Ordinea operațiilor cu fracții algebrice. Aducerea la forme mai simple

Când introduci o formulă într-un tabel Excel sau într-un calculator științific, programul nu calculează „de la stânga la dreapta la întâmplare”: el respectă o ordine strictă — mai întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile. Exact aceeași ordine o folosești și în algebră, doar că acum, în locul numerelor, apar fracții cu litere. În această lecție vei învăța să calculezi expresii complexe cu fracții algebrice, să le aduci la o formă cât mai simplă și să spui corect pentru ce valori ale variabilei au sens. Este lecția care unește tot ce ai învățat despre fracții algebrice — un tip de exercițiu care apare aproape sigur la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să respecți ordinea efectuării operațiilor într-o expresie cu fracții algebrice: paranteze, puteri, înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi.
• Vei ști să calculezi pas cu pas o expresie complexă, combinând adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere.
• Vei ști să aduci o expresie la o formă mai simplă prin descompunere în factori, simplificare și reducerea termenilor asemenea.
• Vei ști să stabilești condițiile de existență pentru toată expresia, nu doar pentru o fracție izolată.
• Vei ști să calculezi valoarea unei expresii pentru o valoare dată a variabilei, verificând întâi că aceasta este admisă.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim ordinea operațiilor

Din clasele mai mici știi deja regula pentru numere. Ea rămâne neschimbată și pentru fracțiile algebrice:

Ordinea efectuării operațiilor

1. Parantezele — se rezolvă întâi ce este în interiorul lor (rotunde, apoi drepte, apoi acolade).
2. Ridicarea la putere (și radicalii).
3. Înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.
4. Adunările și scăderile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.

Un exemplu numeric de încălzire, ca să simți regula: $$5-2\cdot 3+4^2:8=5-2\cdot 3+16:8=5-6+2=1.$$ Observă: nu am făcut $5-2$ primul, deși stă în față. Întâi puterea ($4^2=16$), apoi înmulțirea și împărțirea ($2\cdot 3=6$, $16:8=2$), apoi, la final, adunarea și scăderea.

La fracțiile algebrice folosim aceeași ordine. Ce se schimbă este „materialul de lucru”: fiecare adunare cere aducere la același numitor, fiecare împărțire se transformă în înmulțire cu inversa, fiecare simplificare cere descompunere în factori. De aceea calculul devine mai lung — dar logica este identică.

2. De ce contează ordinea: un exemplu care schimbă rezultatul

Ordinea nu este un capriciu: ea decide rezultatul. Compară cele două expresii de mai jos, care conțin exact aceleași fracții, dar una are paranteză și cealaltă nu.

Fără paranteză (împărțirea se face înaintea adunării): $$E_1=\frac{3}{x-2}+\frac{6}{x^2-4}:\frac{2}{x+2}.$$

Respectăm ordinea: întâi împărțirea. Descompunem $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și transformăm împărțirea în înmulțire cu inversa: $$\frac{6}{x^2-4}:\frac{2}{x+2}=\frac{6}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{2}=\frac{6(x+2)}{2(x-2)(x+2)}=\frac{3}{x-2}.$$ Abia acum facem adunarea: $$E_1=\frac{3}{x-2}+\frac{3}{x-2}=\frac{6}{x-2}.$$

Cu paranteză (adunarea se face prima, fiind în paranteză): $$E_2=\left(\frac{3}{x-2}+\frac{6}{x^2-4}\right):\frac{2}{x+2}.$$ În paranteză aducem la numitor comun $(x-2)(x+2)$: $$\frac{3}{x-2}+\frac{6}{(x-2)(x+2)}=\frac{3(x+2)+6}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+12}{(x-2)(x+2)}=\frac{3(x+4)}{(x-2)(x+2)}.$$ Apoi împărțim: $$E_2=\frac{3(x+4)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{2}=\frac{3(x+4)}{2(x-2)}.$$

Rezultatele sunt complet diferite: $E_1=\frac{6}{x-2}$, dar $E_2=\frac{3(x+4)}{2(x-2)}$. Paranteza a schimbat totul, exact ca la numere. Concluzia: citește expresia întreagă înainte de a calcula și identifică ordinea corectă.

3. Cei patru pași de lucru cu o expresie de fracții algebrice

Îți propun un algoritm pe care îl vei folosi la aproape orice exercițiu de acest tip:

Pasul 1 — Condițiile de existență (CE). Impui ca fiecare numitor care conține litere să fie diferit de zero. Atenție: și numitorul care apare după descompunere, și divizorul dintr-o împărțire (împărțitorul trebuie să fie nenul!). Faci asta la început, pe expresia inițială, ca să nu pierzi vreo valoare interzisă în timpul simplificărilor.

Pasul 2 — Descompui în factori. Toate numărătoarele și toți numitorii se descompun în factori (factor comun, grupare, formulele $(a\pm b{)}^2$ și $a^2-b^2$). Descompunerea este „cheia universală”: fără ea nu poți nici aduce la numitor comun corect, nici simplifica.

Pasul 3 — Efectuezi operațiile în ordinea corectă. Paranteze → puteri → înmulțiri/împărțiri → adunări/scăderi. Împărțirea o transformi mereu în înmulțire cu inversa. Puterea unei fracții se distribuie: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Pasul 4 — Simplifici forma finală. Reduci factorii comuni dintre numărător și numitor, aduni termenii asemenea și scrii rezultatul cât mai compact. Verifici că nu ai mai schimbat domeniul.

4. Instrumentele pe care le reactivăm

Această lecție nu introduce reguli noi de calcul — le combină pe cele deja învățate. Ca să lucrezi rapid, ai nevoie să fie „la degete”:

• Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice: numitor comun, apoi aduni/scazi numărătorii — vezi lecția Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice.
• Înmulțirea și împărțirea: înmulțești numărător cu numărător și numitor cu numitor; împărțirea = înmulțire cu inversa — vezi Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.
• Ridicarea la putere: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ — vezi Ridicarea la putere a fracțiilor algebrice.
• Simplificarea prin factori comuni — vezi Simplificarea fracțiilor algebrice.
• Descompunerile în factori și formulele de calcul prescurtat — vezi Descompuneri combinate și aplicații și Produsul sumei cu diferența.
• Condițiile de existență ale unei fracții — vezi Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență.

5. Un truc care apare des: semnul $a-b=-(b-a)$

La expresiile de examen întâlnești frecvent numitori „inversați”, de exemplu $x-2$ și $2-x$. Ei par diferiți, dar sunt legați printr-o egalitate simplă: $$2-x=-(x-2).$$ De aceea $$\frac{2}{2-x}=\frac{2}{-(x-2)}=-\frac{2}{x-2}.$$ Când vezi doi numitori care sunt „unul minusul celuilalt”, dă factor comun semnul $-1$ și adu-i la același numitor. Așa scapi de un numitor comun inutil de complicat. Vom folosi acest truc într-un exercițiu.

6. Aducerea la forme mai simple — de ce merită efortul

„A aduce la o formă mai simplă” înseamnă a rescrie expresia ca o singură fracție (sau chiar ca un număr constant), fără factori care se pot reduce. Avantajele sunt reale:

• Calculezi valori mult mai ușor. Dacă $E(x)$ se simplifică la $\frac{1}{x-2}$, atunci $E(5)=\frac{1}{3}$ îl afli dintr-o privire, în loc să înlocuiești $x=5$ într-o expresie uriașă.
• Vezi surprize utile. Multe expresii de examen se simplifică la o constantă (de exemplu $1$, $0$ sau $\frac{1}{2}$). Asta înseamnă că valoarea nu depinde de $x$ — un rezultat elegant care îți confirmă că ai calculat corect.
• Iei tot punctajul. La Evaluarea Națională, redactarea îngrijită, cu condițiile de existență scrise și cu pașii vizibili, aduce punctele. O formă finală simplă arată clar că ai finalizat.

Atenție însă: simplificarea nu schimbă domeniul! Dacă $E(x)$ se reduce la $1$, dar în expresia inițială apărea numitorul $x$, atunci $x=0$ rămâne valoare interzisă, chiar dacă în forma finală „$1$” nu mai apare niciun numitor. Domeniul se stabilește o singură dată, la început, pe expresia inițială.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — respectăm ordinea (împărțire înaintea scăderii)

Efectuează $E=\frac{5}{x}-\frac{10}{x^2}:\frac{2}{x}$.

Condiții de existență. Numitorii sunt $x$ și $x^2$, iar împărțitorul este $\frac{2}{x}$ (nenul, deoarece $2\ne 0$, dar cere tot $x\ne 0$). Deci $x\ne 0$.

Ordinea: întâi împărțirea, apoi scăderea. $$\frac{10}{x^2}:\frac{2}{x}=\frac{10}{x^2}\cdot \frac{x}{2}=\frac{10x}{2x^2}=\frac{5}{x}.$$ Acum scăderea: $$E=\frac{5}{x}-\frac{5}{x}=0.$$

Rezultat: $E=0$ pentru orice $x\ne 0$. Expresia este identic nulă pe tot domeniul ei — o formă „cât se poate de simplă”.

Exemplul 2 — paranteză, apoi înmulțire

Adu la o formă mai simplă $E(x)=\left(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x+1}{x}$.

Condiții de existență: $x+1\ne 0$ și $x\ne 0$, deci $x\ne -1$ și $x\ne 0$.

Paranteza (aceiași numitori, adunăm numărătorii): $$\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1.$$

Înmulțirea: $$E(x)=1\cdot \frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{x}.$$

Rezultat: $E(x)=\frac{x+1}{x}$, pentru $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1,0\}$.

Verificare rapidă pentru $x=1$: în forma inițială $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{2}{1}=1\cdot 2=2$; în forma finală $\frac{1+1}{1}=2$. Coincid — semn bun.

Exemplul 3 — înmulțire cu descompunere și simplificare

Calculează $E(x)=\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\cdot \frac{x-3}{x+3}$.

Descompunem numitorii și numărătorii: $$x^2-9=(x-3)(x+3),x^2-6x+9=(x-3{)}^2.$$

Condiții de existență: numitorii $(x-3{)}^2$ și $x+3$ trebuie să fie nenuli, deci $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Înmulțim și simplificăm: $$E(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3{)}^2}\cdot \frac{x-3}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)(x-3)}{(x-3{)}^2(x+3)}=\frac{(x-3{)}^2(x+3)}{(x-3{)}^2(x+3)}=1.$$

Rezultat: $E(x)=1$, pentru $x\in \mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$. Deși rezultatul este constant, valorile $x=3$ și $x=-3$ rămân excluse, pentru că apar în numitorii inițiali.

Exemplul 4 — paranteză cu scădere, apoi împărțire (item tip Evaluare Națională)

Se dă $E(x)=\left(\frac{x+1}{x}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{2x+1}{x}$.

Condiții de existență. Numitorii care apar: $x$, $x+1$ și $\frac{2x+1}{x}$ (împărțitor). Deci $x\ne 0$, $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, iar împărțitorul trebuie să fie nenul: $\frac{2x+1}{x}\ne 0\Rightarrow 2x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -\frac{1}{2}$. În concluzie: $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-1,-\frac{1}{2},0\right\}$.

Paranteza (numitor comun $x(x+1)$): $$\frac{x+1}{x}-\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2-x^2}{x(x+1)}=\frac{x^2+2x+1-x^2}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}.$$

Împărțirea (înmulțire cu inversa): $$E(x)=\frac{2x+1}{x(x+1)}:\frac{2x+1}{x}=\frac{2x+1}{x(x+1)}\cdot \frac{x}{2x+1}=\frac{(2x+1)x}{x(x+1)(2x+1)}=\frac{1}{x+1}.$$

Rezultat: $E(x)=\frac{1}{x+1}$, pentru $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-1,-\frac{1}{2},0\right\}$.

Observă cât de important a fost să impunem $2x+1\ne 0$ la început: după simplificare, factorul $2x+1$ dispare, dar el a existat la numitorul împărțitorului, deci $x=-\frac{1}{2}$ trebuie exclus.

Exemplul 5 — o putere într-o expresie

Adu la formă simplă $E(x)={\left(\frac{3}{x-1}\right)}^2\cdot \frac{x-1}{9}$.

Condiții de existență: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$.

Ridicarea la putere se face prima (după eventualele paranteze): $${\left(\frac{3}{x-1}\right)}^2=\frac{3^2}{(x-1{)}^2}=\frac{9}{(x-1{)}^2}.$$

Înmulțirea: $$E(x)=\frac{9}{(x-1{)}^2}\cdot \frac{x-1}{9}=\frac{9(x-1)}{9(x-1{)}^2}=\frac{1}{x-1}.$$

Rezultat: $E(x)=\frac{1}{x-1}$, pentru $x\ne 1$.

Exemplul 6 — formă simplă și apoi valoarea într-un punct

Se dă $E(x)=\left(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}\right)\cdot \frac{x+2}{x^2-4}$. a) Stabilește condițiile de existență. b) Adu $E(x)$ la o formă mai simplă. c) Calculează $E(5)$.

a) Descompunem $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Numitorii sunt $x-2$ și $(x-2)(x+2)$, deci $x\ne 2$ și $x\ne -2$.

b) Paranteza: $$\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1.$$ Înmulțirea: $$E(x)=1\cdot \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x-2}.$$ Deci $E(x)=\frac{1}{x-2}$, pentru $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

c) Verificăm întâi că $5$ este admis: $5\ne 2$ și $5\ne -2$, deci putem calcula. $$E(5)=\frac{1}{5-2}=\frac{1}{3}.$$

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu pași vizibili și condiții de existență scrise. Verifică apoi în secțiunea următoare.

1. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt. a) În expresia $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\cdot 2$ se efectuează întâi adunarea. b) Fracția $\frac{x}{x^2-1}$ există și pentru $x=1$. c) ${\left(\frac{2}{x}\right)}^2=\frac{2}{x^2}$. d) A împărți la $\frac{a}{b}$ înseamnă a înmulți cu $\frac{b}{a}$.

2. Stabilește condițiile de existență (nu efectua calculul): a) $\frac{3}{x-5}+\frac{1}{x}$; b) $\frac{x}{x^2-9}:\frac{1}{x+1}$; c) $\frac{2}{x+4}\cdot \frac{x}{x-1}$.

3. Efectuează, respectând ordinea operațiilor: a) $\frac{7}{x}-\frac{3}{x}\cdot 2$; b) $\frac{1}{x}+\frac{2}{x}:\frac{2}{x}$; c) ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2\cdot x^2$.

4. Adună sau scade fracțiile: a) $\frac{x}{x+2}+\frac{2}{x+2}$; b) $\frac{x^2}{x-3}-\frac{9}{x-3}$; c) $\frac{5}{x}-\frac{5}{x+1}$.

5. Efectuează înmulțirile/împărțirile, cu descompunere: a) $\frac{x^2-4}{x}\cdot \frac{x}{x+2}$; b) $\frac{x+3}{x^2-1}:\frac{x+3}{x-1}$.

6. Adu la o formă mai simplă: a) $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)\cdot x$; b) $\left(\frac{x}{x-1}-1\right)\cdot (x-1)$.

7. Se dă $E(x)=\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right)\cdot \frac{x^2-9}{6}$. Stabilește condițiile de existență și adu $E(x)$ la o formă simplă. Cât este $E(10)$?

8. (item tip Evaluare Națională) Se dă $E(x)=\left(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}\right):\frac{4}{x-2}$. Stabilește CE, adu la formă simplă și calculează $E(4)$.

9. Simplifică $\frac{x^2-25}{x+5}$, precizează CE și calculează valoarea expresiei pentru $x=3$.

10. Efectuează $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x^2}{x}$. Ce observi în legătură cu rezultatul?

11. Adu la formă simplă $E(x)={\left(\frac{x-1}{x}\right)}^2\cdot \frac{x^2}{x-1}+\frac{1}{x}$.

12. Calculează $E(x)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{2}{x^2+x}$ și arată că rezultatul nu depinde de $x$.

13. (aplicație — fizică) Două rezistoare cu rezistențele $x$ și $x+2$ (măsurate în ohmi) sunt legate în paralel. Rezistența echivalentă $R$ satisface relația $\frac{1}{R}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}$. Exprimă $R$ ca o singură fracție algebrică (după $x$) și calculează $R$ pentru $x=2\Omega$.

14. Arată că $E(x)=\frac{x}{x+3}+\frac{3}{x+3}$ are aceeași valoare pentru orice $x$ din domeniul ei. Care este acea valoare?

15. (cu semnul $2-x=-(x-2)$) Adu la formă simplă $E(x)=\left(\frac{x}{x-2}+\frac{2}{2-x}\right)\cdot \frac{x+1}{x}$.

16. (raționament invers) O expresie s-a adus la forma $E(x)=\frac{x+1}{x-1}$. Află valoarea lui $x$ pentru care $E(x)=3$.

Răspunsuri și explicații

1. a) Fals. După ordinea operațiilor, înmulțirea $\frac{1}{x}\cdot 2=\frac{2}{x}$ se face înaintea adunării; rezultă $\frac{1}{x}+\frac{2}{x}=\frac{3}{x}$. b) Fals. Pentru $x=1$, numitorul $x^2-1=0$, deci fracția nu există; valorile interzise sunt $x=1$ și $x=-1$. c) Fals. ${\left(\frac{2}{x}\right)}^2=\frac{2^2}{x^2}=\frac{4}{x^2}$; puterea se aplică și numărătorului. d) Adevărat. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei.

2. a) $x\ne 5$ și $x\ne 0$. b) $x^2-9\ne 0\Rightarrow x\ne 3,x\ne -3$; numitorul divizorului $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$. Deci $x\in \mathbb{R}\setminus \{-3,-1,3\}$. c) $x\ne -4$ și $x\ne 1$.

3. a) $\frac{7}{x}-\frac{3}{x}\cdot 2=\frac{7}{x}-\frac{6}{x}=\frac{1}{x}$, pentru $x\ne 0$. b) Întâi împărțirea: $\frac{2}{x}:\frac{2}{x}=1$; apoi $\frac{1}{x}+1=\frac{1+x}{x}$, pentru $x\ne 0$. c) ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2\cdot x^2=\frac{1}{x^2}\cdot x^2=1$, pentru $x\ne 0$.

4. a) $\frac{x+2}{x+2}=1$, pentru $x\ne -2$. b) $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, pentru $x\ne 3$. c) $\frac{5(x+1)-5x}{x(x+1)}=\frac{5}{x(x+1)}$, pentru $x\ne 0,x\ne -1$.

5. a) $\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot \frac{x}{x+2}=x-2$, pentru $x\ne 0,x\ne -2$. b) $\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x-1}{x+3}=\frac{1}{x+1}$, pentru $x\ne 1,x\ne -1,x\ne -3$.

6. a) $\left(\frac{x+1+x}{x(x+1)}\right)\cdot x=\frac{2x+1}{x(x+1)}\cdot x=\frac{2x+1}{x+1}$, pentru $x\ne 0,x\ne -1$. b) $\left(\frac{x-(x-1)}{x-1}\right)(x-1)=\frac{1}{x-1}\cdot (x-1)=1$, pentru $x\ne 1$.

7. CE: $x\ne 3,x\ne -3$. Paranteza: $\frac{(x+3)-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{6}{x^2-9}$. Înmulțim: $\frac{6}{x^2-9}\cdot \frac{x^2-9}{6}=1$. Deci $E(x)=1$ pe tot domeniul, iar $E(10)=1$.

8. Descompunem $x^2-4=(x-2)(x+2)$. CE: $x\ne 2,x\ne -2$ (divizorul $\frac{4}{x-2}$ este nenul, căci $4\ne 0$). Paranteza: $\frac{(x+2{)}^2-(x-2{)}^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{8x}{(x-2)(x+2)}$, folosind $(x+2{)}^2-(x-2{)}^2=8x$. Împărțirea: $\frac{8x}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x-2}{4}=\frac{8x}{4(x+2)}=\frac{2x}{x+2}$. Deci $E(x)=\frac{2x}{x+2}$, iar $E(4)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

9. $\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5$, CE: $x\ne -5$. Pentru $x=3$: $E(3)=3-5=-2$.

10. CE: $x\ne 1$ și $x\ne 0$ (din $\frac{x^2}{x}$). Întâi înmulțirea: $\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x^2}{x}=\frac{1}{x-1}\cdot x=\frac{x}{x-1}$. Apoi scăderea: $\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x-1}=0$. Observație: rezultatul este $0$ pentru orice $x$ admis — expresia este identic nulă.

11. CE: $x\ne 0,x\ne 1$. Puterea și înmulțirea: $\frac{(x-1{)}^2}{x^2}\cdot \frac{x^2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2}{x-1}=x-1$. Adunarea: $(x-1)+\frac{1}{x}=\frac{x(x-1)+1}{x}=\frac{x^2-x+1}{x}$. Deci $E(x)=\frac{x^2-x+1}{x}$.

12. CE: $x\ne 0,x\ne -1$ (căci $x^2+x=x(x+1)$). Paranteza: $\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x^2+x}$. Împărțirea: $\frac{1}{x^2+x}:\frac{2}{x^2+x}=\frac{1}{x^2+x}\cdot \frac{x^2+x}{2}=\frac{1}{2}$. Rezultatul este constant, $\frac{1}{2}$, deci nu depinde de $x$.

13. CE (contextul fizic cere $x>0$, dar algebric $x\ne 0$ și $x\ne -2$; în plus, pentru ca $R$ să existe, numitorul final cere $x\ne -1$). Aducem la numitor comun: $\frac{1}{R}=\frac{(x+2)+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}=\frac{2(x+1)}{x(x+2)}$. Prin urmare $R=\frac{x(x+2)}{2(x+1)}$. Pentru $x=2$: $R=\frac{2\cdot 4}{2\cdot 3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\Omega \approx 1,33\Omega$.

14. CE: $x\ne -3$. $\frac{x}{x+3}+\frac{3}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1$. Valoarea este constant $1$ pentru orice $x\ne -3$, deci nu depinde de $x$.

15. CE: $x\ne 2,x\ne 0$. Folosim $\frac{2}{2-x}=-\frac{2}{x-2}$. Paranteza: $\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1$. Înmulțirea: $1\cdot \frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{x}$. Deci $E(x)=\frac{x+1}{x}$.

16. Punem condiția $\frac{x+1}{x-1}=3$, cu $x\ne 1$. Înmulțim încrucișat: $x+1=3(x-1)\Rightarrow x+1=3x-3\Rightarrow 4=2x\Rightarrow x=2$. Cum $2\ne 1$, soluția este validă: $x=2$.

De reținut

• Ordinea operațiilor este aceeași ca la numere: paranteze → puteri → înmulțiri și împărțiri (de la stânga la dreapta) → adunări și scăderi (de la stânga la dreapta). Ea decide rezultatul.
• Condițiile de existență se scriu la început, pe expresia inițială: fiecare numitor cu litere $\ne 0$, iar la împărțire și împărțitorul trebuie să fie nenul. Simplificarea ulterioară nu modifică domeniul.
• Instrumentele de bază: adunarea/scăderea prin numitor comun, împărțirea $=$ înmulțire cu inversa, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$, iar descompunerea în factori deschide simplificarea.
• Truc de semn util: $b-a=-(a-b)$, deci $\frac{k}{b-a}=-\frac{k}{a-b}$.
• Multe expresii se aduc la o constantă (de ex. $0$, $1$, $\frac{1}{2}$): asta arată că valoarea nu depinde de $x$, dar domeniul rămâne cel stabilit inițial.

Greșeli frecvente

• Calcul „de la stânga la dreapta” ignorând ordinea. La $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}:\frac{e}{f}$ se face întâi împărțirea, nu adunarea. Citește toată expresia și marchează ce operație are prioritate înainte de a scrie primul pas.
• Uitarea condiției pe împărțitor. Într-o împărțire, împărțitorul trebuie să fie diferit de zero. Dacă împărțitorul este $\frac{2x+1}{x}$, atunci nu doar $x\ne 0$, ci și $2x+1\ne 0$, adică $x\ne -\frac{1}{2}$. Această valoare dispare după simplificare, dar trebuie exclusă.
• Puterea aplicată doar numărătorului. ${\left(\frac{2}{x}\right)}^2$ este $\frac{4}{x^2}$, nu $\frac{2}{x^2}$ și nici $\frac{4}{x}$. Ridicarea la putere se aplică și numărătorului, și numitorului.
• „Simplificarea” peste plus și minus. Nu poți tăia $x$ din $\frac{x+3}{x}$! Se simplifică doar factori, nu termeni. Descompune întâi în factori, apoi simplifică. (De reținut din lecția de simplificare.)

Aplică acasă

• Verificatorul de formule. Alege una dintre expresiile care s-au dovedit constante (de exemplu $E(x)=1$ sau $E(x)=\frac{1}{2}$). Ia trei valori diferite ale lui $x$ din domeniu (de pildă $x=2,3,10$), înlocuiește-le în expresia inițială și confirmă că obții mereu aceeași valoare. Este cea mai bună autoverificare: dacă nu-ți iese constantă, ai o greșeală de calcul de găsit.
• Rezistoare în paralel. Folosind formula din exercițiul 13, calculează rezistența echivalentă pentru două becuri/rezistoare cu $R_1=3\Omega$ și $R_2=5\Omega$ (adică $x=3$, deci $x+2=5$). Compară rezultatul cu ideea fizică: rezistența echivalentă în paralel este întotdeauna mai mică decât fiecare dintre cele două — verifică dacă valoarea ta respectă asta.
• Fabrică propria expresie. Pornește de la un rezultat simplu, de exemplu $\frac{1}{x-2}$, și „complică-l” înmulțind și adunând fracții echivalente, ca să obții o expresie mai lungă care se simplifică înapoi la $\frac{1}{x-2}$. Dă-i colegului sau unui părinte să o rezolve — vei înțelege mult mai bine mecanismul construind exerciții, nu doar rezolvându-le.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este sinteza întregii unități de fracții algebrice și un tip de item aproape garantat la Evaluarea Națională (subiectul al II-lea sau al III-lea, unde apar expresii de rezolvat pe cerințe: „a) condiții de existență; b) aduceți la o formă mai simplă; c) calculați valoarea / rezolvați ecuația”). Elevul ia punctajul integral doar dacă scrie condițiile de existență și arată pașii, nu doar rezultatul.

Cum verificați dacă a înțeles, prin întrebări scurte:

• „Ce operație faci prima aici și de ce?” — testează stăpânirea ordinii, nu memoria.
• „De ce ai exclus tocmai această valoare din domeniu?” — verifică dacă a legat condiția de un numitor concret (inclusiv de împărțitor).
• „Rezultatul tău e o constantă — asta e normal? Cum verifici?” — încurajează autoverificarea prin înlocuirea unei valori numerice.

Un semnal bun de înțelegere: elevul stabilește domeniul înainte de a calcula și nu îl schimbă după simplificare. O confuzie tipică de urmărit este „tăierea” unui termen (nu factor) dintr-o sumă — dacă apare, întoarceți-vă la lecția de simplificare. Nu este nevoie de cunoștințe de liceu: totul se rezolvă cu descompuneri în factori și cu formulele $(a\pm b{)}^2$ și $a^2-b^2$ deja învățate.

Întrebări frecvente

Care este ordinea operațiilor la fracțiile algebrice? Exact ca la numere: mai întâi parantezele, apoi ridicarea la putere, apoi înmulțirile și împărțirile (de la stânga la dreapta), iar la final adunările și scăderile (de la stânga la dreapta). Faptul că apar litere nu schimbă ordinea, ci doar volumul de calcul.

Cum aduc o expresie cu fracții algebrice la o formă mai simplă? Descompui în factori toate numărătoarele și numitorii, efectuezi operațiile în ordinea corectă (împărțirea o transformi în înmulțire cu inversa) și, la final, simplifici factorii comuni și aduni termenii asemenea. Rezultatul ideal este o singură fracție ireductibilă sau chiar o constantă.

Când stabilesc condițiile de existență, la început sau la sfârșit? La început, pe expresia inițială, punând fiecare numitor cu litere diferit de zero (și împărțitorul nenul). Domeniul astfel obținut rămâne valabil chiar dacă, după simplificare, unii numitori „dispar”.

De ce trebuie ca împărțitorul să fie diferit de zero? Pentru că împărțirea la zero nu este definită. Când împarți la o fracție $\frac{p}{q}$, impui $q\ne 0$ (numitorul ei), dar și $p\ne 0$ (ca întreaga fracție-împărțitor să fie nenulă). Altfel ai împărți la $0$.

Ce fac dacă rezultatul îmi iese o constantă, de exemplu 1? Este perfect normal și des întâlnit la examen — înseamnă că valoarea expresiei nu depinde de $x$. Scrii rezultatul (de ex. $E(x)=1$) și precizezi domeniul stabilit la început; valorile interzise se păstrează chiar dacă în forma finală nu mai apare niciun numitor.

Pot simplifica $\frac{x+2}{x}$ tăind pe $x$? Nu. Simplificarea se face doar cu factori comuni, nu cu termeni dintr-o sumă. $x+2$ nu are factorul $x$ scos în față, deci fracția $\frac{x+2}{x}$ este deja ireductibilă. Poți simplifica doar după ce descompui în factori și găsești un factor comun întreg la numărător și numitor.

Cum calculez valoarea expresiei pentru un $x$ dat? Aduci întâi expresia la forma cea mai simplă, verifici că valoarea lui $x$ este în domeniu (nu este interzisă) și abia apoi înlocuiești. Astfel eviți calcule uriașe și riscul de a împărți accidental la zero.

Unde apare această temă la Evaluarea Națională? Foarte des, ca subiect structurat pe cerințe: condiții de existență, aducerea la o formă mai simplă și apoi o aplicație (calculul unei valori, rezolvarea unei ecuații sau o justificare că expresia este constantă). Este un punctaj „sigur” dacă redactezi îngrijit și scrii domeniul. Continuă cu recapitularea din lecția Recapitulare: ecuații și fracții algebrice.