Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență (domeniul de definiție)

Imaginează-ți că împarți o pizza la un număr de prieteni. Dacă sunt $4$ prieteni, fiecare primește $\frac{1}{4}$ din pizza; dacă sunt $x$ prieteni, fiecare primește $\frac{1}{x}$. Dar dacă nu vine niciun prieten, adică $x=0$? Atunci întrebarea „câtă pizza revine fiecăruia?” nu mai are sens — nu poți împărți la zero. Exact aceeași grijă o vom avea și în algebră: când la numitor apar litere, trebuie să spunem clar pentru ce valori ale variabilei expresia are sens. Aici începe povestea fracțiilor algebrice și a condițiilor de existență, o temă de bază în matematica de clasa a VIII-a și un punct des întâlnit la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o fracție algebrică și să îi identifici corect numărătorul și numitorul.
• Vei ști să pui condiția de existență, adică să impui ca numitorul să fie nenul (diferit de zero).
• Vei ști să determini valorile interzise ale variabilei, rezolvând ecuația „numitor $=0$”.
• Vei ști să scrii corect domeniul de definiție (mulțimea valorilor admise) al unei fracții algebrice.
• Vei ști să lucrezi cu numitori de forma $x$, $x-a$, produs de factori sau expresie descompusă în factori.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o fracție algebrică

Îți amintești fracțiile numerice din clasele mai mici: $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{-4}{9}$. Ele sunt rapoarte între două numere întregi, cu numitorul diferit de zero. O fracție algebrică este pasul următor, natural: în locul numerelor de la numărător și numitor punem expresii algebrice (de obicei polinoame), adică expresii în care apar litere (variabile).

Definiție. Se numește fracție algebrică un raport de forma $$\frac{E(x)}{F(x)},$$ unde $E(x)$ și $F(x)$ sunt expresii algebrice (polinoame), iar $F(x)$ nu este polinomul nul. Expresia $E(x)$ se numește numărător, iar $F(x)$ se numește numitor.

Iată câteva exemple de fracții algebrice:

$$\frac{1}{x},\frac{x+2}{x-3},\frac{5x}{x^2-1},\frac{x^2-4}{2x+6},\frac{7}{x^2+1}.$$

În fiecare dintre ele, linia de fracție are deasupra numărătorul și dedesubt numitorul, exact ca la fracțiile obișnuite. Diferența este că apar litere.

Să identificăm componentele pe un exemplu concret: în fracția $\frac{x+2}{x-3}$,

• numărătorul este $x+2$;
• numitorul este $x-3$.

Reține că numitorul trebuie să conțină cel puțin o variabilă pentru ca expresia să fie cu adevărat o fracție algebrică în sensul care ne interesează aici. De exemplu, $\frac{x+2}{5}$ este tehnic un raport, dar numitorul este un număr fix, nenul, deci nu apar restricții asupra variabilei. Interesul temei noastre îl reprezintă fracțiile la care la numitor apare variabila, pentru că doar atunci apar valori care „strică” expresia.

2. De ce nu putem împărți la zero

Toată tema de azi se sprijină pe o regulă pe care o cunoști din clasele mici: împărțirea la zero nu este definită. Nu există niciun număr care înmulțit cu $0$ să dea, de exemplu, $3$; iar $\frac{0}{0}$ ar putea fi „orice”, deci nici acesta nu are sens. Concluzia fermă:

Într-o fracție, numitorul nu poate fi niciodată zero.

La fracțiile numerice acest lucru se verifică automat: $\frac{3}{5}$ are numitorul $5\ne 0$, gata. Dar la o fracție algebrică numitorul este o expresie cu litere, iar valoarea lui depinde de ce număr punem în locul variabilei. Pentru anumite valori, numitorul poate deveni zero — iar pentru acele valori fracția nu există (nu are sens).

Să vedem pe viu. Fie fracția $\frac{1}{x}$.

• Dacă $x=2$, obținem $\frac{1}{2}$ — perfect, un număr.
• Dacă $x=-5$, obținem $\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}$ — tot un număr.
• Dacă $x=0$, obținem $\frac{1}{0}$ — nu are sens! Împărțire la zero.

Prin urmare, fracția $\frac{1}{x}$ „funcționează” pentru orice număr real $x$, cu o singură excepție: $x=0$. Această valoare care strică fracția se numește valoare interzisă.

3. Condiția de existență și valorile interzise

Ajungem la ideea centrală a lecției.

Condiția de existență a unei fracții algebrice este cerința ca numitorul să fie diferit de zero (numitor nenul). Valorile variabilei pentru care numitorul devine zero se numesc valori interzise și trebuie eliminate.

Cum le găsim pe cele interzise? Procedeul e mereu același, în trei pași:

1. Izolăm numitorul fracției.
2. Punem condiția numitor $\ne 0$; pentru a afla ce anume trebuie exclus, rezolvăm ecuația numitor $=0$.
3. Soluțiile acestei ecuații sunt valorile interzise. Le eliminăm din mulțimea numerelor reale.

Analogie utilă: gândește-te la valorile interzise ca la niște „găuri” în axa numerelor. Peste tot fracția merge lin, dar exact în acele puncte se cască o gaură prin care nu poți trece. Domeniul de definiție este toată axa fără acele găuri.

Să exersăm procedeul pe $\frac{x+2}{x-3}$.

Pasul 1. Numitorul este $x-3$. Pasul 2. Rezolvăm $x-3=0$, de unde $x=3$. Pasul 3. Valoarea interzisă este $x=3$. Deci fracția $\frac{x+2}{x-3}$ există pentru orice $x$ real, cu excepția lui $3$.

Verificare rapidă: dacă $x=3$, numitorul devine $3-3=0$, deci fracția ar fi $\frac{5}{0}$ — fără sens. Confirmă că $3$ este într-adevăr interzis. Observă că numărătorul nu contează pentru condiția de existență: chiar dacă numărătorul ar fi și el $0$, tot n-am avea voie la numitor $0$.

4. Domeniul de definiție: cum îl scriem corect

După ce am găsit valorile interzise, exprimăm mulțimea valorilor admise.

Domeniul de definiție al unei fracții algebrice este mulțimea tuturor valorilor reale ale variabilei pentru care numitorul este nenul. Se notează de obicei cu $D$.

Există două moduri corecte, echivalente, de a-l scrie. Le arăt pe fracția $\frac{x+2}{x-3}$, unde valoarea interzisă este $3$:

• cu ajutorul mulțimii numerelor reale din care scoatem valorile interzise: $$D=\mathbb{R}\setminus \{3\};$$
• prin descriere cu condiție: $$D=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne 3\}.$$

Ambele se citesc „mulțimea numerelor reale diferite de $3$”. Semnul $\setminus$ înseamnă „fără” (scădere de mulțimi), iar acoladele $\{\}$ adună valorile pe care le scoatem.

Dacă avem mai multe valori interzise, de exemplu $2$ și $-2$, scriem: $$D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\text{sau}D=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne -2\text{ și }x\ne 2\}.$$

Atenție la un detaliu de redactare apreciat la examen: în interiorul acoladei valorile se despart prin virgulă, nu prin „$-$”, ca să nu se confunde cu semnul minus.

4b. Ce înseamnă „valoarea fracției” pe domeniu

După ce am stabilit domeniul, pentru orice valoare admisă (adică din $D$) putem înlocui variabila și obținem un număr — valoarea fracției în acel punct. Aceasta te ajută să înțelegi de ce excluderile sunt importante și cum se comportă fracția.

Să luăm $\frac{x+2}{x-3}$, cu $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, și să o calculăm în câteva puncte admise:

• pentru $x=0$: $\frac{0+2}{0-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$;
• pentru $x=-2$: $\frac{-2+2}{-2-3}=\frac{0}{-5}=0$ (aici numărătorul e zero, deci fracția e zero, dar există, pentru că numitorul $-5\ne 0$);
• pentru $x=5$: $\frac{5+2}{5-3}=\frac{7}{2}$.

Observă contrastul dintre $x=-2$ și $x=3$: la $x=-2$ fracția este $0$ (numărătorul se anulează, fracția există), pe când la $x=3$ fracția nu există (numitorul se anulează). Este exact distincția pe care baremul o urmărește: fracția este zero nu e același lucru cu fracția nu are sens.

O fracție algebrică este egală cu zero, deci, exact atunci când numărătorul este zero, iar numitorul rămâne nenul. Reține această idee — o vei folosi mult la lecțiile următoare din unitate.

5. Numitor de forma unui produs de factori

Foarte des numitorul nu este un simplu $x-a$, ci un produs de mai mulți factori, de exemplu: $$\frac{x+1}{(x-2)(x+5)}.$$

Aici folosim o proprietate esențială, pe care ai învățat-o la ecuații:

Un produs este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero (principiul produsului nul).

Deci numitorul $(x-2)(x+5)$ se anulează exact când: $$x-2=0\text{sau}x+5=0,$$ adică $x=2$ sau $x=-5$. Amândouă sunt valori interzise. Domeniul este: $$D=\mathbb{R}\setminus \{-5,2\}.$$

Ideea de reținut: fiecare factor de la numitor generează câte o valoare interzisă. Egalezi pe rând fiecare factor cu zero și aduni toate soluțiile.

6. Numitor care trebuie mai întâi descompus în factori

Uneori numitorul apare „adunat”, nu factorizat, și pare greu de rezolvat direct. De pildă: $$\frac{3x}{x^2-9}.$$

Ecuația $x^2-9=0$ o putem rezolva folosind ceea ce ai învățat la descompunerea folosind diferența de pătrate. Recunoaștem $x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$. Atunci: $$x^2-9=0⟺(x-3)(x+3)=0⟺x=3\text{ sau }x=-3.$$

Valorile interzise sunt $3$ și $-3$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$.

Iată de ce descompunerile în factori pe care le-ai studiat în lecțiile anterioare — factor comun, gruparea termenilor, pătrate perfecte și diferența de pătrate — sunt instrumentul principal aici: transformă un numitor complicat într-un produs de factori simpli, iar de la fiecare factor citim imediat valoarea interzisă.

Să mai vedem un caz cu factor comun. Pentru $\frac{5}{x^2+4x}$, scoatem factorul comun: $$x^2+4x=x(x+4).$$ Deci $x(x+4)=0⟺x=0$ sau $x+4=0⟺x=0$ sau $x=-4$. Rezultă $D=\mathbb{R}\setminus \{-4,0\}$.

7. Un numitor care nu se anulează niciodată

Nu orice fracție algebrică are valori interzise! Privește: $$\frac{x-1}{x^2+1}.$$

Ecuația $x^2+1=0$ ar cere $x^2=-1$, imposibil, pentru că un pătrat de număr real este mereu $\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real. Numitorul nu poate fi zero niciodată. Prin urmare nu există valori interzise, iar domeniul este chiar toată mulțimea numerelor reale: $$D=\mathbb{R}.$$

Aceasta este o observație tare utilă la examen: dacă numitorul este de forma „pătrat plus un număr pozitiv” (de exemplu $x^2+1$, $x^2+4$, $3x^2+2$), atunci nu se anulează pentru niciun număr real, deci $D=\mathbb{R}$.

7b. Numitor cu paranteză și semn în față

Uneori numitorul are un semn minus în față sau o paranteză, iar aici greșelile de neatenție sunt frecvente. Fie fracția $\frac{x}{-(x-4)}$. Numitorul este $-(x-4)$; el se anulează exact când $x-4=0$, adică $x=4$ (semnul minus din față nu schimbă valoarea interzisă, pentru că $-0=0$). Deci $D=\mathbb{R}\setminus \{4\}$.

Un alt tip: $\frac{3}{2(x+1)}$. Numitorul $2(x+1)$ se anulează când $x+1=0$, adică $x=-1$; factorul $2$ nu contează. Rezultă $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Regula generală: factorii numerici nenuli (constante) nu produc valori interzise; doar factorii care conțin variabila o fac.

8. Rezumatul metodei (algoritmul)

Ori de câte ori ți se cere condiția de existență / domeniul de definiție al unei fracții algebrice, urmează pașii:

1. Ignoră numărătorul — el nu influențează existența.
2. Ia numitorul și, dacă e cazul, descompune-l în factori.
3. Pune numitorul egal cu zero și rezolvă ecuația (folosind produsul nul).
4. Soluțiile sunt valorile interzise.
5. Scrie domeniul $D=\mathbb{R}\setminus \{\text{valori interzise}\}$.

Ține minte cuvântul-cheie: numitor nenul. Pe el se sprijină toată tema.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — numitor de forma $x-a$

Enunț. Determină condiția de existență și domeniul de definiție al fracției $\frac{2x+7}{x-4}$.

Rezolvare. Numitorul este $x-4$. Punem condiția de existență: $$x-4\ne 0⟹x\ne 4.$$ Valoarea interzisă este $x=4$. Domeniul de definiție: $$D=\mathbb{R}\setminus \{4\}.$$ Verificare. Pentru $x=4$: numitorul $=4-4=0$, deci fracția n-ar exista — corect exclus.

Exemplul 2 — numitor doar $x$ (valoarea interzisă $0$)

Enunț. Află valorile interzise pentru $\frac{x^2-5}{3x}$.

Rezolvare. Numitorul este $3x$. Punem $3x\ne 0$. Împărțim prin $3$ (număr nenul): $x\ne 0$. Deci singura valoare interzisă este $x=0$, iar $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Observă că factorul numeric $3$ nu produce nicio restricție; contează doar litera. Numărătorul $x^2-5$ este ignorat pentru condiția de existență.

Exemplul 3 — numitor produs de factori

Enunț. Determină domeniul de definiție al fracției $\frac{6}{(x+1)(x-7)}$.

Rezolvare. Numitorul este produsul $(x+1)(x-7)$. Un produs este zero dacă unul dintre factori este zero: $$x+1=0\Rightarrow x=-1,x-7=0\Rightarrow x=7.$$ Valorile interzise sunt $-1$ și $7$. Domeniul: $$D=\mathbb{R}\setminus \{-1,7\}.$$

Exemplul 4 — numitor de descompus (diferență de pătrate)

Enunț. Găsește condițiile de existență ale fracției $\frac{x+3}{4x^2-25}$.

Rezolvare. Numitorul $4x^2-25$ este o diferență de pătrate: $4x^2=(2x{)}^2$ și $25=5^2$. Deci $$4x^2-25=(2x-5)(2x+5).$$ Punem numitorul $=0$: $$(2x-5)(2x+5)=0⟺2x-5=0\text{ sau }2x+5=0.$$ De aici $x=\frac{5}{2}$ sau $x=-\frac{5}{2}$. Domeniul de definiție: $$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right\}.$$

Exemplul 5 — numitor cu factor comun

Enunț. Determină valorile interzise pentru $\frac{x-8}{x^2-6x}$ și scrie domeniul.

Rezolvare. Scoatem factorul comun la numitor: $x^2-6x=x(x-6)$. Punem produsul egal cu zero: $$x(x-6)=0⟺x=0\text{ sau }x-6=0⟺x=0\text{ sau }x=6.$$ Valorile interzise: $0$ și $6$. Domeniul: $$D=\mathbb{R}\setminus \{0,6\}.$$ O greșeală de evitat aici este să „simplifici” numitorul $x^2-6x$ înainte de a pune condiția — condiția se pune pe numitorul inițial.

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu motivare)

Enunț. Stabilește dacă propoziția este adevărată sau falsă, justificând: „Fracția $\frac{x^2+5}{x^2+5}$ este egală cu $1$ pentru orice număr real $x$.”

Rezolvare. Numitorul este $x^2+5$. Cum $x^2\ge 0$, avem $x^2+5\ge 5>0$, deci numitorul nu se anulează niciodată; domeniul este $D=\mathbb{R}$. Pe acest domeniu, numărătorul este egal cu numitorul (ambele $x^2+5$, nenul), deci raportul este $1$ pentru orice $x$ real. Propoziția este adevărată, iar justificarea corectă include observația că numitorul e mereu nenul, ceea ce dă $D=\mathbb{R}$.

Exemplul 7 — numitor de descompus prin gruparea termenilor

Enunț. Determină domeniul de definiție al fracției $\frac{5}{x^3+2x^2-x-2}$.

Rezolvare. Descompunem numitorul prin gruparea termenilor: $$x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1).$$ Mai departe, $x^2-1=(x-1)(x+1)$ (diferență de pătrate), deci numitorul complet factorizat este: $$(x+2)(x-1)(x+1).$$ Punem produsul egal cu zero: $x+2=0$, $x-1=0$ sau $x+1=0$, de unde $x=-2$, $x=1$ sau $x=-1$. Domeniul de definiție: $$D=\mathbb{R}\setminus \{-2,-1,1\}.$$ Trei factori cu variabilă $\Rightarrow$ trei valori interzise. Exemplul arată cât de util este să aduni toate tehnicile de descompunere învățate anterior.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu redactare îngrijită (arată condiția de existență, apoi domeniul).

1. Identifică numărătorul și numitorul fracției $\frac{3x-1}{x+6}$.
2. Determină valoarea interzisă și domeniul pentru $\frac{5}{x}$.
3. Determină valoarea interzisă și domeniul pentru $\frac{x+4}{x-9}$.
4. Determină valoarea interzisă și domeniul pentru $\frac{2x-3}{x+8}$.
5. Află valorile interzise pentru $\frac{10}{2x-6}$.
6. Determină domeniul de definiție al fracției $\frac{x^2+1}{5x}$.
7. Găsește domeniul pentru $\frac{x-2}{(x-1)(x+4)}$.
8. Determină valorile interzise ale fracției $\frac{7x}{x^2-16}$.
9. Determină domeniul de definiție al fracției $\frac{x+5}{x^2+3x}$.
10. Află domeniul pentru $\frac{4}{9x^2-4}$.
11. Determină domeniul fracției $\frac{x-6}{x^2+7}$.
12. Adevărat sau fals, cu justificare: „Valoarea $x=0$ este interzisă pentru fracția $\frac{x}{x-3}$.”
13. Adevărat sau fals, cu justificare: „Fracția $\frac{x+2}{x^2+4}$ are domeniul $\mathbb{R}$.”
14. Determină domeniul fracției $\frac{2x-1}{x^2-5x+6}$. (Indicație: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.)
15. Pentru ce valoare a lui $m$ fracția $\frac{x+1}{x-m}$ are valoarea interzisă $x=5$?
16. Un elev scrie: „Domeniul fracției $\frac{x-3}{x-3}$ este $\mathbb{R}$, pentru că numărătorul și numitorul se simplifică și rămâne $1$.” Explică greșeala și scrie domeniul corect.
17. Item tip Evaluare Națională. Se dă fracția $\frac{x^2-9}{x^2-4x+3}$. Determină domeniul ei de definiție. (Indicație: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.)
18. Problemă aplicată. Un magazin online împarte în mod egal un cost fix de livrare de $60$ de lei la $n$ cumpărători dintr-un grup, costul pe persoană fiind $\frac{60}{n}$ lei. Explică de ce, ca fracție algebrică, expresia impune $n\ne 0$ și scrie domeniul (numărul de cumpărători fiind, evident, un număr natural nenul).

Răspunsuri și explicații

1. Numărător: $3x-1$; numitor: $x+6$. (Numărătorul e deasupra liniei, numitorul dedesubt.)
2. $x\ne 0$; $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Nu putem împărți la zero.
3. $x-9=0\Rightarrow x=9$ interzis; $D=\mathbb{R}\setminus \{9\}$.
4. $x+8=0\Rightarrow x=-8$ interzis; $D=\mathbb{R}\setminus \{-8\}$.
5. $2x-6=0\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$; $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.
6. Numitorul $5x=0\Rightarrow x=0$; $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. (Factorul $5$ nu dă restricții.)
7. $(x-1)(x+4)=0\Rightarrow x=1$ sau $x=-4$; $D=\mathbb{R}\setminus \{-4,1\}$.
8. $x^2-16=(x-4)(x+4)=0\Rightarrow x=4$ sau $x=-4$; valori interzise $-4$ și $4$; $D=\mathbb{R}\setminus \{-4,4\}$.
9. $x^2+3x=x(x+3)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=-3$; $D=\mathbb{R}\setminus \{-3,0\}$.
10. $9x^2-4=(3x-2)(3x+2)=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ sau $x=-\frac{2}{3}$; $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right\}$.
11. $x^2+7\ge 7>0$ mereu, deci niciun $x$ nu îl anulează; $D=\mathbb{R}$.
12. Fals. Punem $x-3\ne 0$, deci singura valoare interzisă este $x=3$, nu $0$. Pentru $x=0$ fracția devine $\frac{0}{-3}=0$, perfect definită.
13. Adevărat. $x^2+4\ge 4>0$ pentru orice $x$ real, numitorul nu se anulează niciodată, deci $D=\mathbb{R}$.
14. $(x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2$ sau $x=3$; $D=\mathbb{R}\setminus \{2,3\}$.
15. Valoarea interzisă provine din $x-m=0$, adică $x=m$. Ca să fie $5$, luăm $m=5$.
16. Greșeala: nu ai voie să simplifici înainte de a impune condiția de existență; condiția se pune pe numitorul inițial $x-3$. Numitorul $x-3=0\Rightarrow x=3$ interzis. Domeniul corect este $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ (fracția este egală cu $1$, dar doar pentru $x\ne 3$; în $x=3$ nu există).
17. $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1$ sau $x=3$; $D=\mathbb{R}\setminus \{1,3\}$. (Numărătorul $x^2-9$ nu influențează domeniul.)
18. Costul pe persoană $\frac{60}{n}$ are numitorul $n$; condiția de existență cere $n\ne 0$, altfel am împărți la zero (nu poți împărți costul la „zero cumpărători”). Ca fracție algebrică, $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$; în contextul problemei, $n$ este număr natural nenul, deci $n\in \{1,2,3,\dots \}$.

De reținut

• O fracție algebrică este un raport $\frac{E(x)}{F(x)}$ de două expresii algebrice (polinoame), cu $F(x)$ numitor și $E(x)$ numărător.
• Condiția de existență: numitorul trebuie să fie nenul (diferit de zero). Nu se împarte niciodată la zero.
• Valorile interzise se află rezolvând ecuația numitor $=0$; numărătorul nu contează pentru existență.
• Domeniul de definiție se scrie $D=\mathbb{R}\setminus \{\text{valori interzise}\}$ sau $D=\{x\in \mathbb{R}\mid \text{numitor}\ne 0\}$.
• Dacă numitorul e produs de factori, fiecare factor dă o valoare interzisă (produsul nul); dacă numitorul e „pătrat plus număr pozitiv” (ex. $x^2+1$), atunci $D=\mathbb{R}$.

Greșeli frecvente

• Pui condiție și pe numărător. Greșit. Condiția de existență se pune doar pe numitor. Numărătorul poate fi orice, chiar $0$.
• Simplifici fracția înainte de a pune condiția. De exemplu la $\frac{x-3}{x-3}$ ai fi tentat să scrii direct $1$ și să spui $D=\mathbb{R}$. Condiția se pune pe numitorul inițial: $x\ne 3$. Întâi domeniul, apoi orice simplificare.
• Uiți un factor al numitorului. La un produs, egalează fiecare factor cu zero. Din $(x-2)(x+5)$ rezultă două valori interzise, nu una.
• Confuzia „numitor $=0$ înseamnă fracția $=0$”. Fracția este $0$ când numărătorul este $0$ (și numitorul nenul). Când numitorul e $0$, fracția nu există — sunt lucruri complet diferite.

Aplică acasă

1. Rețete la scară. Ai o rețetă care folosește $500$ g de făină pentru un grup de $p$ persoane, deci pe persoană revin $\frac{500}{p}$ grame. Scrie fracția algebrică, pune condiția de existență și explică-i unui membru al familiei de ce $p=0$ nu are sens practic. Care e domeniul?
2. Vânătoare de valori interzise. Inventează tu $3$ fracții algebrice: una cu numitor de forma $x-a$, una cu numitor produs de doi factori și una cu numitor $x^2+\text{(numa˘r pozitiv)}$. Pentru fiecare, găsește domeniul de definiție și verifică punând efectiv o valoare interzisă în numitor.
3. Viteză și timp. Un biciclist parcurge o distanță fixă de $30$ km cu viteza de $v$ km/h, iar timpul este $\frac{30}{v}$ ore. Argumentează, ca la matematică, de ce $v\ne 0$ este condiția de existență și explică și legătura cu realitatea (cu viteză zero nu ajungi niciodată).

Pentru părinți și profesori

Această lecție este poarta de intrare către întreaga unitate a fracțiilor algebrice, care continuă cu amplificarea, simplificarea și operațiile cu fracții algebrice. Ideea centrală — „numitor nenul” — revine la fiecare pas ulterior, așa că merită consolidată acum.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să spună cu voce tare regula: „numitorul nu poate fi zero”. Dacă o formulează singur, a înțeles esența.
• Puneți întrebări de verificare: „Care e numitorul?”, „Ce valoare l-ar face zero?”, „Ce se întâmplă dacă numărătorul e zero — fracția există?”. Ultima întrebare separă cele două confuzii tipice.
• Testați descompunerea: dați un numitor de forma $x^2-a^2$ sau $x^2+bx$ și cereți valorile interzise. Astfel verificați și legătura cu lecțiile de descompunere în factori.

Semne că a înțeles: identifică rapid numitorul, îl descompune corect, egalează fiecare factor cu zero și scrie domeniul cu notația $\mathbb{R}\setminus \{\dots \}$, fără să pună vreo condiție pe numărător.

La Evaluarea Națională, condițiile de existență apar frecvent ca prim pas obligatoriu în subiectele cu fracții algebrice (Subiectul al III-lea, exercițiile de calcul algebric): înainte de a simplifica sau de a efectua operații, elevul trebuie să scrie domeniul, iar baremul acordă punctaj separat pentru această etapă. O redactare corectă a domeniului poate aduce puncte chiar dacă restul calculului are o scăpare.

Întrebări frecvente

Ce este o fracție algebrică la clasa a 8-a? Este un raport de două expresii algebrice (polinoame), de forma $\frac{E(x)}{F(x)}$, unde $E(x)$ este numărătorul și $F(x)$ este numitorul, iar la numitor apare, de regulă, variabila. Diferența față de fracțiile numerice e că numărătorul și numitorul conțin litere.

Ce înseamnă condiția de existență a unei fracții algebrice? Înseamnă cerința ca numitorul să fie diferit de zero. Fiindcă împărțirea la zero nu are sens, fracția „există” doar pentru acele valori ale variabilei care nu anulează numitorul.

Cum aflu valorile interzise ale unei fracții algebrice? Iei numitorul, îl faci egal cu zero și rezolvi ecuația. Soluțiile ecuației „numitor $=0$” sunt exact valorile interzise, pe care le scoți din mulțimea numerelor reale.

Cum scriu domeniul de definiție al unei fracții algebrice? Îl scrii ca $D=\mathbb{R}\setminus \{\text{valorile interzise}\}$ sau, echivalent, $D=\{x\in \mathbb{R}\mid \text{numitorul}\ne 0\}$. Ambele forme sunt corecte și acceptate la examen.

Numărătorul contează la condiția de existență? Nu. Condiția se pune doar pe numitor. Numărătorul poate lua orice valoare, inclusiv $0$; dacă numărătorul este $0$ (și numitorul nenul), fracția este pur și simplu egală cu $0$, dar există.

Poate o fracție algebrică să aibă domeniul întreg $\mathbb{R}$? Da, atunci când numitorul nu se anulează pentru niciun număr real. De exemplu $\frac{x-1}{x^2+1}$ are $D=\mathbb{R}$, pentru că $x^2+1\ge 1>0$ oricare ar fi $x$.

Ce fac dacă numitorul este un produs, precum $(x-2)(x+5)$? Folosești principiul produsului nul: un produs e zero dacă unul dintre factori e zero. Egalezi pe rând fiecare factor cu zero; toate soluțiile obținute sunt valori interzise. Aici: $x=2$ și $x=-5$.

De ce trebuie să descompun numitorul în factori? Pentru că un numitor precum $x^2-9$ sau $x^2+4x$ e greu de anulat direct, dar descompus — $(x-3)(x+3)$, respectiv $x(x+4)$ — îți arată imediat, factor cu factor, ce valori sunt interzise. De aceea descompunerile în factori sunt instrumentul-cheie al acestei lecții.