Grafice ale dependențelor funcționale. Citire și interpretare

Când te uiți la aplicația de vreme de pe telefon și vezi o linie care urcă și coboară, sau la ecranul de la sala de fitness care îți arată cum ți-a variat pulsul în timpul antrenamentului, privești de fapt un grafic al unei dependențe funcționale. Un grafic transformă un tabel plicticos de numere într-o imagine pe care ochiul o înțelege dintr-o privire: unde crește ceva, unde scade, când atinge maximul. În această lecție înveți să treci de la un tabel de date la puncte în reperul cartezian, să unești aceste puncte într-un grafic și, cel mai important, să citești și să interpretezi ceea ce îți spune graficul. Este una dintre cele mai practice lecții din toată clasa a VII-a, pentru că grafice vei întâlni toată viața.

Ce vei învăța

• Vei ști să reprezinți grafic datele dintr-un tabel de dependență între două mărimi, transformând fiecare pereche de valori într-un punct în reperul cartezian.
• Vei ști să trasezi graficul unei dependențe unind punctele și să citești din el valoarea unei mărimi atunci când o cunoști pe cealaltă.
• Vei ști să interpretezi tendințele unui grafic: unde crește, unde descrește, unde atinge valoarea maximă și valoarea minimă.
• Vei ști să extragi informații concrete dintr-un grafic dat și să răspunzi la întrebări de tipul „ce valoare corespunde acestei mărimi?".
• Vei ști să compari două dependențe reprezentate pe același grafic și să tragi concluzii din compararea lor.

Hai să descoperim împreună

De la tabel la puncte: reamintim reperul cartezian

Știi deja de la lecțiile anterioare — Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct și Reprezentarea punctelor în plan — că reperul cartezian este format din două axe perpendiculare: axa orizontală $Ox$ (abscisa) și axa verticală $Oy$ (ordonata), care se întâlnesc în originea $O$. Un punct din plan se notează cu o pereche ordonată de numere, $A(x,y)$, unde $x$ este abscisa (cât mergem pe orizontală), iar $y$ este ordonata (cât mergem pe verticală).

În lecția precedentă, Dependențe funcționale. Reprezentarea prin tabele și diagrame, ai văzut că atunci când o mărime depinde de alta (de exemplu, distanța parcursă de o mașină depinde de timp), putem organiza datele într-un tabel. Fiecare coloană din tabel ne dă o pereche de valori: o valoare pentru prima mărime și valoarea corespunzătoare pentru a doua mărime.

Ideea centrală a lecției de azi este simplă și puternică:

Fiecare pereche de valori dintr-un tabel de dependență se transformă într-un punct în reperul cartezian. Prima mărime o punem pe axa $Ox$, iar a doua mărime pe axa $Oy$.

Să luăm un exemplu concret. Un rezervor de apă are la început $20$ de litri și, din el, curge apă la robinet într-un ritm constant. Măsurăm cantitatea de apă rămasă în rezervor din 5 în 5 minute:

Aici avem o dependență: cantitatea de apă rămasă depinde de timpul scurs. Timpul este mărimea „independentă" (o alegem noi când măsurăm), deci îl punem pe $Ox$. Apa rămasă este mărimea „dependentă" (rezultă din trecerea timpului), deci o punem pe $Oy$.

Fiecare coloană din tabel devine o pereche și apoi un punct:

• $(0,20)$ → punctul $A$
• $(5,16)$ → punctul $B$
• $(10,12)$ → punctul $C$
• $(15,8)$ → punctul $D$
• $(20,4)$ → punctul $E$

Alegerea unității pe axe

Un lucru foarte important, pe care mulți elevi îl trec cu vederea: unitatea de măsură de pe cele două axe nu trebuie să fie aceeași, iar de multe ori chiar nu poate fi.

În exemplul nostru, timpul merge de la $0$ la $20$ de minute, iar apa de la $4$ la $20$ de litri. Dacă am folosi aceeași unitate mică pe ambele axe, desenul ar ieși fie prea înghesuit, fie prea întins. De aceea, pe axa $Ox$ putem lua un pătrățel = $5$ minute, iar pe axa $Oy$ un pătrățel = $4$ litri. Alegem unitatea astfel încât graficul să încapă frumos pe foaie și să fie ușor de citit.

Regula de aur: pe fiecare axă, unitatea trebuie să fie constantă (pas egal între diviziuni) și clar scrisă. Nu ai voie ca între $0$ și $5$ să fie un pătrățel, iar între $5$ și $10$ să fie trei pătrățele — asta ar deforma graficul și ar face citirea imposibilă.

De la puncte la grafic: unirea punctelor

Odată ce am marcat punctele, ne putem întreba: ce se întâmplă între punctele măsurate? În exemplul cu rezervorul, la minutul $7$ (între $5$ și $10$) câtă apă era în rezervor? Nu am măsurat exact atunci, dar știm că apa curge constant. Prin urmare, are sens să unim punctele printr-o linie, iar în acest caz linia va fi dreaptă.

Când unim punctele obținem graficul dependenței. Graficul ne permite să estimăm valori și pentru momente pe care nu le-am măsurat direct — asta se numește interpolare, dar tu poți să-i spui simplu „citesc de pe grafic".

Atenție: nu întotdeauna are sens să unim punctele! Depinde de ce reprezintă mărimile.

• Dacă mărimea de pe $Ox$ variază continuu (timp, temperatură, lungime), atunci între două puncte există toate valorile intermediare, și le putem uni cu o linie.
• Dacă mărimea de pe $Ox$ ia doar valori separate (numărul de elevi, numărul de zile ca etichete, tipuri de produse), atunci punctele nu se unesc, pentru că nu există „$2,5$ elevi". În acest caz lăsăm punctele izolate sau folosim o diagramă cu bare.

La clasa a VII-a nu folosim încă noțiunea formală de funcție; vorbim despre „dependență" și lucrăm intuitiv, cu tabele, puncte și grafice. Acesta este exact scopul lecției.

Cum citim un grafic: două întrebări de bază

Un grafic răspunde la două întrebări-oglindă:

Întrebarea 1: „Cât este $y$ când $x$ are o anumită valoare?" Pornești de pe axa $Ox$ de la valoarea lui $x$, urci vertical până atingi graficul, apoi mergi orizontal spre axa $Oy$ și citești valoarea.

Exemplu: la $t=15$ minute, urc de la $15$ pe $Ox$ până la grafic, apoi merg spre stânga și citesc $V=8$ litri.

Întrebarea 2: „Pentru ce valoare a lui $x$ ajunge $y$ la o anumită valoare?" Faci exact invers: pornești de pe axa $Oy$ de la valoarea lui $y$, mergi orizontal până atingi graficul, apoi cobori vertical spre $Ox$ și citești valoarea.

Exemplu: când rămân $12$ litri, plec de la $12$ pe $Oy$, merg spre dreapta până la grafic, cobor și citesc $t=10$ minute.

Interpretarea graficului: creștere, descreștere, maxim, minim

Aici stă adevărata putere a graficelor. Nu citim doar valori punctuale, ci înțelegem povestea pe care o spun datele.

Creștere. Spunem că un grafic este crescător pe o porțiune dacă, pe măsură ce mergem spre dreapta (crește $x$), linia urcă (crește și $y$). Intuitiv: „când merg înainte, urc dealul".

Descreștere. Un grafic este descrescător pe o porțiune dacă, mergând spre dreapta, linia coboară (scade $y$). „Când merg înainte, cobor dealul". Graficul rezervorului nostru este descrescător pe tot parcursul: pe măsură ce trece timpul, apa scade.

Porțiune constantă. Dacă linia este orizontală pe o porțiune, mărimea $y$ nu se schimbă deși $x$ crește. „Merg pe teren plat".

Valoarea maximă este cea mai mare valoare pe care o atinge $y$ pe grafic — vârful cel mai de sus. Valoarea minimă este cea mai mică valoare — punctul cel mai de jos.

Să vedem un exemplu care are toate aceste elemente. Un elev, Andrei, merge cu bicicleta și înregistrează viteza (în km/h) la fiecare 2 minute:

Interpretăm graficul acestei dependențe:

• De la minutul $0$ la $4$: viteza crește de la $0$ la $18$ km/h — Andrei accelerează, pleacă de pe loc și prinde viteză.
• De la minutul $4$ la $6$: viteza rămâne constantă la $18$ km/h — pedalează uniform, poate pe teren drept.
• De la minutul $6$ la $8$: viteza crește din nou până la $24$ km/h — poate a prins o coborâre.
• Valoarea maximă este $24$ km/h, atinsă la minutul $8$.
• De la minutul $8$ la $12$: viteza descrește până la $0$ — Andrei încetinește și se oprește.
• Valoarea minimă este $0$ km/h (la început și la sfârșit).

Observă cum, dintr-o singură imagine, reconstruim toată „povestea" plimbării cu bicicleta. Asta face un grafic bun: comunică rapid o mulțime de informație.

Compararea a două dependențe pe același grafic

De multe ori vrem să comparăm două mărimi care evoluează în paralel. De exemplu: două magazine care vând înghețată, sau doi alergători într-o cursă. Dacă desenăm ambele grafice în același reper, comparația devine foarte ușoară.

Regulă practică: folosim aceeași unitate pe axe pentru amândouă (altfel comparația e falsă) și culori sau stiluri diferite pentru cele două linii (una continuă, una punctată), plus o legendă care spune care e care.

Exemplu: două abonamente la o sală de fitness. Abonamentul A costă $40$ lei taxă de înscriere plus $20$ lei pe lună. Abonamentul B nu are taxă de înscriere, dar costă $30$ lei pe lună. Facem tabelul costului total după un număr de luni:

Când desenăm ambele linii, vedem că se intersectează la $4$ luni, unde amândouă costă $120$ lei. Ce ne spune punctul de intersecție? Că până la 4 luni abonamentul B este mai ieftin (linia B e sub linia A), iar după 4 luni abonamentul A devine mai avantajos (linia A trece sub linia B). Punctul de intersecție este momentul în care cele două opțiuni sunt egale.

Aceasta este o aplicație extrem de utilă în viața reală: compararea a două oferte, două tarife, două planuri. Graficul îți arată dintr-o privire care e mai bun și de la ce moment.

Rezumat al procedeului

Ca să reprezinți și să interpretezi o dependență, urmezi acești pași:

1. Citește tabelul și decide ce mărime pui pe $Ox$ (de obicei cea independentă: timpul, numărul de obiecte) și ce mărime pui pe $Oy$.
2. Alege unități potrivite pe fiecare axă, constante și clar scrise.
3. Transformă fiecare coloană din tabel într-o pereche $(x,y)$ și marchează punctul.
4. Unește punctele dacă mărimea de pe $Ox$ variază continuu; altfel lasă-le separate.
5. Citește valori: din $x$ afli $y$ (urci și mergi lateral) sau din $y$ afli $x$ (mergi lateral și cobori).
6. Interpretează: unde crește, unde descrește, unde e constant, care e maximul și minimul; la două grafice, unde se intersectează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la tabel la puncte

Temperatura aerului într-o zi de primăvară a fost măsurată la fiecare 3 ore:

a) Scrie perechile de valori. b) Ce punem pe fiecare axă? c) Are sens să unim punctele?

Rezolvare. a) Perechile $(\text{ora},\text{temperatura˘})$ sunt: $(6,8)$, $(9,12)$, $(12,18)$, $(15,16)$, $(18,10)$.

b) Ora este mărimea independentă (curge de la sine), deci pe $Ox$. Temperatura depinde de oră, deci pe $Oy$. Pe $Ox$ putem lua un pătrățel = 3 ore; pe $Oy$ un pătrățel = 2 °C.

c) Da, are sens să unim punctele, deoarece temperatura variază continuu în timp: între ora $6$ și ora $9$ temperatura a trecut prin toate valorile intermediare, chiar dacă nu le-am măsurat. Graficul va fi o linie frântă.

Exemplul 2 — Citirea valorilor de pe grafic

Folosind graficul temperaturii din Exemplul 1 (linie frântă între punctele date):

a) Care a fost temperatura la ora $12$? b) La ce oră temperatura a fost cea mai mare? c) Estimează temperatura la ora $10,5$ (la jumătatea intervalului dintre 9 și 12).

Rezolvare. a) La ora $12$ citim direct din tabel/grafic: $18$ °C. Este chiar un punct măsurat.

b) Cea mai mare temperatură (maximul) este $18$ °C, atinsă la ora $12$. Pe grafic este vârful cel mai de sus.

c) Ora $10,5$ este exact la mijlocul segmentului dintre $(9,12)$ și $(12,18)$. Pe o linie dreaptă, la mijloc valoarea este media celor două capete: $$\frac{12+18}{2}=\frac{30}{2}=15\text{°C}.$$ Deci la ora $10,5$ temperatura era aproximativ $15$ °C.

Exemplul 3 — Interpretarea tendințelor

Numărul de vizitatori ai unei expoziții a fost:

a) În ce zile a crescut numărul de vizitatori față de ziua precedentă? b) În ce zile a scăzut? c) Când a fost neschimbat? d) Care sunt valoarea maximă și minimă?

Rezolvare. Comparăm fiecare zi cu cea dinainte: a) A crescut: din ziua 1 în ziua 2 ($120\to 200$) și din ziua 3 în ziua 4 ($200\to 260$). b) A scăzut: din ziua 4 în ziua 5 ($260\to 180$) și din ziua 5 în ziua 6 ($180\to 90$). c) A rămas constant: din ziua 2 în ziua 3 (a rămas $200$). d) Valoarea maximă este $260$ de vizitatori (ziua 4); valoarea minimă este $90$ de vizitatori (ziua 6).

Observație: Aici mărimea de pe $Ox$ este „ziua" ca etichetă (zile întregi, separate). Punctele pot fi unite ca să vedem tendința, dar nu putem vorbi despre „ziua $3,7$". Un poligon al frecvențelor, temă pe care o vei studia în Poligonul frecvențelor, unește exact astfel de puncte pentru a evidenția evoluția.

Exemplul 4 — Citire inversă (din $y$ aflu $x$)

O lumânare arde uniform. Înălțimea ei (în cm) în funcție de timp (în ore) este:

a) După cât timp lumânarea are $15$ cm? b) După cât timp se stinge complet? c) Cu câți cm scade lumânarea într-o oră?

Rezolvare. a) Căutăm $x$ pentru care $y=15$. Valoarea $15$ este între $18$ (la $1$ h) și $12$ (la $2$ h). Deoarece lumânarea arde uniform, graficul e o linie dreaptă și scade cu $6$ cm pe oră. De la $18$ la $15$ scade $3$ cm, adică jumătate din scăderea pe o oră, deci a mai trecut jumătate de oră după prima oră: $$x=1+\frac{18-15}{6}=1+\frac{3}{6}=1+0,5=1,5\text{h}.$$ Deci după $1,5$ ore lumânarea are $15$ cm.

b) Lumânarea se stinge când înălțimea este $0$, adică la $x=4$ ore.

c) Într-o oră scade cu $24-18=6$ cm (sau $18-12=6$, la fel), deci rata de scădere este constantă, $6$ cm/oră. Faptul că scăderea e mereu aceeași este exact motivul pentru care graficul e o linie dreaptă.

Exemplul 5 — Compararea a două dependențe

Doi frați, Radu și Maria, economisesc bani. La început Radu are $50$ lei și adaugă $10$ lei în fiecare săptămână. Maria pornește de la $20$ lei și adaugă $16$ lei pe săptămână.

a) Cine are mai mulți bani în săptămâna a 3-a? b) În ce săptămână au sume egale? c) Ce ne spune punctul de intersecție al celor două grafice?

Rezolvare. a) În săptămâna a 3-a: Radu are $80$ lei, Maria are $68$ lei. Deci Radu are mai mulți bani.

b) Din tabel vedem că în săptămâna a 5-a amândoi au $100$ lei — sume egale.

c) Punctul de intersecție al celor două grafice, $(5,100)$, este momentul în care sumele sunt egale. Înainte de săptămâna 5, Radu are mai mult (linia lui e deasupra); după săptămâna 5, Maria depășește (pentru că economisește mai repede, câte $16$ lei față de $10$ lei). Graficul Mariei este „mai abrupt" pentru că ea adaugă mai mult pe săptămână.

Exemplul 6 — Grafic cu porțiuni de creștere, constanță și descreștere

O dronă de jucărie își înregistrează altitudinea (în metri) în timpul zborului:

Descrie zborul dronei folosind noțiunile de creștere, descreștere, constanță, maxim și minim.

Rezolvare.

• De la $0$ la $20$ s: altitudinea crește de la $0$ la $30$ m — drona urcă.
• De la $20$ la $30$ s: altitudinea rămâne constantă la $30$ m — drona plutește pe loc, la aceeași înălțime.
• Valoarea maximă a altitudinii este $30$ m, atinsă între secundele $20$ și $30$.
• De la $30$ la $50$ s: altitudinea descrește de la $30$ la $0$ m — drona coboară și aterizează.
• Valoarea minimă este $0$ m (la decolare și la aterizare).

Această descriere ar putea fi făcută de oricine se uită la grafic, chiar fără să vadă tabelul — și tocmai asta e frumusețea reprezentării grafice: imaginea spune povestea.

Să exersăm

1. Scrie perechile de valori și apoi punctele corespunzătoare pentru tabelul:

2. Se dă tabelul distanței parcurse de un autobuz:

Ce mărime pui pe $Ox$ și ce mărime pe $Oy$? Are sens să unești punctele? Justifică.

3. Reprezintă în reperul cartezian punctele date de tabelul de mai jos și unește-le. Este graficul crescător sau descrescător?

4. Un grafic trece prin punctele $(0,5)$, $(2,9)$, $(4,13)$. Pe fiecare interval de $2$ unități, cu cât crește $y$? Cât ar fi $y$ la $x=6$, dacă păstrează același ritm?

5. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă un grafic este descrescător, atunci pe măsură ce $x$ crește, $y$ scade."

6. Adevărat sau fals (justifică): „Pe cele două axe ale unui reper trebuie să folosim mereu aceeași unitate de măsură."

7. Temperatura unui pacient a fost:

a) La ce oră a fost temperatura maximă? b) Cât a fost minimul dintre orele date? c) Pe ce interval a crescut și pe ce interval a scăzut?

8. Folosind graficul lumânării din Exemplul 4 (scade uniform de la $24$ cm cu $6$ cm/oră), află înălțimea lumânării la $2,5$ ore.

9. O linie dreaptă crescătoare trece prin $(1,4)$ și $(3,10)$. Cât crește $y$ când $x$ crește cu $1$? Cât este $y$ la $x=5$?

10. Se dau două abonamente la internet. Planul A: $30$ lei/lună, fără taxă inițială. Planul B: $60$ lei taxă inițială plus $18$ lei/lună. Completează tabelul costului total pentru $0,1,2,3,4,5$ luni și spune de la ce lună planul B devine mai ieftin decât A.

11. Privește graficul de mai jos, care arată numărul de kilometri alergați de un sportiv în 5 zile. Din grafic reiese: ziua 1 – 4 km, ziua 2 – 7 km, ziua 3 – 7 km, ziua 4 – 10 km, ziua 5 – 5 km. a) În ce zi a alergat cel mai mult? b) În ce zile distanța a rămas neschimbată față de ziua precedentă? c) Care este diferența dintre ziua cu maximul și ziua cu minimul?

diagramă cu puncte pentru km alergați pe cele 5 zile, unite printr-o linie frântă care urcă la ziua 4 și coboară la ziua 5

12. Un grafic al costului unei curse de taxi arată: la $0$ km costul este $8$ lei (pornirea), iar apoi crește cu $3$ lei pe fiecare km. a) Cât costă o cursă de $5$ km? b) Cât costă o cursă de $10$ km? c) Dacă ai plătit $29$ lei, câți km ai parcurs?

13. Doi alergători pornesc simultan. Graficul distanței lor față de start (în km) în funcție de timp (în minute) se intersectează la minutul $20$. Ce înseamnă punctul de intersecție în această situație?

14. Completează: „Punctul cel mai de sus al unui grafic corespunde valorii ______ a mărimii $y$, iar punctul cel mai de jos corespunde valorii ______."

15. Un tabel arată câți spectatori au fost la un cinematograf pe zile:

a) În ce zi a fost maximul? b) Câți spectatori mai mulți au fost sâmbăta față de luni? c) Între ce zile consecutive a fost cea mai mare creștere?

16. Adevărat sau fals (justifică): „Într-un grafic al unei dependențe, dacă între două puncte linia este orizontală, atunci mărimea $y$ nu s-a schimbat pe acel interval, deși $x$ a crescut."

17. Un rezervor se umple. Graficul volumului (litri) în funcție de timp (minute) trece prin $(0,0)$, $(5,25)$, $(10,50)$, apoi rămâne orizontal la $50$ până la $(15,50)$. a) Ce se întâmplă cu apa între minutele $10$ și $15$? b) Care este volumul maxim? c) Cu câți litri pe minut se umplea rezervorul în primele $10$ minute?

18. Problemă de sinteză. Două magazine vând același caiet. Magazinul X: $3$ lei/caiet, fără reducere. Magazinul Y: $5$ lei taxă de „card de fidelitate" (o singură dată) plus $2$ lei/caiet. a) Fă tabelul costului total pentru $1,2,3,4,5,6$ caiete la ambele magazine. b) De la câte caiete devine magazinul Y mai avantajos? c) Reprezintă ambele dependențe pe același grafic și marchează punctul de la care Y devine mai ieftin.

Răspunsuri și explicații

1. Perechile: $(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)$. Fiecare pereche este un punct în reper. Observăm că $y=3x$ (fiecare $y$ este triplul lui $x$).

2. Pe $Ox$ punem timpul (independent), pe $Oy$ distanța (depinde de timp). Are sens să unim punctele, deoarece timpul și distanța variază continuu: între minutul $0$ și $10$ autobuzul a parcurs toate distanțele intermediare. Graficul este o linie dreaptă (autobuzul merge uniform, $8$ km la fiecare $10$ min).

3. Punctele: $(0,10),(1,8),(2,6),(3,4),(4,2)$. Pe măsură ce $x$ crește, $y$ scade, deci graficul este descrescător (linia coboară spre dreapta).

4. Pe fiecare interval de $2$ unități, $y$ crește cu $4$ (de la $5$ la $9$, apoi de la $9$ la $13$). La $x=6$ păstrând ritmul: $13+4=17$. Deci $y=17$.

5. Adevărat. Prin definiție, un grafic descrescător înseamnă că mergând spre dreapta (crește $x$), linia coboară (scade $y$). Exact asta spune afirmația.

6. Fals. Unitatea de pe cele două axe poate fi diferită și de multe ori chiar trebuie să fie, ca să încapă frumos datele. Important este ca pe fiecare axă unitatea să fie constantă, nu ca cele două axe să aibă aceeași unitate.

7. a) Temperatura maximă a fost la ora $12$: $39,0$ °C. b) Minimul dintre valorile date este $37,5$ °C (la ora $8$). c) A crescut între orele $8$ și $12$ (de la $37,5$ la $39,0$); a scăzut între orele $12$ și $16$ (de la $39,0$ la $37,6$).

8. Lumânarea scade cu $6$ cm/oră de la $24$ cm. La $2,5$ ore a scăzut $6\cdot 2,5=15$ cm, deci înălțimea este $24-15=9$ cm.

9. De la $(1,4)$ la $(3,10)$, $x$ crește cu $2$ iar $y$ crește cu $6$, deci pe o unitate de $x$, $y$ crește cu $6:2=3$. La $x=5$: pornim de la $(3,10)$ și mai adăugăm $2$ unități de $x$, adică $2\cdot 3=6$ la $y$: $10+6=16$. Deci $y=16$.

10.

La $5$ luni ambele costă $150$ lei (egalitate). Comparând, până la $5$ luni A este mai ieftin, iar de la luna a 6-a B devine mai ieftin (la $6$ luni: A = $180$, B = $168$). Deci punctul de „cumpănă" este la $5$ luni, iar B devine strict mai avantajos după această lună.

11. a) Cel mai mult a alergat în ziua 4: $10$ km (maximul). b) Distanța a rămas neschimbată între ziua 2 și ziua 3 (ambele $7$ km). c) Maximul este $10$ km (ziua 4), minimul este $4$ km (ziua 1); diferența este $10-4=6$ km.

12. Costul este $8$ lei plus $3$ lei/km. a) Pentru $5$ km: $8+3\cdot 5=8+15=23$ lei. b) Pentru $10$ km: $8+3\cdot 10=38$ lei. c) Dacă ai plătit $29$ lei: $29-8=21$ lei au fost pentru km, deci $21:3=7$ km.

13. Punctul de intersecție (la minutul $20$) înseamnă că, în acel moment, cei doi alergători sunt la aceeași distanță de start, adică sunt unul lângă altul (unul îl ajunge din urmă pe celălalt sau se întâlnesc). Coordonata de pe $Ox$ ($20$ min) ne dă când, iar coordonata de pe $Oy$ ne-ar da distanța comună.

14. Punctul cel mai de sus corespunde valorii maxime a lui $y$; punctul cel mai de jos corespunde valorii minime.

15. a) Maximul a fost sâmbăta (S): $200$ de spectatori. b) Sâmbăta $200$, luni $40$, diferența $200-40=160$ spectatori. c) Cea mai mare creștere între zile consecutive a fost între vineri și sâmbătă: de la $120$ la $200$, adică o creștere de $80$ (mai mare decât orice altă creștere: J→V a fost $60$).

16. Adevărat. O porțiune orizontală a graficului înseamnă că $y$ are aceeași valoare la ambele capete ale intervalului, deci $y$ nu s-a schimbat, chiar dacă $x$ a crescut (ne-am deplasat spre dreapta).

17. a) Între minutele $10$ și $15$ graficul este orizontal la $50$, deci volumul rămâne constant la $50$ de litri — probabil s-a închis robinetul sau rezervorul e plin. b) Volumul maxim este $50$ de litri. c) În primele $10$ minute volumul a crescut de la $0$ la $50$, deci $50:10=5$ litri pe minut.

18. a) Tabelul costurilor:

(Y = $5+2\cdot n$, unde $n$ = numărul de caiete.) b) La $5$ caiete costurile sunt egale ($15$ lei). De la $6$ caiete magazinul Y devine mai avantajos ($17$ lei față de $18$ lei la X), iar diferența crește pe măsură ce cumperi mai multe. c) Pe grafic, linia lui X (mai abruptă, $3$ lei/caiet) și linia lui Y (pornește de la $5$, dar mai lină, $2$ lei/caiet) se intersectează în punctul $(5,15)$; la dreapta acestui punct linia Y este sub linia X, adică Y e mai ieftin.

reper cu Ox „Număr caiete" (0–6) și Oy „Cost (lei)"; linia X continuă din origine, linia Y punctată din (0,5); intersecție în (5,15) marcată, cu zona din dreapta unde Y e sub X evidențiată

De reținut

• Fiecare pereche de valori dintr-un tabel de dependență devine un punct $(x,y)$ în reperul cartezian: mărimea independentă (de obicei timpul) pe $Ox$, mărimea dependentă pe $Oy$.
• Unitatea de pe fiecare axă trebuie să fie constantă, dar cele două axe pot avea unități diferite. O alegem astfel încât graficul să încapă și să fie ușor de citit.
• Unim punctele doar când mărimea de pe $Ox$ variază continuu (timp, temperatură); dacă ia valori separate (număr de obiecte), le lăsăm izolate.
• Citirea graficului: din $x$ afli $y$ urcând vertical și mergând apoi orizontal spre $Oy$; din $y$ afli $x$ mergând orizontal și coborând apoi spre $Ox$.
• Interpretarea: graficul e crescător unde urcă spre dreapta, descrescător unde coboară, constant unde e orizontal; maximul e vârful de sus, minimul e punctul de jos; la două grafice, punctul de intersecție arată momentul de egalitate.

Greșeli frecvente

• Inversarea axelor. Mulți elevi pun mărimea dependentă pe $Ox$ și pe cea independentă pe $Oy$. Regula: pe $Ox$ merge de obicei timpul sau mărimea pe care „o controlăm", iar rezultatul pe $Oy$. Într-o pereche $(x,y)$, $x$ este întotdeauna primul (abscisa, pe orizontală).
• Unitate inegală pe axă. A pune $0,5,10$ la distanțe diferite pe aceeași axă deformează total graficul. Verifică mereu că pasul între diviziuni este același pe toată axa.
• Confuzia dintre „crește repede" și „valoare mare". Un grafic poate avea valori mici, dar să crească abrupt, sau valori mari care scad. „Crescător/descrescător" descrie direcția (urcă/coboară), nu mărimea valorilor. Vârful cel mai de sus e maximul, indiferent cât de repede s-a ajuns acolo.
• Unirea punctelor când nu trebuie. Dacă $Ox$ reprezintă „tipuri de fructe" sau „numărul de elevi", nu are sens să unești, pentru că nu există valori intermediare. Unești doar mărimile continue.

Aplică acasă

• Graficul temperaturii tale. Timp de o săptămână, notează în fiecare seară temperatura de afară de la ora $20$ (o găsești în aplicația de vreme). Fă un tabel cu cele $7$ valori, reprezintă-le în reper (zilele pe $Ox$, temperatura pe $Oy$) și unește punctele. Identifică ziua cu maximul, ziua cu minimul și intervalele de creștere și descreștere.
• Compară două oferte reale. Găsește două abonamente reale (telefon, transport, streaming): unul cu taxă inițială mai mare dar cost lunar mic, altul invers. Fă tabelul costului total pe $6$ luni pentru fiecare, desenează ambele linii în același reper și află de la ce lună devine avantajoasă opțiunea cu taxă inițială. Este exact genul de decizie financiară pe care o vei lua toată viața.
• Drumul spre școală. Notează distanța aproximativă parcursă din 2 în 2 minute pe drumul spre școală (sau într-o plimbare). Fă tabelul și graficul distanței în funcție de timp. Unde linia e mai abruptă ai mers mai repede, unde e mai lină ai mers mai încet sau te-ai oprit (linie orizontală).

Pentru părinți și profesori

Această lecție este puntea dintre tabele și interpretarea vizuală a datelor, o competență esențială nu doar la matematică, ci în viața de zi cu zi (bugete, statistici, științe). Elevul trebuie să lucreze cu creionul pe hârtie milimetrică: transformarea perechilor în puncte se învață prin repetare, nu prin privit.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Arată-mi cum afli de pe grafic cât e $y$ când $x=3$." (Vrei să vezi mișcarea: urcă vertical, apoi lateral.)
• „Unde crește graficul și unde scade? De unde știi?" (Răspunsul corect leagă „spre dreapta linia urcă/coboară".)
• „Care e maximul? Dar minimul?" (Trebuie să indice vârful și, respectiv, punctul cel mai de jos, nu doar prima sau ultima valoare.)
• La compararea a două grafice: „Ce înseamnă punctul unde se ating cele două linii?" (Momentul de egalitate — testul cel mai bun de înțelegere.)

Semne că elevul a înțeles: alege corect ce mărime pune pe fiecare axă, folosește unități constante, unește punctele doar când are sens și povestește graficul cu propriile cuvinte („la început urcă, apoi rămâne la fel, apoi coboară"). Dacă inversează axele sau confundă „crescător" cu „valoare mare", reveniți la exemple concrete cu timp și temperatură. Pentru aprofundare, legați lecția de Poligonul frecvențelor, care este pasul următor firesc.

Întrebări frecvente

Ce este un grafic al unei dependențe funcționale la clasa a 7-a? Este reprezentarea în reperul cartezian a legăturii dintre două mărimi care depind una de alta. Fiecare pereche de valori dintr-un tabel devine un punct, iar punctele (dacă mărimea de pe axa orizontală variază continuu) se unesc printr-o linie. La clasa a VII-a lucrăm informal, fără noțiunea formală de funcție, care apare în clasa a VIII-a.

Cum citesc o valoare de pe un grafic? Dacă știi valoarea de pe axa $Ox$, urci vertical de la ea până atingi graficul, apoi mergi orizontal până la axa $Oy$ și citești valoarea. Dacă știi valoarea de pe $Oy$, faci invers: mergi orizontal până la grafic și cobori vertical la $Ox$.

Ce înseamnă că un grafic este crescător sau descrescător? Un grafic este crescător pe o porțiune dacă, mergând spre dreapta (crește $x$), linia urcă (crește și $y$). Este descrescător dacă, mergând spre dreapta, linia coboară (scade $y$). Dacă linia e orizontală, mărimea $y$ rămâne constantă.

Cum găsesc valoarea maximă și minimă pe un grafic? Valoarea maximă este ordonata celui mai înalt punct al graficului (vârful de sus), iar valoarea minimă este ordonata celui mai jos punct. Le identifici căutând vizual cel mai de sus și cel mai de jos punct al liniei și citind valoarea lor pe axa $Oy$.

Ce mărime pun pe axa $Ox$ și ce mărime pe $Oy$? Pe axa orizontală $Ox$ pui de obicei mărimea independentă — cea care „curge" sau pe care o alegi tu, cel mai des timpul sau numărul de obiecte. Pe axa verticală $Oy$ pui mărimea dependentă, cea care rezultă (distanța, costul, temperatura, volumul).

Trebuie să unesc întotdeauna punctele de pe grafic? Nu. Unești punctele doar dacă mărimea de pe $Ox$ variază continuu (timp, temperatură, lungime), pentru că atunci există valori intermediare. Dacă mărimea ia doar valori separate (număr de elevi, tipuri de produse), lași punctele izolate, fiindcă nu există valori între ele.

Ce înseamnă punctul de intersecție a două grafice? Este momentul (valoarea lui $x$) în care cele două mărimi comparate au aceeași valoare (aceeași ordonată). Înainte de acel punct una este mai mare, după el cealaltă o depășește. E foarte util la compararea a două oferte sau tarife, pentru a decide care e mai avantajos și de când.

Pot folosi unități diferite pe cele două axe? Da, este chiar recomandat de multe ori. Important este ca pe fiecare axă pasul dintre diviziuni să fie constant. Cele două axe pot avea unități diferite (de exemplu, un pătrățel = $5$ minute pe $Ox$ și un pătrățel = $4$ litri pe $Oy$), ca graficul să încapă frumos și să fie ușor de citit.