Împărțirea numerelor raționale

Ai învățat deja să aduni, să scazi și să înmulțești numere raționale. A mai rămas o operație care încheie „setul de bază": împărțirea. Vestea bună este că, dacă știi să înmulțești fracții și să folosești regula semnelor, împărțirea numerelor raționale nu îți va da bătăi de cap. Secretul ei se ascunde într-un singur cuvânt: inversul. În această lecție vei vedea cum orice împărțire se transformă într-o înmulțire pe care deja o stăpânești.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli inversul (numărul reciproc) al unui număr rațional nenul.
• Vei ști să împarți numere raționale înmulțind cu inversul împărțitorului.
• Vei ști să aplici regula semnelor la împărțire (este aceeași ca la înmulțire).
• Vei ști să faci calcule cu împărțiri de fracții, numere întregi și numere zecimale.
• Vei înțelege de ce împărțirea la 0 este imposibilă.

Hai să descoperim împreună

O scurtă poveste ca să intrăm în temă

Imaginează-ți că ești organizatorul unui mic turneu de jocuri video. Ai la dispoziție 15/2 ore de acces la sală (adică 7 ore și jumătate), iar fiecare meci durează 3/4 de oră. Câte meciuri poți programa? Întrebarea „de câte ori încape 3/4 în 15/2?" este, de fapt, o împărțire de numere raționale: 15/2 : 3/4. Până la finalul acestei lecții vei rezolva astfel de probleme în câteva secunde — iar răspunsul aici, ca să-ți faci o idee, este 10 meciuri. Hai să vedem cum.

1. Ce înseamnă să împarți, de fapt

Înainte de fracții, când scriai 12 : 3 = 4, întrebarea din spate era: „de câte ori încape 3 în 12?" sau „dacă împart 12 în 3 părți egale, cât iese o parte?". Răspunsul este 4, pentru că 4 · 3 = 12.

Reține această idee, pentru că este cheia întregii lecții:

A împărți a : b înseamnă a căuta numărul care, înmulțit cu b, dă a.

Această definiție funcționează la fel de bine și pentru numere raționale (fracții, zecimale, pozitive sau negative). Doar că, atunci când b este o fracție, „de câte ori încape" devine greu de văzut cu ochii. De aceea avem nevoie de un instrument mai puternic: inversul.

2. Inversul unui număr rațional

Inversul (numit și numărul reciproc) al unei fracții se obține schimbând între ele numărătorul și numitorul.

• Inversul lui 3/4 este 4/3.
• Inversul lui 5/2 este 2/5.
• Inversul lui 7 (adică 7/1) este 1/7.

De ce ne interesează inversul? Pentru că are o proprietate magică:

Un număr înmulțit cu inversul său dă întotdeauna 1.

Verifică: 3/4 · 4/3 = (3·4)/(4·3) = 12/12 = 1. Funcționează mereu, pentru că la înmulțire se simplifică totul.

Atenție la semn. Inversul păstrează semnul numărului:

• Inversul lui -2/5 este -5/2 (rămâne minus), pentru că (-2/5)·(-5/2) = 10/10 = 1.

⚠️ Nu confunda inversul cu opusul!

• Opusul lui 2/5 este -2/5 (schimbă semnul). Suma lor dă 0.
• Inversul lui 2/5 este 5/2 (răstoarnă fracția). Produsul lor dă 1.

Ai întâlnit opusul în lecția Opusul și modulul unui număr rațional. Acum lucrăm cu „celălalt prieten" al numărului: inversul.

Și numărul 0? Numărul 0 nu are invers. Ca să-l răstorni, ar trebui să scrii 1/0, dar la numitor nu poate sta niciodată 0. Ține minte acest detaliu — el explică, la finalul lecției, de ce nu putem împărți la 0.

3. Regula de aur: împărțirea = înmulțire cu inversul

Iată ideea centrală a întregii lecții, formulată simplu:

Ca să împarți la un număr, înmulțești cu inversul lui.

În scris matematic, pentru orice numere raționale a și b, cu b diferit de 0:

a : b = a · (inversul lui b)

Pentru fracții, regula arată așa:

a/b : c/d = a/b · d/c (cu b, c, d diferite de 0)

Observă: a doua fracție se răstoarnă, iar semnul : se transformă în ·. Restul este o înmulțire de fracții obișnuită, exact ca în lecția Înmulțirea numerelor raționale.

Hai să vedem pe un exemplu mic și prietenos. Vrem să calculăm 1/2 : 1/4. Întrebarea „de câte ori încape un sfert într-o jumătate?" are răspuns ușor de imaginat: într-o jumătate de pizza încap două sferturi. Deci ar trebui să obținem 2. Verificăm cu regula:

1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 4/2 = 2. ✔️

Vezi? Răsturnăm 1/4 și obținem 4/1 = 4, apoi înmulțim. Rezultatul, 2, se potrivește exact cu intuiția. Regula funcționează.

De ce funcționează „răstoarnă și înmulțește"? Hai să prindem ideea, nu doar trucul. Împărțirea a : b cere numărul care, înmulțit cu b, dă înapoi a. Dacă înmulțim a cu inversul lui b, atunci când vom verifica înmulțind rezultatul cu b, inversul și b se „anulează" reciproc (produsul lor e 1) și rămâne exact a. Pe scurt: inversul este „cheia" care desface înmulțirea cu b, așa cum scăderea desface adunarea. De aceea împărțirea și înmulțirea sunt operații inverse una alteia — una „strânge", cealaltă „desface".

O analogie utilă: gândește-te la · b ca la o ușă care se închide, iar la : b ca la cheia care o deschide. Inversul lui b este chiar acea cheie. Dacă închizi cu · 3/4 și apoi deschizi cu · 4/3, ajungi exact de unde ai plecat, pentru că 3/4 · 4/3 = 1.

Încă un mini-exemplu, ca să prinzi ritmul: 2/5 : 3/7. Răsturnăm a doua fracție (3/7 devine 7/3) și înmulțim: 2/5 · 7/3 = 14/15. Gata — nimic de simplificat, răspunsul este 14/15. Observă că ai atins doar a doua fracție; prima rămâne neschimbată.

4. Regula semnelor la împărțire

Pentru că împărțirea se transformă în înmulțire, regula semnelor este exact aceeași ca la înmulțirea numerelor întregi și raționale (vezi Împărțirea numerelor întregi):

Pe scurt, ține minte rima:

Semne la fel → plus. Semne diferite → minus.

Truc rapid: numără minusurile. Dacă ai un număr par de semne minus (0 sau 2), rezultatul e pozitiv. Dacă ai un număr impar de minusuri (unul singur), rezultatul e negativ. Stabilește întâi semnul, apoi lucrează liniștit cu numerele pozitive.

5. Pașii de lucru, ca o rețetă

Ori de câte ori ai o împărțire de numere raționale, urmează acești pași:

1. Stabilește semnul rezultatului (regula semnelor) și pune-l deoparte. Apoi lucrează cu valorile pozitive.
2. Scrie fiecare număr ca fracție. Un întreg n devine n/1. Un număr mixt (de exemplu 2½) devine fracție improprie (5/2). Un număr zecimal devine fracție ordinară (0,6 = 6/10).
3. Răstoarnă a doua fracție (împărțitorul) și schimbă : în ·.
4. Înmulțește numărător cu numărător și numitor cu numitor (poți simplifica „în cruce" înainte, ca să fie mai ușor).
5. Simplifică rezultatul până la o fracție ireductibilă și adaugă semnul stabilit la pasul 1.

6. Cazul numerelor zecimale

Când apar numere zecimale, ai două drumuri, ambele corecte:

• Drumul fracțiilor: transformi zecimalele în fracții ordinare și aplici regula cu inversul. Sigur și fără greșeli.
• Drumul virgulei: muți virgula astfel încât împărțitorul să devină număr întreg, apoi împarți normal. De exemplu, 2,4 : 0,6 devine 24 : 6 = 4 (am înmulțit ambele numere cu 10).

Sfatul meu: la clasa a VI-a, când apar și semne, e mai sigur drumul fracțiilor. Stabilești semnul, transformi în fracții, răstorni și gata.

7. Marele AVERTISMENT: împărțirea la 0 este imposibilă

De ce nu putem împărți niciodată la 0? Folosim chiar definiția împărțirii.

Presupune că ar exista un rezultat pentru 5 : 0. Să-l notăm cu q. Atunci, după definiție, ar trebui ca q · 0 = 5. Dar orice număr înmulțit cu 0 dă 0, niciodată 5. Deci nu există niciun astfel de q. Împărțirea 5 : 0 nu are sens — spunem că este imposibilă (nedefinită).

Și 0 : 0? Aici ar fi „prea multe" răspunsuri: q · 0 = 0 este adevărat pentru orice q. Cum nu putem alege un singur răspuns, și acest caz este interzis.

Mai e o legătură frumoasă: am spus că 0 nu are invers. Cum împărțirea la b înseamnă înmulțire cu inversul lui b, iar 0 nu are invers, nu avem cu ce înmulți — deci nu putem împărți la 0. Cele două idei se sprijină una pe alta.

Reține: numitorul unei fracții și împărțitorul unei împărțiri nu pot fi niciodată 0. În schimb, 0 : 7 = 0 este perfect corect (zero împărțit la ceva nenul dă zero).

8. Proba: cum verifici că ai împărțit corect

Una dintre cele mai utile deprinderi la matematică este să-ți verifici singur rezultatul, fără să aștepți răspunsul din carte. La împărțire, proba se face foarte simplu, folosind chiar legătura dintre cele două operații inverse:

Câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să dea deîmpărțitul. Adică, dacă a : b = q, atunci trebuie să fie adevărat că q · b = a.

Este exact regula pe care o foloseai la clasele mici: dacă 12 : 3 = 4, verificai că 4 · 3 = 12. La fracții procedezi identic. Să luăm exemplul 15/2 : 3/4 = 10 din povestea de la început. Facem proba: 10 · 3/4 = 30/4 = 15/2. ✔️ Am obținut înapoi deîmpărțitul, deci împărțirea a fost corectă — și, într-adevăr, în 15/2 ore încap exact 10 meciuri de câte 3/4 de oră.

Proba prinde și greșelile de semn. Dacă ai calculat (-3/4) : (2/5) și ai scris din grabă +15/8, proba te demască imediat: 15/8 · 2/5 = 30/40 = 3/4, dar deîmpărțitul era -3/4, nu +3/4. Semnele nu se potrivesc, deci undeva ai pierdut un minus. Fă-ți un obicei din a verifica măcar mental: este o plasă de siguranță care te scapă de multe puncte pierdute la teză.

9. O privire de ansamblu asupra celor patru operații

Acum că ai parcurs toate cele patru operații cu numere raționale, merită să le privești împreună, ca un sistem:

• Adunarea are operația inversă scăderea — una „adaugă", cealaltă „ia înapoi". Numărul care „desface" adunarea cu b este opusul lui b (a − b = a + (−b)).
• Înmulțirea are operația inversă împărțirea — una „mărește/grupează", cealaltă „desface grupurile". Numărul care „desface" înmulțirea cu b este inversul lui b (a : b = a · (inversul lui b)).

Observă simetria frumoasă: scăderea se face adunând opusul, iar împărțirea se face înmulțind inversul. Două perechi de operații, două „chei" diferite. De aceea este atât de important să nu confunzi opusul cu inversul: fiecare deschide altă ușă. Această imagine de ansamblu te va ajuta enorm la lecția despre Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale, unde toate patru apar amestecate în același calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Împărțirea a două fracții cu semne diferite

Calculează (-3/4) : (2/5).

Pasul 1 — semnul. Avem un minus și un plus → semne diferite → rezultat negativ.

Pasul 2 — răsturnăm și înmulțim. Inversul lui 2/5 este 5/2:

(-3/4) : (2/5) = -(3/4 · 5/2) = -(3·5)/(4·2) = -15/8.

Fracția 15/8 este deja ireductibilă. Răspuns: -15/8 (sau -1 7/8).

Exemplul 2 — Rezultat care se simplifică frumos

Calculează (6/7) : (-3/14).

Semnul: plus împărțit la minus → negativ.

Inversul lui 3/14 este 14/3:

(6/7) : (-3/14) = -(6/7 · 14/3).

Simplificăm în cruce: 6 cu 3 (6 = 2·3) și 14 cu 7 (14 = 2·7):

= -((2·2)/(1·1)) = -4.

Răspuns: -4. O împărțire de fracții poate da, foarte des, un număr întreg — e perfect normal.

Exemplul 3 — Împărțire cu numere zecimale

Calculează (-2,4) : 0,6.

Semnul: minus împărțit la plus → negativ.

Transformăm în fracții: 2,4 = 24/10 = 12/5 și 0,6 = 6/10 = 3/5.

(-2,4) : 0,6 = -(12/5 : 3/5) = -(12/5 · 5/3) = -(12·5)/(5·3) = -60/15 = -4.

Răspuns: -4. Verificare prin „drumul virgulei": 2,4 : 0,6 = 24 : 6 = 4, cu semn minus → -4. ✔️ Ambele drumuri dau același rezultat.

Exemplul 4 — Două semne minus

Calculează (-1,5) : (-0,25).

Semnul: minus împărțit la minus → pozitiv.

1,5 = 15/10 = 3/2 și 0,25 = 25/100 = 1/4.

(-1,5) : (-0,25) = +(3/2 : 1/4) = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6.

Răspuns: 6. (Intuiție: în 1,5 încap exact 6 „pătrimi" de 0,25, iar minus cu minus dă plus.)

Exemplul 5 — Împărțire cu un număr întreg

Calculează (5/8) : (-5).

Scriem -5 = -5/1. Semnul: plus împărțit la minus → negativ.

Inversul lui 5/1 este 1/5:

(5/8) : (-5) = -(5/8 · 1/5) = -(5·1)/(8·5) = -5/40 = -1/8.

Răspuns: -1/8. Observă cum, când împarți o fracție la un întreg, numitorul „crește" — împarți în mai multe părți.

Exemplul 6 — Ordinea operațiilor cu o împărțire

Calculează (-3/4) : (1/2) + 1/2.

Înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării, deci rezolvăm întâi împărțirea:

(-3/4) : (1/2) = -(3/4 · 2/1) = -6/4 = -3/2.

Apoi adunăm:

-3/2 + 1/2 = (-3 + 1)/2 = -2/2 = -1.

Răspuns: -1. Vei aprofunda astfel de calcule combinate în lecția Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale.

Exemplul 7 — Un întreg împărțit la o fracție, cu probă

Calculează (-8) : (4/3) și verifică rezultatul prin probă.

Pasul 1 — semnul. Minus împărțit la plus → rezultat negativ.

Pasul 2 — scriem întregul ca fracție și răsturnăm. -8 = -8/1, iar inversul lui 4/3 este 3/4:

(-8) : (4/3) = -(8/1 · 3/4) = -(8·3)/(1·4) = -24/4 = -6.

Pasul 3 — proba. Câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să dea deîmpărțitul: -6 · 4/3 = -24/3 = -8. ✔️ Am obținut exact -8, deci rezultatul este corect.

Răspuns: -6. Observă o estimare utilă: aici am împărțit la 4/3, care este mai mare decât 1, așa că rezultatul în valoare absolută (6) a ieșit mai mic decât deîmpărțitul (8). Reține regula de estimare: împărțirea la un număr mai mare ca 1 micșorează, iar împărțirea la un număr subunitar (între 0 și 1) mărește. Verifică-ți mereu răspunsul cu această logică înainte de a-l scrie.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată întâi semnul, apoi calculul. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos — verifică-te după ce termini.

1. Scrie inversul fiecărui număr: a) 3/7 b) -5/8 c) 4 d) -1/6 e) 2,5 f) -10

2. Adevărat (A) sau Fals (F)? a) Inversul lui -3/4 este 3/4. b) Orice număr rațional nenul are un invers. c) Împărțirea la 0 dă rezultatul 0. d) Inversul lui 1 este 1. e) Regula semnelor la împărțire este diferită de cea de la înmulțire.

3. Stabilește doar semnul rezultatului (+ sau −), fără să faci calculul: a) (-7/9) : (2/3) b) (-5/6) : (-4/7) c) (8/3) : (-1/2) d) (3/5) : (7/4)

4. Calculează: a) (2/3) : (4/9) b) (-3/5) : (6/25) c) (-7/8) : (-7/8) d) (5/6) : (10/3)

5. Calculează (fracție cu întreg): a) (-4/9) : 2 b) 6 : (3/5) c) (-12) : (-4/7) d) (5/8) : (-5)

6. Calculează cu numere zecimale (transformă în fracții): a) 1,2 : 0,4 b) -3,6 : 1,2 c) 0,9 : (-0,03) d) -2,5 : (-0,5)

7. Calculează cu numere mixte: a) 3½ : 7/4 b) -2¼ : 1½

8. Încercuiește rezultatul corect pentru (-15/16) : (5/8): a) -3/2 b) 3/2 c) -2/3

9. Află numărul necunoscut x: a) x : (2/3) = 6 b) (3/4) : x = 1/2

10. Calculează respectând ordinea operațiilor: a) (1/2 + 1/3) : (5/6) b) (-3/4) : (1/2) + 1/2

11. Problemă. O bucată de sârmă lungă de 4,5 m se taie în bucățele egale, fiecare de 0,75 m. Câte bucățele se obțin?

12. Problemă. Un robinet care picură pierde 3/4 de litru de apă în fiecare oră. În câte ore se vor pierde 9/2 litri?

13. Problemă. Un drumeț parcurge 21/2 km în 3/2 ore, mergând constant. Câți kilometri parcurge într-o oră (viteza medie)?

14. Completează tabelul (calculează a : b):

15. Calculează (împărțiri în lanț, de la stânga la dreapta): (2/3 : 4/5) : (5/6).

16. Calculează: -0,8 : (2/5) + (-1/4) : (1/2).

17. Calculează și fă proba (verifică prin înmulțire) la fiecare: a) (-9) : (3/2) b) (7/10) : (-7/5)

18. Problemă. O rețetă cere 2/3 de pahar de făină pentru o porție. Bucătarul are 6 pahare de făină. Câte porții poate pregăti?

Răspunsuri și explicații

1. Inversul răstoarnă fracția și păstrează semnul: a) 7/3 b) -8/5 c) 1/4 (pentru că 4 = 4/1) d) -6 (pentru că 1/6 răsturnat este 6/1 = 6) e) 2/5 (2,5 = 5/2, răsturnat 2/5) f) -1/10.

2. a) F (inversul lui -3/4 este -4/3; numărul 3/4 este opusul, nu inversul). b) A (doar 0 nu are invers). c) F (împărțirea la 0 este imposibilă, nu dă 0). d) A (1/1 răsturnat tot 1). e) F (este exact aceeași regulă).

3. a) − (semne diferite) b) + (două minusuri) c) − (semne diferite) d) + (două plusuri).

4. a) 2/3 · 9/4 = 18/12 = 3/2. b) semn −: -(3/5 · 25/6) = -75/30 = -5/2. c) același număr împărțit la el însuși, semne la fel → +1. d) 5/6 · 3/10 = 15/60 = 1/4.

5. a) semn −: -(4/9 · 1/2) = -4/18 = -2/9. b) 6 · 5/3 = 30/3 = 10. c) semne la fel +: 12 · 7/4 = 84/4 = 21. d) semn −: -(5/8 · 1/5) = -5/40 = -1/8.

6. a) 12/10 : 4/10 = 12/4 = 3. b) semn −: 36/10 : 12/10 = 36/12 = 3, deci -3. c) semn −: 0,9 : 0,03 = 90 : 3 = 30, deci -30. d) semne la fel +: 2,5 : 0,5 = 25 : 5 = 5, deci 5.

7. a) 3½ = 7/2; 7/2 : 7/4 = 7/2 · 4/7 = 28/14 = 2. b) -2¼ = -9/4, 1½ = 3/2; semn −: -(9/4 · 2/3) = -18/12 = -3/2.

8. Răspuns corect: a) -3/2. Calcul: semn −, 15/16 · 8/5 = 120/80 = 3/2, deci -3/2.

9. a) Folosim definiția: x = 6 · (2/3) = 12/3 = 4. Verificare: 4 : (2/3) = 4 · 3/2 = 6. ✔️ b) x = (3/4) : (1/2) = 3/4 · 2/1 = 6/4 = 3/2. Verificare: (3/4) : (3/2) = 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2. ✔️

10. a) Paranteza întâi: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Apoi (5/6) : (5/6) = 1. b) (-3/4) : (1/2) = -(3/4 · 2) = -6/4 = -3/2; apoi -3/2 + 1/2 = -2/2 = -1.

11. 4,5 : 0,75 = 450 : 75 = 6. Se obțin 6 bucățele.

12. 9/2 : 3/4 = 9/2 · 4/3 = 36/6 = 6. În 6 ore.

13. 21/2 : 3/2 = 21/2 · 2/3 = 42/6 = 7. Viteza medie este 7 km/h.

14.

• -1/2 : 1/4 = -(1/2 · 4) = -4/2 = -2.
• 3/5 : (-3/10) = -(3/5 · 10/3) = -30/15 = -2.
• 0 : 7/8 = 0 (zero împărțit la un număr nenul dă zero).

15. Lucrăm de la stânga la dreapta: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6. Apoi (5/6) : (5/6) = 1. Răspuns: 1.

16. -0,8 = -4/5. -4/5 : 2/5 = -(4/5 · 5/2) = -20/10 = -2. Apoi -1/4 : 1/2 = -(1/4 · 2) = -1/2. Adunăm: -2 + (-1/2) = -5/2. Răspuns: -5/2 (adică -2,5).

17. a) Semn −: -(9/1 · 2/3) = -18/3 = -6. Proba: -6 · 3/2 = -18/2 = -9 ✔️ (am obținut deîmpărțitul -9). b) Semn −: -(7/10 · 5/7) = -35/70 = -1/2. Proba: -1/2 · (-7/5) = 7/10 ✔️ (am obținut deîmpărțitul 7/10).

18. 6 : 2/3 = 6 · 3/2 = 18/2 = 9. Se pot pregăti 9 porții.

De reținut

• A împărți înseamnă a înmulți cu inversul: a/b : c/d = a/b · d/c. Răstorni a doua fracție și schimbi : în ·.
• Inversul lui a/b (nenul) este b/a și păstrează semnul; un număr înmulțit cu inversul său dă 1. Nu confunda inversul cu opusul.
• Regula semnelor la împărțire este aceeași ca la înmulțire: semne la fel → +, semne diferite → −.
• La numere zecimale, transformi în fracții (sigur) sau muți virgula ca să faci împărțitorul întreg.
• Împărțirea la 0 este imposibilă; numitorul și împărțitorul nu pot fi niciodată 0. În schimb, 0 : a = 0 pentru orice a nenul.

Greșeli frecvente

• Răstorni fracția greșită. Se răstoarnă a doua fracție (împărțitorul), nu prima. 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4, nu 3/2 · 4/5. Verifică mereu care e împărțitorul.
• Confuzia invers/opus. Inversul lui -3/4 este -4/3 (răstorni, păstrezi semnul), nu 3/4 (acela e opusul). Întreabă-te: vreau produs = 1 (invers) sau sumă = 0 (opus)?
• Uiți semnul. Stabilește semnul întâi, ca să nu-l pierzi în calcul. Numără minusurile: număr impar → minus, număr par → plus.
• Crezi că :0 dă 0. Nu! 0 : 7 = 0, dar 7 : 0 este imposibilă. Distinge cine e împărțitorul.

Joc acasă

1. Cardurile cu inversul. Scrie pe 8 bilețele câte un număr rațional nenul (de exemplu 2/3, -5, 0,4, -7/2). Pe alte 8 bilețele scrie inversele lor amestecate. Întoarce-le cu fața în jos și joacă „memory": câștigi perechea doar dacă demonstrezi cu un calcul că produsul lor dă 1.

2. Sticla împărțită. Ia o sticlă gradată (sau un pahar marcat). Toarnă apă până la 3/4 de litru, apoi golește-o în păhărele egale de câte 1/4 de litru. Numără păhărelele: ar trebui să fie 3, exact cât dă 3/4 : 1/4 = 3. Repetă cu alte cantități și verifică prin calcul.

3. Provocarea de viteză. Cere unui părinte să-ți spună o distanță și un timp „urâte" (de exemplu 7/2 km în 5/4 ore). Calculează viteza medie ca împărțire de fracții și verifică împreună răspunsul. Cine greșește semnul sau inversul „plătește" cu o problemă în plus.

Pentru părinți și învățători

Această lecție se sprijină pe două abilități deja învățate: înmulțirea fracțiilor și regula semnelor. Dacă elevul le stăpânește, împărțirea devine aproape automată — singura idee nouă este „răstoarnă și înmulțește".

Cum să predați pas cu pas:

• Începeți de la întrebarea concretă „de câte ori încape un sfert într-o jumătate?", manipulând obiecte (felii, păhărele). Lăsați elevul să descopere că răspunsul 2 coincide cu 1/2 · 4. Astfel regula nu pică din cer, ci se simte logic.
• Insistați pe distincția invers vs. opus — este confuzia numărul unu la acest capitol. Un test rapid: „Care număr înmulțit cu 2/5 dă 1?" (inversul) versus „Care adunat cu 2/5 dă 0?" (opusul).
• Cereți mereu semnul mai întâi. Faceți din asta un reflex: înainte de orice calcul, copilul anunță cu voce tare „rezultatul va fi plus/minus".

Întrebări bune de pus:

• „De ce nu putem împărți la 0?" (Răspuns așteptat: pentru că niciun număr înmulțit cu 0 nu dă rezultatul cerut.)
• „Cum verifici că ai împărțit corect?" (Înmulțește câtul cu împărțitorul — trebuie să obții deîmpărțitul.)

Cum verificați înțelegerea: dați-i un calcul cu zecimale și semn, de exemplu (-1,5) : (-0,25), și cereți-i să-l rezolve în două moduri (prin fracții și prin mutarea virgulei). Dacă obține 6 pe ambele căi și știe să justifice semnul, lecția este însușită.

Întrebări frecvente

Cum se împart două numere raționale la clasa a 6-a? Transformi împărțirea în înmulțire cu inversul împărțitorului: a/b : c/d = a/b · d/c. Răstorni a doua fracție, schimbi : în ·, stabilești semnul după regula semnelor și apoi înmulțești și simplifici.

Ce înseamnă „împărțire ca înmulțire cu inversul"? Înseamnă că, în loc să împarți la un număr, îl înmulțești cu inversul (numărul răsturnat). De exemplu, : 2/5 este același lucru cu · 5/2. Această regulă transformă orice împărțire de fracții într-o înmulțire pe care o știi deja.

Care este regula semnelor la împărțirea numerelor raționale? Este identică cu cea de la înmulțire: semne la fel dau plus (+ : + și − : −), semne diferite dau minus (+ : − și − : +). Stabilește semnul la început, apoi lucrează cu numerele pozitive.

Care e diferența dintre inversul și opusul unui număr? Opusul schimbă semnul, iar suma numărului cu opusul dă 0 (opusul lui 3/4 este -3/4). Inversul răstoarnă fracția păstrând semnul, iar produsul numărului cu inversul dă 1 (inversul lui 3/4 este 4/3).

De ce nu se poate împărți la 0? Pentru că a : 0 ar însemna să găsim un număr care, înmulțit cu 0, să dea a. Dar orice număr înmulțit cu 0 dă 0, deci, dacă a nu este 0, nu există niciun rezultat. De aceea împărțirea la 0 este imposibilă (nedefinită).

Cum împart numere zecimale între ele? Ai două opțiuni: fie transformi zecimalele în fracții ordinare și aplici regula cu inversul, fie muți virgula la ambele numere până când împărțitorul devine întreg și împarți normal. De exemplu, 2,4 : 0,6 = 24 : 6 = 4.

Cât face un număr împărțit la el însuși? Orice număr rațional nenul împărțit la el însuși dă 1, pentru că semnele sunt la fel (rezultat pozitiv) și fracțiile se simplifică complet. De exemplu, (-7/8) : (-7/8) = 1.

Poate ieși un număr întreg dintr-o împărțire de fracții? Da, foarte des. De exemplu, 6/7 : 3/14 = 6/7 · 14/3 = 4. Asta se întâmplă când, după simplificare, numitorul devine 1. Rezultatul rămâne un număr rațional — întâmplător, unul întreg.

Cum verific dacă am împărțit corect fracțiile? Faci proba: înmulțești câtul (rezultatul) cu împărțitorul, iar produsul trebuie să fie egal cu deîmpărțitul. De exemplu, dacă ai obținut 15/2 : 3/4 = 10, verifici 10 · 3/4 = 30/4 = 15/2. Dacă regăsești deîmpărțitul (inclusiv semnul lui), împărțirea este corectă. Proba prinde mai ales greșelile de semn.

De ce împărțirea la o fracție subunitară mărește numărul? Pentru că împărțirea înseamnă „de câte ori încape împărțitorul în deîmpărțit". Dacă împarți la un număr mai mic decât 1 (de exemplu 1/4), acel număr mic încape de multe ori, deci rezultatul iese mai mare decât deîmpărțitul: 3 : 1/4 = 12. Invers, dacă împarți la un număr mai mare decât 1, rezultatul scade. Această estimare te ajută să-ți dai seama imediat dacă răspunsul tău are sens.

Se simplifică „în cruce" la împărțirea fracțiilor? Da, dar numai după ce ai răsturnat a doua fracție și ai transformat împărțirea în înmulțire. Întâi scrii a/b · d/c, abia apoi poți simplifica un numărător cu un numitor. Dacă încerci să simplifici înainte de a răsturna, riști să greșești, pentru că la împărțire nu ai voie să simplifici „peste" semnul :.