Împărțirea a două fracții zecimale

Până acum ai învățat să împarți o fracție zecimală la un număr natural — adică atunci când virgula apăruse doar la deîmpărțit. Dar ce te faci când și împărțitorul are virgulă? De exemplu, cum calculezi 7,2 : 0,8? Vestea bună e că nu ai nevoie de nicio regulă nouă și complicată: ai nevoie doar de un singur truc inteligent prin care faci ca virgula de la împărțitor să dispară. În această lecție despre împărțirea a două fracții zecimale vei descoperi pas cu pas acest truc, îl vei exersa pe multe exemple și vei învăța să-ți verifici singur rezultatul. Hai să începem!

Ce vei învăța

Vei ști să împarți două fracții zecimale, oricât de „încurcate" ar părea la prima vedere.
Vei ști să elimini virgula de la împărțitor înmulțind ambele numere cu 10, 100 sau 1000.
Vei ști de ce este corect să înmulțești și deîmpărțitul, și împărțitorul cu același număr.
Vei ști să continui împărțirea exact ca atunci când împărțitorul este un număr natural.
Vei ști să verifici rezultatul prin estimare și prin proba înmulțirii, ca să fii sigur că ai calculat corect.

Hai să descoperim împreună

Reamintim cuvintele importante

Înainte de orice, hai să ne reamintim cum se numesc numerele dintr-o împărțire. Dacă scriem D : Î = C, atunci:

D este deîmpărțitul (numărul pe care îl împărțim);
Î este împărțitorul (numărul la care împărțim);
C este câtul (rezultatul împărțirii).

Vei avea nevoie de aceste cuvinte tot timpul, pentru că în lecția de azi „lucrăm" mai ales asupra împărțitorului — pe el vrem să-l transformăm într-un număr natural (adică un număr fără virgulă).

Problema: virgula la împărțitor

Să ne uităm la împărțirea 7,2 : 0,8.

Tu deja știi să faci 7,2 : 8 (o fracție zecimală împărțită la un număr natural). Dar aici împărțitorul nu este 8, ci 0,8 — are virgulă! Iar regulile de împărțire pe care le cunoști funcționează frumos doar când împărțim la un număr natural.

Deci care este planul? Simplu: scăpăm de virgula împărțitorului. Dacă reușim să transformăm 0,8 într-un număr natural, restul împărțirii devine ceva ce știm deja să facem.

Trucul de aur: înmulțim ambele numere cu 10, 100 sau 1000

Iată ideea centrală a întregii lecții. Gândește-te la o împărțire ca la o fracție:

7,2 : 0,8 este același lucru cu 7,2 / 0,8 (o linie de fracție).

Iar la fracții cunoști o proprietate puternică: dacă înmulțești și numărătorul, și numitorul cu același număr, valoarea fracției nu se schimbă. Aceasta este amplificarea fracției, pe care ai învățat-o la fracții ordinare.

La fel se întâmplă și la împărțire: dacă înmulțim și deîmpărțitul, și împărțitorul cu același număr, câtul rămâne neschimbat. De ce? Pentru că împărțirea compară de câte ori se cuprinde împărțitorul în deîmpărțit. Dacă le mărim pe amândouă de 10 ori, raportul dintre ele rămâne exact același.

O analogie ca să simți de ce e adevărat: dacă un copil are de două ori mai multe bomboane decât altul, lucrul ăsta nu se schimbă dacă le dăm fiecăruia de 10 ori mai multe bomboane. Raportul „de două ori mai multe" rămâne. La fel, raportul dintre deîmpărțit și împărțitor rămâne dacă le mărim pe amândouă de același număr de ori.

O scurtă poveste ca să ții minte ideea: doi prieteni, Andrei și Bogdan, se ceartă cine aleargă mai repede. Andrei spune că aleargă de 2 ori mai repede ca Bogdan. Apoi amândoi își pun patine cu rotile și fiecare devine de 10 ori mai rapid. S-a schimbat ceva în comparația dintre ei? Nu! Andrei tot de 2 ori mai rapid rămâne. Exact așa funcționează și împărțirea: dacă „accelerezi" ambele numere de 10 (sau 100, sau 1000) de ori, raportul dintre ele — adică câtul — rămâne neschimbat.

Cum alegem cu cât înmulțim?

Vrem ca împărțitorul să devină număr natural. De aceea ne uităm doar la împărțitor și numărăm câte cifre are după virgulă:

dacă împărțitorul are 1 cifră după virgulă → înmulțim cu 10;
dacă împărțitorul are 2 cifre după virgulă → înmulțim cu 100;
dacă împărțitorul are 3 cifre după virgulă → înmulțim cu 1000.

Și atenție, regula de aur: cu cât înmulțim împărțitorul, cu exact atât înmulțim și deîmpărțitul. Nu ai voie să înmulțești doar unul dintre ele — trebuie pe amândouă, cu același număr.

Îți reamintesc cum se înmulțește o fracție zecimală cu 10, 100, 1000 (ai învățat la lecția Înmulțirea fracțiilor zecimale; înmulțirea cu 10, 100, 1000): muți virgula spre dreapta cu tot atâtea poziții câte zerouri are numărul. Cu 10 → o poziție, cu 100 → două poziții, cu 1000 → trei poziții.

Pașii pentru împărțirea a două fracții zecimale

Hai să strângem totul într-o rețetă clară, în 4 pași:

Privește împărțitorul și numără câte cifre are după virgulă.
Înmulțește și deîmpărțitul, și împărțitorul cu 10, 100 sau 1000 (cât trebuie ca împărțitorul să devină număr natural), mutând virgula spre dreapta la amândouă.
Efectuează împărțirea obținută, care acum are împărțitor natural — exact ca în lecția anterioară.
Verifică prin estimare (și, dacă vrei, prin probă: cât × împărțitorul = deîmpărțitul).

Să rezolvăm împreună primul exemplu

Revenim la 7,2 : 0,8.

Pasul 1. Mă uit la împărțitor: 0,8 are 1 cifră după virgulă. Deci voi înmulți cu 10.

Pasul 2. Înmulțesc ambele numere cu 10 (mut virgula cu o poziție spre dreapta la amândouă):

7,2 × 10 = 72
0,8 × 10 = 8

Acum împărțirea 7,2 : 0,8 s-a transformat în 72 : 8. Observă: împărțitorul a devenit număr natural!

Pasul 3. Calculez 72 : 8 = 9.

Pasul 4. Verific prin estimare: 7,2 e cam 7, iar 0,8 e cam 1, deci rezultatul ar trebui să fie pe lângă 7. Am obținut 9 — e în zona rezonabilă (puțin mai mare, pentru că împart la 0,8, care e mai mic decât 1). Și fac proba: 9 × 0,8 = 7,2. Corect! ✔

Deci 7,2 : 0,8 = 9.

Un lucru ciudat, dar adevărat: câtul poate fi mai mare decât deîmpărțitul

Poate te miri: am împărțit 7,2 și a ieșit 9, un număr mai mare decât 7,2! La numere naturale, când împărțeai, rezultatul ieșea mereu mai mic. Ce se întâmplă aici?

Secretul e că împărțim la un număr mai mic decât 1 (0,8). A împărți la un număr subunitar înseamnă, de fapt, „de câte ori încape ceva mic într-un întreg mai mare" — și ceva mic încape de multe ori. De pildă, întrebarea „de câte ori se cuprinde 0,8 în 7,2?" are răspunsul 9, pentru că 0,8 luat de 9 ori dă 7,2.

Reține deci: când împărțitorul este mai mic decât 1, câtul iese mai mare decât deîmpărțitul. Nu e o greșeală, e perfect normal.

Și dacă împărțitorul are două cifre după virgulă?

Atunci înmulțim cu 100. Să luăm 15,75 : 0,25.

Împărțitorul 0,25 are 2 cifre după virgulă → înmulțim cu 100.
15,75 × 100 = 1575 (mut virgula 2 poziții la dreapta)
0,25 × 100 = 25
Împărțirea devine 1575 : 25 = 63.
Probă: 63 × 0,25 = 15,75. ✔

Deci 15,75 : 0,25 = 63.

Atenție: ne uităm DOAR la împărțitor!

Aceasta este cea mai importantă idee de reținut și locul unde greșesc cei mai mulți elevi. Numărul de poziții cu care mutăm virgula este dat numai de împărțitor, nu de deîmpărțit.

Să luăm 9,36 : 2,4.

Mă uit doar la împărțitor: 2,4 are 1 cifră după virgulă → înmulțesc cu 10.
9,36 × 10 = 93,6 (atenție: deîmpărțitul avea 2 zecimale, dar mut virgula tot cu o poziție, fiindcă decid după împărțitor!)
2,4 × 10 = 24
Împărțirea devine 93,6 : 24.

Vezi? Deîmpărțitul 93,6 încă are virgulă — și e perfect în regulă! Important este că împărțitorul a devenit natural (24). Acum continuăm împărțirea ca o fracție zecimală împărțită la un număr natural:

93,6 : 24 → 24 se cuprinde în 93 de 3 ori (3 × 24 = 72), rest 21; coborâm 6 → 216; pentru a continua după virgulă, punem virgula la cât și 24 se cuprinde în 216 de 9 ori (9 × 24 = 216), rest 0. Rezultat: 3,9.

Probă: 2,4 × 3,9 = 9,36. ✔

Deci 9,36 : 2,4 = 3,9. Reține: virgula de la deîmpărțit nu te deranjează; pe ea o gestionezi normal în timpul împărțirii. Doar împărțitorul trebuie să devină număr natural.

Trucul rapid: „mut virgula cu același număr de pași la amândouă"

Mulți preferă să nu spună „înmulțesc cu 10/100/1000", ci direct: mut virgula spre dreapta, în ambele numere, cu atâtea poziții câte are împărțitorul după virgulă.

7,2 : 0,8 → împărțitorul are 1 zecimală → mut virgula cu 1 poziție la amândouă → 72 : 8.
0,144 : 0,12 → împărțitorul are 2 zecimale → mut cu 2 poziții la amândouă → 14,4 : 12.

Dacă unui număr „nu-i ajung" cifre ca să mut virgula, adaug zerouri la dreapta. De exemplu, 6 : 0,4: împărțitorul are 1 zecimală, deci mut virgula cu o poziție; 6 devine 60 (am adăugat un zero), iar 0,4 devine 4. Obținem 60 : 4 = 15. Probă: 0,4 × 15 = 6. ✔

De ce funcționează estimarea ca verificare

Estimarea îți spune dacă rezultatul e „pe lângă adevăr" sau aiurea. Faci așa: rotunjești deîmpărțitul și împărțitorul la numere ușoare și împarți în minte.

La 15,75 : 0,25, gândesc: 0,25 e un sfert, iar într-un întreg sunt 4 sferturi; deci în 15,75 (aproape 16) sunt cam 16 × 4 = 64 sferturi. Am obținut 63 — foarte aproape de estimarea 64. Înseamnă că rezultatul e credibil. Dacă mi-ar fi ieșit 6,3 sau 630, estimarea m-ar fi avertizat imediat că am greșit numărul de poziții al virgulei.

Estimarea nu îți dă rezultatul exact, dar te apără de greșelile mari — mai ales de greșeala de a muta virgula greșit. De aceea o facem mereu la final.

Și cu trei zecimale la împărțitor?

Regula nu se schimbă: dacă împărțitorul are 3 cifre după virgulă, înmulțim ambele numere cu 1000 (mutăm virgula cu 3 poziții spre dreapta). Să luăm 0,84 : 0,004.

Împărțitorul 0,004 are 3 zecimale → înmulțesc cu 1000.
0,84 × 1000 = 840 (mut virgula 3 poziții; deoarece 0,84 avea doar 2 zecimale, adaug un zero: 840).
0,004 × 1000 = 4.
Împărțirea devine 840 : 4 = 210.
Probă: 0,004 × 210 = 0,84. ✔

Vezi cum aceeași rețetă din 4 pași funcționează indiferent de câte zecimale are împărțitorul? Tot ce se schimbă este cu cât înmulțim: 10, 100 sau 1000.

Ce facem când împărțirea „nu se termină" frumos?

Până acum, în toate exemplele restul a ajuns la final 0 și împărțirea s-a oprit curat. Dar uneori, după ce cobori toate cifrele deîmpărțitului, rămâne un rest și totuși nu ai terminat. Ce faci atunci? Folosești același truc pe care îl știi de la împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural: pui virgulă la cât (dacă nu ai pus-o deja) și continui să cobori zerouri.

Să luăm 4,7 : 0,4.

Împărțitorul 0,4 are 1 zecimală → înmulțesc ambele numere cu 10: 47 : 4.
Împart: 4 : 4 = 1, rest 0; cobor 7 → 7 : 4 = 1, rest 3. Am terminat cifrele lui 47, dar restul este 3, nu 0.
Pun virgulă la cât și adaug un zero la rest: cobor un 0 → 30 : 4 = 7, rest 2.
Mai adaug un 0: cobor → 20 : 4 = 5, rest 0. Gata!
Obțin 11,75.
Probă: 0,4 × 11,75 = 4,7. ✔

Deci 4,7 : 0,4 = 11,75. Reține: a adăuga zerouri după virgula câtului este permis pentru că 47 este același lucru cu 47,00 — zerourile de după virgulă nu schimbă valoarea, dar îți dau cifre de coborât ca să duci împărțirea până la capăt.

Atenție însă: nu orice împărțire se „închide" cu rest 0, oricâte zerouri ai adăuga. La clasa a V-a, exercițiile sunt alese ca să iasă exact sau ca să le rotunjești la câte zecimale ți se cere. Dacă vezi că restul nu mai ajunge la 0 după 2-3 zerouri, cel mai probabil ți se cere să rotunjești câtul (de exemplu, la o zecimală).

Un mic rezumat vizual al întregii idei

Imaginează-ți că virgula împărțitorului e un obstacol. Tu „împingi" acel obstacol în afara numărului mutându-l spre dreapta — dar, ca să fie corect, faci exact aceeași mișcare și la deîmpărțit. Cele două virgule se mișcă împreună, cu același număr de pași, ca doi dansatori care fac aceiași pași în același timp.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — împărțitor cu o zecimală

Calculează 4,5 : 1,5.

Privesc împărțitorul: 1,5 are 1 cifră după virgulă → înmulțesc ambele numere cu 10.
4,5 × 10 = 45 și 1,5 × 10 = 15.
Împărțirea devine 45 : 15 = 3.
Estimare: 4,5 e cam 4–5, iar 1,5 cam 1,5; rezultatul pe lângă 3. Se potrivește.
Probă: 3 × 1,5 = 4,5. ✔

Răspuns: 4,5 : 1,5 = 3.

Exemplul 2 — câtul iese mai mare decât deîmpărțitul

Calculează 6 : 0,4.

Privesc împărțitorul: 0,4 are 1 zecimală → înmulțesc cu 10.
6 × 10 = 60 și 0,4 × 10 = 4. (Deîmpărțitul 6 nu avea zecimale, dar la înmulțirea cu 10 adaug un zero: 60.)
Împărțirea devine 60 : 4 = 15.
Observație: câtul 15 e mai mare decât deîmpărțitul 6, fiindcă împart la un număr subunitar (0,4 < 1). E corect.
Probă: 0,4 × 15 = 6. ✔

Răspuns: 6 : 0,4 = 15.

Exemplul 3 — împărțitor cu două zecimale

Calculează 0,96 : 0,16.

Privesc împărțitorul: 0,16 are 2 zecimale → înmulțesc ambele numere cu 100.
0,96 × 100 = 96 și 0,16 × 100 = 16.
Împărțirea devine 96 : 16 = 6.
Estimare: 0,16 e cam o șesime din 1... mai simplu: 0,16 luat de 6 ori dă 0,96. Rezultatul 6 e logic.
Probă: 0,16 × 6 = 0,96. ✔

Răspuns: 0,96 : 0,16 = 6.

Exemplul 4 — deîmpărțitul rămâne cu virgulă, dar nu ne deranjează

Calculează 7,02 : 0,6.

Privesc DOAR împărțitorul: 0,6 are 1 zecimală → înmulțesc ambele cu 10.
7,02 × 10 = 70,2 și 0,6 × 10 = 6.
Împărțirea devine 70,2 : 6 (împărțitor natural, deîmpărțit încă cu virgulă — perfect normal).
Împart: 70 : 6 → 6 se cuprinde de 11 ori? Nu — pas cu pas: 7 : 6 = 1 rest 1; coborând 0 → 10 : 6 = 1 rest 4; pun virgula la cât și cobor 2 → 42 : 6 = 7, rest 0. Obțin 11,7.
Probă: 0,6 × 11,7 = 7,02. ✔

Răspuns: 7,02 : 0,6 = 11,7.

Exemplul 5 — câtul are și el zecimale

Calculează 4,84 : 2,2.

Privesc împărțitorul: 2,2 are 1 zecimală → înmulțesc ambele cu 10.
4,84 × 10 = 48,4 și 2,2 × 10 = 22.
Împărțirea devine 48,4 : 22. Împart: 48 : 22 = 2, rest 4; pun virgula la cât și cobor 4 → 44 : 22 = 2, rest 0. Obțin 2,2.
Probă: 2,2 × 2,2 = 4,84. ✔

Răspuns: 4,84 : 2,2 = 2,2.

Exemplul 6 — o mică problemă din viața reală

Un colac de sârmă are lungimea de 9,6 m. Vrem să-l tăiem în bucăți egale, fiecare de câte 0,8 m. Câte bucăți obținem?

Trebuie să aflăm de câte ori se cuprinde 0,8 în 9,6, adică 9,6 : 0,8.
Împărțitorul 0,8 are 1 zecimală → înmulțesc ambele cu 10: 96 : 8 = 12.
Probă: 12 × 0,8 = 9,6. ✔

Răspuns: obținem 12 bucăți de sârmă.

Exemplul 7 — cu trei zecimale și cu adăugare de zerouri

Calculează 2,5 : 0,125.

Privesc împărțitorul: 0,125 are 3 zecimale → înmulțesc ambele numere cu 1000.
2,5 × 1000 = 2500 (mut virgula 3 poziții; adaug zerouri ca să am cifre destule) și 0,125 × 1000 = 125.
Împărțirea devine 2500 : 125 = 20.
Estimare: 0,125 este o optime din 1, iar în 2,5 sunt 2,5 × 8 = 20 optimi. Se potrivește perfect.
Probă: 0,125 × 20 = 2,5. ✔

Răspuns: 2,5 : 0,125 = 20.

Exemplul 8 — împărțirea care continuă cu zerouri coborâte

Calculează 5,4 : 0,8.

Privesc împărțitorul: 0,8 are 1 zecimală → înmulțesc ambele numere cu 10.
5,4 × 10 = 54 și 0,8 × 10 = 8.
Împărțirea devine 54 : 8. Împart: 54 : 8 = 6, rest 6. Cifrele lui 54 s-au terminat, dar restul nu e 0.
Pun virgulă la cât și cobor un 0: 60 : 8 = 7, rest 4. Mai cobor un 0: 40 : 8 = 5, rest 0. Gata.
Obțin 6,75.
Probă: 0,8 × 6,75 = 5,4. ✔

Răspuns: 5,4 : 0,8 = 6,75. Observă cum, deși deîmpărțitul transformat (54) nu mai avea zecimale, am putut continua împărțirea adăugând zerouri după virgula câtului.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. La fiecare calcul, transformă întâi împărțitorul în număr natural, apoi efectuează împărțirea. Verifică prin probă unde poți.

A. Calcul direct (împărțitor cu o zecimală)

8,4 : 0,7 =
3,6 : 0,9 =
5,6 : 0,8 =
9,9 : 1,1 =
12,5 : 0,5 =

B. Calcul cu două zecimale la împărțitor

0,96 : 0,12 =
10 : 0,25 =
0,144 : 0,12 =

C. Câtul are și el zecimale

7,02 : 0,6 =
0,025 : 0,5 =

D. Completează spațiul liber

La 6,3 : 0,9, împărțitorul are ____ cifră după virgulă, deci înmulțesc ambele numere cu ____ și obțin împărțirea ____ : ____ .

E. Adevărat sau fals? (scrie A sau F și corectează ce e fals)

6,4 : 0,8 = 8.
La împărțirea a două fracții zecimale, mut virgula doar la deîmpărțit.
Numărul de poziții cu care mut virgula este dat de împărțitor.

F. Încercuiește rezultatul corect

2,4 : 0,6 = ? → a) 0,4 b) 4 c) 40

G. Mici probleme

Un kilogram de cireșe costă 4,5 lei. Maria plătește 13,5 lei. Câte kilograme de cireșe a cumpărat?
Un robinet curge cu 0,6 litri pe secundă. În câte secunde umple o sticlă de 1,5 litri?
Un autoturism consumă 1,5 litri de combustibil la fiecare oră de mers prin oraș. Cu un rezervor în care mai sunt 22,5 litri, câte ore poate merge?

H. Împărțiri care continuă cu zerouri coborâte

5,4 : 0,8 =
3 : 0,8 =
Un sul de panglică are 4,5 m. Vrei fundițe de câte 0,8 m. Câte fundițe întregi poți face și câți metri îți rămân?

Răspunsuri și explicații

12. 0,7 are 1 zecimală → 84 : 7 = 12. Probă: 12 × 0,7 = 8,4. ✔
4. 36 : 9 = 4. Probă: 4 × 0,9 = 3,6. ✔
7. 56 : 8 = 7. Probă: 7 × 0,8 = 5,6. ✔
9. 99 : 11 = 9. Probă: 9 × 1,1 = 9,9. ✔
25. 125 : 5 = 25. Câtul e mai mare decât deîmpărțitul, fiindcă împărțitorul 0,5 < 1. Probă: 25 × 0,5 = 12,5. ✔
8. 0,12 are 2 zecimale → înmulțesc cu 100 → 96 : 12 = 8. Probă: 8 × 0,12 = 0,96. ✔
40. 0,25 are 2 zecimale → 1000 : 25 = 40 (la 10 am adăugat două zerouri ca să mut virgula 2 poziții). Probă: 40 × 0,25 = 10. ✔
1,2. × 100 → 14,4 : 12 = 1,2. Probă: 1,2 × 0,12 = 0,144. ✔
11,7. × 10 → 70,2 : 6 = 11,7. Probă: 11,7 × 0,6 = 7,02. ✔
0,05. 0,5 are 1 zecimală → × 10 → 0,25 : 5 = 0,05. Probă: 0,05 × 0,5 = 0,025. ✔
Împărțitorul 0,9 are 1 cifră → înmulțesc cu 10 → obțin 63 : 9 (care dă 7). Probă: 7 × 0,9 = 6,3. ✔
Adevărat (A). 64 : 8 = 8, iar 8 × 0,8 = 6,4. ✔
Fals (F). Corect: mut virgula la amândouă numerele cu același număr de poziții, ca să nu se schimbe câtul.
Adevărat (A). Numărul de poziții se hotărăște după câte zecimale are împărțitorul.
b) 4. 0,6 are 1 zecimală → 24 : 6 = 4. Probă: 4 × 0,6 = 2,4. ✔
3 kg. 13,5 : 4,5 → × 10 → 135 : 45 = 3. Probă: 3 × 4,5 = 13,5. ✔
2,5 secunde. 1,5 : 0,6 → × 10 → 15 : 6 = 2,5. Probă: 2,5 × 0,6 = 1,5. ✔
15 ore. 22,5 : 1,5 → × 10 → 225 : 15 = 15. Probă: 15 × 1,5 = 22,5. ✔
6,75. × 10 → 54 : 8; 54 : 8 = 6 rest 6, pun virgula și cobor zerouri → 60 : 8 = 7 rest 4, 40 : 8 = 5 rest 0. Probă: 0,8 × 6,75 = 5,4. ✔
3,75. × 10 → 30 : 8; 30 : 8 = 3 rest 6, virgulă și zerouri → 60 : 8 = 7 rest 4, 40 : 8 = 5. Probă: 0,8 × 3,75 = 3. ✔
5 fundițe întregi, rămân 0,5 m. Aici nu vrem zecimale la cât, ci câte bucăți întregi ies: 0,8 se cuprinde în 4,5 de 5 ori întregi (5 × 0,8 = 4 m), iar diferența 4,5 − 4 = 0,5 m rămâne nefolosită. (Dacă ai fi împărțit până la capăt, ai fi obținut 5,625, dar o fundiță „pe jumătate" nu ne folosește, de aceea oprim la partea întreagă.)

De reținut

Ca să împarți două fracții zecimale, transformi întâi împărțitorul într-un număr natural.
Înmulțești și deîmpărțitul, și împărțitorul cu același număr (10, 100 sau 1000) — câtul nu se schimbă.
Numărul de poziții cu care muți virgula este dat doar de împărțitor: 1 zecimală → ×10, 2 zecimale → ×100, 3 zecimale → ×1000.
După ce împărțitorul a devenit natural, continui împărțirea normal, exact ca în lecția anterioară; deîmpărțitul poate rămâne cu virgulă.
Verifică mereu prin estimare și prin probă (cât × împărțitor = deîmpărțit).

Greșeli frecvente

Muți virgula doar la un singur număr. Dacă scapi de virgula împărțitorului dar uiți să muți și la deîmpărțit (sau invers), câtul iese complet greșit. Mută la amândouă, cu același număr de poziții.
Numeri zecimalele deîmpărțitului în loc de cele ale împărțitorului. Decizia „cu cât înmulțesc" se ia uitându-te numai la împărțitor. La 9,36 : 2,4 muți virgula cu 1 poziție (după 2,4), nu cu 2.
Te sperii că deîmpărțitul rămâne cu virgulă. E perfect normal: la 93,6 : 24 doar împărțitorul trebuie să fie natural. Pe virgula deîmpărțitului o tratezi normal în timpul împărțirii.
Uiți să adaugi zerouri când „nu ajung" cifrele. La 6 : 0,4, deîmpărțitul 6 devine 60 (adaugi un zero), nu rămâne 6. Fără acest zero, mutarea virgulei e imposibilă și rezultatul iese greșit.

Joc acasă

1. Sticla și păhărelul. Ia o sticlă de apă de 1,5 litri și un păhărel. Măsoară cât intră în păhărel (de exemplu 0,3 litri). Întreabă: „De câte păhărele am nevoie ca să golesc sticla?" Calculează 1,5 : 0,3 și apoi verifică turnând efectiv apa. Te potrivești cu calculul?

2. Cursa de monede. Pune pe masă bani de hârtie și monede. Întreabă: „Câte monede de 0,5 lei fac 7,5 lei?" Rezolvă 7,5 : 0,5 și apoi numără monedele ca să confirmi.

3. Provocarea virgulei dispărute. Scrie pe o foaie 5 împărțiri de fracții zecimale (tu le inventezi). Pentru fiecare, scrie alături doar cu cât trebuie înmulțit (10, 100 sau 1000) și care devine noua împărțire, fără să o rezolvi. Dă foaia unui părinte să verifice dacă ai ales corect numărul, uitându-se la împărțitor.

Pentru părinți și învățători

Această lecție se sprijină pe două deprinderi deja formate: înmulțirea unei fracții zecimale cu 10, 100, 1000 (mutarea virgulei spre dreapta) și împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural. Dacă elevul șovăie la împărțirea cu împărțitor decimal, verificați mai întâi că aceste două deprinderi sunt solide — adesea „blocajul" este de fapt acolo.

Ideea-cheie de transmis este de ce avem voie să înmulțim ambele numere cu același factor: pentru că împărțirea măsoară un raport, iar raportul nu se schimbă dacă mărim ambii termeni de același număr de ori (legătura cu amplificarea fracțiilor ajută enorm). Folosiți analogia cu balanța: „dacă pun de 10 ori mai mult pe ambele talere, balanța rămâne dreaptă".

Întrebări utile de pus: „La ce te uiți ca să decizi cu cât înmulțești?" (răspuns corect: la împărțitor); „De ce e în regulă că deîmpărțitul a rămas cu virgulă?"; „Cum verifici fără să refaci tot calculul?" (estimare + probă). Cereți mereu proba prin înmulțire — este verificarea cea mai sigură și consolidează legătura dintre împărțire și înmulțire.

Semnal că elevul a înțeles: poate explica cu cuvintele lui regula „mut virgula la amândouă, cu atâtea poziții câte are împărțitorul", recunoaște că un cât mai mare decât deîmpărțitul e normal când împărțim la un subunitar, și își prinde singur greșelile prin estimare. Dacă apar erori, cel mai des este mutarea virgulei doar la un număr — reluați exact acel pas.

Întrebări frecvente

Cum împart două numere zecimale în clasa a 5-a? Faci împărțitorul număr natural: înmulțești și deîmpărțitul, și împărțitorul cu 10, 100 sau 1000 (mutând virgula la dreapta la amândouă), apoi împarți normal. De exemplu, 7,2 : 0,8 devine 72 : 8 = 9.

Cu cât trebuie să înmulțesc numerele? Te uiți doar la împărțitor și numeri câte cifre are după virgulă: o cifră înseamnă ×10, două cifre ×100, trei cifre ×1000. Cu același număr înmulțești și deîmpărțitul.

De ce mut virgula și la deîmpărțit, nu doar la împărțitor? Pentru ca rezultatul (câtul) să rămână același. Împărțirea măsoară un raport, iar dacă mărești ambele numere de același număr de ori, raportul nu se schimbă. Dacă ai muta virgula doar la unul, ai obține alt rezultat, greșit.

E normal ca rezultatul să fie mai mare decât numărul împărțit? Da, atunci când împarți la un număr mai mic decât 1 (subunitar). De exemplu 6 : 0,4 = 15: un număr mic încape de multe ori într-un întreg mai mare, deci câtul iese mare.

Ce fac dacă deîmpărțitul rămâne cu virgulă după ce mut virgula? Nimic special: continui împărțirea ca la o fracție zecimală împărțită la un număr natural. Important este doar ca împărțitorul să fie număr natural; virgula deîmpărțitului se gestionează normal în timpul calculului.

Cum verific dacă am împărțit corect numere zecimale? Două metode: estimezi (rotunjești numerele și împarți în minte, ca să vezi dacă rezultatul e rezonabil) și faci proba înmulțirii — câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să-ți dea înapoi deîmpărțitul.

Trebuie să adaug zerouri uneori? Da. Dacă deîmpărțitului nu-i ajung cifre ca să muți virgula, adaugi zerouri la dreapta. De exemplu, la 6 : 0,4, deîmpărțitul 6 devine 60 când muți virgula cu o poziție.

Ce legătură are această lecție cu împărțirea fracțiilor ordinare? Aceeași idee: a împărți la o fracție zecimală este ca a lucra cu o fracție, iar amplificarea (înmulțirea cu același număr sus și jos) nu schimbă valoarea. Dacă vrei să revezi împărțirea fracțiilor obișnuite, vezi lecția Împărțirea fracțiilor. Inversa unei fracții.