Într-un paralelogram $$ABCD$$, unghiul $$A$$ are $$90°$$. Ce se poate spune despre unghiul $$C$$ (opus lui $$A$$)?

$$m(\angle C)$$ nu poate fi determinat

Un patrulater are diagonale congruente, dar NU este paralelogram. Poate fi el dreptunghi?

Nu, pentru că dreptunghiul trebuie să fie mai întâi paralelogram

Da, diagonalele egale sunt suficiente

Da, dar numai dacă are un unghi obtuz

Ce proprietăți are dreptunghiul?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Dreptunghiul: diagonale congruente

Este un paralelogram cu un colț drept, de unde rezultă că toate patru unghiurile au 90 de grade. Păstrează tot ce are paralelogramul: laturi opuse paralele și egale, diagonale care se taie la mijloc. În plus, cele două diagonale ale lui sunt egale, așa că de la punctul lor de întâlnire până la fiecare vârf este aceeași distanță. Dacă acel segment are 6 cm, fiecare diagonală măsoară 12 cm.

Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept. Din această condiție simplă rezultă că, de fapt, toate cele patru unghiuri sunt de $90°$ (unghiurile alăturate sunt suplementare, iar cele opuse sunt congruente).

Dreptunghiul moștenește de la paralelogram: laturi opuse paralele și congruente, diagonale care se înjumătățesc. Dar are și o proprietate proprie, cea mai importantă: diagonalele sunt congruente ( $A C = B D$ ). Combinând înjumătățirea cu congruența, obținem că cele patru segmente de la centrul $O$ la vârfuri sunt egale: $O A = O B = O C = O D = \frac{d}{2}$ .

Exemplu: Dacă $O A = 6$ cm, atunci $O B = O C = O D = 6$ cm, iar diagonala întreagă $A C = B D = 12$ cm.

Reciproc, dacă un paralelogram are diagonalele congruente, el este automat dreptunghi — asta e o condiție suficientă foarte utilă în probleme.

De reținut

paralelogram cu un unghi drept, deci toate patru sunt drepte
diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc
$O A = O B = O C = O D = \frac{d}{2}$
un paralelogram cu diagonale egale este dreptunghi

Greșeala tipică

Se ia jumătatea diagonalei drept diagonală întreagă. Segmentul de la centru la un vârf este doar jumătate, deci diagonala se obține înmulțind cu doi.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un paralelogram $A B C D$ , unghiul $A$ are $90°$ . Ce se poate spune despre unghiul $C$ (opus lui $A$ )?
- a) $m (∠ C) = 90°$
- b) $m (∠ C) = 45°$
- c) $m (∠ C)$ nu poate fi determinat
- d) $m (∠ C) = 180°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m (∠ C) = 90°$

Unghiurile opuse într-un paralelogram sunt congruente, deci $m (∠ C) = m (∠ A) = 90°$ .
Un patrulater are diagonale congruente, dar NU este paralelogram. Poate fi el dreptunghi?
- a) Da, diagonalele egale sunt suficiente
- b) Nu, pentru că dreptunghiul trebuie să fie mai întâi paralelogram
- c) Da, dar numai dacă are un unghi obtuz
- d) Nu se poate ști niciodată
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că dreptunghiul trebuie să fie mai întâi paralelogram

Dreptunghiul este, prin definiție, un paralelogram cu o proprietate în plus. Fără paralelogram, diagonale egale nu garantează dreptunghi (de exemplu trapezul isoscel are diagonale egale, dar nu e paralelogram).
Într-un paralelogram $A B C D$ unghiurile $A$ și $B$ sunt alăturate (consecutive), iar $m (∠ B) = 90°$ . Cât este $m (∠ A)$ ?
- a) $90°$
- b) $45°$
- c) $180°$
- d) $60°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $90°$

Unghiurile alăturate într-un paralelogram sunt suplementare: $m (∠ A) + m (∠ B) = 180°$ . Cum $m (∠ B) = 90°$ , obținem $m (∠ A) = 180° - 90° = 90°$ — de aici rezultă că, odată ce un unghi e drept, toate devin drepte.

Întrebări conexe

Ce lungime are diagonala unui dreptunghi cu laturile 6 și 8?

Are 10 unități, fiindcă ea închide, împreună cu două laturi alăturate, un triunghi cu unghi drept: $36 + 64 = 100$ . Cealaltă diagonală măsoară tot 10, ele fiind egale în orice dreptunghi.

De ce cele patru triunghiuri din dreptunghi sunt isoscele?

Fiindcă diagonalele sunt egale și se taie la mijloc, deci de la punctul lor comun până la oricare vârf este aceeași depărtare. Fiecare triunghi format are astfel două laturi egale, iar unghiurile lui de la bază sunt și ele egale.

Ce perimetru are un dreptunghi cu lungimea 9 și lățimea 4?

Are 26 de unități, fiindcă fiecare dimensiune apare de două ori: $2 \cdot (9 + 4) = 26$ . Aria aceluiași dreptunghi este 36, deci cele două mărimi nu trebuie confundate, nici ca formulă, nici ca unitate.

Cum aflu lățimea dacă știu diagonala și lungimea?

Scazi pătratul lungimii din pătratul diagonalei și extragi rădăcina. La o diagonală de 13 și o lungime de 12 obții $169 - 144 = 25$ , deci lățimea este 5. Este aceeași socoteală ca la aflarea unei catete.

Unde este centrul cercului circumscris unui dreptunghi?

La întâlnirea diagonalelor, fiindcă acel punct se află la aceeași distanță de toate patru vârfurile. Raza cercului este jumătate din diagonală, iar cercul trece exact prin colțuri, indiferent cât de alungit ar fi dreptunghiul.

Cum verific cu ruleta că un cadru este dreptunghiular?

Măsori cele două diagonale ale ramei. Dacă ies egale, iar laturile opuse sunt și ele egale, colțurile sunt drepte. Meseriașii folosesc trucul acesta la uși, ferestre și pardoseli, fiindcă echerul nu ajunge la colțuri depărtate.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile dreptunghiului · diagonale în dreptunghi · diagonalele dreptunghiului sunt egale · dreptunghi definiție · paralelogram cu un unghi drept