Care dintre următoarele operații este imposibilă (nedefinită)?

$$\left(-\dfrac{3}{5}\right):0$$

$$0:\left(-\dfrac{3}{5}\right)$$

$$\left(-\dfrac{3}{5}\right):\left(-\dfrac{3}{5}\right)$$

$$\left(-\dfrac{3}{5}\right):1$$

Cum se împart două fracții?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Împărțirea prin înmulțire cu inversul

Păstrezi prima fracție, o răstorni pe a doua și înmulțești: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ . Semnul se stabilește separat, ca la înmulțire: la fel dă plus, diferite dau minus. Astfel $(- \frac{2}{3}) : \frac{4}{9}$ devine $- \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}$ . Verifici înmulțind rezultatul cu a doua fracție, ca să regăsești prima. A doua fracție nu are voie să fie zero, fiindcă zero nu se poate răsturna.

Ideea centrală: a împărți înseamnă a înmulți cu inversul împărțitorului. Pentru orice numere raționale $a$ și $b \neq = 0$ : $a : b = a \cdot (inversul lui b)$ , iar pentru fracții $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ (răstorni a doua fracție). Inversul lui $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$ și păstrează semnul (nu-l confunda cu opusul, care schimbă semnul). Regula semnelor este identică cu cea de la înmulțire: semne la fel → $+$ , semne diferite → $-$ . Împărțirea la 0 este imposibilă, pentru că 0 nu are invers. Exemplu: $(- \frac{2}{3}) : \frac{4}{9} = - (\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}) = - \frac{18}{12} = - \frac{3}{2}$ . Proba: $- \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = - \frac{12}{18} = - \frac{2}{3}$ . ✔️

De reținut

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
inversul păstrează semnul, opusul îl schimbă
zero nu are invers, deci nu poate fi împărțitor

Greșeala tipică

Se răstoarnă prima fracție în loc de a doua, ceea ce dă rezultatul inversat; se schimbă numai fracția aflată după semnul de împărțire, iar prima rămâne exact cum era scrisă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este inversul numărului $- \frac{7}{9}$ ?
- a) $\frac{7}{9}$
- b) $- \frac{9}{7}$
- c) $\frac{9}{7}$
- d) $- \frac{7}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{9}{7}$

Inversul răstoarnă fracția și păstrează semnul: inversul lui $- \frac{7}{9}$ este $- \frac{9}{7}$ , pentru că $(- \frac{7}{9}) \cdot (- \frac{9}{7}) = \frac{63}{63} = 1$ . Varianta a) este opusul, nu inversul — o confuzie frecventă.
Care dintre următoarele operații este imposibilă (nedefinită)?
- a) $0 : (- \frac{3}{5})$
- b) $(- \frac{3}{5}) : 0$
- c) $(- \frac{3}{5}) : (- \frac{3}{5})$
- d) $(- \frac{3}{5}) : 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- \frac{3}{5}) : 0$

Împărțirea la 0 nu are sens: ar trebui să existe un număr $q$ astfel încât $q \cdot 0 = - \frac{3}{5}$ , dar orice număr înmulțit cu 0 dă 0, niciodată $- \frac{3}{5}$ . Celelalte sunt corecte: a) $0 : (- \frac{3}{5}) = 0$ , c) un număr împărțit la el însuși dă $1$ , d) împărțirea la $1$ nu schimbă numărul.
Care este inversul numărului $\frac{6}{5}$ ?
- a) $\frac{5}{6}$
- b) $- \frac{6}{5}$
- c) $- \frac{5}{6}$
- d) $\frac{6}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{5}{6}$

Inversul unei fracții se obține răsturnând-o (numărătorul devine numitor și invers) și păstrează semnul: inversul lui $\frac{6}{5}$ este $\frac{5}{6}$ , pentru că $\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1$ . Variantele b) și c) confundă inversul cu opusul (schimbă semnul), iar d) repetă numărul inițial.

Întrebări conexe

Cum împart o fracție la un număr întreg?

Scrii întregul ca fracție cu numitorul $1$ , apoi îl răstorni. Împărțirea $\frac{6}{7} : 3$ devine $\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ . Pe scurt, împărțirea la un întreg înmulțește numitorul cu acel număr, iar fracția se micșorează.

Cum împart un număr mixt la o fracție?

Transformi mai întâi numărul mixt în fracție, înmulțind întregul cu numitorul și adunând numărătorul. Din $2 \frac{1}{2}$ obții $\frac{5}{2}$ , iar apoi împarți normal, prin răsturnarea celei de-a doua fracții. Fără această transformare, întregul rămâne pe dinafară și rezultatul iese greșit.

Cum scriu împărțirea a două fracții sub formă de fracție etajată?

Pui prima fracție deasupra liniei mari și pe a doua dedesubt. Linia mare ține locul semnului de împărțire, deci fracția etajată se rezolvă tot prin răsturnarea celei de jos. Este scrierea folosită la rapoarte și la formulele din capitolul de proporții.

La ce folosesc împărțirile de fracții într-o problemă cu rețete?

Îți spun de câte porții ajunge o cantitate. Dacă ai $\frac{3}{4}$ dintr-un kilogram de făină și o porție cere $\frac{1}{8}$ de kilogram, împărțirea $\frac{3}{4} : \frac{1}{8} = 6$ arată că ies șase porții. Același raționament apare la tăierea unei bucăți de material.

Cum aflu de câte ori se cuprinde o fracție în altă fracție?

Împarți fracția mare la cea mică. Rezultatul arată câte bucăți de mărimea celei mici încap în cealaltă. Când răspunsul iese supraunitar, prima fracție este mai mare; când iese subunitar, prima este mai mică decât a doua, deci nu se cuprinde nici măcar o dată.

Ce legătură are împărțirea fracțiilor cu raportul a două numere?

Raportul a două numere este chiar câtul lor, deci se calculează prin aceeași regulă. Când ambii termeni sunt fracții, raportul se obține răsturnând al doilea și înmulțind. De aceea capitolul de rapoarte și proporții se sprijină direct pe împărțirea numerelor raționale.

Oamenii mai întreabă și: împărțirea fracțiilor · cum se împart fracțiile între ele · împărțire cu inversul fracției · cum împart o fracție la altă fracție