Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor

Până acum ai învățat să așezi pe axă numerele întregi: pașii erau egali, din unitate în unitate, ca treptele unei scări. Dar ce faci când trebuie să arăți unde se află $\frac{3}{4}$ sau $-\frac{5}{2}$? Aceste numere nu „cad” pe o treaptă întreagă, ci undeva între ele. În această lecție vei descoperi un truc simplu și foarte util: împarți unitatea în părți egale și numeri câte astfel de părți ai nevoie. Așa orice număr rațional, pozitiv sau negativ, își găsește locul exact pe axă.

Ce vei învăța

• Vei ști să reprezinți pe axa numerelor un număr rațional pozitiv (la dreapta lui 0).
• Vei ști să reprezinți pe axă un număr rațional negativ (la stânga lui 0).
• Vei ști să împarți unitatea în părți egale pentru a marca o fracție.
• Vei ști să localizezi un număr rațional între două numere întregi vecine.
• Vei ști să citești coordonata rațională a unui punct deja marcat pe axă.

Hai să descoperim împreună

1. Ne reamintim ce este axa numerelor

O axă a numerelor este o dreaptă pe care am ales trei lucruri:

• un punct de origine, notat cu $O$, căruia îi corespunde numărul $0$;
• un sens pozitiv, marcat de obicei cu o săgeată spre dreapta;
• o unitate de măsură — distanța de la $0$ la $1$, pe care o numim segment-unitate.

Regula de bază pe care o știi deja de la numerele întregi (lecția Mulțimea numerelor întregi ℤ. Reprezentarea pe axa numerelor) rămâne valabilă și aici:

• numerele pozitive stau la dreapta lui $0$;
• numerele negative stau la stânga lui $0$;
• cu cât un număr este mai mare, cu atât punctul lui este mai la dreapta.

Noutatea lecției de azi e că între $0$ și $1$, sau între $1$ și $2$, sau între orice două numere întregi vecine, există o mulțime întreagă de numere raționale care trebuie și ele așezate. Și exact acolo, „între trepte”, intră fracțiile.

2. De ce nu ne mai ajung treptele întregi

Imaginează-ți o riglă pe care sunt trecuți doar centimetrii întregi: 0 cm, 1 cm, 2 cm... Dacă trebuie să măsori un creion lung de $7$ centimetri și jumătate, adică $\frac{15}{2}$ cm, rigla cu trepte întregi nu îți ajunge: capătul creionului cade între $7$ și $8$. De aceea pe riglele adevărate fiecare centimetru este împărțit în $10$ părți egale (milimetrii).

Exact asta vom face și pe axă: vom împărți segmentul-unitate în părți egale. Numărul de părți ni-l spune chiar numitorul fracției.

Ideea-cheie a întregii lecții: numitorul îți spune în câte părți egale tai unitatea, iar numărătorul îți spune câte astfel de părți numeri.

3. Reprezentarea unei fracții subunitare pozitive

Să reprezentăm $\frac{3}{4}$.

Pasul 1 — citește numitorul. Numitorul este $4$. Înseamnă că tăiem segmentul de la $0$ la $1$ în $4$ părți egale.

Pasul 2 — împarte unitatea. Pune între $0$ și $1$ trei semne intermediare, astfel încât să obții patru bucăți de aceeași lungime. Fiecare bucată valorează $\frac{1}{4}$. Semnele intermediare sunt deci $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$.

Pasul 3 — numără numărătorul. Numărătorul este $3$, deci pornim de la $0$ și numărăm $3$ părticele spre dreapta. Ajungem exact la al treilea semn. Acolo este punctul care reprezintă $\frac{3}{4}$.

Observă: deoarece $3<4$, fracția $\frac{3}{4}$ este subunitară (mai mică decât $1$), deci punctul ei se află între $0$ și $1$. Aceasta e prima formă de localizare: o fracție subunitară pozitivă stă mereu între $0$ și $1$.

4. Reprezentarea unei fracții supraunitare pozitive

Să reprezentăm $\frac{7}{4}$.

Aici numărătorul ($7$) este mai mare decât numitorul ($4$), deci fracția este supraunitară (mai mare decât $1$). Avem două metode, alege-o pe cea care îți place.

Metoda A — numeri pătrimi de la zero. Numitorul rămâne $4$, deci continuăm să tăiem fiecare unitate în câte $4$ părți egale: nu doar segmentul $0$–$1$, ci și $1$–$2$. Acum numărăm $7$ părticele de la $0$: $\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}(=1),\frac{5}{4},\frac{6}{4},\frac{7}{4}$. Ajungem la al treilea semn după $1$.

Metoda B — transformi în număr mixt (parte întreagă plus fracție subunitară). Împarți $7$ la $4$: $7=4\cdot 1+3$, deci $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$. Asta îți spune direct: punctul se află cu $\frac{3}{4}$ la dreapta lui $1$, adică între $1$ și $2$, mai aproape de $2$.

Metoda B este de aur pentru localizare: îți spune imediat între ce două numere întregi vecine se află fracția.

5. Reprezentarea numerelor raționale negative

Numerele raționale negative se reprezintă exact la fel, doar că numeri spre stânga lui $0$. Săgeata pozitivă rămâne spre dreapta, dar tu mergi în sens opus.

Să reprezentăm $-\frac{5}{2}$.

Pasul 1 — numitorul. Numitorul este $2$, deci împărțim fiecare unitate în $2$ părți egale. Fiecare jumătate valorează $\frac{1}{2}$.

Pasul 2 — număr mixt cu grijă la semn. $\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$, deci $-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$. Punctul se află între $-2$ și $-3$, exact la jumătatea dintre ele.

Pasul 3 — numără spre stânga. De la $0$ mergem spre stânga $5$ jumătăți: $-\frac{1}{2},-\frac{2}{2}(=-1),-\frac{3}{2},-\frac{4}{2}(=-2),-\frac{5}{2}$. Ajungem la mijlocul dintre $-2$ și $-3$.

Atenție la o capcană des întâlnită: $-\frac{5}{2}$ NU se află între $-2$ și $-1$, ci între $-2$ și $-3$. Pe partea negativă, „mai mult” (în modul) înseamnă „mai la stânga”, deci numere mai mici. Despre ordonare vom vorbi pe larg în lecția Compararea și ordonarea numerelor raționale.

6. Cum alegi în câte părți tai unitatea când ai mai multe fracții

Dacă vrei să pui pe aceeași axă mai multe fracții cu numitori diferiți, de exemplu $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{6}$, e incomod să tai unitatea când în $2$, când în $3$, când în $6$ părți. Soluția: aduci fracțiile la același numitor (numitorul comun), apoi tai unitatea o singură dată, în atâtea părți.

Numitorul comun al lui $2$, $3$ și $6$ este $6$ (vezi Cel mai mic multiplu comun). Transformăm:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\frac{2}{3}=\frac{4}{6},\frac{5}{6}=\frac{5}{6}.$$

Acum tăiem unitatea în $6$ părți egale și marcăm semnele $3$, $4$ și $5$. Simplu și ordonat.

Folosirea fracțiilor echivalente este foarte utilă aici. Reține că $\frac{3}{6}$ și $\frac{1}{2}$ sunt același punct pe axă — sunt scrieri diferite ale aceluiași număr rațional. Despre fracții echivalente și ireductibile ai învățat în lecția Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere.

7. Citirea coordonatei raționale a unui punct

Până acum am pornit de la număr și am găsit punctul. Acum facem invers: vedem un punct pe axă și aflăm ce număr îi corespunde. Numărul acela se numește coordonata punctului, iar dacă punctul se numește $A$, scriem $A\left(\frac{3}{4}\right)$ (citim: „$A$ de coordonată trei pătrimi”).

Pași pentru citire:

1. Numără în câte părți egale este împărțită unitatea în care se află punctul. Acela e numitorul.
2. Numără câte părticele sunt de la $0$ până la punct. Acela e numărătorul.
3. Dacă punctul este la stânga lui $0$, pune semnul minus.
4. Dacă se poate, simplifică fracția (o aduci la formă ireductibilă).

Exemplu rapid: dacă unitatea e tăiată în $5$ părți și punctul $B$ este al doilea semn la stânga lui $0$, atunci $B\left(-\frac{2}{5}\right)$.

8. O mică poveste ca să ții minte

Gândește-te la axă ca la un bloc cu mai multe etaje. Etajele sunt numerele întregi: parterul e $0$, etajul $1$, etajul $2$... iar subsolurile sunt $-1$, $-2$. Între două etaje există trepte: dacă scara are $4$ trepte între etaje, fiecare treaptă valorează $\frac{1}{4}$ de etaj. Când îți spun „urcă la $\frac{7}{4}$”, înseamnă: urcă $7$ trepte de la parter, când fiecare etaj are $4$ trepte. Ajungi la etajul $1$ și încă $3$ trepte — exact $1\frac{3}{4}$. Iar „coboară la $-\frac{5}{2}$” înseamnă: coboară $5$ trepte în subsol, când fiecare etaj are $2$ trepte: ajungi la subsolul $-2$ și încă jumătate, adică $-2\frac{1}{2}$.

Treapta = $\frac{1}{\text{numitor}}$. Numărul de trepte = numărătorul. Sus = pozitiv, jos = negativ. Cu această imagine în minte nu mai greșești sensul niciodată.

9. Și numerele zecimale stau pe aceeași axă

În lecția Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere ai văzut că un număr rațional poate fi scris ca fracție, dar și ca număr zecimal (când împărțirea se termină sau e periodică). Pe axă, cele două scrieri sunt același punct.

De exemplu, ca să reprezinți $0,6$, observă că $0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Tai unitatea în $5$ părți și numeri $3$ — sau tai în $10$ părți și numeri $6$; ajungi în același loc. La fel, $-1,5=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$, deci e la jumătatea dintre $-1$ și $-2$.

Un truc rapid de localizare cu zecimale: partea întreagă a numărului zecimal îți spune imediat între ce numere întregi se află. $2,3$ e între $2$ și $3$; $-4,8$ e între $-5$ și $-4$ (mai aproape de $-5$). Asta seamănă foarte mult cu transformarea în număr mixt.

10. Rezumatul algoritmului în patru pași

Oricât de complicat ar părea un număr rațional, urmează mereu acești patru pași și nu greșești:

1. Semn: pozitiv → mergi spre dreapta lui $0$; negativ → spre stânga.
2. Numitor: taie fiecare unitate în atâtea părți egale.
3. Numărător: numără atâtea părticele de la $0$, în direcția de la pasul 1.
4. Verificare: transformă în număr mixt și controlează că punctul a căzut între numerele întregi corecte.

Acești patru pași funcționează identic pentru fracții subunitare, supraunitare, pozitive, negative și pentru numere zecimale. Este „rețeta” pe care o vei folosi tot restul anului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — fracție subunitară pozitivă

Reprezintă pe axă numărul $\frac{2}{5}$ și spune între ce numere întregi se află.

Numitorul este $5$, deci împărțim segmentul $0$–$1$ în $5$ părți egale. Numărătorul este $2$, deci numărăm $2$ părticele de la $0$ spre dreapta. Punctul cade la al doilea semn, între $0$ și $1$, mai aproape de $0$ (pentru că $2$ este sub jumătatea lui $5$).

Răspuns: $\frac{2}{5}$ se află între $0$ și $1$.

Exemplul 2 — fracție supraunitară pozitivă, cu număr mixt

Reprezintă $\frac{11}{3}$ și localizează-l între două numere întregi.

Transformăm în număr mixt: $11=3\cdot 3+2$, deci $\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$. Punctul se află între $3$ și $4$, la $\frac{2}{3}$ după $3$ (deci mai aproape de $4$). Tăiem fiecare unitate în $3$ părți; de la $3$ numărăm încă $2$ treimi.

Răspuns: $\frac{11}{3}$ se află între $3$ și $4$.

Exemplul 3 — număr rațional negativ

Reprezintă $-\frac{7}{4}$ pe axă.

Mai întâi semnul: punctul va fi la stânga lui $0$. Apoi modulul: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$, deci $-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}$. Punctul se află între $-1$ și $-2$, la $\frac{3}{4}$ după $-1$ mergând spre stânga, adică foarte aproape de $-2$. Tăiem unitatea în $4$ părți și numărăm $7$ sferturi spre stânga de la $0$.

Răspuns: $-\frac{7}{4}$ este între $-2$ și $-1$, mai aproape de $-2$.

Exemplul 4 — fracție care se simplifică

Reprezintă $\frac{6}{8}$.

Întâi observăm că fracția nu este ireductibilă: $\frac{6}{8}=\frac{6:2}{8:2}=\frac{3}{4}$. E mult mai comod să tăiem unitatea în $4$ părți (forma ireductibilă) decât în $8$. Marcăm al treilea sfert între $0$ și $1$ — exact același punct ca în secțiunea de la început.

Răspuns: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, se află între $0$ și $1$. Aceasta arată că fracțiile echivalente ocupă același punct.

Exemplul 5 — citirea coordonatei unui punct

Pe o axă, unitatea este împărțită în $3$ părți egale. Punctul $M$ este al cincilea semn la dreapta lui $0$. Care este coordonata lui $M$?

Numitorul este $3$ (atâtea părți are unitatea). Numărătorul este $5$ (al cincilea semn). Punctul e la dreapta, deci pozitiv. Coordonata este $\frac{5}{3}$. O putem scrie și ca $1\frac{2}{3}$, deci $M$ se află între $1$ și $2$.

Răspuns: $M\left(\frac{5}{3}\right)$, adică $M\left(1\frac{2}{3}\right)$.

Exemplul 6 — mai multe fracții pe aceeași axă

Așază pe aceeași axă, între $0$ și $1$, numerele $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ și $\frac{1}{4}$, în ordine.

Numitorul comun al lui $2$ și $4$ este $4$. Aducem totul la pătrimi: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$. Tăiem unitatea în $4$ părți și marcăm semnele $1$, $2$ și $3$. Citite de la stânga la dreapta, ordinea crescătoare este $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}<\frac{3}{4}$ — și pe axă observăm direct că punctul mai mare e mai la dreapta.

Exemplul 7 — fracții cu numitori diferiți, aduse la numitor comun

Așază pe aceeași axă, în ordine crescătoare, numerele $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ și $\frac{5}{6}$.

Numitorii sunt $2$, $3$ și $6$. Cel mai mic numitor comun este $6$, pentru că $6$ este multiplu și al lui $2$, și al lui $3$. Aducem fiecare fracție la șesimi:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\frac{2}{3}=\frac{4}{6},\frac{5}{6}=\frac{5}{6}.$$

Acum totul e simplu: tăiem unitatea într-o singură serie de $6$ părți egale și marcăm semnele $3$, $4$ și $5$. Privind de la stânga la dreapta, citim direct ordinea crescătoare:

$$\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{5}{6}.$$

Răspuns: ordinea pe axă, de la stânga la dreapta, este $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{6}$. Acesta este și motivul pentru care axa ne ajută atât de mult la comparare: pe axă, numărul mai mare este pur și simplu cel mai din dreapta.

Să exersăm

1. În câte părți egale trebuie să împarți unitatea ca să reprezinți $\frac{5}{6}$? Câte părți numeri de la $0$?

2. Reprezintă pe axă $\frac{1}{3}$. Între ce două numere întregi se află?

3. Reprezintă pe axă $\frac{4}{5}$. Este mai aproape de $0$ sau de $1$?

4. Scrie sub formă de număr mixt și spune între ce numere întregi se află: a) $\frac{9}{4}$; b) $\frac{13}{5}$; c) $\frac{7}{2}$.

5. Reprezintă pe axă numărul negativ $-\frac{2}{3}$. La stânga sau la dreapta lui $0$ se află?

6. Localizează între două numere întregi consecutive: a) $-\frac{9}{4}$; b) $-\frac{11}{3}$.

7. Adevărat sau fals? $\frac{8}{3}$ se află între $2$ și $3$.

8. Adevărat sau fals? $-\frac{5}{2}$ se află între $-2$ și $-1$.

9. Pe o axă, unitatea este împărțită în $5$ părți egale, iar punctul $P$ este al treilea semn la dreapta lui $0$. Scrie coordonata lui $P$.

10. Pe o axă, unitatea este împărțită în $4$ părți egale, iar punctul $Q$ este al cincilea semn la stânga lui $0$. Scrie coordonata lui $Q$ și transform-o în număr mixt.

11. Completează: Pentru a reprezenta $\frac{7}{10}$, tai unitatea în ____ părți egale și numeri ____ părți de la $0$.

12. Încercuiește numărul care se află cel mai aproape de $0$: $\frac{1}{5},\frac{3}{4},-\frac{1}{2},\frac{2}{3}$.

13. Simplifică fracția, apoi spune în câte părți e mai comod să tai unitatea: a) $\frac{4}{6}$; b) $\frac{10}{15}$; c) $\frac{6}{9}$.

14. Potrivește fiecare fracție cu localizarea ei corectă:

    • A) $\frac{5}{4}$
    • B) $-\frac{3}{2}$
    • C) $\frac{2}{5}$
    • D) $\frac{7}{3}$

    Localizări: (1) între $0$ și $1$; (2) între $1$ și $2$; (3) între $2$ și $3$; (4) între $-2$ și $-1$.

15. Desenează o axă de la $-2$ la $2$, taie fiecare unitate în $4$ părți și marchează punctele $\frac{3}{4}$, $-\frac{1}{4}$ și $\frac{5}{4}$.

16. Pe o axă, unitatea e tăiată în $6$ părți. Punctul $R$ este la coordonata $\frac{4}{6}$. Scrie coordonata lui $R$ ca fracție ireductibilă.

17. Mică problemă. Un termometru arată dimineața $-\frac{3}{2}$ grade, iar la prânz $\frac{5}{2}$ grade. Reprezintă cele două valori pe o axă verticală (sau orizontală) și spune care e mai mică.

18. Mică problemă. Trei prieteni aleargă pe o pistă marcată din $\frac{1}{8}$ în $\frac{1}{8}$ de kilometru. Ana este la $\frac{3}{8}$ km, Bogdan la $\frac{7}{8}$ km, iar Carla la $\frac{5}{8}$ km. Așază-i pe axă și spune cine este în frunte.

19. Scrie ca fracție și reprezintă pe axă numerele zecimale: a) $0,4$; b) $1,5$; c) $-0,25$.

20. Mică problemă. Un submarin se află la adâncimea corespunzătoare numărului $-\frac{7}{2}$ (în zeci de metri), iar un pescăruș zboară la $\frac{3}{2}$. Reprezintă ambele puncte pe o axă verticală și spune câte „jumătăți de unitate” sunt între ele.

Răspunsuri și explicații

1. Numitorul este $6$, deci tai unitatea în $6$ părți egale și numeri $5$ părți de la $0$. Punctul cade între $0$ și $1$, aproape de $1$.

2. Tai unitatea în $3$ părți; primul semn este $\frac{1}{3}$. Se află între $0$ și $1$, aproape de $0$.

3. Tai unitatea în $5$ părți și numeri $4$. Cum $4$ este peste jumătatea lui $5$, punctul $\frac{4}{5}$ este mai aproape de $1$.

4. a) $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$, între $2$ și $3$. b) $\frac{13}{5}=2\frac{3}{5}$, între $2$ și $3$. c) $\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}$, între $3$ și $4$.

5. Numărul este negativ, deci la stânga lui $0$; tai unitatea în $3$ părți și numeri $2$ spre stânga. $-\frac{2}{3}$ este între $-1$ și $0$.

6. a) $-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$, între $-3$ și $-2$. b) $-\frac{11}{3}=-3\frac{2}{3}$, între $-4$ și $-3$. (Atenție: cu cât modulul e mai mare, cu atât numărul negativ e mai la stânga.)

7. Adevărat. $\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$, deci este între $2$ și $3$.

8. Fals. $-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$ se află între $-3$ și $-2$, nu între $-2$ și $-1$.

9. Numitorul $5$, numărătorul $3$, la dreapta: $P\left(\frac{3}{5}\right)$.

10. Numitorul $4$, numărătorul $5$, la stânga: $Q\left(-\frac{5}{4}\right)=Q\left(-1\frac{1}{4}\right)$. Se află între $-2$ și $-1$.

11. Tai unitatea în $10$ părți și numeri $7$ părți.

12. Cel mai aproape de $0$ este $\frac{1}{5}$. Distanțele față de $0$ (modulele) sunt: $\frac{1}{5}=0,2$; $\frac{3}{4}=0,75$; $\left|-\frac{1}{2}\right|=0,5$; $\frac{2}{3}\approx 0,67$. Cea mai mică este $0,2$, deci $\frac{1}{5}$.

13. a) $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, tai în $3$ părți. b) $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, tai în $3$ părți. c) $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, tai în $3$ părți. (Toate trei sunt același număr!)

14. A → (2): $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$, între $1$ și $2$. B → (4): $-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$, între $-2$ și $-1$. C → (1): $\frac{2}{5}$ între $0$ și $1$. D → (3): $\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$, între $2$ și $3$.

15. Verifică desenul tău: cu unitatea tăiată în $4$ părți, $\frac{3}{4}$ e al treilea semn după $0$ (între $0$ și $1$); $-\frac{1}{4}$ e primul semn la stânga lui $0$; $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ e primul semn după $1$. Ordinea pe axă, de la stânga: $-\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4}$.

axa de la -2 la 2, fiecare unitate în 4 părți; punctele -1/4, 3/4 și 5/4 îngroșate și etichetate.

16. $\frac{4}{6}=\frac{4:2}{6:2}=\frac{2}{3}$. Deci $R\left(\frac{2}{3}\right)$.

17. $-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$ (între $-2$ și $-1$), iar $\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ (între $2$ și $3$). Pe axă, $-\frac{3}{2}$ este la stânga, deci este valoarea mai mică: dimineața a fost mai frig.

axă de la -2 la 3 cu jumătăți; punctele -3/2 și 5/2 marcate; săgeată care arată că -3/2 este mai la stânga.

18. Tăiem unitatea (1 km) în $8$ părți. Ana la al treilea semn, Carla la al cincilea, Bogdan la al șaptelea. Pe axă, cel mai la dreapta este Bogdan, deci Bogdan este în frunte, urmat de Carla, apoi Ana: $\frac{3}{8}<\frac{5}{8}<\frac{7}{8}$.

19. a) $0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, între $0$ și $1$ (al doilea semn din $5$). b) $1,5=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$, la jumătatea dintre $1$ și $2$. c) $-0,25=-\frac{25}{100}=-\frac{1}{4}$, primul semn la stânga lui $0$.

20. $-\frac{7}{2}=-3\frac{1}{2}$ (între $-4$ și $-3$) și $\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$ (între $1$ și $2$). Numărând jumătățile de la $-\frac{7}{2}$ până la $\frac{3}{2}$: de la $-\frac{7}{2}$ la $\frac{3}{2}$ sunt $\frac{3}{2}-\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{10}{2}=5$ unități, adică $10$ jumătăți de unitate între cele două puncte.

De reținut

• Numitorul îți spune în câte părți egale tai unitatea; numărătorul îți spune câte părți numeri de la $0$.
• Numerele raționale pozitive stau la dreapta lui $0$, cele negative la stânga.
• Pentru localizare, transformă fracția supraunitară în număr mixt: partea întreagă îți arată numerele întregi între care se află punctul.
• Fracțiile echivalente ocupă același punct pe axă; e comod să folosești forma ireductibilă.
• Pentru a citi coordonata unui punct: numără părțile unității (numitor), numără semnele până la punct (numărător) și pune minus dacă e la stânga lui $0$.

Greșeli frecvente

• Confuzia sensului la negative. Mulți cred că $-\frac{5}{2}$ e între $-2$ și $-1$. Greșit: $-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$ este între $-3$ și $-2$. Pe partea negativă, modul mai mare înseamnă mai la stânga.
• Tai unitatea în numărul greșit de părți. Pentru $\frac{3}{4}$ tai în $4$ părți (numitorul), nu în $3$. Numărătorul îți spune doar câte numeri, nu în câte tai.
• Numeri din capătul greșit. Pornește numărarea mereu de la $0$ (origine), nu de la $1$ și nu de la marginea desenului.
• Uiți să simplifici. Pentru $\frac{6}{8}$ e mult mai ușor să tai în $4$ părți decât în $8$ — adu fracția la formă ireductibilă întâi.

Joc acasă

1. Rigla-axă cu sfori și agrafe. Întinde un fir (sau o panglică) între două scaune. Prinde cu agrafe sau cleme două puncte și scrie pe ele $0$ și $1$. Apoi împarte distanța cu o riglă în $4$ părți egale și prinde câte o agrafă la fiecare. Cere-i unui părinte să-ți spună o fracție (de exemplu $\frac{3}{4}$) și tu pune un cârlig de rufe exact la locul ei. Schimbați rolurile.

2. Termometrul de hârtie. Desenează pe o coală o axă verticală de la $-3$ la $3$, cu fiecare unitate tăiată în $2$ jumătăți. „Citește temperaturi” inventate ($-\frac{5}{2}$, $\frac{3}{2}$, $-\frac{1}{2}$) și marchează-le cu o linie roșie. Apoi spune care temperatură e cea mai scăzută — verifici că e cea mai de jos pe axă.

3. Cursa de pe coridor. Lipește pe podea o bandă de hârtie și marchează $0$ la un capăt și $1$ la celălalt. Împarte distanța în $8$ părți egale. Pune trei jucării (sau monede) la $\frac{2}{8}$, $\frac{5}{8}$ și $\frac{7}{8}$ și „comentează cursa”: cine e în frunte, cine e ultimul. Bonus: simplifică $\frac{2}{8}$ și verifică dacă pică în același loc cu $\frac{1}{4}$.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care copilul le are deja: fracția ca „parte din întreg” și axa numerelor de la numerele întregi. Cheia metodică este formula numitor = câte tăieturi, numărător = câți pași. Insistați pe ea verbal de fiecare dată.

Întrebări utile de pus în timp ce lucrați împreună:

• „În câte părți tăiem unitatea? De unde știm?” (răspuns: din numitor)
• „De unde pornim să numărăm?” (de la $0$, mereu)
• „Între ce două numere întregi va cădea? Cum verificăm fără să desenăm?” (transformând în număr mixt)
• „Dacă e negativ, în ce direcție mergem?” (spre stânga)

Cum verificați că a înțeles cu adevărat: dați-i un punct deja marcat și cereți-i coordonata (operația inversă). Dacă poate face și drumul invers — de la punct la fracție, inclusiv cu semn și cu simplificare — atunci stăpânește lecția. O eroare frecventă de urmărit este localizarea negativelor; reveniți la analogia cu subsolurile blocului. Nu treceți la Compararea și ordonarea numerelor raționale până când plasarea pe axă nu e fluentă, fiindcă ordonarea se sprijină exact pe „mai la dreapta = mai mare”.

Întrebări frecvente

Cum reprezint o fracție pe axa numerelor la clasa a 6-a? Tai segmentul-unitate (de la $0$ la $1$) în atâtea părți egale câte arată numitorul, apoi numeri de la $0$ atâtea părți câte arată numărătorul. Pentru fracții pozitive numeri spre dreapta, pentru cele negative spre stânga.

Cum știu în câte părți să împart unitatea? Numărul de părți este chiar numitorul fracției. Pentru $\frac{3}{5}$ tai în $5$ părți; pentru $\frac{7}{8}$ tai în $8$ părți. Dacă ai mai multe fracții, le aduci la același numitor și tai o singură dată.

Unde se află $-\frac{5}{2}$ pe axă? $-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$, deci se află la stânga lui $0$, exact la jumătatea dintre $-2$ și $-3$. Atenție: este între $-3$ și $-2$, nu între $-2$ și $-1$.

Cum localizez un număr rațional între două numere întregi? Transformi fracția supraunitară în număr mixt (împărțire cu rest). Partea întreagă îți spune între ce numere cade: $\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$ este între $3$ și $4$. La numere negative, pune semnul minus și cele două întregi devin, de exemplu, $-4$ și $-3$.

Cum citesc coordonata rațională a unui punct deja marcat? Numeri în câte părți este împărțită unitatea (numitorul) și câte semne sunt de la $0$ până la punct (numărătorul); pui minus dacă punctul e la stânga lui $0$ și, dacă se poate, simplifici fracția.

Fracțiile echivalente cad în același loc pe axă? Da. $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ și $\frac{3}{6}$ reprezintă același număr rațional, deci ocupă exact același punct. De obicei folosești forma ireductibilă pentru că e mai ușor de desenat.

De ce transform fracția în număr mixt înainte de a o reprezenta? Pentru că îți spune imediat partea întreagă, adică între ce două numere întregi vecine se află punctul, și apoi mai ai de numărat doar o fracție subunitară. Este metoda cea mai rapidă pentru localizare.

Numerele zecimale se reprezintă la fel pe axă? Da, pentru că orice număr zecimal finit este tot un număr rațional. De exemplu $0,75=\frac{3}{4}$ și $-2,5=-\frac{5}{2}$, deci le așezi exact ca pe fracțiile corespunzătoare.

Cum pun pe aceeași axă fracții cu numitori diferiți? Le aduci la același numitor (numitorul comun, de obicei cel mai mic multiplu comun), apoi tai unitatea o singură dată, în atâtea părți. Așa eviți să tai unitatea de mai multe ori și marchezi toate punctele dintr-o privire.

Între $\frac{1}{2}$ și $\frac{3}{4}$ pe axă, care e mai la dreapta? $\frac{3}{4}$ este mai la dreapta, pentru că este mai mare. Adu-le la același numitor: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ și $\frac{3}{4}$ rămâne; cum $2<3$, rezultă $\frac{1}{2}<\frac{3}{4}$, deci pe axă $\frac{3}{4}$ stă mai spre dreapta.

Cât valorează o părticică dacă tai unitatea în 4? Fiecare părticică valorează $\frac{1}{4}$ din unitate. În general, dacă tai unitatea în $n$ părți egale, fiecare părticică valorează $\frac{1}{n}$, iar $n$ astfel de părți alcătuiesc o unitate întreagă.