy. Un punct de pe axa Oy are abscisa zero: forma $(0,y)$. De exemplu, $R(0,3)$ și $S(0,-6)$ sunt pe axa verticală. Aici nu te deplasezi deloc stânga-dreapta ($x=0$), rămâi pe linia verticală.

Originea. Punctul $O(0,0)$ are ambele coordonate zero, este locul unde se întâlnesc axele.

Reține regula de aur:

$$\text{ordonata }0\Rightarrow \text{pe Ox};\text{abscisa }0\Rightarrow \text{pe Oy}.$$

5. Puncte pe bisectoarele cadranelor

Există două drepte speciale care taie exact la jumătate unghiurile dintre axe. Ele se numesc bisectoarele cadranelor.

Prima bisectoare trece prin cadranele I și III și conține toate punctele cu coordonate egale, adică de forma $(a,a)$. Exemple: $(1,1)$, $(3,3)$, $(-2,-2)$, $(0,0)$. La aceste puncte, abscisa este egală cu ordonata: $x=y$.

A doua bisectoare trece prin cadranele II și IV și conține toate punctele cu coordonate opuse, adică de forma $(a,-a)$. Exemple: $(2,-2)$, $(-4,4)$, $(5,-5)$. La aceste puncte ordonata este opusul abscisei: $y=-x$.

Cum recunoști rapid? Dacă cele două coordonate sunt identice (același număr, același semn), punctul e pe prima bisectoare. Dacă sunt numere opuse (același număr, semne diferite), punctul e pe a doua bisectoare. De exemplu, $(6,6)$ e pe prima, iar $(6,-6)$ e pe a doua.

6. Puncte cu coordonate fracționare sau iraționale

Nu toate coordonatele sunt numere întregi frumoase. Uneori trebuie să reprezinți puncte cu coordonate fracționare sau chiar iraționale.

Coordonate fracționare. Pentru punctul $E\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)$, transformi fracțiile în numere zecimale ca să te orientezi mai ușor: $\frac{5}{2}=2,5$ și $-\frac{3}{2}=-1,5$. Deci mergi $2,5$ unități spre dreapta (adică la jumătatea dintre $2$ și $3$) și $1,5$ unități în jos. Marchezi cu grijă, între diviziuni.

Coordonate iraționale. Pentru un punct de forma $F(\sqrt{2},1)$, folosești o aproximare a numărului irațional. Din lecția Reprezentarea numerelor reale pe axa prin aproximări știi că $\sqrt{2}\approx 1,41$. Deci abscisa este puțin peste $1,4$, adică aproximativ la $4$ zecimi din distanța dintre $1$ și $2$. Marchezi acolo, aproximativ. La fel, $\sqrt{3}\approx 1,73$ și $\sqrt{5}\approx 2,24$.

Reține: coordonatele iraționale se plasează aproximativ, folosind valoarea zecimală aproximativă, pentru că nu au o poziție „exactă" pe care s-o putem citi cu rigla.

7. Simetria față de axa Ox

Acum ajungem la partea cea mai importantă: simetriile. Imaginează-ți că axa Ox este o oglindă orizontală. Reflexia unui punct în această oglindă se numește simetricul punctului față de axa Ox.

Ce se schimbă? Punctul se „răstoarnă" în sus-jos, deci ordonata își schimbă semnul, iar abscisa rămâne aceeași. Dacă $A(x,y)$, atunci simetricul lui față de Ox este:

$$A^{\prime }(x,-y).$$

Exemplu: simetricul lui $A(3,4)$ față de axa Ox este $A^{\prime }(3,-4)$. Abscisa rămâne $3$, ordonata devine $-4$.

De ce funcționează? Distanța de la punct la axa Ox este dată de ordonată. Reflexia păstrează aceeași distanță, dar de partea cealaltă a oglinzii, deci ordonata devine opusul ei, iar poziția pe orizontală (abscisa) nu se mișcă.

8. Simetria față de axa Oy

De data aceasta, axa Oy (verticala) este oglinda. Punctul se răstoarnă stânga-dreapta, deci abscisa își schimbă semnul, iar ordonata rămâne aceeași. Simetricul lui $A(x,y)$ față de axa Oy este:

$$A^{\prime \prime }(-x,y).$$

Exemplu: simetricul lui $A(3,4)$ față de axa Oy este $A^{\prime \prime }(-3,4)$. Ordonata rămâne $4$, abscisa devine $-3$.

9. Simetria față de origine

A treia simetrie este față de origine $O(0,0)$. Aici nu mai avem o oglindă-linie, ci un „centru de rotație". Simetricul față de origine se obține rotind punctul cu $180°$ în jurul lui $O$. Rezultatul: ambele coordonate își schimbă semnul. Simetricul lui $A(x,y)$ față de origine este:

$$A^{\prime \prime \prime }(-x,-y).$$

Exemplu: simetricul lui $A(3,4)$ față de origine este $A^{\prime \prime \prime }(-3,-4)$.

Un truc de memorare foarte util: simetria față de origine este ca și cum ai face întâi simetria față de Ox, apoi simetria față de Oy (sau invers). Prima schimbă semnul ordonatei, a doua schimbă semnul abscisei — la final, ambele semne s-au schimbat.

10. Tabel recapitulativ al simetriilor

Ține minte acest tabel — este inima lecției. Pornim de la un punct oarecare $M(x,y)$:

O regulă în cuvinte simple:

• Simetrie față de Ox → schimbă al doilea număr.
• Simetrie față de Oy → schimbă primul număr.
• Simetrie față de origine → schimbă ambele numere.

Observă că axa care e „oglinda" arată ce coordonată rămâne: la simetria față de Ox rămâne abscisa (x), la simetria față de Oy rămâne ordonata (y). Litera din numele axei îți spune coordonata care nu se schimbă.

11. Distanța unui punct față de axe

O întrebare care apare des: „cât de departe este un punct de o axă?" Răspunsul se citește direct din coordonate, dar cu o mică atenție la semn.

Distanța până la axa Ox (orizontala) este dată de cât de sus sau jos se află punctul, adică de ordonată. Cum o distanță nu poate fi negativă, luăm modulul ordonatei: distanța de la $M(x,y)$ la axa Ox este $|y|$.

Distanța până la axa Oy (verticala) este dată de cât de la stânga sau la dreapta se află punctul, adică de abscisă: distanța de la $M(x,y)$ la axa Oy este $|x|$.

De exemplu, punctul $M(-3,4)$ se află la distanța $|4|=4$ unități de axa Ox și la distanța $|-3|=3$ unități de axa Oy. Un punct care este chiar pe axa Ox (de forma $(x,0)$) are distanța $0$ până la Ox — logic, pentru că este lipit de ea.

Această idee te ajută la simetrii: distanța de la un punct la axă este exact aceeași cu distanța de la simetricul lui la aceeași axă, pentru că oglinda păstrează distanțele. De aceea $A(3,4)$ și simetricul lui $A^{\prime }(3,-4)$ sunt amândoi la $4$ unități de axa Ox, doar de o parte și de alta a ei.

12. Recunoașterea configurațiilor: segmente și poligoane

Reperul cartezian nu servește doar la puncte izolate. Dacă avem mai multe puncte, putem forma segmente și poligoane.

• Două puncte $A$ și $B$ determină un segment $[AB]$; îl desenezi unind cele două puncte cu o linie dreaptă.
• Trei puncte care nu sunt pe aceeași dreaptă determină un triunghi.
• Patru puncte potrivit alese determină un patrulater.

Exemplu: punctele $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,4)$ și $D(1,4)$ sunt vârfurile unui dreptunghi. De ce dreptunghi? Pentru că $A$ și $B$ au aceeași ordonată (latura $AB$ e orizontală), $D$ și $C$ la fel (latura $DC$ e orizontală și paralelă cu $AB$), iar laturile $AD$ și $BC$ sunt verticale. Latura $AB$ are lungimea $5-1=4$ unități, iar latura $AD$ are $4-1=3$ unități.

Vei studia mai amănunțit cum calculezi lungimea unui segment în lecția următoare, Distanța dintre două puncte din plan. Deocamdată e suficient să recunoști forma și să numeri unitățile când laturile sunt orizontale sau verticale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reprezentarea și cadranul

Enunț: Reprezintă în reperul cartezian punctele $A(2,5)$, $B(-3,4)$, $C(-1,-4)$, $D(6,-2)$ și precizează cadranul fiecăruia.

Rezolvare:

• $A(2,5)$: semne $(+,+)$ → cadranul I. Din $O$, $2$ la dreapta, $5$ în sus.
• $B(-3,4)$: semne $(-,+)$ → cadranul II. Din $O$, $3$ la stânga, $4$ în sus.
• $C(-1,-4)$: semne $(-,-)$ → cadranul III. Din $O$, $1$ la stânga, $4$ în jos.
• $D(6,-2)$: semne $(+,-)$ → cadranul IV. Din $O$, $6$ la dreapta, $2$ în jos.

Exemplul 2 — Puncte pe axe și pe bisectoare

Enunț: Pentru fiecare punct, spune dacă se află pe o axă sau pe o bisectoare a cadranelor: $M(0,-7)$, $N(4,0)$, $P(3,3)$, $Q(-5,5)$.

Rezolvare:

• $M(0,-7)$: abscisa este $0$ → punctul e pe axa Oy.
• $N(4,0)$: ordonata este $0$ → punctul e pe axa Ox.
• $P(3,3)$: coordonate egale ($x=y$) → pe prima bisectoare (cadranele I și III).
• $Q(-5,5)$: coordonate opuse ($y=-x$) → pe a doua bisectoare (cadranele II și IV).

Exemplul 3 — Simetrice față de axe și origine

Enunț: Se dă punctul $A(-4,6)$. Determină simetricele lui față de axa Ox, față de axa Oy și față de origine.

Rezolvare: Aplicăm tabelul simetriilor, pornind de la $A(-4,6)$.

• Față de Ox — schimbăm ordonata: $A_1(-4,-6)$.
• Față de Oy — schimbăm abscisa: $A_2(4,6)$.
• Față de origine — schimbăm ambele: $A_3(4,-6)$.

Verificare: simetricul față de origine se poate obține și aplicând succesiv simetria față de Ox și apoi față de Oy: din $A(-4,6)$ față de Ox → $(-4,-6)$, apoi față de Oy → $(4,-6)$. Coincide cu $A_3$. ✓

Exemplul 4 — Coordonate fracționare și iraționale

Enunț: Aproximează pozițiile pentru a reprezenta punctele $E\left(-\frac{7}{2},2\right)$ și $F(3,\sqrt{5})$.

Rezolvare:

• $E\left(-\frac{7}{2},2\right)$: transformăm $-\frac{7}{2}=-3,5$. Mergem $3,5$ unități la stânga (între $-3$ și $-4$) și $2$ unități în sus. Punctul e în cadranul II.
• $F(3,\sqrt{5})$: aproximăm $\sqrt{5}\approx 2,24$. Mergem $3$ unități la dreapta și puțin peste $2$ unități în sus (aproape de $2,2$). Punctul e în cadranul I.

Exemplul 5 — Găsirea unui punct din condiții

Enunț: Un punct $T$ se află pe axa Ox și are abscisa egală cu $-8$. Scrie coordonatele lui. Apoi găsește simetricul lui $T$ față de origine.

Rezolvare: Fiind pe axa Ox, ordonata este $0$, deci $T(-8,0)$. Simetricul față de origine schimbă ambele semne: $T^{\prime }(8,0)$. Observăm că $T^{\prime }$ este tot pe axa Ox — logic, pentru că simetria față de origine a unui punct de pe Ox rămâne pe Ox.

Exemplul 6 — Recunoașterea unui poligon

Enunț: Se dau punctele $A(-2,0)$, $B(0,3)$, $C(2,0)$ și $D(0,-3)$. Ce figură formează, în ordine, aceste puncte? Ce observi despre ele față de origine?

Rezolvare: Reprezentăm punctele: $A$ pe Ox la stânga, $B$ pe Oy sus, $C$ pe Ox la dreapta, $D$ pe Oy jos. Unindu-le în ordinea $A\to B\to C\to D$, obținem un patrulater cu diagonalele pe axe (un romb, de fapt, pentru că diagonalele sunt perpendiculare și se taie la jumătate). Observăm perechile de simetrice față de origine: $A(-2,0)$ și $C(2,0)$ sunt simetrice față de $O$; la fel $B(0,3)$ și $D(0,-3)$. Deci figura este simetrică față de origine.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, folosind hârtie cu pătrățele acolo unde trebuie să desenezi.

1. Reprezintă în reperul cartezian punctele $A(3,2)$, $B(-4,1)$, $C(-2,-3)$, $D(5,-4)$.

2. Precizează, fără să desenezi, cadranul fiecărui punct: $M(7,9)$, $N(-6,2)$, $P(-8,-1)$, $Q(4,-5)$.

3. Care dintre punctele următoare se află pe o axă? Precizează pe care axă: $A(0,5)$, $B(3,0)$, $C(-2,0)$, $D(0,0)$, $E(0,-4)$.

4. Stabilește pe ce bisectoare a cadranelor se află fiecare punct: $P(4,4)$, $Q(-6,6)$, $R(-3,-3)$, $S(7,-7)$.

5. Determină simetricul punctului $A(5,-2)$ față de axa Ox.

6. Determină simetricul punctului $B(-3,7)$ față de axa Oy.

7. Determină simetricul punctului $C(-4,-6)$ față de origine.

8. Se dă punctul $D(2,9)$. Găsește toate cele trei simetrice: față de Ox, față de Oy și față de origine.

9. Adevărat sau fals (justifică): „Punctul $(-5,-5)$ se află pe a doua bisectoare a cadranelor."

10. Adevărat sau fals (justifică): „Simetricul unui punct de pe axa Oy față de axa Oy este chiar punctul însuși."

11. Punctul $E$ are abscisa $-3$ și se află pe axa Ox. Scrie coordonatele lui $E$.

12. Un punct $F$ se află pe prima bisectoare și are abscisa $8$. Scrie coordonatele lui $F$.

13. Aproximează și spune în ce cadran se află punctul $G(-\sqrt{2},3)$. (folosește $\sqrt{2}\approx 1,41$)

14. Reprezintă (aproximativ) punctul $H\left(\frac{5}{2},-\frac{7}{2}\right)$ și precizează cadranul.

15. Se dau punctele $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,5)$. Ce fel de triunghi formează (după unghiuri)? Justifică observând laturile.

16. Se dau vârfurile $A(-3,2)$, $B(3,2)$, $C(3,-2)$, $D(-3,-2)$. Ce patrulater formează? Cât măsoară laturile lui?

17. Punctul $M(a,b)$ are simetricul față de origine $M^{\prime }(6,-4)$. Află $a$ și $b$.

18. Provocare: Punctul $P(x,y)$ se află în cadranul III și pe prima bisectoare, iar distanța lui față de axa Oy este $5$. Găsește coordonatele lui $P$.

19. Calculează distanța punctului $K(-7,2)$ până la axa Ox și până la axa Oy.

20. Un punct $L$ se află în cadranul IV, la distanța $3$ de axa Oy și la distanța $6$ de axa Ox. Scrie coordonatele lui $L$.

Răspunsuri și explicații

1. $A(3,2)$ în cadranul I, $B(-4,1)$ în cadranul II, $C(-2,-3)$ în cadranul III, $D(5,-4)$ în cadranul IV. (Din $O$: dreapta/stânga cu abscisa, sus/jos cu ordonata.)

2. $M(7,9)$: $(+,+)$ → I; $N(-6,2)$: $(-,+)$ → II; $P(-8,-1)$: $(-,-)$ → III; $Q(4,-5)$: $(+,-)$ → IV.

3. Pe axa Oy (abscisa $0$): $A(0,5)$ și $E(0,-4)$. Pe axa Ox (ordonata $0$): $B(3,0)$ și $C(-2,0)$. $D(0,0)$ este originea (pe ambele axe).

4. $P(4,4)$: coordonate egale → prima bisectoare. $Q(-6,6)$: coordonate opuse → a doua bisectoare. $R(-3,-3)$: coordonate egale → prima bisectoare. $S(7,-7)$: coordonate opuse → a doua bisectoare.

5. Față de Ox schimbăm ordonata: $A^{\prime }(5,2)$.

6. Față de Oy schimbăm abscisa: $B^{\prime }(3,7)$.

7. Față de origine schimbăm ambele: $C^{\prime }(4,6)$.

8. Pornim de la $D(2,9)$: față de Ox → $(2,-9)$; față de Oy → $(-2,9)$; față de origine → $(-2,-9)$.

9. Fals. $(-5,-5)$ are coordonate egale, deci se află pe prima bisectoare (cadranele I și III), nu pe a doua. A doua bisectoare conține puncte cu coordonate opuse, de forma $(a,-a)$.

10. Adevărat. Un punct de pe axa Oy are forma $(0,y)$. Simetricul față de Oy schimbă abscisa: $(0,y)\to (-0,y)=(0,y)$. Cum $-0=0$, punctul rămâne neschimbat. (Axa Oy este propria „oglindă", deci punctele de pe ea nu se mișcă.)

11. Pe axa Ox ordonata este $0$, deci $E(-3,0)$.

12. Prima bisectoare are coordonate egale, deci ordonata este tot $8$: $F(8,8)$.

13. $-\sqrt{2}\approx -1,41$ (negativ), ordonata $3$ (pozitiv): semne $(-,+)$ → cadranul II.

14. $\frac{5}{2}=2,5$ (dreapta), $-\frac{7}{2}=-3,5$ (jos): semne $(+,-)$ → cadranul IV.

15. Latura $AB$: $A(1,1)$ și $B(4,1)$ au aceeași ordonată → $AB$ este orizontală, lungime $4-1=3$. Latura $BC$: $B(4,1)$ și $C(4,5)$ au aceeași abscisă → $BC$ este verticală, lungime $5-1=4$. Cum $AB\perp BC$, unghiul din $B$ este drept, deci triunghiul este dreptunghic (în $B$).

16. $A(-3,2)$, $B(3,2)$, $C(3,-2)$, $D(-3,-2)$. $AB$ orizontală, lungime $3-(-3)=6$; $BC$ verticală, lungime $2-(-2)=4$; $CD$ orizontală, lungime $6$; $DA$ verticală, lungime $4$. Laturi opuse egale și unghiuri drepte → dreptunghi cu laturile de $6$ și $4$ unități.

17. Simetricul față de origine schimbă ambele semne, deci $M$ este simetricul lui $M^{\prime }$ tot față de origine: $M(-6,4)$. Verificare: simetricul lui $(-6,4)$ față de origine este $(6,-4)=M^{\prime }$. ✓ Deci $a=-6$, $b=4$.

18. În cadranul III ambele coordonate sunt negative. Pe prima bisectoare avem $x=y$. Distanța față de axa Oy este $|x|=5$, iar $x<0$, deci $x=-5$; cum $y=x$, avem $y=-5$. Coordonatele sunt $P(-5,-5)$.

19. Distanța până la axa Ox este $|y|=|2|=2$ unități; distanța până la axa Oy este $|x|=|-7|=7$ unități.

20. În cadranul IV avem $x>0$ și $y<0$. Distanța $3$ față de Oy dă $|x|=3$, deci $x=3$; distanța $6$ față de Ox dă $|y|=6$, iar $y<0$, deci $y=-6$. Coordonatele sunt $L(3,-6)$.

De reținut

• Un punct se scrie $M(x,y)$: abscisa $x$ (orizontal, dreapta/stânga), apoi ordonata $y$ (vertical, sus/jos). Perechea este ordonată.
• Cadranele după semnele $(x,y)$: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$.
• Pe axe: ordonata $0$ → pe Ox; abscisa $0$ → pe Oy. Originea este $O(0,0)$.
• Bisectoarele: coordonate egale $(a,a)$ → prima bisectoare ($x=y$); coordonate opuse $(a,-a)$ → a doua bisectoare ($y=-x$).
• Simetrii ale lui $M(x,y)$: față de Ox → $(x,-y)$; față de Oy → $(-x,y)$; față de origine → $(-x,-y)$.
• Distanțe: de la $M(x,y)$ la axa Ox este $|y|$, iar la axa Oy este $|x|$.

Greșeli frecvente

• Inversarea coordonatelor. Elevii marchează întâi pe verticală, apoi pe orizontală, sau confundă $A(3,1)$ cu $(1,3)$. Reține: întâi orizontala (x), apoi verticala (y) — ca la citit, întâi pe rând, apoi coloana.
• Confuzia cadranelor II și IV. Cadranul II este stânga-sus $(-,+)$, cadranul IV este dreapta-jos $(+,-)$. Numerotarea merge invers acelor de ceasornic, pornind din dreapta-sus.
• Greșirea coordonatei care se schimbă la simetrie. Mulți schimbă abscisa la simetria față de Ox. Corect: la simetria față de Ox rămâne x (litera din numele axei) și se schimbă y. La fel, față de Oy rămâne y.
• Puncte pe axe puse într-un cadran. Dacă o coordonată este $0$, punctul NU e în niciun cadran, ci pe o axă. Verifică mereu dacă apare un $0$.

Aplică acasă

1. Harta camerei tale. Alege un colț al camerei drept origine și desenează pe hârtie cu pătrățele un plan la scară. Marchează cu coordonate poziția patului, a biroului și a ușii. Verifică în ce „cadran" ar cădea fiecare dacă ai pune axele în mijlocul camerei.

2. Jocul simetriilor. Cere unui coleg sau părinte să-ți dea un punct $M(x,y)$ oarecare. În maximum $5$ secunde spune cele trei simetrice (față de Ox, Oy și origine). Schimbați rolurile. Câștigă cine face $10$ răspunsuri corecte la rând.

3. Desen simetric. Desenează în cadranul I o figură simplă din segmente (o casă, un fulger, o stea) folosind $4$–$6$ puncte cu coordonate întregi. Apoi construiește simetrica ei față de axa Oy și observă cum arată „în oglindă". Bonus: fă și simetrica față de origine.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la „numere" la „poziții în plan", o abilitate esențială pentru grafice, statistică și geometrie analitică (clasa a VIII-a). Pentru a sprijini elevul:

• Insistați pe ordinea abscisă-ordonată; cea mai frecventă eroare este inversarea. Un truc: „mergi pe stradă (orizontal) înainte să urci scările (vertical)".
• Verificați înțelegerea semnelor cerând, fără desen: „În ce cadran e $(-3,8)$?" (răspuns II) sau „Unde e $(5,0)$?" (pe axa Ox).
• Pentru simetrii, întrebați „Ce coordonată se schimbă?" înainte de a cere rezultatul. Dacă elevul spune corect regula ($x$ rămâne la Ox, $y$ rămâne la Oy, ambele se schimbă la origine), a înțeles esența.
• Un bun test final: dați un punct și cereți-i să deseneze punctul și toate cele trei simetrice — dacă figura formată este simetrică și corect etichetată, obiectivul e atins.

Întrebări frecvente

Cum reprezint un punct în reperul cartezian la clasa a 7-a? Pornești din origine, te deplasezi pe orizontală cu valoarea abscisei (dreapta dacă e pozitivă, stânga dacă e negativă), apoi pe verticală cu valoarea ordonatei (sus dacă e pozitivă, jos dacă e negativă) și marchezi punctul acolo unde te-ai oprit.

Cum știu în ce cadran se află un punct? Te uiți doar la semnele coordonatelor $(x,y)$: $(+,+)$ este cadranul I, $(-,+)$ este II, $(-,-)$ este III, $(+,-)$ este IV. Nu ai nevoie de desen, semnele îți spun totul.

Care este simetricul unui punct față de axa Ox? Se schimbă doar semnul ordonatei, abscisa rămâne aceeași. Simetricul lui $M(x,y)$ față de Ox este $M^{\prime }(x,-y)$. De exemplu, simetricul lui $(3,5)$ este $(3,-5)$.

Care este simetricul unui punct față de origine? Se schimbă semnele ambelor coordonate. Simetricul lui $M(x,y)$ față de origine este $M^{\prime }(-x,-y)$. Este echivalent cu a face pe rând simetria față de Ox și apoi față de Oy.

Ce înseamnă că un punct e pe bisectoarea cadranelor? Prima bisectoare (cadranele I și III) conține punctele cu coordonate egale, de forma $(a,a)$, adică $x=y$. A doua bisectoare (cadranele II și IV) conține punctele cu coordonate opuse, de forma $(a,-a)$, adică $y=-x$.

Un punct cu o coordonată zero în ce cadran este? În niciunul. Dacă ordonata este $0$, punctul e pe axa Ox; dacă abscisa este $0$, e pe axa Oy; dacă ambele sunt $0$, este chiar originea. Axele nu fac parte din niciun cadran.

Cum reprezint un punct cu coordonate iraționale, ca $\sqrt{2}$? Folosești o aproximare zecimală: $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$, $\sqrt{5}\approx 2,24$. Marchezi punctul aproximativ, între diviziunile corespunzătoare de pe axă.

De ce contează ordinea numerelor într-o pereche $(x,y)$? Pentru că perechea este ordonată: primul număr este mereu abscisa (orizontal), al doilea este ordonata (vertical). $(3,1)$ și $(1,3)$ sunt puncte diferite, aflate în locuri diferite ale planului.

Cum aflu distanța de la un punct la o axă? Distanța de la punctul $M(x,y)$ până la axa Ox este $|y|$ (modulul ordonatei), iar până la axa Oy este $|x|$ (modulul abscisei). De exemplu, $M(-7,2)$ este la $2$ unități de axa Ox și la $7$ unități de axa Oy.