Ce formulă dă distanța dintre două puncte?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Formula distanței dintre puncte

Scazi separat abscisele și ordonatele, ridici amândouă diferențele la pătrat, le aduni și extragi rădăcina: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Formula vine din teorema lui Pitagora, aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Pentru punctele cu coordonatele 1 și 2, respectiv 4 și 6, ies $9 + 16 = 25$ , deci distanța este 5. Ordinea scăderii nu contează, fiindcă diferențele se ridică la pătrat.

Ca să afli cât de departe sunt două puncte într-un reper cartezian, imaginează-ți un triunghi dreptunghic „ascuns" între ele: o catetă orizontală (diferența absciselor) și una verticală (diferența ordonatelor), iar segmentul $[A B]$ este chiar ipotenuza. Din teorema lui Pitagora obții formula distanței:

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

Dacă punctele sunt pe aceeași orizontală (același $y$ ), e mai simplu: $A B = ∣ x_{B} - x_{A} ∣$ . Dacă sunt pe aceeași verticală (același $x$ ): $A B = ∣ y_{B} - y_{A} ∣$ . Un caz special util este distanța la origine: $O M = x^{2} + y^{2}$ .

Exemplu: pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Ordinea punctelor nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
pe aceeași orizontală: $∣ x_{B} - x_{A} ∣$ ; pe aceeași verticală: $∣ y_{B} - y_{A} ∣$
distanța până la origine: $x^{2} + y^{2}$
ordinea punctelor nu schimbă rezultatul

Greșeala tipică

Se extrage rădăcina din fiecare diferență separat și se adună. Rădăcina se ia o singură dată, din suma celor două pătrate, fiindcă $a^{2} + b^{2}$ nu este $a + b$ .

Exerciții din această mini-lecție

Punctele $A (2, - 1)$ și $B (2, 5)$ se află pe aceeași verticală (aceeași abscisă). Care este distanța $A B$ ?
- a) $4$
- b) $6$
- c) $3$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Pentru puncte pe aceeași verticală, distanța se calculează cu ordonatele: $A B = ∣ y_{B} - y_{A} ∣ = ∣5 - (- 1) ∣ = ∣6∣ = 6$ .
Calculează distanța dintre punctele $A (0, 0)$ și $B (7, 24)$ .
- a) $25$
- b) $35$
- c) $17$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $25$

Aplicăm formula: $A B = (7 - 0)^{2} + (24 - 0)^{2} = 49 + 576 = 625 = 25$ (tripletul pitagoreic $7$ - $24$ - $25$ ).
Se dă punctul $N (- 6, 8)$ . Calculează distanța de la $N$ la originea reperului.
- a) $10$
- b) $14$
- c) $20$
- d) $40$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$

Folosim formula distanței la origine: $O N = x^{2} + y^{2} = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ . Varianta (b) apare dacă aduni greșit modulele coordonatelor ( $6 + 8 = 14$ ) în loc să le ridici la pătrat.

Întrebări conexe

Ce distanță este între punctele A(1,2) și B(4,6)?

Este 5 unități. Diferența absciselor este 3, iar cea a ordonatelor 4, deci suma pătratelor lor face 25. Numerele acestea formează tripletul cunoscut, așa că rezultatul iese întreg, ceea ce se întâmplă rar la asemenea probleme.

Cum aflu distanța dintre două puncte de pe aceeași orizontală?

Scazi doar abscisele și iei modulul, fiindcă ordonatele fiind egale, a doua diferență este zero. Formula generală se scurtează astfel de la sine, iar la puncte de pe aceeași verticală se scad ordonatele.

Cum arăt că un triunghi dat prin coordonate este isoscel?

Calculezi lungimile celor trei laturi cu formula distanței și compari rezultatele. Dacă două ies la fel, triunghiul este isoscel. Cu aceleași lungimi verifici mai departe și dacă are un unghi drept, folosind relația lui Pitagora.

Ce coordonate are mijlocul unui segment?

Faci media absciselor și media ordonatelor capetelor. Între punctele cu abscisele 1 și 7 mijlocul are abscisa 4, iar ordonata se calculează la fel. Formula se folosește la mediane, la simetrii și la centrul unui cerc dat prin diametru.

Cum aflu dacă un punct se află pe un cerc cu centrul în origine?

Calculezi distanța de la origine până la el, adică rădăcina din suma pătratelor coordonatelor, și o compari cu raza. Dacă iese egală, punctul este pe cerc; mai mică înseamnă înăuntru, iar mai mare, în afară.

Cum verific dacă trei puncte dau un triunghi dreptunghic?

Afli cele trei laturi cu formula distanței, apoi verifici dacă pătratul celei mai lungi este suma pătratelor celorlalte două. Dacă egalitatea se potrivește, unghiul drept se află în vârful opus laturii lungi.

Oamenii mai întreabă și: distanța dintre două puncte în plan · formula distanței · distanța până la origine · coordonate și teorema lui Pitagora · lungimea unui segment din coordonate