Descompunând $$16x^2 - 9 = 0$$ ca diferență de pătrate, obții $$(4x-3)(4x+3)=0$$. Care este mulțimea soluțiilor?

$$S = \left\{-\dfrac{3}{4};\ \dfrac{3}{4}\right\}$$

Când o ecuație de gradul doi nu are soluții?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ecuații ax²+c=0 și diferența de pătrate

Când lipsește termenul din mijloc, izolezi pătratul și te uiți la numărul rămas în dreapta. Dacă este pozitiv ai două valori opuse, dacă este zero ai una singură, iar dacă este negativ nu există nicio soluție, fiindcă niciun pătrat de număr real nu coboară sub zero. Astfel $x^{2} + 9 = 0$ nu are soluții, în timp ce $x^{2} - 9 = 0$ dă $x = 3$ și $x = - 3$ . Semnul numărului decide totul.

O ecuație $a x^{2} + c = 0$ nu are termen cu $x$ , așa că o rezolvi în doi pași: izolezi $x^{2}$ (treci $c$ în dreapta, împarți la $a$ ) și obții $x^{2} = - \frac{c}{a}$ , apoi extragi radicalul. Contează semnul numărului din dreapta: dacă e pozitiv ai două soluții opuse $x = \pm k$ ; dacă e $0$ , o singură soluție $x = 0$ ; dacă e negativ, niciuna (un pătrat nu poate fi negativ).

Când termenul liber e chiar un pătrat perfect, ecuația $a x^{2} - b^{2} = 0$ se rezolvă și mai elegant prin diferența de pătrate: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ , apoi produsul nul.

Exemplu: $9 x^{2} - 16 = 0 \Rightarrow (3 x - 4) (3 x + 4) = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ sau $x = - \frac{4}{3}$ .

De reținut

$x^{2} = k$ are două soluții dacă $k > 0$ , una dacă $k = 0$ , niciuna dacă $k < 0$
$a x^{2} - b^{2} = 0$ se descompune ca diferență de pătrate
la extragerea radicalului se scriu ambele semne

Greșeala tipică

Se scrie o singură soluție după extragerea radicalului, de obicei cea pozitivă. Din $x^{2} = 25$ ies două valori, $5$ și $- 5$ , iar lipsa celei negative se penalizează la corectare.

Exerciții din această mini-lecție

Câte soluții reale are ecuația $x^{2} + 25 = 0$ ?
- a) Două soluții opuse
- b) O singură soluție, $x = 0$
- c) Nicio soluție reală
- d) Infinit de multe soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nicio soluție reală

Din ecuație obținem $x^{2} = - 25$ , adică un pătrat egal cu un număr negativ, ceea ce este imposibil în $R$ . Deci $S = \emptyset$ .
Descompunând $16 x^{2} - 9 = 0$ ca diferență de pătrate, obții $(4 x - 3) (4 x + 3) = 0$ . Care este mulțimea soluțiilor?
- a) $S = {- \frac{3}{4}; \frac{3}{4}}$
- b) $S = {- 3; 3}$
- c) $S = {0}$
- d) $S = \emptyset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {- \frac{3}{4}; \frac{3}{4}}$

Din produsul nul: $4 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$ , iar $4 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{4}$ . Soluțiile sunt opuse, deci $S = {- \frac{3}{4}; \frac{3}{4}}$ .
Rezolvă în $R$ : $9 x^{2} - 144 = 0$ . Care este mulțimea soluțiilor?
- a) $S = {16}$
- b) $S = {- 16, 16}$
- c) $S = \emptyset$
- d) $S = {- 4, 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $S = {- 4, 4}$

Izolăm: $9 x^{2} = 144 \Rightarrow x^{2} = 16$ . Cum $16 > 0$ , extragem radicalul cu ambele semne: $x = \pm 4$ .

Întrebări conexe

Ce soluții are ecuația x la a doua egal zero?

O singură valoare, $x = 0$ , fiindcă numai zero ridicat la pătrat dă zero. Se spune că soluția este dublă, pentru că ecuația se scrie ca $x \cdot x = 0$ . Este cazul de graniță dintre două soluții opuse și niciuna.

Cum izolez pătratul într-o ecuație de acest tip?

Treci numărul singur în celălalt membru, schimbându-i semnul, apoi împarți la coeficientul pătratului. Din $3 x^{2} - 27 = 0$ obții $3 x^{2} = 27$ , deci $x^{2} = 9$ . Abia după aceea scoți radicalul, cu ambele semne.

De ce nu poate un pătrat de număr real să fie negativ?

Pentru că înmulțind un număr cu el însuși semnele se anulează: plus ori plus dă plus, minus ori minus dă tot plus. Rămâne doar zero, care înmulțit cu sine dă zero. Așadar rezultatul nu coboară niciodată sub zero.

Cum rezolv ecuația 9x la a doua minus 16 egal zero folosind formula?

Recunoști două pătrate și scrii $(3 x - 4) (3 x + 4) = 0$ . Egalând fiecare paranteză cu zero ajungi la $x = \frac{4}{3}$ și $x = - \frac{4}{3}$ . Metoda dă același rezultat ca izolarea pătratului, dar te scutește de radical.

De ce ies soluțiile mereu două numere opuse?

Fiindcă pătratul șterge semnul: dacă un număr verifică ecuația, îl verifică și opusul lui. Pe axă, cele două valori stau la aceeași depărtare de zero, de o parte și de alta. Din acest motiv semnul se scrie mereu dublu la extragerea radicalului.

La ce ecuație de acest fel ajung dacă mi se dă aria unui pătrat?

La una fără termen din mijloc: dacă aria este $49 cm^{2}$ , latura $x$ verifică $x^{2} = 49$ . Matematic ies $7$ și $- 7$ , dar o latură nu poate fi negativă, deci răspunsul este $7$ cm. Contextul taie una dintre valori.

Oamenii mai întreabă și: ecuație de gradul doi fără soluții · x pătrat plus un număr pozitiv egal zero · ecuație de forma ax pătrat plus c egal zero · când nu are soluții o ecuație de gradul doi · ax pătrat minus b pătrat egal zero