Puterea cu exponent întreg a unui număr rațional nenul

Ai învățat deja cum se ridică la putere un număr întreg și ce înseamnă să înmulțești de mai multe ori același număr. Acum facem un pas mai sus: vom ridica la putere numere raționale — adică fracții și numere zecimale — și vom descoperi un lucru surprinzător: exponentul poate fi și negativ. La final vei ști să calculezi orice putere cu exponent întreg și să folosești regulile de calcul ca un adevărat matematician.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi puterea cu exponent natural a unui număr rațional, ridicând la putere și numărătorul, și numitorul.
Vei ști ce înseamnă un exponent întreg negativ și de ce este legat de inversul unui număr.
Vei ști să aplici regulile de calcul cu puteri: produs, cât, putere a puterii, putere a unui produs și putere a unui cât.
Vei ști să efectuezi calcule numerice cu puteri ale numerelor raționale, corect și ordonat.
Vei ști să eviți greșelile tipice cu semnele și cu exponentul 0.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim ce este o putere

O putere este o înmulțire repetată a aceluiași număr. Numărul care se înmulțește se numește bază, iar de câte ori îl înmulțim ne spune exponentul.

$a^{n} = n factori a \cdot a \cdot a \dots a$

De exemplu, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Aici baza este 2, exponentul este 3, iar rezultatul 8 se numește puterea.

Până acum baza a fost un număr natural sau un număr întreg (ai văzut asta în lecția Puterea cu exponent natural a unui număr întreg). Acum baza va fi un număr rațional, adică o fracție de forma a/b, un număr zecimal sau un număr întreg — toate sunt numere raționale, după cum ai văzut în lecția Mulțimea numerelor raționale ℚ.

Un mic ajutor de vocabular înainte să mergem mai departe. Când spunem „exponent natural" ne referim la 0, 1, 2, 3, ... Când spunem „exponent întreg" includem și numerele negative: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... Tocmai de aceea titlul lecției vorbește despre „exponent întreg" — pentru că vom putea ridica la putere folosind și exponenți negativi, nu doar pozitivi. Este o extindere, un fel de „upgrade" al puterilor pe care le cunoști deja. Iar ca să nu apară probleme, baza trebuie să fie nenulă, adică diferită de 0; vei vedea imediat de ce.

2. Puterea cu exponent natural a unui număr rațional

Ce înseamnă să ridicăm o fracție la putere? Exact același lucru: o înmulțim cu ea însăși de atâtea ori cât arată exponentul. Iar înmulțirea fracțiilor o știi deja din lecția Înmulțirea numerelor raționale: înmulțim numărător cu numărător și numitor cu numitor.

Să calculăm (2/3)³:

$(\frac{2}{3})^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2 ^{3}}{3 ^{3}} = \frac{8}{27}$

Observă regula de aur care iese la iveală:

Pentru a ridica o fracție la o putere, ridicăm la acea putere și numărătorul, și numitorul.

$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}, b \neq = 0$

Asta este foarte comod: nu mai înmulțim fracția de mai multe ori, ci ridicăm separat sus și jos. De exemplu:

$(\frac{3}{5})^{2} = \frac{3 ^{2}}{5 ^{2}} = \frac{9}{25}$

3. Atenție la semn: baza negativă

Numerele raționale pot fi și negative. Aici regula semnelor de la înmulțire (din lecția Înmulțirea numerelor întregi) ne ajută enorm. Reține:

Dacă baza este negativă și exponentul este par, rezultatul este pozitiv (semnele minus se grupează două câte două și dispar).
Dacă baza este negativă și exponentul este impar, rezultatul este negativ (rămâne un minus nepereche).

Să verificăm:

$(- \frac{1}{2})^{2} = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$(- \frac{1}{2})^{3} = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}$

Un truc de memorare: numără câte minusuri ai. Două minusuri fac un plus. La exponent par, toate minusurile se împerechează frumos. La exponent impar, rămâne unul singur, fără pereche, și el dă semnul minus rezultatului.

4. Cazuri speciale: exponentul 1 și exponentul 0

Există două cazuri pe care trebuie să le știi pe de rost.

Exponentul 1. Orice număr ridicat la puterea 1 rămâne neschimbat, fiindcă „îl luăm o singură dată":

$a^{1} = a, de exemplu (\frac{7}{4})^{1} = \frac{7}{4}$

Exponentul 0. Orice număr rațional nenul ridicat la puterea 0 este egal cu 1:

$a^{0} = 1, a \neq = 0$

De ce 1, și nu 0? Iată o explicație simplă. Știm că la împărțirea puterilor cu aceeași bază scădem exponenții (vom vedea regula imediat). Dacă împărțim un număr la el însuși, obținem 1:

$\frac{a ^{3}}{a ^{3}} = 1 dar ș i \frac{a ^{3}}{a ^{3}} = a^{3 - 3} = a^{0}$

Deci a⁰ trebuie să fie 1. Acesta este și motivul pentru care în titlul lecției spunem „număr rațional nenul": baza 0 nu poate fi ridicată la putere 0, fiindcă nu putem împărți la 0.

5. Marele pas nou: exponentul întreg negativ

Acum vine ideea cea mai nouă și mai frumoasă a lecției. Ce ar putea însemna un exponent negativ, de pildă (2/3)⁻¹ sau 5⁻²? Nu putem „înmulți de minus două ori" — asta nu are sens. Așa că matematicienii au ales o definiție care păstrează toate regulile în armonie:

Puterea cu exponent întreg negativ este egală cu inversul puterii cu exponent pozitiv.

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a \neq = 0$

Cu alte cuvinte, un exponent negativ înseamnă „treci numărul jos, la numitor, și fă exponentul pozitiv". Să vedem câteva:

$5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$

$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$

Pentru fracții, există un truc și mai elegant. Inversul fracției a/b este b/a (răstoarnă fracția). Iar un exponent -1 chiar înseamnă inversul:

$(\frac{a}{b})^{- 1} = \frac{b}{a}$

Iar pentru un exponent negativ mai mare, întâi răstorni fracția, apoi ridici la exponentul pozitiv:

$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n} = \frac{b ^{n}}{a ^{n}}$

De exemplu:

$(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$

De ce este aceasta o alegere logică? Pentru că „coborând" exponenții cu câte 1, valorile se împart de fiecare dată la bază. Privește acest tabel cu baza 2:

Putere	`2³`	`2²`	`2¹`	`2⁰`	`2⁻¹`	`2⁻²`	`2⁻³`
Valoare	`8`	`4`	`2`	`1`	`1/2`	`1/4`	`1/8`

De fiecare dată când exponentul scade cu 1, valoarea se înjumătățește (se împarte la baza 2). Tiparul continuă natural în zona negativă: după 1 vine 1/2, apoi 1/4, apoi 1/8. Exponentul negativ nu este o regulă inventată la întâmplare — este continuarea firească a acestui șir.

6. Regulile de calcul cu puteri

Vestea minunată este că toate regulile de calcul cu puteri pe care le știi rămân valabile și pentru numerele raționale, și chiar pentru exponenți negativi. Le strângem aici, cu exemple. În toate, baza este un număr rațional nenul.

(R1) Produsul a două puteri cu aceeași bază — exponenții se adună:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Exemplu: (3/2)² · (3/2)⁴ = (3/2)^(2+4) = (3/2)⁶.

(R2) Câtul a două puteri cu aceeași bază — exponenții se scad:

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

Exemplu: 5⁷ : 5⁴ = 5^(7-4) = 5³ = 125. Tot această regulă explică de ce a⁰ = 1 (când m = n).

(R3) Puterea unei puteri — exponenții se înmulțesc:

$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$

Exemplu: ((2/5)³)² = (2/5)^(3·2) = (2/5)⁶.

(R4) Puterea unui produs — fiecare factor se ridică la putere:

$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

(R5) Puterea unui cât (a unei fracții) — și sus, și jos se ridică la putere:

$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

Această ultimă regulă o cunoști deja — este chiar regula de aur de la început.

O singură atenționare importantă: regulile R1, R2, R3 se aplică doar când puterile au aceeași bază. Nu poți aduna exponenții lui 2³ și 3³ — acolo bazele sunt diferite. Pentru baze diferite cu același exponent folosești R4 și R5.

7. De ce regulile merg și cu exponenți negativi

Frumusețea definiției a⁻ⁿ = 1/aⁿ este că face regulile să funcționeze fără excepție. Privește un exemplu cu R1:

$2^{- 2} \cdot 2^{5} = \frac{1}{2 ^{2}} \cdot 2^{5} = \frac{2 ^{5}}{2 ^{2}} = 2^{5 - 2} = 2^{3} = 8$

Iar regula R1 ne-ar fi dat direct: 2^(-2+5) = 2³ = 8. Același rezultat! De aceea poți aduna și scădea exponenți negativi exact ca pe numerele întregi (din lecția Adunarea numerelor întregi). Asta îți simplifică enorm calculele.

8. Numere zecimale și puteri

Un număr zecimal este tot un număr rațional, deci se ridică la putere la fel. Adesea este mai ușor să-l transformi întâi în fracție.

$0, 2^{2} = (\frac{2}{10})^{2} = \frac{4}{100} = 0, 04$

Sau direct, ca la înmulțirea zecimalelor: 0,2 · 0,2 = 0,04. Și 0,1⁻¹ = 1/0,1 = 10, fiindcă inversul lui 0,1 este 10. Vezi cum exponentul negativ „mărește" un număr subunitar? Asta se întâmplă mereu: când baza este între 0 și 1, un exponent negativ dă un rezultat mai mare decât 1.

9. Trei pași siguri pentru orice putere

Când dai peste o putere și nu știi de unde să începi, urmează acești trei pași simpli. Sunt ca o rețetă pe care o poți aplica de fiecare dată.

Pasul 1 — Privește exponentul. Este pozitiv, 0 sau negativ?

Dacă este 0, răspunsul este 1 (baza fiind nenulă) și ai terminat.
Dacă este pozitiv, treci la pasul 2.
Dacă este negativ, mai întâi transformă-l: răstoarnă fracția (sau trimite numărul la numitor) și fă exponentul pozitiv. Apoi treci la pasul 2.

Pasul 2 — Privește semnul bazei. Dacă baza este negativă, stabilește semnul rezultatului după paritatea exponentului: par → plus, impar → minus. Notează-ți semnul deoparte ca să nu-l uiți.

Pasul 3 — Calculează valoarea. Ridică la putere numărătorul și numitorul și, dacă se poate, simplifică fracția finală.

Hai să testăm rețeta pe (−3/2)⁻³. Exponentul este negativ (pasul 1): răsturnăm și schimbăm semnul exponentului, devine (−2/3)³. Semnul bazei este negativ și exponentul 3 este impar (pasul 2): rezultatul va fi negativ. Calculăm valoarea (pasul 3): (2/3)³ = 8/27. Punem semnul: rezultatul este −8/27. Gata, cu metodă și fără emoții.

10. O poveste care leagă totul

Imaginează-ți un microscop foarte puternic și un telescop la fel de puternic. Stai în mijloc, la „nivelul 0", unde lucrurile au mărimea 1. Dacă privești prin telescop, fiecare pas te duce de 10 ori mai departe: 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000 — exponenții pozitivi te trimit spre lumea uriașă a planetelor și a galaxiilor. Dacă privești prin microscop, fiecare pas te micșorează de 10 ori: 10⁻¹ = 1/10, 10⁻² = 1/100, 10⁻³ = 1/1000 — exponenții negativi te coboară spre lumea minusculă a celulelor și a atomilor.

Vezi cum totul se leagă? Exponentul natural te urcă spre numere mari, exponentul negativ te coboară spre numere mici (subunitare), iar exponentul 0 este chiar locul de pornire, unde valoarea este 1. Această imagine este folosită zilnic de oamenii de știință, care scriu distanțe și mărimi cu puteri ale lui 10, tocmai pentru că este mult mai comod decât să numeri zerourile.

11. Compararea rapidă a două puteri

Uneori nu trebuie să calculezi tot, ci doar să compari. Iată câteva idei rapide care îți economisesc timp:

O putere cu exponent negativ a unui număr supraunitar (mai mare ca 1) este întotdeauna subunitară. De exemplu, 3⁻² = 1/9 < 1.
O putere cu exponent natural a unui număr supraunitar este mai mare decât baza (pentru exponent cel puțin 2). De exemplu, 3² = 9 > 3.
Pentru o fracție subunitară (între 0 și 1), cu cât exponentul natural este mai mare, cu atât rezultatul este mai mic. De exemplu, (1/2)² = 1/4, iar (1/2)³ = 1/8, deci (1/2)³ < (1/2)². Pare ciudat la prima vedere, dar are sens: înmulțind cu un număr mai mic ca 1, rezultatul scade de fiecare dată.

Aceste observații te ajută să verifici dacă un rezultat este plauzibil. Dacă obții, de pildă, că (1/2)³ ar fi 1/4, un simplu „control de bun-simț" îți spune că ceva nu e în regulă, fiindcă (1/2)³ trebuie să fie mai mic decât (1/2)².

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Putere a unei fracții cu exponent natural

Calculează (3/4)³.

Ridicăm la putere și numărătorul, și numitorul:

$(\frac{3}{4})^{3} = \frac{3 ^{3}}{4 ^{3}} = \frac{27}{64}$

Fracția 27/64 este deja ireductibilă (numerele 27 și 64 nu au divizori comuni în afară de 1), deci acesta este răspunsul final: 27/64.

Exemplul 2 — Bază negativă, exponent par și impar

Calculează (-2/5)² și (-2/5)³.

La exponent par, semnul devine pozitiv:

$(- \frac{2}{5})^{2} = \frac{( - 2 ) ^{2}}{5 ^{2}} = \frac{4}{25}$

La exponent impar, semnul rămâne negativ:

$(- \frac{2}{5})^{3} = \frac{( - 2 ) ^{3}}{5 ^{3}} = \frac{- 8}{125} = - \frac{8}{125}$

Răspunsuri: 4/25 și −8/125. Observă cum un singur minus nepereche a colorat al doilea rezultat în negativ.

Exemplul 3 — Exponent întreg negativ

Calculează (2/3)⁻² și 7⁻².

Pentru fracție, răsturnăm și schimbăm semnul exponentului:

$(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$

Pentru numărul întreg 7, exponentul negativ îl trimite la numitor:

$7^{- 2} = \frac{1}{7 ^{2}} = \frac{1}{49}$

Răspunsuri: 9/4 și 1/49.

Exemplul 4 — Folosirea regulilor R1 și R2

Adu la o singură putere expresia (3/5)⁴ · (3/5)³ : (3/5)⁵.

Baza este aceeași (3/5), așa că folosim R1 (adunăm exponenții la înmulțire) și R2 (scădem la împărțire). Lucrăm de la stânga la dreapta cu exponenții:

$(\frac{3}{5})^{4} \cdot (\frac{3}{5})^{3} : (\frac{3}{5})^{5} = (\frac{3}{5})^{4 + 3 - 5} = (\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$

Răspuns: 9/25. Am calculat exponentul ca pe o adunare și scădere de numere întregi: 4 + 3 − 5 = 2.

Exemplul 5 — Puterea puterii și exponent negativ

Calculează ((2/3)²)⁻¹.

Folosim R3, înmulțind exponenții: 2 · (−1) = −2.

$((\frac{2}{3})^{2})^{- 1} = (\frac{2}{3})^{2 \cdot (- 1)} = (\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$

Răspuns: 9/4. Exponentul negativ a apărut din înmulțirea 2 · (−1), apoi l-am rezolvat răsturnând fracția.

Exemplul 6 — Calcul numeric combinat

Calculează (−1/2)³ + 2⁻² · 3⁰.

Mergem pe etape. Mai întâi fiecare putere:

(−1/2)³ = −1/8 (exponent impar → semn negativ);
2⁻² = 1/2² = 1/4;
3⁰ = 1 (orice număr nenul la puterea 0 este 1).

Înlocuim și efectuăm înmulțirea înaintea adunării:

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot 1 = - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{8}$

Răspuns: 1/8. Am adus fracțiile la același numitor (8) ca să le putem aduna, exact ca în lecția Adunarea numerelor raționale.

Exemplul 7 — Puterea unui produs și a unui cât

Calculează (2/5)³ · 5³ folosind regulile, fără a aduna fracții.

Observă că ambele puteri au același exponent, 3. Atunci putem strânge bazele într-un singur produs (regula R4 citită invers):

$(\frac{2}{5})^{3} \cdot 5^{3} = (\frac{2}{5} \cdot 5)^{3} = 2^{3} = 8$

Pentru că 2/5 · 5 = 2. Răspuns: 8. Vezi cât de mult ușurează regulile calculul când le „citești" în ambele sensuri.

Exemplul 8 — Expresie cu mai multe puteri

Calculează ((−1/3)² )² + (1/3)⁻¹.

Mai întâi puterea puterii (R3): ((−1/3)²)² = (−1/3)^(2·2) = (−1/3)⁴. Exponentul 4 este par, deci semnul devine pozitiv: (1/3)⁴ = 1/81.

Apoi (1/3)⁻¹ = 3/1 = 3, fiindcă răsturnăm fracția.

Adunăm, aducând la numitorul 81:

$\frac{1}{81} + 3 = \frac{1}{81} + \frac{243}{81} = \frac{244}{81}$

Răspuns: 244/81. Am calculat 3 = 243/81 pentru a putea aduna fracțiile.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie toți pașii, nu doar rezultatul — așa înveți să gândești ordonat.

1. Calculează (1/3)².

2. Calculează (2/5)³.

3. Calculează (−3/4)².

4. Calculează (−1/2)⁵.

5. Cât este (5/7)¹? Dar (5/7)⁰?

6. Calculează 3⁻² și 10⁻³.

7. Scrie sub formă de fracție: (3/2)⁻¹ și (4/9)⁻¹.

8. Calculează (2/3)⁻³.

9. Adevărat sau fals? (−2/3)⁴ este un număr negativ.

10. Completează exponentul: (7/4)⁵ · (7/4)² = (7/4)^□.

11. Adu la o singură putere: (5/6)⁸ : (5/6)³.

12. Calculează ((3/2)²)³ și lasă rezultatul ca putere, apoi ca fracție.

13. Încercuiește rezultatul corect pentru (1/10)⁻²: a) 1/100 b) 100 c) −100.

14. Calculează (−1)¹⁰⁰ și (−1)⁹⁹.

15. Calculează numeric: (1/2)³ + (1/2)⁻².

16. Calculează: (2/3)² · (3/2)². (Indiciu: gândește-te la R4 sau la inverse.)

17. Ordonează crescător numerele: 2⁻¹, 2⁰, 2², 2⁻².

18. Problemă. Grosimea unei foi de hârtie este aproximativ (1/10)⁴ dintr-un metru. Scrie această grosime ca fracție și ca număr zecimal. Câți metri reprezintă?

19. Calculează folosind regulile, fără a aduna fracții: (3/7)⁴ · 7⁴.

20. Adevărat sau fals? 5⁻² este un număr negativ. Justifică.

21. Calculează (−2/3)² · (−2/3)⁻². (Indiciu: ce obții când înmulțești un număr cu inversul lui?)

22. Mică problemă. Într-un joc pe calculator, scorul se dublează la fiecare nivel. La nivelul 0 ai 1 punct. Câte puncte ai la nivelul 5? Scrie răspunsul ca putere a lui 2 și apoi ca număr.

Răspunsuri și explicații

1. (1/3)² = 1²/3² = 1/9. Ridicăm sus și jos la pătrat.

2. (2/5)³ = 2³/5³ = 8/125.

3. (−3/4)² = (−3)²/4² = 9/16. Exponent par → rezultat pozitiv.

4. (−1/2)⁵ = −1/32. Exponent impar → rezultat negativ; 2⁵ = 32.

5. (5/7)¹ = 5/7 (puterea 1 nu schimbă numărul). (5/7)⁰ = 1 (orice nenul la puterea 0 este 1).

6. 3⁻² = 1/3² = 1/9; 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000.

7. (3/2)⁻¹ = 2/3 (răsturnăm fracția); (4/9)⁻¹ = 9/4.

8. (2/3)⁻³ = (3/2)³ = 27/8. Întâi răsturnăm, apoi ridicăm la cub.

9. Fals. Exponentul 4 este par, deci (−2/3)⁴ = 16/81, un număr pozitiv.

10. □ = 7, fiindcă 5 + 2 = 7 (regula R1, aceeași bază → adunăm exponenții).

11. (5/6)⁸ : (5/6)³ = (5/6)^(8−3) = (5/6)⁵ (regula R2, scădem exponenții).

12. ((3/2)²)³ = (3/2)^(2·3) = (3/2)⁶ = 729/64 (R3, înmulțim exponenții; 3⁶ = 729, 2⁶ = 64).

13. Răspuns corect: b) 100. Avem (1/10)⁻² = (10/1)² = 10² = 100.

14. (−1)¹⁰⁰ = 1 (exponent par); (−1)⁹⁹ = −1 (exponent impar).

15. (1/2)³ + (1/2)⁻² = 1/8 + 2² = 1/8 + 4 = 1/8 + 32/8 = 33/8. Atenție: (1/2)⁻² = 2² = 4.

16. (2/3)² · (3/2)² = 4/9 · 9/4 = 36/36 = 1. Cele două fracții sunt inverse una alteia, iar (2/3)·(3/2) = 1, deci și pătratele dau 1.

17. Valorile sunt: 2⁻² = 1/4, 2⁻¹ = 1/2, 2⁰ = 1, 2² = 4. Ordinea crescătoare: 2⁻² < 2⁻¹ < 2⁰ < 2², adică 1/4 < 1/2 < 1 < 4.

18. (1/10)⁴ = 1/10⁴ = 1/10000 metri, adică 0,0001 m (o zecime de milimetru). Este o grosime foarte mică, exact cât te-ai aștepta de la o foaie de hârtie.

19. (3/7)⁴ · 7⁴ = (3/7 · 7)⁴ = 3⁴ = 81. Bazele au același exponent, deci le grupăm într-un produs (R4); 3/7 · 7 = 3.

20. Fals. 5⁻² = 1/5² = 1/25, un număr pozitiv. Minusul de la exponent înseamnă „inversul", nu „rezultat negativ".

21. (−2/3)² · (−2/3)⁻² = (−2/3)^(2 + (−2)) = (−2/3)⁰ = 1. Cele două puteri sunt inverse una alteia, iar produsul lor este 1.

22. Scorul la nivelul n este 2ⁿ. La nivelul 5 ai 2⁵ = 32 de puncte. (La nivelul 0 ai 2⁰ = 1, ceea ce se potrivește cu datele problemei.)

De reținut

Ridicarea unei fracții la putere: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ — ridici la putere și sus, și jos.
Bază negativă: exponent par → rezultat pozitiv; exponent impar → rezultat negativ.
a⁰ = 1 (pentru orice a nenul) și a¹ = a.
Exponent negativ = inversul puterii pozitive: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, iar (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.
Regulile cu puteri: la aceeași bază aduni exponenții (produs), îi scazi (cât) și îi înmulțești (putere a puterii); la același exponent distribui pe produs și pe fracție.

Greșeli frecvente

Confuzia bază × exponent. 2³ nu înseamnă 2 · 3 = 6, ci 2 · 2 · 2 = 8. Exponentul spune de câte ori se înmulțește baza, nu cu cât o înmulțești.
Semnul la bază negativă. Mulți scriu (−1/2)² = −1/4. Greșit: exponentul 2 este par, deci rezultatul este pozitiv, 1/4. Numără minusurile: două minusuri fac un plus.
Exponentul 0 dat ca 0. 5⁰ nu este 0, ci 1. Orice număr rațional nenul la puterea 0 este 1.
Exponent negativ tratat ca semn al rezultatului. 2⁻³ nu este −8; este 1/8, un număr pozitiv. Minusul de la exponent înseamnă „inversul", nu „rezultat negativ".

Joc acasă

1. Scara puterilor lui 2. Ia o foaie și scrie pe verticală: 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2⁻¹, 2⁻². Lângă fiecare scrie valoarea (8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4). Verifică de fiecare dată că, coborând o treaptă, valoarea se împarte la 2. Apoi reia jocul cu baza 3 și descoperă că de data aceasta valoarea nu se mai înjumătățește, ci se împarte la 3 la fiecare treaptă coborâtă.

2. Cartonașe „pereche". Scrie pe cartonașe puteri cu exponent negativ (de exemplu 5⁻², (2/3)⁻¹, 10⁻³) și pe alte cartonașe valorile lor (1/25, 3/2, 1/1000). Amestecă-le și încearcă, contra cronometru, să formezi perechile corecte. Roagă pe cineva din familie să te cronometreze.

3. Pliază hârtia. Ia o foaie subțire și îndoaie-o în două de câteva ori. După n îndoituri, ai 2ⁿ straturi de hârtie. Numără straturile la fiecare îndoitură (2, 4, 8, 16...) și compară cu 2¹, 2², 2³, 2⁴. Vei vedea „pe viu" cum cresc puterile lui 2.

Pentru părinți și învățători

Această lecție unește două idei: ridicarea fracțiilor la putere (extindere naturală a ceea ce elevul știe deja) și noțiunea, mai delicată, de exponent negativ. Recomandăm să porniți de la tabelul puterilor lui 2 și să-l construiți împreună, coborând treaptă cu treaptă: copilul descoperă singur că după 2⁰ = 1 urmează în mod firesc 1/2, 1/4, 1/8. Astfel, exponentul negativ nu mai pare o regulă arbitrară, ci continuarea unui tipar pe care l-a observat el însuși.

Întrebări utile de pus: „De câte ori se înmulțește baza?", „Câte minusuri ai și se grupează ele în perechi?", „Ce înseamnă să răstorni fracția?", „De ce 5⁰ nu poate fi 0?". Pentru verificarea înțelegerii, cereți-i să explice cu cuvintele lui de ce a⁻ⁿ = 1/aⁿ și să dea un exemplu propriu, inventat de el.

Greșeala cea mai persistentă este confuzia dintre semnul exponentului și semnul rezultatului (2⁻³ confundat cu −8). Insistați: minusul de la exponent înseamnă „treci jos, la numitor", nu „pune minus la rezultat". Dacă elevul stăpânește deja înmulțirea și împărțirea fracțiilor, lecția decurge lin; dacă nu, reluați mai întâi lecțiile Înmulțirea numerelor raționale și Împărțirea numerelor raționale.

Întrebări frecvente

Cum calculez puterea unui număr rațional în clasa a 6-a? Ridici la acea putere și numărătorul, și numitorul fracției: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. De exemplu, (2/3)³ = 8/27. Dacă baza este negativă, aplici regula semnelor: exponent par dă rezultat pozitiv, exponent impar dă rezultat negativ.

Ce înseamnă un exponent întreg negativ? Un exponent negativ înseamnă inversul puterii cu exponent pozitiv: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, pentru a diferit de 0. La o fracție, răstorni fracția și faci exponentul pozitiv: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. De exemplu, (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.

De ce orice număr la puterea 0 este 1? Pentru că împărțind o putere la ea însăși obții 1, dar prin regula câtului obții și aⁿ : aⁿ = a⁰. Deci a⁰ trebuie să fie 1. Regula este valabilă pentru orice număr rațional nenul; baza 0 este exclusă, fiindcă nu putem împărți la 0.

Care sunt regulile de calcul cu puteri? La aceeași bază: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (produs, aduni exponenții), aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (cât, scazi exponenții), (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (putere a puterii, înmulțești exponenții). La același exponent: (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ și (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

Cum aflu semnul rezultatului când baza este negativă? Numeri minusurile: la exponent par toate se grupează în perechi și rezultatul este pozitiv; la exponent impar rămâne un minus nepereche și rezultatul este negativ. De exemplu, (−1/2)⁴ = 1/16 (pozitiv), iar (−1/2)³ = −1/8 (negativ).

Cât face (2/3)⁻¹? Este inversul fracției, adică 3/2. Un exponent −1 înseamnă chiar „inversul", așa că pur și simplu răstorni fracția: numărătorul devine numitor și invers.

Cum ridic un număr zecimal la putere? Cel mai sigur transformi numărul zecimal în fracție și aplici regula. De exemplu, 0,2² = (2/10)² = 4/100 = 0,04. Pentru exponent negativ, 0,1⁻¹ = 1/0,1 = 10.

Pot folosi regulile cu puteri și pentru exponenți negativi? Da, toate regulile rămân valabile pentru exponenți întregi, inclusiv negativi. De exemplu, 2⁻² · 2⁵ = 2⁻²⁺⁵ = 2³ = 8. Aduni și scazi exponenții exact ca pe numerele întregi.

Care e diferența dintre exponent natural și exponent întreg? Exponentul natural este unul dintre numerele 0, 1, 2, 3, ... (zero și pozitive), iar exponentul întreg include în plus și numerele negative −1, −2, −3, ... Practic, „exponent întreg" este o extindere care îți permite să folosești și exponenți negativi, cu definiția a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

De ce baza trebuie să fie un număr rațional nenul? Pentru că exponentul 0 și exponenții negativi presupun împărțirea la o putere a bazei, iar împărțirea la 0 nu este permisă în matematică. Dacă baza ar fi 0, expresii precum 0⁰ sau 0⁻² nu ar avea sens. De aceea cerem ca baza să fie diferită de 0.

Cum compar (1/2)³ cu (1/2)² fără să le calculez? La o fracție subunitară (între 0 și 1), cu cât exponentul natural este mai mare, cu atât rezultatul este mai mic. Deci (1/2)³ < (1/2)². Înmulțind mereu cu un număr mai mic decât 1, valoarea scade la fiecare pas.