Fracție și procent dintr-un număr. Media aritmetică a unor fracții

Câți elevi dintr-o clasă au luat nota 10? Cât costă o pereche de adidași după o reducere de 30%? Care e nota „de mijloc" a două note exprimate ca fracții? Toate aceste întrebări din viața reală se rezolvă cu o singură idee puternică: cum afli o fracție sau un procent dintr-un număr. În această lecție vei descoperi cum se face asta corect, repede și fără greșeli, și cum calculezi media aritmetică a unor fracții. Sunt instrumente pe care le vei folosi tot restul vieții, nu doar la școală.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi o fracție dintr-un număr natural prin înmulțire (de exemplu, $\frac{2}{3}$ din 90).
• Vei ști să afli un procent dintr-un număr (de exemplu, 25% din 240) și să transformi procentul în fracție.
• Vei ști să calculezi o fracție dintr-o fracție în probleme practice.
• Vei ști să calculezi media aritmetică a două sau mai multor fracții.
• Vei ști să estimezi rezultatul și să verifici dacă un calcul este corect.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „o fracție dintr-un număr"?

Hai să pornim de la ceva familiar. Când spui „jumătate din 10", ce faci de fapt? Împarți 10 în 2 părți egale și iei o parte: $10:2=5$. Deci jumătate din 10 este 5.

Dar „jumătate" este, de fapt, fracția $\frac{1}{2}$. Așadar:

$$\frac{1}{2}\text{ din }10=5$$

Cuvântul „din" este vedeta acestei lecții. În matematică, cuvântul „din" se traduce prin înmulțire. Reține asta ca pe o regulă de aur:

„o fracție din un număr" $=$ fracția înmulțită cu numărul

Adică:

$$\frac{a}{b}\text{ din }n=\frac{a}{b}\cdot n$$

2. Cum calculăm practic o fracție dintr-un număr

Avem două drumuri care duc în același loc. Le poți folosi pe oricare, dar unul e adesea mai ușor.

Drumul 1 — întâi împart, apoi înmulțesc. Ca să afli $\frac{2}{3}$ din 90:

1. Împarți numărul la numitor: $90:3=30$ (asta înseamnă „o treime din 90").
2. Înmulțești rezultatul cu numărătorul: $30\cdot 2=60$.

Deci $\frac{2}{3}$ din 90 este 60.

Drumul 2 — întâi înmulțesc, apoi împart. Ca să afli $\frac{2}{3}$ din 90:

1. Înmulțești numărul cu numărătorul: $90\cdot 2=180$.
2. Împarți la numitor: $180:3=60$.

Același rezultat: 60.

De ce funcționează amândouă? Pentru că $\frac{2}{3}\cdot 90=\frac{2\cdot 90}{3}$, iar la o înmulțire de fracții (pe care ai învățat-o în lecția despre înmulțirea fracțiilor) putem simplifica înainte sau putem efectua în orice ordine.

💡 Sfat de aur: alege drumul în care împărțirea „iese frumos". La $\frac{2}{3}$ din 90, e mai comod să împarți întâi 90 la 3 (drumul 1). La $\frac{3}{5}$ din 7, e mai comod să înmulțești întâi (drumul 2): $7\cdot 3=21$, apoi $21:5=\frac{21}{5}$.

3. Scriem numărul ca fracție și simplificăm

Există și o privire „de gimnaziu", mai matură, asupra calculului. Orice număr natural se poate scrie ca fracție cu numitorul 1. De exemplu, $90=\frac{90}{1}$. Atunci:

$$\frac{2}{3}\text{ din }90=\frac{2}{3}\cdot \frac{90}{1}=\frac{2}{3}\cdot \frac{90}{1}$$

Simplificăm 90 cu 3 (pentru că $90:3=30$):

$$=\frac{2\cdot 30}{1}=\frac{60}{1}=60$$

Această metodă te ajută mai ales când rezultatul nu este un număr întreg. De exemplu, $\frac{3}{4}$ din 10:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{10}{1}=\frac{3\cdot 10}{4}=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}$$

Deci $\frac{3}{4}$ din 10 este $7\frac{1}{2}$, adică șapte și jumătate. Vezi? Rezultatul nu trebuie să fie mereu întreg, iar asta e perfect normal.

4. Ce este un procent?

Cuvântul procent vine din latină: per centum înseamnă „din o sută". De aceea simbolul este %. Un procent este, de fapt, o fracție specială cu numitorul 100:

$$p\%=\frac{p}{100}$$

De exemplu:

• $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
• $50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$
• $10\%=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$
• $100\%=\frac{100}{100}=1$ (adică tot întregul!)

Ai întâlnit deja această idee în lecția procente: scrierea unui procent sub formă de fracție ordinară. Acum o folosim ca să calculăm.

5. Cum afli un procent dintr-un număr

Regula este exact aceeași ca la fracții, pentru că procentul este o fracție! „p% din n" înseamnă:

$$p\%\text{ din }n=\frac{p}{100}\cdot n$$

Exemplu: Cât este 25% din 240?

$$25\%\text{ din }240=\frac{25}{100}\cdot 240$$

Simplificăm $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, deci:

$$=\frac{1}{4}\cdot 240=240:4=60$$

Așadar 25% din 240 este 60.

Există și un truc rapid pentru procente. Pornește de la 1%, care e foarte ușor de aflat (împarți la 100), apoi înmulțești:

• 1% din n $=n:100$ (muți virgula cu două poziții la stânga sau împarți la 100).
• Apoi 1% înmulțit cu cât vrei tu.

De exemplu, 30% din 250:

1. $1\%\text{ din }250=250:100=2,5$
2. $30\%$ din $250$ înseamnă $30\cdot 2,5=75$.

Deci 30% din 250 este 75.

💡 Procente prietenoase de memorat: 10% = împarți la 10; 50% = jumătate; 25% = un sfert; 20% = a cincea parte; 1% = împarți la 100. Cu acestea poți calcula multe procente „în minte".

Hai să vedem cum funcționează aceste „cărămizi" împreună. Vrei să afli 35% din 80? Spargi 35% în bucăți ușoare:

• $25\%$ din 80 $=80:4=20$
• $10\%$ din 80 $=80:10=8$
• aduni: $20+8=28$.

Deci 35% din 80 este 28. Vezi cât de util e să descompui un procent „urât" în procente prietenoase? Și 15% din 60 se face la fel: $10\%$ din 60 e 6, iar $5\%$ e jumătate din 10%, adică 3; total $6+3=9$. Acesta e un mod de a calcula procente fără calculator, foarte folosit la cumpărături și bacșiș.

De ce ne pasă de procente? Pentru că le întâlnești peste tot: reduceri la magazin („−20%"), dobânzi la bancă, scorul la un test („ai luat 80% din punctaj"), nivelul bateriei la telefon (procentul rămas), procentul de grăsime de pe o etichetă alimentară. A ști să calculezi un procent dintr-un număr este una dintre cele mai folositoare abilități matematice din viața reală.

6. Fracție dintr-o fracție

Uneori trebuie să luăm „o parte dintr-o parte". Asta înseamnă o fracție dintr-o fracție, și se rezolvă tot prin înmulțire, după aceeași regulă de aur cu „din".

Imaginează-ți o tabletă de ciocolată. Tu primești $\frac{1}{2}$ din ea. Apoi îi dai prietenului tău $\frac{1}{3}$ din cât ai tu. Cât din tableta întreagă i-ai dat prietenului?

$$\frac{1}{3}\text{ din }\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$

Prietenul a primit $\frac{1}{6}$ din toată tableta. Verifică pe desen: dacă tableta are 6 pătrățele, jumătatea ta are 3 pătrățele, iar o treime din cele 3 pătrățele înseamnă 1 pătrățel — adică $\frac{1}{6}$ din întreg. Se potrivește!

Atenție la cuvinte: „fracție dintr-o fracție" se înmulțește mereu. Nu împarți și nu aduni numitorii — doar înmulțești numărător cu numărător și numitor cu numitor.

7. Media aritmetică a unor fracții

Probabil știi deja media aritmetică de la numere naturale: aduni numerele și împarți la câte numere sunt. De exemplu, media notelor 8 și 10 este $(8+10):2=9$.

La fracții e exact aceeași idee! Media aritmetică a unor fracții se calculează în doi pași:

1. Aduni toate fracțiile (aducându-le la același numitor, dacă e nevoie — vezi lecția despre adunarea fracțiilor).
2. Împarți suma la numărul de fracții (adică înmulțești cu $\frac{1}{num\breve{a}rullor}$).

Formula pentru media a două fracții $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ este:

$$m=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right):2$$

Exemplu: Media aritmetică a fracțiilor $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$.

1. Adun: aduc la numitor comun 4. $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, deci $\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
2. Împart la 2: $\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$.

Media este $\frac{3}{8}$. Are sens? Da! Media trebuie să fie între cele două fracții. Și într-adevăr $\frac{1}{4}<\frac{3}{8}<\frac{1}{2}$ (pentru că $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ și $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$). Perfect.

💡 Verificare deșteaptă: media aritmetică se află mereu între cea mai mică și cea mai mare valoare. Dacă îți iese o medie mai mare decât toate fracțiile sau mai mică decât toate, sigur ai greșit pe undeva.

Pentru mai multe fracții faci la fel. Media a trei fracții = (suma celor trei) împărțită la 3. Media a patru fracții = suma împărțită la 4. Și așa mai departe. Regula scurtă: împarți mereu la câte fracții ai adunat.

Un caz foarte comod este când toate fracțiile au același numitor. Atunci nu mai ai nimic de adus la numitor comun: aduni doar numărătorii și împarți. De exemplu, media fracțiilor $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{7}$ și $\frac{4}{7}$ se află rapid: suma este $\frac{2+3+4}{7}=\frac{9}{7}$, iar media este $\frac{9}{7}:3=\frac{9}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{7}$. Observă că $\frac{3}{7}$ este chiar fracția „din mijloc" — exact unde te aștepți să cadă media a trei valori egal depărtate. Acest mic truc îți arată că, atunci când numitorii sunt deja egali, calculul mediei devine la fel de simplu ca la numerele naturale.

8. Estimează și verifică (gândirea de matematician)

Un matematician adevărat nu calculează „orbește": el estimează întâi cam cât ar trebui să iasă, apoi verifică la final dacă rezultatul are sens. Aceasta este chiar competența pe care o exersăm aici. Iată trei reflexe utile:

• Fracție subunitară din număr → rezultat mai mic decât numărul. Dacă $\frac{a}{b}<1$, atunci $\frac{a}{b}$ din $n$ este mai mic decât $n$. De exemplu, $\frac{2}{3}$ din 90 trebuie să fie sub 90 (și a ieșit 60 — bine).
• Procent sub 100% → rezultat mai mic decât întregul. 30% din 250 trebuie să fie clar sub 250; iar 30% e cam o treime, deci pe la 75-80. A ieșit 75 — perfect.
• Media → mereu între valori. Reflexul pe care l-am tot repetat: dacă media „iese" în afara intervalului, refă calculul.

Acest obicei de a estima înainte și a verifica după te scapă de greșelile grave, cele care „sar în ochi", și îți dă încredere că rezultatul tău este corect.

O analogie care ajută: gândește-te la medie ca la „netezirea" valorilor. Dacă ai trei pahare cu apă umplute la $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{6}$ din capacitate, iar le torni pe toate într-un vas mare și apoi împarți apa egal înapoi în cele 3 pahare, fiecare pahar ar ajunge la media lor, adică la $\frac{1}{3}$. Media spune „cât ar fi în fiecare dacă totul ar fi împărțit egal". Această imagine te va ajuta să nu uiți niciodată că media se calculează din sumă împărțită la număr.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fracție dintr-un număr (cazul „frumos")

Cât este $\frac{3}{5}$ din 200?

Aleg drumul „întâi împart" pentru că 200 se împarte ușor la 5.

1. $200:5=40$ (o cincime din 200).
2. $40\cdot 3=120$.

Răspuns: $\frac{3}{5}$ din 200 este 120.

Estimare de verificare: $\frac{3}{5}$ e puțin mai mult de jumătate. Jumătate din 200 e 100, iar 120 e ceva mai mult — se potrivește.

Exemplul 2 — Fracție dintr-un număr (rezultat neîntreg)

Cât este $\frac{5}{6}$ din 21?

Aici 21 nu se împarte exact la 6, așa că scriu numărul ca fracție și simplific.

$$\frac{5}{6}\cdot \frac{21}{1}=\frac{5\cdot 21}{6}$$

Simplific 21 cu 6 prin 3: $21:3=7$ și $6:3=2$.

$$=\frac{5\cdot 7}{2}=\frac{35}{2}=17\frac{1}{2}$$

Răspuns: $\frac{5}{6}$ din 21 este $\frac{35}{2}=17\frac{1}{2}$.

Exemplul 3 — Procent dintr-un număr (reducere de preț)

O bicicletă costă 480 de lei. La un magazin se aplică o reducere de 15%. Cu cât se ieftinește bicicleta și cât costă după reducere?

Calculez 15% din 480, adică valoarea reducerii.

$$15\%\text{ din }480=\frac{15}{100}\cdot 480$$

Simplific: $480:100=4,8$, apoi $4,8\cdot 15=72$. Altfel spus, $1\%$ din $480$ înseamnă $4,8$, iar $15\%$ din $480$ înseamnă $15\cdot 4,8=72$.

Reducerea este de 72 de lei. Prețul nou:

$$480-72=408\text{ lei}$$

Răspuns: bicicleta se ieftinește cu 72 de lei și costă 408 lei după reducere.

Exemplul 4 — Fracție dintr-o fracție (problemă practică)

Într-o livadă, $\frac{2}{3}$ dintre pomi sunt meri. Dintre meri, $\frac{3}{4}$ sunt pe rod. Ce parte din toți pomii livezii sunt meri pe rod?

„$\frac{3}{4}$ dintre meri", iar merii sunt „$\frac{2}{3}$ din total". Deci calculez o fracție dintr-o fracție:

$$\frac{3}{4}\text{ din }\frac{2}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}$$

Simplific 3 cu 3 și 2 cu 4:

$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}=\frac{1}{2}$$

Răspuns: jumătate, adică $\frac{1}{2}$ din toți pomii livezii, sunt meri pe rod.

Exemplul 5 — Media aritmetică a două fracții

Calculează media aritmetică a fracțiilor $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{6}$.

1. Adun, cu numitor comun 6: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, deci $\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.
2. Împart la 2: $\frac{3}{2}:2=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$.

Răspuns: media este $\frac{3}{4}$.

Verificare: $\frac{3}{4}$ trebuie să fie între $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{6}$. Aducem la numitor comun 12: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. Într-adevăr $\frac{8}{12}<\frac{9}{12}<\frac{10}{12}$. Corect!

Exemplul 6 — Media aritmetică a trei fracții

Calculează media aritmetică a fracțiilor $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{6}$.

1. Adun, cu numitor comun 6: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$. Suma: $\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1$.
2. Împart la 3 (sunt trei fracții): $1:3=\frac{1}{3}$.

Răspuns: media aritmetică este $\frac{1}{3}$.

Exemplul 7 — Procent „urât" prin descompunere

Cât este 35% din 140?

Descompun 35% în procente prietenoase: $35\%=25\%+10\%$.

1. $25\%$ din 140 $=140:4=35$.
2. $10\%$ din 140 $=140:10=14$.
3. Adun: $35+14=49$.

Răspuns: 35% din 140 este 49.

Altă cale (verificare): $\frac{35}{100}\cdot 140=\frac{35\cdot 140}{100}=\frac{4900}{100}=49$. Același rezultat — corect!

Exemplul 8 — Problemă combinată (fracție și apoi procent)

Un sportiv aleargă $\frac{3}{4}$ dintr-un traseu de 800 de metri într-un antrenament. A doua zi aleargă cu 10% mai mult decât în prima zi. Câți metri aleargă a doua zi?

1. Prima zi: $\frac{3}{4}$ din 800 $=800:4=200$, apoi $200\cdot 3=600$ metri.
2. „Cu 10% mai mult" înseamnă plus 10% din 600: $10\%$ din 600 $=60$ metri.
3. A doua zi: $600+60=660$ metri.

Răspuns: a doua zi aleargă 660 de metri.

Exemplul 9 — Procent în viața de zi cu zi (baterie)

Bateria unui telefon are capacitatea „plină" de 4000 de mAh. Acum afișează 35%. Câți mAh mai are bateria?

„35% din 4000" este chiar procentul dintr-un număr.

$$35\%\text{ din }4000=\frac{35}{100}\cdot 4000$$

Simplific: $4000:100=40$, apoi $40\cdot 35=1400$.

Răspuns: bateria mai are 1400 mAh.

Estimare de verificare: 35% e cam o treime, iar o treime din 4000 e pe la 1300; 1400 se potrivește bine cu estimarea.

Exemplul 10 — Media aritmetică „înapoi" (verificare logică)

Un elev a calculat media aritmetică a fracțiilor $\frac{1}{3}$ și $\frac{5}{6}$ și a obținut $\frac{1}{4}$. Fără să refaci tot calculul, explică de ce răspunsul este sigur greșit. Apoi află media corectă.

Folosim reflexul de verificare: media trebuie să fie între cele două fracții. Cum $\frac{1}{4}$ este mai mică decât amândouă fracțiile ($\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$), nu poate fi media lor — deci elevul a greșit cu siguranță.

Media corectă:

1. Adun, cu numitor comun 6: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, deci $\frac{2}{6}+\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$.
2. Împart la 2: $\frac{7}{6}:2=\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{7}{12}$.

Răspuns: media corectă este $\frac{7}{12}$, iar ea chiar cade între $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ și $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$.

Să exersăm

1. Calculează $\frac{1}{2}$ din 48.

2. Calculează $\frac{1}{4}$ din 100.

3. Calculează $\frac{2}{3}$ din 60.

4. Calculează $\frac{3}{5}$ din 150.

5. Calculează $\frac{4}{7}$ din 49.

6. Calculează $\frac{5}{6}$ din 18.

7. Calculează 10% din 350.

8. Calculează 25% din 320.

9. Calculează 50% din 86.

10. Calculează 20% din 145.

11. Calculează 75% din 240.

12. Adevărat sau fals? „30% dintr-un număr este mai mult decât jumătate din acel număr." Justifică.

13. Completează: $\frac{3}{4}$ din 28 este ____, iar 75% din 28 este ____. Ce observi?

14. Fracție dintr-o fracție: Cât este $\frac{2}{5}$ din $\frac{5}{8}$?

15. Problemă (reducere). Un telefon costă 900 de lei. La reducere se scade 20%. Cât costă telefonul după reducere?

16. Problemă (clasă). Într-o clasă sunt 30 de elevi. $\frac{2}{5}$ dintre ei merg la cercul de robotică. Câți elevi merg la robotică?

17. Media aritmetică. Calculează media aritmetică a fracțiilor $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$.

18. Media aritmetică (mai grea). Calculează media aritmetică a fracțiilor $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{6}$. Verifică dacă media este între cea mai mică și cea mai mare fracție.

19. Procent „urât". Calculează 35% din 200, descompunând în 25% + 10%.

20. Încercuiește răspunsul corect. $\frac{2}{3}$ din 45 este: a) 15 b) 30 c) 67{,}5.

21. Potrivește fiecare procent cu fracția egală: (A) 50% (B) 20% (C) 75% (D) 10% — cu fracțiile: $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{5}$.

22. Mică problemă. O carte are 180 de pagini. Andrei a citit 40% din ea. Câte pagini mai are de citit?

23. Procent prin descompunere. Calculează 15% din 80 folosind 10% + 5% (unde 5% este jumătate din 10%).

24. Fracție dintr-o fracție. Cât este $\frac{3}{4}$ din $\frac{2}{9}$? Simplifică rezultatul.

25. Media a patru fracții. Calculează media aritmetică a fracțiilor $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$ și $\frac{7}{8}$.

26. Problemă (sport). Un teren de fotbal are 100 de metri lungime. Un jucător aleargă $\frac{7}{10}$ din lungimea terenului. Câți metri a alergat și ce procent din teren reprezintă?

Răspunsuri și explicații

1. $48:2=24$. Jumătate din 48.

2. $100:4=25$. Un sfert din 100. (Observă: e și 25% din 100!)

3. $60:3=20$, apoi $20\cdot 2=40$.

4. $150:5=30$, apoi $30\cdot 3=90$.

5. $49:7=7$, apoi $7\cdot 4=28$.

6. $18:6=3$, apoi $3\cdot 5=15$.

7. $10\%=\frac{1}{10}$, deci $350:10=35$.

8. $25\%=\frac{1}{4}$, deci $320:4=80$.

9. $50\%=\frac{1}{2}$, deci $86:2=43$.

10. $20\%=\frac{1}{5}$, deci $145:5=29$.

11. $75\%=\frac{3}{4}$, deci $240:4=60$, apoi $60\cdot 3=180$.

12. Fals. 30% înseamnă $\frac{30}{100}$, iar jumătate înseamnă 50%. Cum $30\%<50\%$, 30% dintr-un număr este mai puțin decât jumătate din el (pentru orice număr pozitiv).

13. $\frac{3}{4}$ din 28: $28:4=7$, $7\cdot 3=21$. 75% din 28: $75\%=\frac{3}{4}$, deci tot $21$. Observație: $\frac{3}{4}$ și 75% sunt același lucru, de aceea dau același rezultat.

14. $\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{8}$. Simplific 5 cu 5 și 2 cu 8: $\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

15. Reducerea: $20\%$ din 900 $=\frac{1}{5}\cdot 900=180$ lei. Preț nou: $900-180=720$ lei.

16. $\frac{2}{5}$ din 30: $30:5=6$, $6\cdot 2=12$ elevi.

17. Suma: $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$. Media: $1:2=\frac{1}{2}$. (Logic: mijlocul dintre $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$.)

18. Suma, cu numitor comun 6: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}=\frac{5}{6}$. Total: $\frac{3+4+5}{6}=\frac{12}{6}=2$. Media: $2:3=\frac{2}{3}$. Verificare: cea mai mică fracție e $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, cea mai mare e $\frac{5}{6}$; media $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ este între ele ($\frac{3}{6}<\frac{4}{6}<\frac{5}{6}$). Corect!

19. $25\%$ din 200 $=200:4=50$; $10\%$ din 200 $=20$; total $50+20=70$. (Verificare: $\frac{35}{100}\cdot 200=70$.)

20. Răspuns b) 30. $45:3=15$, $15\cdot 2=30$.

21. A–$\frac{1}{2}$; B–$\frac{1}{5}$; C–$\frac{3}{4}$; D–$\frac{1}{10}$. (Pentru că $50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, $20\%=\frac{1}{5}$, $75\%=\frac{3}{4}$, $10\%=\frac{1}{10}$.)

22. $40\%$ din 180 $=\frac{40}{100}\cdot 180=\frac{2}{5}\cdot 180=72$ pagini citite. Rămân: $180-72=108$ pagini.

23. $10\%$ din 80 $=8$; $5\%$ este jumătate din 10%, deci $8:2=4$; total $8+4=12$. (Verificare: $\frac{15}{100}\cdot 80=\frac{1200}{100}=12$.)

24. $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{9}$. Simplific 3 cu 9 și 2 cu 4: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

25. Suma: $\frac{1+3+5+7}{8}=\frac{16}{8}=2$. Media (sunt patru fracții): $2:4=\frac{1}{2}$. (Are sens: $\frac{1}{2}$ cade chiar în mijlocul șirului $\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8}$.)

26. $\frac{7}{10}$ din 100: $100:10=10$, $10\cdot 7=70$ metri. Cum $\frac{7}{10}=\frac{70}{100}$, înseamnă 70% din teren.

De reținut

• „din" înseamnă înmulțire: $\frac{a}{b}$ din $n=\frac{a}{b}\cdot n$. Poți întâi împărți la numitor și apoi înmulți cu numărătorul (sau invers).
• Un procent este o fracție cu numitorul 100: $p\%=\frac{p}{100}$. „p% din n" se calculează la fel ca o fracție dintr-un număr.
• Fracție dintr-o fracție se rezolvă tot prin înmulțire: $\frac{a}{b}$ din $\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}$.
• Media aritmetică a unor fracții = (suma fracțiilor) împărțită la numărul lor.
• Media se află mereu între cea mai mică și cea mai mare fracție — folosește asta ca verificare.

Greșeli frecvente

• Confunzi „din" cu împărțirea sau adunarea. „$\frac{2}{3}$ din 90" NU este $90:\frac{2}{3}$ și nici $\frac{2}{3}+90$. Este o înmulțire: $\frac{2}{3}\cdot 90=60$.
• Uiți că procentul are numitorul 100. „20%" nu este $\frac{20}{1}$ și nici 20 pur și simplu, ci $\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$. Tradu mereu procentul în fracție înainte să calculezi.
• Împarți la numărul greșit la medie. Media a 3 fracții se împarte la 3, nu la 2. Numără fracțiile întâi.
• Aduni numitorii la media fracțiilor. Când aduni fracțiile, NU aduni numitorii ($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$). Adu-le mai întâi la același numitor.

Joc acasă

1. Detectivul de reduceri. Ia 3-4 etichete de prețuri de la produse din casă (sau inventează prețuri rotunde: 200 lei, 350 lei, 80 lei). „Aplică" o reducere de 10%, 25% sau 50% și calculează în minte cât economisești și cât plătești. Verifică pe hârtie. Cine ghicește mai repede câștigă.

2. Pizza fracțiilor. Desenează (sau decupează din hârtie) un cerc-pizza împărțit în 8 felii. Cere-i unui părinte să-ți dea o fracție din pizza (de exemplu $\frac{3}{8}$), apoi tu îi dai o fracție din partea ta (de exemplu $\frac{1}{3}$ din cât ai). Calculează ce parte din pizza întreagă i-ai dat și verifică pe felii.

3. Media notelor-fracții. Scrie pe bilețele câteva fracții simple ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$). Trage la întâmplare două sau trei bilețele și calculează media aritmetică. Verifică de fiecare dată că media „cade" între cea mai mică și cea mai mare fracție trasă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă fracțiile de viața de zi cu zi (reduceri, sport, împărțirea unei prăjituri), așa că cel mai bun sprijin este să oferiți contexte concrete. Iată câteva idei:

• Începeți de la „din" = înmulțire. Mulți elevi greșesc aici. Întrebați-i: „Cât este jumătate din 12?" (răspuns intuitiv: 6), apoi arătați-le că $\frac{1}{2}\cdot 12=6$ — deci „din" a fost o înmulțire. Această punte de la intuiție la regulă fixează ideea.
• Întrebări bune de pus: „Ce drum e mai ușor aici, întâi împart sau întâi înmulțesc?"; „Cum transformi 40% într-o fracție?"; „Între ce două fracții ar trebui să cadă media? Verifică."
• Cum verificați înțelegerea: dați-i o reducere reală dintr-un magazin și cereți prețul final. Dacă reușește să calculeze, de exemplu, 30% din 250 și să scadă din preț, a înțeles esența.
• Semnale de alarmă: dacă elevul împarte la numitorul greșit, aduce greșit la numitor comun, sau uită să împartă la numărul de fracții la medie, reluați pas cu pas exemplul respectiv. Folosiți desene (bandă împărțită în părți egale) pentru cei care învață vizual.
• Încurajați mereu estimarea înainte de calcul („cam cât ar trebui să iasă?"), pentru că dezvoltă simțul numeric și prinde greșelile grave.
• Legați procentele de bani reali. Reducerile, bacșișul și dobânda sunt cele mai motivante contexte pentru un copil de 11-12 ani. Când mergeți la cumpărături, cereți-i să estimeze cât economisiți la o reducere de 20% sau 30%; veți vedea cum regula „p% din n" prinde sens imediat ce este legată de lei adevărați.

Reținut o singură idee, restul vine de la sine: „din" înseamnă înmulțire, iar un procent nu este decât o fracție cu numitorul 100. Dacă elevul stăpânește acest miez și capătă reflexul de a verifica (rezultatul unei fracții subunitare e mai mic decât numărul, media cade între valori), atunci fracțiile, procentele și media aritmetică devin un singur instrument, nu trei lecții separate de memorat.

Întrebări frecvente

Cum calculez o fracție dintr-un număr la clasa a 5-a? Înmulțești fracția cu numărul, fiindcă „din" înseamnă înmulțire. Practic, împarți numărul la numitor și înmulțești rezultatul cu numărătorul. De exemplu, $\frac{2}{3}$ din 90: $90:3=30$, apoi $30\cdot 2=60$.

Cum calculez un procent dintr-un număr? Transformi procentul într-o fracție cu numitorul 100 și înmulțești cu numărul. De exemplu, 25% din 240 înseamnă $\frac{25}{100}\cdot 240=\frac{1}{4}\cdot 240=60$. Un truc rapid: află 1% (împarți la 100), apoi înmulțește cu câte procente vrei.

Care e diferența dintre o fracție și un procent? Un procent este pur și simplu o fracție specială, cu numitorul mereu 100. De exemplu, 50% este același lucru cu $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$. De aceea se calculează exact la fel ca o fracție dintr-un număr.

Ce înseamnă o fracție dintr-o fracție? Înseamnă să iei „o parte dintr-o parte" și se rezolvă prin înmulțirea celor două fracții. De exemplu, $\frac{1}{3}$ din $\frac{1}{2}$ este $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Înmulțești numărător cu numărător și numitor cu numitor, apoi simplifici.

Cum se calculează media aritmetică a fracțiilor? Aduni toate fracțiile (aducându-le la același numitor dacă au numitori diferiți), apoi împarți suma la numărul de fracții. De exemplu, media lui $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ este $\left(\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\right):2=\frac{3}{4}:2=\frac{3}{8}$.

De ce media aritmetică trebuie să fie între fracțiile date? Pentru că media este valoarea „de mijloc": nu poate fi mai mare decât cea mai mare valoare, nici mai mică decât cea mai mică. De aceea, dacă îți iese o medie în afara intervalului, sigur ai greșit la calcul și e bine să refaci pașii.

Rezultatul unei fracții dintr-un număr poate să nu fie întreg? Da, este perfect normal. De exemplu, $\frac{3}{4}$ din 10 este $\frac{30}{4}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}$. În astfel de cazuri lași rezultatul ca fracție sau ca număr mixt, după cum cere problema.

Cât este 100% dintr-un număr? 100% înseamnă $\frac{100}{100}=1$, adică întregul. Deci 100% dintr-un număr este chiar numărul în sine: 100% din 250 este 250. Asemănător, 50% este jumătatea, iar 200% ar fi dublul.

Cum calculez repede un procent „urât", de exemplu 35%, fără calculator? Spargi procentul în „cărămizi" prietenoase și aduni rezultatele. De exemplu, $35\%=25\%+10\%$: afli un sfert din număr (pentru 25%), apoi a zecea parte (pentru 10%) și le aduni. La 15% folosești $10\%+5\%$, unde 5% e jumătate din 10%. Această descompunere te ajută la cumpărături, la bacșiș sau la reduceri, când vrei un rezultat rapid „în minte".

Care e diferența dintre „o fracție din număr" și „un procent din număr"? Practic, niciuna: un procent este doar o fracție cu numitorul 100, așa că ambele se rezolvă prin aceeași înmulțire cu numărul. Diferă doar scrierea: $\frac{1}{4}$ din 240 și 25% din 240 dau exact același rezultat, 60, pentru că $25\%=\frac{1}{4}$.