Produsul sumei cu diferența: (a − b)(a + b) = a² − b²

Imaginează-ți că vrei să calculezi în minte, fără calculator, cât fac $103\cdot 97$. Pare greu — dar dacă observi că cele două numere sunt „la aceeași distanță" de $100$ (unul mai mare cu $3$, celălalt mai mic cu $3$), răspunsul apare aproape instantaneu: $10000-9=9991$. Secretul din spatele acestui truc este una dintre cele mai elegante formule de calcul prescurtat din algebra de gimnaziu: produsul sumei cu diferența, adică $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Este a treia formulă din familia pe care ai început-o cu Pătratul unei sume: (a + b)² și Pătratul unei diferențe: (a − b)², și e favorita examinatorilor de la Evaluarea Națională, pentru că apare peste tot: la calcule rapide, la simplificarea fracțiilor algebrice și la descompuneri în factori.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ prin înmulțire obișnuită.
• Vei ști să aplici formula pentru a înmulți o sumă cu o diferență, la expresii cu litere și coeficienți.
• Vei ști să recunoști o diferență de pătrate și să o restrângi înapoi la produs (formula citită „invers").
• Vei ști să folosești formula pentru calcule numerice rapide, gen $103\cdot 97$ sau $52\cdot 48$.
• Vei ști să eviți confuzia dintre $a^2-b^2$ (produsul sumei cu diferența) și $(a-b{)}^2$ (pătratul diferenței).

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „produsul sumei cu diferența"

Uită-te la structura $(a-b)(a+b)$. Ai două paranteze care conțin exact aceleași două litere, $a$ și $b$, în aceeași ordine. Singura diferență este semnul dintre ele: într-o paranteză este minus ($a-b$, o diferență), în cealaltă este plus ($a+b$, o sumă). Când înmulțești o astfel de sumă cu o astfel de diferență, se întâmplă ceva magic: termenii de la mijloc se anulează, iar rezultatul rămâne foarte simplu.

Ordinea parantezelor nu contează — înmulțirea este comutativă, deci $(a-b)(a+b)$ și $(a+b)(a-b)$ dau același lucru. De aceea vei întâlni formula scrisă în ambele feluri:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\text{și}(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$

Rezultatul $a^2-b^2$ se numește diferență de pătrate: pătratul primului termen minus pătratul celui de-al doilea.

Demonstrația formulei prin înmulțire

Nu credem o formulă doar pentru că e frumoasă — o demonstrăm. Vom desface parantezele exact ca la Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere: fiecare termen din prima paranteză înmulțește fiecare termen din a doua.

$$(a-b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b-b\cdot a-b\cdot b.$$

Să analizăm pe rând cei patru termeni:

• $a\cdot a=a^2$;
• $a\cdot b=ab$;
• $-b\cdot a=-ab$;
• $-b\cdot b=-b^2$.

Deci avem:

$$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2.$$

Acum vine partea frumoasă: termenii din mijloc, $+ab$ și $-ab$, sunt termeni asemenea opuși și se reduc (vezi Reducerea termenilor asemenea). $+ab-ab=0$, deci dispar complet:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Am demonstrat formula. Cheia e că produsele „încrucișate" $ab$ și $-ab$ se anulează întotdeauna — de-asta rezultatul are doar doi termeni, nu trei ca la pătratul unei sume.

O verificare cu numere concrete

Ca să te convingi 100%, hai să testăm formula cu numere. Luăm $a=5$ și $b=2$.

• Membru stâng: $(5-2)(5+2)=3\cdot 7=21$.
• Membru drept: $5^2-2^2=25-4=21$.

Ambele dau $21$. Formula funcționează. Poți încerca cu orice alte numere — vei obține mereu egalitate, pentru că demonstrația e valabilă pentru orice valori reale ale lui $a$ și $b$.

O demonstrație „cu arii" (ca să vezi de ce e adevărat)

Pe lângă demonstrația algebrică, formula are și o interpretare geometrică frumoasă, cu suprafețe. Pornim de la un pătrat mare cu latura $a$, deci cu aria $a^2$. Din colțul lui decupăm un pătrățel mic cu latura $b$, care are aria $b^2$. Suprafața care rămâne (litera „L" colorată) are aria $a^2-b^2$ — exact membrul drept al formulei.

Acum tăiem acea suprafață în „L" printr-o linie și rearanjăm cele două bucăți, lipindu-le într-un dreptunghi. Dreptunghiul obținut are o latură egală cu $a+b$ și cealaltă egală cu $a-b$, deci aria lui este $(a-b)(a+b)$. Cum am doar mutat bucățile, fără să adaug sau să tai ceva, aria s-a păstrat. Prin urmare $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ — aceeași concluzie, văzută cu ochii.

Cum aplici formula în calcul (sensul „direct")

Sensul direct înseamnă: ai un produs de forma (sumă) $\times$ (diferență) și vrei să-l transformi într-o diferență de pătrate. Rețeta are trei pași:

1. Identifică primul termen (îl notăm mental cu $a$) și al doilea termen (îl notăm cu $b$). Cei doi termeni trebuie să fie identici în ambele paranteze; doar semnul dintre ei diferă.
2. Ridică la pătrat fiecare termen: obții $a^2$ și $b^2$.
3. Scrie diferența: $a^2-b^2$.

Atenție mare la un lucru: când termenul are și coeficient, la ridicarea la pătrat se ridică tot, inclusiv numărul. De exemplu, dacă primul termen este $3x$, atunci $a=3x$ și $a^2=(3x{)}^2=3^2\cdot x^2=9x^2$. Nu uita niciodată paranteza mentală în jurul întregului termen.

Sub-exemplu 1. $(x-6)(x+6)$. Aici $a=x$, $b=6$. Deci $a^2=x^2$, $b^2=36$, iar rezultatul este $x^2-36$.

Sub-exemplu 2. $(2y+5)(2y-5)$. Aici $a=2y$, $b=5$. Calculăm $a^2=(2y{)}^2=4y^2$ și $b^2=25$. Rezultatul: $4y^2-25$.

Sub-exemplu 3. $(4m-3n)(4m+3n)$. Aici $a=4m$, $b=3n$. Avem $a^2=(4m{)}^2=16m^2$ și $b^2=(3n{)}^2=9n^2$. Rezultatul: $16m^2-9n^2$.

Cum recunoști o diferență de pătrate (sensul „invers")

O formulă bună se citește în ambele sensuri. Sensul invers înseamnă: pornești de la o diferență de pătrate $a^2-b^2$ și o restrângi înapoi la produs $(a-b)(a+b)$. Această operație se numește descompunere în factori și o vei folosi masiv în lecțiile Descompunerea folosind formula diferenței de pătrate a² − b² și la simplificarea fracțiilor algebrice.

Ca să restrângi, pune-ți două întrebări:

1. Este o scădere de doi termeni? (Formula funcționează doar la diferență, la minus — niciodată la $a^2+b^2$.)
2. Fiecare termen este un pătrat perfect? Adică pot scrie fiecare termen ca „ceva la pătrat"?

Dacă răspunsul la ambele e „da", atunci scrii direct produsul.

Sub-exemplu 4. $x^2-49$. Este scădere. $x^2=(x{)}^2$ și $49=7^2$. Deci $a=x$, $b=7$, iar $x^2-49=(x-7)(x+7)$.

Sub-exemplu 5. $9a^2-16$. Scădere. $9a^2=(3a{)}^2$ și $16=4^2$. Deci $9a^2-16=(3a-4)(3a+4)$.

Un truc util: ca să găsești ce pui în paranteze, extragi rădăcina pătrată a fiecărui pătrat perfect. Din $9a^2$ scoți $3a$; din $16$ scoți $4$. Le pui în cele două paranteze, o dată cu minus, o dată cu plus.

Trucul calculelor numerice rapide

Aici formula devine o superputere pentru calcul mental. Ideea: dacă trebuie să înmulțești două numere care sunt simetrice față de un număr „rotund" (unul mai mare, celălalt mai mic cu aceeași cantitate), le scrii ca (sumă)(diferență) și aplici formula.

Revenim la $103\cdot 97$. Observăm că $103=100+3$ și $97=100-3$. Deci:

$$103\cdot 97=(100+3)(100-3)=100^2-3^2=10000-9=9991.$$

Ai făcut în cap o înmulțire de numere din trei cifre! Alt exemplu, $52\cdot 48$: aici numărul de mijloc este $50$, iar abaterea este $2$.

$$52\cdot 48=(50+2)(50-2)=50^2-2^2=2500-4=2496.$$

Cum găsești numărul de mijloc? Este exact media celor două numere. Pentru $103$ și $97$, media e $\frac{103+97}{2}=100$. Abaterea e cât adaugi și scazi ca să ajungi la fiecare: $103-100=3$. Metoda merge de fiecare dată când cele două numere au aceeași paritate (ambele pare sau ambele impare), fiindcă atunci media iese număr întreg.

Ce faci dacă numerele au parități diferite, de exemplu $52\cdot 47$? Media ar fi $\frac{52+47}{2}=49,5$, un număr zecimal — formula tot funcționează matematic ($(49,5+2,5)(49,5-2,5)=49,5^2-2,5^2$), dar ridicarea la pătrat a lui $49,5$ nu mai e comodă în minte, așa că trucul își pierde avantajul. Regula practică: folosește metoda doar când media iese număr întreg (adică atunci când cele două numere sunt fie ambele pare, fie ambele impare). În rest, e mai rapid să înmulțești direct.

De ce NU e la fel ca pătratul unei diferențe

Cea mai frecventă greșeală este să confunzi $(a-b)(a+b)$ cu $(a-b{)}^2$. Sunt lucruri complet diferite:

• $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ — doi termeni, fără termen din mijloc, pentru că se anulează.
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ — trei termeni, cu dublul produs la mijloc.

Motivul e clar din demonstrație: la produsul sumei cu diferența, cele două produse încrucișate au semne opuse ($+ab$ și $-ab$) și se reduc; la pătratul unei diferențe, ambele produse încrucișate sunt $-ab$ și se adună, dând $-2ab$. Când vezi un produs, uită-te întâi la semne: dacă parantezele au semne diferite (una plus, una minus) → diferență de pătrate; dacă sunt identice → pătrat.

Formula aplicată de mai multe ori la rând

Uneori formula se aplică în lanț: rezultatul unei diferențe de pătrate devine el însuși un factor dintr-un nou produs sumă–diferență. Cheia este să grupezi întotdeauna cei doi factori care formează o pereche „sumă cu diferență" și să-i transformi primii.

Ia produsul $(x-1)(x+1)(x^2+1)$. La prima vedere pare complicat, dar dacă lucrezi de la stânga la dreapta, primii doi factori sunt exact o diferență cu o sumă: $$(x-1)(x+1)=x^2-1.$$ Acum înmulțim rezultatul cu al treilea factor și observăm că avem din nou structura (diferență)(sumă), de data asta cu $a=x^2$ și $b=1$: $$(x^2-1)(x^2+1)=(x^2{)}^2-1^2=x^4-1.$$ Deci $(x-1)(x+1)(x^2+1)=x^4-1$. Reține tehnica: grupezi și restrângi pas cu pas, iar formula se repetă atâta timp cât rezultatul rămâne o diferență de pătrate. Vei folosi exact acest raționament la exercițiul-provocare de mai jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aplicare directă cu literă simplă. Calculează $(x-8)(x+8)$.

Rezolvare. Recunoaștem structura (diferență)(sumă), cu $a=x$ și $b=8$. Aplicăm formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $$(x-8)(x+8)=x^2-8^2=x^2-64.$$

Exemplul 2 — termen cu coeficient. Calculează $(5a-4)(5a+4)$.

Rezolvare. Aici primul termen este $5a$, deci $a_{\text{formula˘}}=5a$ și $b=4$. Ridicăm la pătrat tot termenul: $$(5a{)}^2=25a^2,4^2=16.$$ Prin urmare: $$(5a-4)(5a+4)=25a^2-16.$$ Verificare mentală: dacă am fi uitat să ridicăm și coeficientul, am fi scris greșit $5a^2$. Corect e $25a^2$, pentru că $(5a{)}^2=5^2\cdot a^2$.

Exemplul 3 — două litere. Calculează $(3x-2y)(3x+2y)$.

Rezolvare. $a=3x$, $b=2y$. Calculăm pătratele: $$(3x{)}^2=9x^2,(2y{)}^2=4y^2.$$ Rezultatul: $$(3x-2y)(3x+2y)=9x^2-4y^2.$$

Exemplul 4 — calcul numeric rapid. Calculează, folosind formula, produsul $104\cdot 96$.

Rezolvare. Numărul de mijloc (media) este $\frac{104+96}{2}=100$, iar abaterea este $4$. Scriem: $$104\cdot 96=(100+4)(100-4)=100^2-4^2=10000-16=9984.$$

Exemplul 5 — restrângere (sensul invers). Scrie ca produs (descompune în factori) expresia $25x^2-49$.

Rezolvare. Este o diferență de doi termeni, ambii pătrate perfecte: $25x^2=(5x{)}^2$ și $49=7^2$. Aplicăm formula citită invers, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, cu $a=5x$ și $b=7$: $$25x^2-49=(5x-7)(5x+7).$$ Verificare: desfacem înapoi produsul, $(5x{)}^2-7^2=25x^2-49$. ✓

Exemplul 6 — expresie combinată, cu reducere de termeni. Calculează și adu la forma cea mai simplă: $(x-3)(x+3)-(x-5)(x+5)$.

Rezolvare. Aplicăm formula la fiecare produs: $$(x-3)(x+3)=x^2-9,(x-5)(x+5)=x^2-25.$$ Înlocuim, atent la semnul minus din fața parantezei a doua: $$(x^2-9)-(x^2-25)=x^2-9-x^2+25.$$ Reducem termenii asemenea: $x^2-x^2=0$ și $-9+25=16$. Rezultatul: $$(x-3)(x+3)-(x-5)(x+5)=16.$$ Observă ceva interesant: rezultatul nu mai depinde de $x$ — este o constantă. Astfel de identități apar des la Evaluarea Națională.

Exemplul 7 — calcul mental cu abatere mai mare. Calculează, fără calculator, produsul $95\cdot 105$.

Rezolvare. Numerele sunt simetrice față de $100$: media este $\frac{95+105}{2}=100$, iar abaterea este $5$. Scriem produsul ca sumă cu diferență și aplicăm formula: $$95\cdot 105=(100-5)(100+5)=100^2-5^2=10000-25=9975.$$ Observă cât de mult ai simplificat: în loc să înmulțești „în coloană" $95$ cu $105$, ai ridicat la pătrat un număr rotund și ai scăzut $25$.

Exemplul 8 — demonstrarea unei identități (tip Evaluare Națională). Arată că, pentru orice număr real $n$, are loc egalitatea $(3n-1)(3n+1)-9n^2=-1$.

Rezolvare. Aplicăm formula la produsul din stânga, cu $a=3n$ și $b=1$: $$(3n-1)(3n+1)=(3n{)}^2-1^2=9n^2-1.$$ Înlocuim în expresia dată și reducem termenii asemenea: $$9n^2-1-9n^2=-1.$$ Rezultatul este $-1$ pentru orice valoare a lui $n$, deci egalitatea este demonstrată. La examen, punctajul complet cere să scrii explicit formula aplicată și reducerea $9n^2-9n^2=0$.

Exemplul 9 — restrângere cu două litere. Scrie ca produs (descompune în factori) expresia $36x^2-25y^2$.

Rezolvare. Verificăm cele două condiții: este o scădere de doi termeni, iar fiecare termen este pătrat perfect, pentru că $36x^2=(6x{)}^2$ și $25y^2=(5y{)}^2$. Extragem rădăcina fiecărui termen — $6x$, respectiv $5y$ — și scriem produsul $(a-b)(a+b)$ cu $a=6x$ și $b=5y$: $$36x^2-25y^2=(6x-5y)(6x+5y).$$ Verificare: desfacem înapoi, $(6x{)}^2-(5y{)}^2=36x^2-25y^2$. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Calculează: $(x-5)(x+5)$.

2. Calculează: $(a+9)(a-9)$.

3. Calculează: $(y-1)(y+1)$.

4. Calculează: $(2x-3)(2x+3)$.

5. Calculează: $(6y+5)(6y-5)$.

6. Calculează: $(4a-7b)(4a+7b)$.

7. Calculează: $\left(\frac{1}{2}x-3\right)\left(\frac{1}{2}x+3\right)$.

8. Calculează: $(x^2-6)(x^2+6)$.

9. Folosind formula, calculează rapid: $53\cdot 47$.

10. Folosind formula, calculează rapid: $98\cdot 102$.

11. Scrie ca produs (restrânge): $x^2-81$.

12. Scrie ca produs: $16-m^2$.

13. Scrie ca produs: $49a^2-25$.

14. (Adevărat/Fals, cu motivare.) Este corectă egalitatea $(a-b)(a+b)=a^2+b^2$? Justifică.

15. Adu la forma cea mai simplă: $(2a+1)(2a-1)+(a-3)(a+3)$.

16. (Item tip Evaluare Națională.) Arată că, pentru orice număr real $n$, are loc egalitatea $(n-1)(n+1)+1=n^2$.

17. (Problemă aplicată.) O grădină pătrată are latura de $a$ metri. Proprietarul mărește o latură cu $4$ m și micșorează latura vecină cu $4$ m, obținând un dreptunghi. Cu cât este mai mică aria dreptunghiului decât aria grădinii pătrate inițiale? Răspunsul depinde de $a$?

18. (Provocare.) Calculează: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

19. Calculează: $(7-2x)(7+2x)$.

20. Folosind formula, calculează rapid: $61\cdot 59$.

21. Scrie ca produs (restrânge): $100-9y^2$.

22. Adu la forma cea mai simplă: $(3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)$.

23. (Item tip Evaluare Națională.) Arată că, pentru orice număr real $n$, are loc egalitatea $(n+5)(n-5)+25=n^2$.

Răspunsuri și explicații

1. $x^2-25$. ($a=x$, $b=5$; $x^2-5^2$.)

2. $a^2-81$. (Ordinea sumă–diferență nu contează; $a^2-9^2$.)

3. $y^2-1$. ($y^2-1^2$.)

4. $4x^2-9$. ($(2x{)}^2=4x^2$, $3^2=9$.)

5. $36y^2-25$. ($(6y{)}^2=36y^2$, $5^2=25$.)

6. $16a^2-49b^2$. ($(4a{)}^2=16a^2$, $(7b{)}^2=49b^2$.)

7. $\frac{1}{4}{x}^2-9$. Pentru că ${\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=\frac{1}{4}{x}^2$ și $3^2=9$.

8. $x^4-36$. Primul termen este $x^2$, deci pătratul lui este $(x^2{)}^2=x^4$; iar $6^2=36$.

9. $53\cdot 47=(50+3)(50-3)=50^2-3^2=2500-9=2491$.

10. $98\cdot 102=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$.

11. $x^2-81=(x-9)(x+9)$. ($81=9^2$.)

12. $16-m^2=(4-m)(4+m)$. (Aici primul pătrat este $16=4^2$, al doilea $m^2$; ordinea termenilor urmează ordinea din expresie.)

13. $49a^2-25=(7a-5)(7a+5)$. ($49a^2=(7a{)}^2$, $25=5^2$.)

14. Fals. Corect este $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ (minus, nu plus). Din demonstrație, termenii din mijloc se reduc și rămâne diferența pătratelor. O verificare rapidă cu numere: pentru $a=3$, $b=1$, membrul stâng dă $(3-1)(3+1)=2\cdot 4=8$, iar $a^2+b^2=9+1=10$; $8\ne 10$. În schimb $a^2-b^2=9-1=8$. ✓

15. $(2a+1)(2a-1)=4a^2-1$ și $(a-3)(a+3)=a^2-9$. Adunăm: $4a^2-1+a^2-9=5a^2-10$.

16. $(n-1)(n+1)=n^2-1$. Adăugăm $1$: $n^2-1+1=n^2$. Egalitatea este demonstrată pentru orice $n$ real. (La examen, scrii clar formula aplicată și reducerea $-1+1=0$ pentru punctaj complet.)

17. Aria grădinii pătrate: $a^2$. Aria dreptunghiului: $(a+4)(a-4)=a^2-16$. Diferența: $a^2-(a^2-16)=16$ metri pătrați. Așadar aria scade cu $16{\text{m}}^2$, iar rezultatul nu depinde de $a$ — indiferent cât de mare e grădina, „umflarea" unei laturi și „strângerea" celeilalte cu aceeași cantitate face aria să scadă mereu cu $16{\text{m}}^2$. (Condiție firească: $a>4$, ca latura micșorată să rămână pozitivă.)

18. Grupăm primele două paranteze: $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Rămâne $(x^2-4)(x^2+4)$, care este iar un produs sumă–diferență cu $a=x^2$, $b=4$: $(x^2{)}^2-4^2=x^4-16$. Deci $(x-2)(x+2)(x^2+4)=x^4-16$.

19. $49-4x^2$. (Ordinea diferență–sumă nu contează; $a=7$, $b=2x$, deci $7^2-(2x{)}^2=49-4x^2$.)

20. $61\cdot 59=(60+1)(60-1)=60^2-1^2=3600-1=3599$. (Numărul de mijloc este $60$, abaterea $1$.)

21. $100-9y^2=(10-3y)(10+3y)$. (Ambele sunt pătrate perfecte: $100=10^2$ și $9y^2=(3y{)}^2$; expresia este o scădere, deci se restrânge.)

22. $(3x-1)(3x+1)=9x^2-1$ și $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Scădem, atent la semnul minus: $9x^2-1-(x^2-4)=9x^2-1-x^2+4=8x^2+3$.

23. $(n+5)(n-5)=n^2-25$. Adăugăm $25$: $n^2-25+25=n^2$. Egalitatea este demonstrată pentru orice $n$ real, pentru că termenii $-25$ și $+25$ se reduc.

De reținut

• Formula de bază: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ (produsul sumei cu diferența = diferența de pătrate). Ordinea parantezelor nu contează.
• Rezultatul are doar doi termeni — nu există termen la mijloc, pentru că produsele încrucișate $+ab$ și $-ab$ se reduc.
• Sensul invers (restrângere): $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Se aplică doar la o scădere de doi pătrate perfecte.
• La ridicarea la pătrat se ridică tot termenul, cu coeficient cu tot: $(3x{)}^2=9x^2$, nu $3x^2$.
• Calcul rapid: două numere simetrice față de un număr rotund $\to$ $(N+d)(N-d)=N^2-d^2$.
• Aplicare în lanț: dacă rezultatul rămâne o diferență de pătrate, formula se poate aplica din nou pe același produs (ex.: $(x-1)(x+1)(x^2+1)=x^4-1$).

Greșeli frecvente

• Confuzia cu pătratul unei diferențe. $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ (doi termeni), pe când $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ (trei termeni). Verifică semnele parantezelor: diferite → diferență de pătrate; identice → pătrat.
• Uitarea coeficientului la pătrat. La $(2x-5)(2x+5)$ mulți scriu greșit $2x^2-25$. Corect: $(2x{)}^2=4x^2$, deci $4x^2-25$. Pune mereu o paranteză mentală în jurul termenului înainte să-l ridici la pătrat.
• Aplicarea formulei la $a^2+b^2$. O sumă de pătrate, $a^2+b^2$, nu se descompune cu această formulă (în mulțimea numerelor reale). Formula lucrează doar cu diferența $a^2-b^2$.
• Greșeala de semn la scădere de paranteze. La expresii de tip $(x-3)(x+3)-(x-5)(x+5)$, minusul din față schimbă semnul tuturor termenilor din a doua paranteză: $-(x^2-25)=-x^2+25$.
• Uitarea rădăcinii pătrate la restrângere. La $9x^2-16$ unii scriu greșit $(9x-16)(9x+16)$, copiind pur și simplu termenii. Corect este să extragi întâi rădăcina fiecărui pătrat perfect: $\sqrt{9x^2}=3x$ și $\sqrt{16}=4$, deci $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$. Verifică mereu desfăcând înapoi produsul.

Aplică acasă

• Antrenament de calcul mental. Provoacă un membru al familiei: cere-i să aleagă un număr rotund (ex. $70$) și o abatere (ex. $6$), apoi calculează în cap $76\cdot 64$ folosind $70^2-6^2=4900-36=4864$. Verificați împreună cu calculatorul. Faceți $10$ astfel de înmulțiri și cronometrează-te — vei fi mai rapid decât cu creionul.
• Grădina care „scade". Măsoară o suprafață pătrată reală din curte sau desenează una pe hârtie milimetrică (latura $a$). Mărește o latură cu $3$ unități și micșorează cealaltă cu $3$, apoi compară aria nouă cu cea veche. Vei constata practic că diferența este exact $9$ (adică $3^2$), indiferent de mărimea pătratului — o confirmare a formulei $a^2-(a-3)(a+3)=9$.
• Vânătoare de pătrate perfecte. Scrie $8$ diferențe de forma „pătrat perfect minus pătrat perfect" (ex. $36-25$, $100-81$, $9x^2-4$) și restrânge fiecare la produs. Apoi verifică desfăcând înapoi. E cel mai bun exercițiu pentru descompunerea în factori care urmează.
• Concursul de viteză. Ia o foaie cu $10$ produse de tip „număr rotund $\pm$ abatere" (ex. $83\cdot 77$, $46\cdot 54$, $19\cdot 21$) și rezolvă-le mental cu formula, notând doar rezultatul. Cronometrează-te, apoi verifică. Scopul: să ajungi să „vezi" instantaneu numărul de mijloc (media) și abaterea, fără să mai scrii pașii intermediari.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este a treia „piesă" din trusa formulelor de calcul prescurtat și, la Evaluarea Națională, apare atât la Subiectul I (calcul rapid, alegere/încercuire) cât și la Subiectul al II-lea (calcule algebrice, demonstrarea unor identități, pregătirea descompunerilor și a simplificării fracțiilor algebrice). Un elev care stăpânește formula câștigă timp prețios și evită erori de calcul.

Ca să verificați înțelegerea, puneți întrebări de tipul: „Care este diferența dintre $(a-b)(a+b)$ și $(a-b{)}^2$?" (răspunsul corect arată că nu confundă cele două formule); „De ce dispare termenul din mijloc?" (răspunsul trebuie să menționeze reducerea lui $+ab$ cu $-ab$); „Cum ai calcula $95\cdot 105$ fără calculator?". Semnul că elevul a înțeles cu adevărat este că poate folosi formula în ambele sensuri — și pentru a desface un produs, și pentru a restrânge o diferență de pătrate — și că ridică tot termenul la pătrat, coeficientul inclusiv. Un exercițiu-diagnostic bun: cereți-i să calculeze $(3x-2)(3x+2)$; dacă răspunde $9x^2-4$, e pe drumul cel bun; dacă răspunde $3x^2-4$ sau $9x^2-12x+4$, reluați regula pătratului coeficientului, respectiv distincția față de pătratul diferenței.

Un accent util acasă este legătura cu restrângerea (sensul invers): mulți elevi știu să desfacă un produs, dar se blochează când trebuie să pornească de la $a^2-b^2$ și să scrie produsul. Reveniți pe această direcție, pentru că exact aici se sprijină lecțiile următoare — descompunerea în factori și simplificarea fracțiilor algebrice. Un semn bun de maturizare este când elevul, pus în fața unei expresii precum $49-4x^2$, o recunoaște imediat ca diferență de pătrate și scrie produsul fără ezitare.

Întrebări frecvente

Care este formula produsului sumei cu diferența la clasa a 8-a? Formula este $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, adică produsul dintre o diferență și o sumă a acelorași doi termeni este egal cu diferența pătratelor lor. Rezultatul se numește diferență de pătrate.

De ce nu apare termen la mijloc, ca la pătratul unei sume? Când desfaci $(a-b)(a+b)$ obții $a^2+ab-ab-b^2$. Cele două produse din mijloc, $+ab$ și $-ab$, sunt opuse și se reduc la zero. De aceea rămân doar $a^2-b^2$, fără termen central.

Cum calculez rapid $103\cdot 97$ cu această formulă? Scrii numerele ca sumă și diferență față de $100$: $103=100+3$ și $97=100-3$. Atunci $103\cdot 97=(100+3)(100-3)=100^2-3^2=10000-9=9991$.

Care e diferența dintre $(a-b)(a+b)$ și $(a-b{)}^2$? $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ are doi termeni și semnele parantezelor sunt diferite. $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ are trei termeni și înmulțești aceeași paranteză cu ea însăși. Sunt formule diferite; nu le confunda.

Cum recunosc și restrâng o diferență de pătrate? Verifici două condiții: expresia să fie o scădere de doi termeni și fiecare termen să fie pătrat perfect. Dacă da, extragi rădăcina fiecărui termen și scrii produsul $(a-b)(a+b)$. Exemplu: $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$.

Se poate descompune $a^2+b^2$ cu această formulă? Nu. O sumă de pătrate, $a^2+b^2$, nu se descompune în factori cu numere reale la nivel de gimnaziu. Formula diferenței de pătrate se aplică exclusiv la scădere, $a^2-b^2$.

Contează ordinea parantezelor, sumă întâi sau diferență întâi? Nu contează, pentru că înmulțirea este comutativă. Atât $(a-b)(a+b)$ cât și $(a+b)(a-b)$ dau același rezultat, $a^2-b^2$.

Unde folosesc formula mai departe în programa clasei a 8-a? O vei folosi la descompunerea folosind diferența de pătrate, la simplificarea fracțiilor algebrice și la rezolvarea unor ecuații de forma $a{x}^2-b^2=0$ prin produs nul. Practic, este un instrument de bază pentru tot restul calculului algebric de gimnaziu.