Fie $$f : \{1, 2, 3, 4\} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = 3x - 1$$. Care este graficul funcției $$G_f$$?

$$G_f = \{(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)\}$$

$$G_f = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$$

$$G_f = \{(2, 1), (5, 2), (8, 3), (11, 4)\}$$

O linie continuă care unește punctele $$(1,2)$$ până la $$(4,11)$$

Câte puncte are reprezentarea geometrică a graficului unei funcții al cărei domeniu este mulțimea $$\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$$?

Infinit de multe puncte, unite printr-o linie continuă

Fie $$f : \{0, 1, 2, 3\} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = 4x + 2$$. Care este graficul funcției $$G_f$$?

$$G_f = \{(0, 2), (1, 6), (2, 10), (3, 14)\}$$

$$G_f = \{(2, 0), (6, 1), (10, 2), (14, 3)\}$$

$$G_f = \{(0, 2), (1, 4), (2, 6), (3, 8)\}$$

O linie continuă care unește punctele $$(0,2)$$ până la $$(3,14)$$

Cum verific dacă un punct e pe grafic?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Graficul funcției și punctele lui

Iei prima coordonată a punctului, o introduci în formula funcției și compari rezultatul cu a doua coordonată. Dacă cele două numere coincid, punctul face parte din grafic; dacă nu, punctul rămâne pe dinafară. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și punctul $P (3, 7)$ obții $2 \cdot 3 + 1 = 7$ , deci $P$ aparține graficului. La punctul $Q (3, 8)$ însă calculul dă tot $7$ , așa că răspunsul este nu.

Graficul unei funcții $f : A \to B$ nu este un desen, ci o mulțime de perechi ordonate: $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A}$ . Fiecare pereche devine, în plan, un punct $M (x, f (x))$ : $x$ este abscisa (pe $O x$ ), iar $f (x)$ este ordonata (pe $O y$ ). Dacă domeniul are un număr finit de elemente, reprezentarea geometrică este un „nor” de puncte izolate — nu le unim printr-o linie, pentru că între ele funcția nu e definită.

Ca să verifici dacă un punct $P (a, b)$ aparține graficului, pui abscisa $a$ în legea funcției și compari rezultatul cu ordonata $b$ : dacă $f (a) = b$ , atunci $P \in G_{f}$ .

Exemplu: pentru $f (x) = 2 x + 1$ , punctul $P (3, 7)$ aparține graficului, deoarece $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .

De reținut

$G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A}$
un punct aparține graficului dacă rezultatul calculat coincide cu ordonata lui
pe o mulțime finită graficul are exact atâtea puncte câte elemente are domeniul

Greșeala tipică

Se inversează cele două coordonate la verificare și se introduce ordonata în formulă. În formulă intră întotdeauna prima coordonată, iar rezultatul se compară cu a doua.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : {1, 2, 3, 4} \to R$ , $f (x) = 3 x - 1$ . Care este graficul funcției $G_{f}$ ?
- a) $G_{f} = {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)}$
- b) $G_{f} = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}$
- c) $G_{f} = {(2, 1), (5, 2), (8, 3), (11, 4)}$
- d) O linie continuă care unește punctele $(1, 2)$ până la $(4, 11)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $G_{f} = {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)}$

Calculăm: $f (1) = 2$ , $f (2) = 5$ , $f (3) = 8$ , $f (4) = 11$ . Graficul este mulțimea perechilor $(x, f (x))$ , deci $G_{f} = {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)}$ . Varianta c inversează abscisa cu ordonata, iar d greșește pentru că domeniul e finit, deci nu unim punctele.
Câte puncte are reprezentarea geometrică a graficului unei funcții al cărei domeniu este mulțimea ${- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}$ ?
- a) 6 puncte
- b) 7 puncte
- c) 8 puncte
- d) Infinit de multe puncte, unite printr-o linie continuă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 7 puncte

Domeniul are 7 elemente ( $- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2$ ), iar fiecare element produce exact o pereche $(x, f (x))$ , deci graficul are 7 puncte. Fiind domeniu finit, punctele rămân izolate, fără linie.
Fie $f : {0, 1, 2, 3} \to R$ , $f (x) = 4 x + 2$ . Care este graficul funcției $G_{f}$ ?
- a) $G_{f} = {(0, 2), (1, 6), (2, 10), (3, 14)}$
- b) $G_{f} = {(2, 0), (6, 1), (10, 2), (14, 3)}$
- c) $G_{f} = {(0, 2), (1, 4), (2, 6), (3, 8)}$
- d) O linie continuă care unește punctele $(0, 2)$ până la $(3, 14)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $G_{f} = {(0, 2), (1, 6), (2, 10), (3, 14)}$

Calculăm: $f (0) = 2$ , $f (1) = 6$ , $f (2) = 10$ , $f (3) = 14$ . Graficul este mulțimea perechilor $(x, f (x))$ , deci $G_{f} = {(0, 2), (1, 6), (2, 10), (3, 14)}$ . Varianta b inversează abscisa cu ordonata, c folosește greșit panta $2$ în loc de $4$ , iar d greșește pentru că domeniul e finit, deci nu unim punctele.

Întrebări conexe

Ce este o pereche ordonată și de ce contează ordinea?

Este o scriere cu două numere între paranteze rotunde, în care primul arată deplasarea pe orizontală, iar al doilea pe verticală. Perechile $(3, 5)$ și $(5, 3)$ duc la locuri diferite pe foaie, deci nu se pot schimba între ele.

De ce se spune că graficul este o mulțime, nu un desen?

Fiindcă el este format din toate perechile alcătuite dintr-un număr introdus și rezultatul lui. Desenul este doar felul în care privim această mulțime pe hârtie. Definiția rămâne valabilă și atunci când nimeni nu desenează nimic.

Cum arăt că un punct nu face parte din grafic?

Faci calculul și arăți că rezultatul obținut diferă de a doua coordonată. Este de ajuns o singură nepotrivire, iar concluzia se scrie explicit. Nu ai nevoie de desen, fiindcă un desen aproximativ nu dovedește nimic.

Ce puncte are graficul unei funcții care dă mereu același rezultat?

Toate au aceeași a doua coordonată, deci se așază la aceeași înălțime. Pentru o funcție care întoarce mereu $5$ , punctele sunt $(1, 5)$ , $(2, 5)$ , $(3, 5)$ și așa mai departe. Pe mulțimea numerelor reale ele formează o linie orizontală.

Cum aflu un număr necunoscut din formulă dacă știu că un punct este pe grafic?

Înlocuiești ambele coordonate în formulă și rezolvi ecuația rămasă. Dacă $M (2, 9)$ este pe graficul lui $f (x) = m x + 1$ , atunci $2 m + 1 = 9$ , deci $m = 4$ . Metoda merge de fiecare dată când formula are un singur număr necunoscut.

Cum desenez punctele unei funcții date printr-un tabel?

Fiecare coloană a tabelului îți dă o pereche: valoarea de sus merge pe orizontală, cea de jos pe verticală. Marchezi punctul cu o cruciuliță și scrii lângă el coordonatele. Cu patru coloane obții patru puncte, nici mai multe, nici mai puține.

Oamenii mai întreabă și: cum verific dacă un punct aparține graficului · punct pe graficul unei funcții · graficul unei funcții · mulțimea perechilor ordonate · reprezentarea geometrică a graficului