Poligonul frecvențelor

Imaginează-ți că profesorul de matematică tocmai a dat înapoi lucrările de la un test și toată clasa vrea să știe: „Ce notă au luat cei mai mulți elevi?". Ai putea să citești toate cele 28 de note una câte una, dar există o metodă mult mai isteață: aduni datele într-un tabel, le transformi într-un grafic și, dintr-o singură privire, vezi unde se „adună" cele mai multe rezultate. Acest grafic special se numește poligonul frecvențelor și este exact instrumentul pe care îl folosesc statisticienii, medicii, economiștii sau antrenorii sportivi ca să înțeleagă rapid o mulțime de date. În lecția de astăzi înveți să construiești și să citești poligonul frecvențelor, pas cu pas.

Ce vei învăța

Vei ști să întocmești tabelul de frecvențe pentru un set de date, calculând frecvența absolută a fiecărei valori.
Vei ști ce este o diagramă cu bare construită pornind de la frecvențe și cum se leagă ea de poligonul frecvențelor.
Vei ști să construiești poligonul frecvențelor în reperul cartezian, unind punctele de forma (valoare, frecvență).
Vei ști să citești și să interpretezi un poligon al frecvențelor deja desenat, identificând valoarea cea mai frecventă și alte informații.
Vei ști să aplici aceste idei pe date reale: note, măsurători, rezultatele unui sondaj.

Hai să descoperim împreună

1. De la un șir de date la o „numărătoare"

Să pornim de la o situație concretă. La un test de matematică, cei 25 de elevi dintr-o clasă au obținut următoarele note:

$7, 9, 8, 10, 7, 6, 8, 9, 7, 8, 5, 10, 9, 8, 7, 6, 8, 9, 10, 7, 8, 9, 8, 6, 7$

Așa, înșirate, notele nu îți spun mare lucru. Ochiul se pierde printre cifre. Primul pas al oricărei prelucrări de date este să organizăm informația. Ne întrebăm simplu: de câte ori apare fiecare notă?

Numărăm cu grijă (poți tăia fiecare valoare pe măsură ce o numeri, ca să nu greșești):

nota 5 apare o singură dată;
nota 6 apare de 3 ori;
nota 7 apare de 6 ori;
nota 8 apare de 7 ori;
nota 9 apare de 5 ori;
nota 10 apare de 3 ori.

Ca să fim siguri că nu am pierdut și nici nu am numărat de două ori vreo notă, adunăm: $1 + 3 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25$ . Perfect, este exact numărul de elevi. Această verificare simplă (suma numărătorilor = numărul total de date) trebuie făcută de fiecare dată; este cel mai bun mod de a prinde o greșeală de numărare.

2. Frecvența absolută și tabelul de frecvențe

Numărul care ne spune de câte ori apare o valoare într-un set de date are un nume oficial în matematică.

Definiție. Frecvența absolută a unei valori dintr-un set de date este numărul care arată de câte ori apare acea valoare în setul respectiv.

Așadar, în exemplul nostru, frecvența absolută a notei 8 este 7, frecvența absolută a notei 5 este 1 și așa mai departe. Cuvântul „absolută" ni se pare poate ciudat acum; el ne amintește doar că vorbim despre un număr întreg de apariții (1, 2, 3, …), nu despre un procent. (Frecvența exprimată în procente se numește frecvență relativă și o vei studia mai târziu; la clasa a VII-a lucrăm cu frecvența absolută.)

Toate aceste numărători le strângem ordonat într-un tabel de frecvențe. Pe primul rând scriem valorile (aici, notele), iar pe al doilea rând frecvențele absolute corespunzătoare:

Nota (valoarea)	5	6	7	8	9	10
Frecvența absolută	1	3	6	7	5	3

Un tabel de frecvențe bun are trei calități:

valorile sunt scrise în ordine crescătoare (5, 6, 7, 8, 9, 10) — așa graficul iese frumos, iar interpretarea e ușoară;
fiecărei valori îi corespunde o singură frecvență;
suma frecvențelor este egală cu numărul total de date ( $1 + 3 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25$ ).

Observă deja ceva foarte util: nota cu cea mai mare frecvență este 8 (apare de 7 ori). Este nota pe care au obținut-o cei mai mulți elevi. O vom regăsi imediat pe grafic ca fiind „vârful" cel mai înalt.

3. Diagrama cu bare pornind de la frecvențe

Un tabel e bun, dar un grafic este și mai convingător: „o imagine face cât o mie de cuvinte". Cea mai simplă reprezentare grafică a unui tabel de frecvențe este diagrama cu bare (sau diagrama cu coloane).

Ideea este aceasta: desenăm un reper cartezian (îl cunoști deja din lecțiile despre sistemul de axe ortogonale și reprezentarea punctelor în plan). Pe axa orizontală (Ox) trecem valorile (notele), iar pe axa verticală (Oy) trecem frecvențele. Deasupra fiecărei valori ridicăm o bară verticală a cărei înălțime este egală cu frecvența acelei valori.

deasupra notei 5 → o bară de înălțime 1;
deasupra notei 6 → o bară de înălțime 3;
deasupra notei 7 → o bară de înălțime 6;
deasupra notei 8 → o bară de înălțime 7 (cea mai înaltă!);
deasupra notei 9 → o bară de înălțime 5;
deasupra notei 10 → o bară de înălțime 3.

Barele ne arată clar „relieful" datelor: cresc până la nota 8, apoi coboară. Din diagrama cu bare, poligonul frecvențelor este la un pas distanță.

4. Construirea poligonului frecvențelor

Acum ajungem la vedeta lecției. În loc să desenăm bare groase, marcăm doar câte un punct pentru fiecare valoare, apoi unim punctele cu segmente. Linia frântă (poligonală) care rezultă este poligonul frecvențelor.

Definiție. Poligonul frecvențelor este linia frântă obținută prin unirea, în ordine, a punctelor de coordonate $(valoare, frecven ț \overset{a}{˘})$ dintr-un reper cartezian.

Ideea cheie: fiecare pereche (valoare, frecvență) din tabel devine un punct în plan, exact ca perechile din produsul cartezian. Pentru exemplul nostru cu note, obținem punctele:

$A (5, 1), B (6, 3), C (7, 6), D (8, 7), E (9, 5), F (10, 3) .$

Iată pașii de construcție, pe care îi urmezi de fiecare dată:

Pasul 1 — Desenează reperul cartezian. Trasează axa Ox (orizontală) și axa Oy (verticală), perpendiculare, cu originea O.

Pasul 2 — Alege și notează unitățile. Pe Ox pune valorile din tabel (notele 5, 6, 7, …), la distanțe egale. Pe Oy pune frecvențele, tot la distanțe egale, alegând o unitate potrivită (aici, un pătrățel = o unitate merge bine, fiindcă frecvența maximă este doar 7). Sfat practic: alege pe Oy o scară în care încape cea mai mare frecvență, altfel vârful graficului „iese din pagină".

Pasul 3 — Marchează punctele. Pentru fiecare valoare, urcă pe verticală până la înălțimea egală cu frecvența ei și pune un punct. Pentru nota 7 cu frecvența 6, mergi pe Ox la 7, apoi urci 6 unități și marchezi punctul $C (7, 6)$ .

Pasul 4 — Unește punctele. Trasează segmente de la primul punct la al doilea, de la al doilea la al treilea și așa mai departe, în ordinea crescătoare a valorilor. Rezultă linia frântă $A - B - C - D - E - F$ : acesta este poligonul frecvențelor.

Ai putea să te întrebi: de ce „poligon", dacă e doar o linie frântă deschisă? Numele vine din tradiția statisticii: linia frântă seamănă cu conturul (laturile) unui poligon. Uneori, pentru ca figura să fie „închisă" și mai ușor de comparat, se adaugă câte un punct cu frecvența 0 înainte de prima valoare și după ultima. La noi, am putea adăuga punctele $(4, 0)$ și $(11, 0)$ , iar linia frântă ar coborî frumos până la axa Ox la ambele capete. Ambele variante (cu sau fără aceste capete la zero) sunt corecte; important este ca punctele reale (valoare, frecvență) să fie marcate și unite corect.

5. Diferența dintre bare și poligon (și de ce contează)

Diagrama cu bare și poligonul frecvențelor arată aceleași date, dar au utilizări puțin diferite:

Diagrama cu bare este bună când vrei să compari mărimi separate, „bucată cu bucată" (câți elevi au luat exact fiecare notă).
Poligonul frecvențelor scoate în evidență tendința, forma de ansamblu: unde urcă valorile, unde este vârful, unde coboară. Linia continuă îți duce ochiul de la o valoare la alta și te ajută să vezi „povestea" datelor.

Un truc de memorat: dacă unești vârfurile de sus ale barelor dintr-o diagramă cu bare (mijloacele laturilor de sus), obții chiar poligonul frecvențelor. Practic, poligonul este „scheletul" diagramei cu bare.

6. Citirea și interpretarea poligonului frecvențelor

Un grafic nu are valoare dacă nu știi să-l „citești". Iată ce informații poți extrage dintr-un poligon al frecvențelor:

a) Valoarea cea mai frecventă. Este valoarea de pe Ox aflată sub vârful cel mai înalt al poligonului. La noi, vârful este punctul $D (8, 7)$ , deci nota cea mai frecventă (numită și modul sau dominanta) este 8. Aici s-au „adunat" cei mai mulți elevi.

b) Valoarea cea mai rară. Este valoarea de sub punctul cel mai jos (dintre valorile care apar). La noi, nota 5 are frecvența 1, cea mai mică.

c) Câte date sunt în total. Aduni toate frecvențele (înălțimile tuturor punctelor): $1 + 3 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25$ elevi.

d) Comparații și grupări. Din grafic vezi ușor, de exemplu, câți elevi au luat cel puțin 8: aduni frecvențele notelor 8, 9 și 10, adică $7 + 5 + 3 = 15$ elevi. Sau câți au luat sub 7 (adică nota 5 sau 6): $1 + 3 = 4$ elevi.

e) Forma distribuției. Poligonul urcă de la 5 la 8, apoi coboară. Spunem că datele sunt „grupate în jurul notei 8". Dacă vârful ar fi fost la mijloc și panta simetrică de o parte și de alta, am fi spus că distribuția este aproximativ simetrică.

Reține deci logica: înălțimea punctului = frecvența, iar poziția pe Ox = valoarea. Ori de câte ori te uiți la un poligon al frecvențelor, tradu în minte fiecare punct în perechea lui (valoare, frecvență).

7. Un al doilea exemplu, cu alt tip de date

Ca să vezi că metoda merge la orice fel de date numerice, nu doar la note, hai să luăm o măsurătoare. La ora de educație fizică, fiecare dintre cei 20 de elevi a aruncat de 5 ori la coș, iar profesorul a notat câte reușite a avut fiecare elev. Tabelul de frecvențe arată așa:

Nr. de reușite	1	2	3	4	5
Frecvența (nr. de elevi)	2	5	8	3	2

Verificăm totalul: $2 + 5 + 8 + 3 + 2 = 20$ elevi. Punctele sunt $(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 3), (5, 2)$ , iar vârful este la valoarea 3 (frecvența 8). Deci valoarea 3 (trei reușite) este cea mai frecventă. Vezi? Aceeași rețetă: tabel → puncte → linie frântă → interpretare. Procedura nu depinde de povestea din spatele datelor.

Cu aceste idei clare — frecvență absolută, tabel de frecvențe, puncte (valoare, frecvență) și linia frântă care le unește — ești gata să lucrezi singur. Hai să vedem câteva exemple rezolvate complet.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel de frecvențe și total

Într-un sondaj, 18 elevi au fost întrebați câte cărți au citit în vacanță. Răspunsurile au fost:

$2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 0, 2, 1$

Întocmește tabelul de frecvențe și verifică totalul.

Rezolvare. Numărăm aparițiile fiecărei valori:

0 cărți: apare de 3 ori;
1 carte: apare de 4 ori;
2 cărți: apare de 6 ori;
3 cărți: apare de 3 ori;
4 cărți: apare de 2 ori.

Nr. de cărți	0	1	2	3	4
Frecvența absolută	3	4	6	3	2

Verificare: $3 + 4 + 6 + 3 + 2 = 18$ . Coincide cu numărul de elevi, deci numărătoarea este corectă. Observăm că valoarea cea mai frecventă este 2 cărți (frecvența 6).

Exemplul 2 — Coordonatele punctelor pentru poligon

Pentru datele din Exemplul 1, scrie coordonatele punctelor care formează poligonul frecvențelor.

Rezolvare. Fiecare pereche (valoare, frecvență) devine un punct $(x, y)$ , unde $x$ = numărul de cărți și $y$ = frecvența:

$A (0, 3), B (1, 4), C (2, 6), D (3, 3), E (4, 2) .$

Poligonul frecvențelor este linia frântă $A - B - C - D - E$ . Vârful este în punctul $C (2, 6)$ , deci valoarea cea mai frecventă este 2, exact ca în tabel.

Exemplul 3 — Citirea unui poligon deja construit

Un poligon al frecvențelor pentru temperaturile (în grade Celsius) măsurate la prânz timp de mai multe zile trece prin punctele:

$P_{1} (18, 2), P_{2} (19, 5), P_{3} (20, 7), P_{4} (21, 4), P_{5} (22, 2) .$

a) Câte zile au fost observate? b) Care temperatură a apărut cel mai des? c) În câte zile temperatura a fost de cel puțin 21°C?

Rezolvare. a) Numărul de zile = suma tuturor frecvențelor (ordonatele punctelor): $2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20$ zile.

b) Cea mai mare frecvență este 7, corespunzătoare punctului $P_{3} (20, 7)$ . Deci temperatura cea mai frecventă a fost 20°C.

c) „Cel puțin 21°C" înseamnă 21°C sau 22°C. Adunăm frecvențele acestora: $4 + 2 = 6$ zile.

Exemplul 4 — Construcție completă, pas cu pas

La un concurs de șah au participat elevi de vârste diferite. Numărul de participanți pe vârste este:

Vârsta (ani)	11	12	13	14	15
Nr. de participanți	3	6	9	5	2

Construiește poligonul frecvențelor și precizează vârsta cu cei mai mulți participanți.

Rezolvare.

Pasul 1: Verificăm totalul: $3 + 6 + 9 + 5 + 2 = 25$ participanți.
Pasul 2: Formăm punctele: $(11, 3), (12, 6), (13, 9), (14, 5), (15, 2)$ .
Pasul 3: Trasăm reperul; pe Ox vârstele 11–15, pe Oy frecvențele 0–10 (un pătrățel = 1 unitate).
Pasul 4: Marcăm punctele la înălțimile 3, 6, 9, 5, 2 și le unim în ordine.

Vârful este la punctul $(13, 9)$ , deci vârsta cu cei mai mulți participanți este 13 ani.

Exemplul 5 — De la grafic înapoi la tabel

Se dă poligonul frecvențelor de mai jos, care trece prin punctele $(1, 4), (2, 7), (3, 5), (4, 8), (5, 1)$ , reprezentând numărul de goluri marcate de o echipă în fiecare dintre mai multe meciuri.

a) Reconstituie tabelul de frecvențe. b) În câte meciuri s-au marcat exact 4 goluri? c) Câte meciuri au fost în total?

Rezolvare. a) Fiecare punct $(x, y)$ ne dă o pereche (valoare, frecvență):

Nr. de goluri	1	2	3	4	5
Frecvența (nr. meciuri)	4	7	5	8	1

b) Din punctul $(4, 8)$ citim frecvența 8, deci în 8 meciuri s-au marcat exact 4 goluri. (Atenție: aici valoarea cea mai frecventă este 4 goluri, nu 2, chiar dacă graficul urcă și coboară de mai multe ori — vârful cel mai înalt este la valoarea 4.)

c) Total meciuri = $4 + 7 + 5 + 8 + 1 = 25$ meciuri.

Exemplul 6 — O interpretare cu grupare

Pentru datele din Exemplul 5 (goluri pe meci), răspunde: a) În câte meciuri echipa a marcat cel mult 2 goluri? b) În câte meciuri a marcat mai mult de 3 goluri?

Rezolvare. a) „Cel mult 2 goluri" = 1 sau 2 goluri. Adunăm frecvențele: $4 + 7 = 11$ meciuri.

b) „Mai mult de 3 goluri" = 4 sau 5 goluri (strict mai mare decât 3, deci 3 nu se numără). Adunăm: $8 + 1 = 9$ meciuri.

Observă cât de important este să citești cu atenție cuvintele: „cel mult" înseamnă „≤", „cel puțin" înseamnă „≥", iar „mai mult de" înseamnă „>" (fără valoarea de la limită).

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet. La cele de construcție, folosește hârtie cu pătrățele și rigla.

1. Se dau notele a 20 de elevi la un test: $8, 7, 9, 8, 6, 10, 8, 7, 9, 8, 7, 6, 9, 8, 10, 7, 8, 9, 8, 7.$ Întocmește tabelul de frecvențe și verifică suma frecvențelor.

2. Pentru datele de la exercițiul 1, scrie coordonatele punctelor care formează poligonul frecvențelor.

3. Construiește pe caiet poligonul frecvențelor pentru datele de la exercițiul 1.

4. Care este valoarea cea mai frecventă (nota luată de cei mai mulți elevi) la exercițiul 1?

5. Un magazin a vândut într-o săptămână tricouri de mărimile S, M, L și XL. Numărul de bucăți vândute pe mărimi este dat de tabel:

Mărimea	S	M	L	XL
Frecvența	6	11	9	4

Câte tricouri s-au vândut în total? Care mărime a fost cea mai căutată?

6. Un poligon al frecvențelor trece prin punctele $(10, 2), (11, 5), (12, 8), (13, 6), (14, 3)$ , reprezentând numărul de mesaje trimise pe zi. Câte zile au fost observate în total?

7. Pentru poligonul de la exercițiul 6, care este numărul de mesaje cel mai frecvent pe zi?

8. Adevărat sau fals (justifică): „În orice tabel de frecvențe, suma frecvențelor absolute este egală cu numărul total de date."

9. Adevărat sau fals (justifică): „Frecvența absolută a unei valori poate fi un număr negativ."

10. La un sondaj, elevii au fost întrebați câte animale de companie au acasă. Răspunsurile celor 16 elevi: $0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 3, 1.$ Fă tabelul de frecvențe și spune câte animale au cei mai mulți elevi.

11. Pentru datele de la exercițiul 10, câți elevi au cel puțin 2 animale de companie?

12. Pentru datele de la exercițiul 10, câți elevi au mai puțin de 2 animale de companie?

13. Se dă poligonul frecvențelor prin punctele $(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 6), (5, 3)$ . Fără să desenezi, spune ce formă are distribuția (crescătoare, descrescătoare sau simetrică față de valoarea din mijloc) și motivează.

14. O clasă a măsurat înălțimea (în cm, rotunjită la valori reprezentative) și a obținut tabelul:

Înălțimea (cm)	155	160	165	170	175
Frecvența	2	5	8	6	3

a) Câți elevi sunt în clasă? b) Care înălțime este cea mai frecventă? c) Câți elevi au cel puțin 165 cm?

15. Construiește poligonul frecvențelor pentru tabelul de la exercițiul 14. (Sfat: pe Ox pune valorile 155, 160, …, la distanțe egale; pe Oy alege scara astfel încât să încapă frecvența maximă 8.)

16. Explică, în 2–3 propoziții, diferența dintre o diagramă cu bare și un poligon al frecvențelor. Când preferi fiecare?

17. Un poligon al frecvențelor pentru notele la un test are punctele $(4, 1), (5, 2), (6, 5), (7, 8), (8, 6), (9, 4), (10, 2)$ . a) Câți elevi au susținut testul? b) Câți elevi au luat notă de trecere (nota ≥ 5)? c) Câți elevi au luat sub 7?

18. Provocare: Un tabel de frecvențe are valorile 1, 2, 3, 4 cu frecvențele $a$ , 5, 4, 2, iar totalul datelor este 15. Află $a$ și apoi scrie coordonatele punctelor poligonului frecvențelor.

Răspunsuri și explicații

1. Numărăm: nota 6 → 2, nota 7 → 5, nota 8 → 7, nota 9 → 4, nota 10 → 2.

Nota	6	7	8	9	10
Frecvența	2	5	7	4	2

Verificare: $2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20$ . Corect.

2. Punctele sunt: $(6, 2), (7, 5), (8, 7), (9, 4), (10, 2)$ . (Valoarea pe Ox, frecvența pe Oy.)

3. Desen: marchezi cele 5 puncte de mai sus în reper (Ox: notele 6–10; Oy: frecvențele 0–8) și le unești în ordine. Vârful este la $(8, 7)$ .

4. Nota 8 (frecvența cea mai mare, 7).

5. Total: $6 + 11 + 9 + 4 = 30$ tricouri. Mărimea cea mai căutată: M (frecvența 11, cea mai mare). Notă: aici valorile sunt categorii (S, M, L, XL), deci desenăm o diagramă cu bare; un poligon are sens mai ales la valori numerice.

6. Total zile = $2 + 5 + 8 + 6 + 3 = 24$ zile.

7. Vârful este la punctul $(12, 8)$ , deci numărul de mesaje cel mai frecvent este 12.

8. Adevărat. Fiecare dată din set este numărată exact o dată, la valoarea ei; adunând toate numărătorile (frecvențele) obținem tocmai câte date sunt în total. De aceea verificarea sumei este obligatorie.

9. Fals. Frecvența absolută numără câte apariții are o valoare, deci este un număr natural: $0, 1, 2, 3, \dots$ Nu poți avea „ $- 2$ apariții". Cea mai mică valoare posibilă a ei este 0 (valoarea nu apare deloc).

10. Numărăm: 0 → 4, 1 → 7, 2 → 3, 3 → 2.

Nr. animale	0	1	2	3
Frecvența	4	7	3	2

Verificare: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ . Cei mai mulți elevi au 1 animal (frecvența 7).

11. „Cel puțin 2" = 2 sau 3 animale: $3 + 2 = 5$ elevi.

12. „Mai puțin de 2" = 0 sau 1 animal: $4 + 7 = 11$ elevi. (Verificare încrucișată: $5 + 11 = 16$ , corect — cei „cu cel puțin 2" plus cei „cu mai puțin de 2" dau tot lotul.)

13. Distribuția este simetrică față de valoarea din mijloc (valoarea 3). Frecvențele sunt 3, 6, 9, 6, 3: cresc până la vârful de la valoarea 3 (frecvența 9), apoi scad exact în oglindă (6 și 3 se repetă de o parte și de alta). Poligonul arată ca un „deal" simetric.

14. a) $2 + 5 + 8 + 6 + 3 = 24$ elevi. b) Înălțimea cea mai frecventă: 165 cm (frecvența 8). c) „Cel puțin 165 cm" = 165, 170 sau 175: $8 + 6 + 3 = 17$ elevi.

15. Desen: punctele $(155, 2), (160, 5), (165, 8), (170, 6), (175, 3)$ marcate și unite. Pe Oy este util să numerotezi din 1 în 1 până la cel puțin 8; vârful iese la valoarea 165.

16. Diagrama cu bare folosește bare verticale separate și e potrivită când compari cantități distincte (inclusiv categorii precum S/M/L). Poligonul frecvențelor unește punctele (valoare, frecvență) printr-o linie frântă și scoate în evidență tendința și forma de ansamblu a datelor numerice; îl preferi când vrei să vezi „unde e vârful" și cum urcă/coboară frecvențele.

17. a) Total elevi = $1 + 2 + 5 + 8 + 6 + 4 + 2 = 28$ elevi. b) Notă ≥ 5: toți în afară de cei cu nota 4, deci $28 - 1 = 27$ elevi (sau, direct: $2 + 5 + 8 + 6 + 4 + 2 = 27$ ). c) Sub 7 = notele 4, 5, 6: $1 + 2 + 5 = 8$ elevi.

18. Suma frecvențelor = totalul datelor: $a + 5 + 4 + 2 = 15$ , deci $a + 11 = 15$ , de unde $a = 4$ . Coordonatele punctelor: $(1, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 2)$ .

De reținut

Frecvența absolută a unei valori = de câte ori apare acea valoare în setul de date; este un număr natural ( $0, 1, 2, \dots$ ).
În tabelul de frecvențe, valorile se scriu ordonat, iar suma frecvențelor absolute = numărul total de date (verificare obligatorie).
Poligonul frecvențelor = linia frântă obținută unind, în ordine, punctele de coordonate $(valoare, frecven ț \overset{a}{˘})$ în reperul cartezian.
Pe grafic: poziția pe Ox = valoarea, înălțimea punctului = frecvența. Vârful cel mai înalt indică valoarea cea mai frecventă.
Poți „citi" din poligon: totalul datelor (suma înălțimilor), valoarea cea mai frecventă și cea mai rară, precum și grupări de tipul „cel puțin", „cel mult", „mai mult de".

Greșeli frecvente

Inversarea axelor. Unii pun valorile pe Oy și frecvențele pe Ox. Corect: valorile pe axa orizontală (Ox), frecvențele pe axa verticală (Oy). Reține: „cât de des" (frecvența) este înălțimea.
Uitarea verificării totalului. Dacă suma frecvențelor nu dă numărul de date, ai numărat greșit undeva. Refă numărătoarea înainte de a desena — un tabel greșit strică tot graficul.
Confundarea valorii cu frecvența. Când te întreabă „care valoare e cea mai frecventă?", răspunsul este valoarea de pe Ox de sub vârf, nu înălțimea vârfului. La punctul $(8, 7)$ , valoarea cea mai frecventă este 8 (nota), nu 7 (numărul de elevi).
Neordonarea valorilor. Dacă marchezi valorile în dezordine pe Ox, linia frântă iese încâlcită și interpretarea devine imposibilă. Ordonează întotdeauna valorile crescător înainte de a le trece pe axă.

Aplică acasă

Sondaj în familie. Întreabă 10–15 rude sau prieteni câte ore de somn au avut azi-noapte (rotunjit la ore întregi). Fă tabelul de frecvențe, apoi construiește poligonul frecvențelor pe hârtie cu pătrățele. Care este numărul de ore cel mai frecvent?
Notele tale. Adună notele tale la o materie din ultimul semestru, întocmește tabelul de frecvențe și desenează poligonul. Vârful îți arată nota pe care o iei cel mai des — un bun punct de plecare pentru a-ți pune un obiectiv.
Date din viața reală. Alege o săptămână și notează în fiecare zi câte minute ai folosit telefonul pentru teme (rotunjit din 15 în 15 minute). La final, fă tabelul și poligonul frecvențelor și comentează: ce zi a fost „vârful"?

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la date brute la reprezentări grafice, o competență cheie în programa de clasa a VII-a (organizarea datelor în reperul cartezian). Cel mai bine sprijiniți elevul lucrând împreună pe date reale de acasă (note, ore de somn, cheltuieli mici), astfel încât graficul să aibă sens concret.

Întrebări bune de verificare:

„Ce este frecvența absolută a unei valori?" (răspuns așteptat: de câte ori apare valoarea).
„De ce verificăm că suma frecvențelor dă numărul de date?" (ca să prindem eventuale greșeli de numărare).
„Pe grafic, ce reprezintă poziția pe axa orizontală și ce reprezintă înălțimea unui punct?" (valoarea, respectiv frecvența).
„Cum găsești valoarea cea mai frecventă privind poligonul?" (cauți vârful cel mai înalt și citești valoarea de pe Ox).

Semne că elevul a înțeles: construiește tabelul de frecvențe corect (cu total verificat), plasează punctele cu coordonate corecte, unește punctele în ordine și, mai ales, interpretează graficul (răspunde la întrebări de tip „câți au cel puțin…"). Dacă greșește, cel mai des este vorba de inversarea axelor sau de confuzia valoare–frecvență; reluați împreună un exemplu simplu, cu 4–5 valori.

Întrebări frecvente

Ce este poligonul frecvențelor la clasa a 7-a? Este un grafic în reperul cartezian obținut prin unirea, cu segmente, a punctelor de coordonate (valoare, frecvență) dintr-un tabel de frecvențe. Rezultă o linie frântă care arată cum sunt distribuite datele și unde se află valoarea cea mai frecventă.

Care este diferența dintre frecvența absolută și frecvența relativă? Frecvența absolută este numărul de apariții al unei valori (un număr natural: 0, 1, 2, 3…). Frecvența relativă este acea frecvență exprimată ca fracție sau procent din total. La clasa a VII-a lucrezi cu frecvența absolută; frecvența relativă apare mai târziu.

Cum se construiește pas cu pas poligonul frecvențelor? Întocmești tabelul de frecvențe (valori ordonate + frecvențe), formezi punctele (valoare, frecvență), desenezi reperul cartezian cu valorile pe Ox și frecvențele pe Oy, marchezi punctele la înălțimile corespunzătoare și le unești, în ordine, cu segmente.

Ce pun pe axa Ox și ce pe axa Oy? Pe axa orizontală Ox trec valorile datelor (de exemplu, notele sau numărul de cărți), iar pe axa verticală Oy trec frecvențele (de câte ori apare fiecare valoare). Înălțimea fiecărui punct este egală cu frecvența lui.

Cum aflu valoarea cea mai frecventă dintr-un poligon? Cauți punctul cel mai înalt al liniei frânte (vârful) și citești valoarea de pe axa Ox aflată sub el. Acea valoare este cea care apare de cele mai multe ori în setul de date.

Care este diferența dintre diagrama cu bare și poligonul frecvențelor? Diagrama cu bare reprezintă frecvențele prin bare verticale separate, potrivite pentru comparații și pentru categorii. Poligonul frecvențelor unește punctele printr-o linie frântă și evidențiază tendința și forma de ansamblu a datelor numerice. De fapt, unind vârfurile barelor obții poligonul frecvențelor.

De ce se numește „poligon" dacă e doar o linie frântă? Numele vine din statistică: linia frântă seamănă cu laturile (conturul) unui poligon. Uneori se adaugă la capete câte un punct cu frecvența 0, ca figura să fie „închisă" și să semene și mai mult cu un poligon.

Poate frecvența unei valori să fie 0? Da, dacă acea valoare nu apare deloc în setul de date, frecvența ei absolută este 0. Nu poate fi însă negativă, pentru că numără apariții, iar un număr de apariții este mereu 0 sau un număr natural mai mare.