Înmulțirea numerelor raționale

Ai învățat deja să aduni și să scazi numere raționale, jonglând cu fracții pozitive și negative. Acum vine o operație care, surprinzător, este chiar mai prietenoasă: înmulțirea numerelor raționale. De ce mai prietenoasă? Pentru că aici nu mai ai nevoie de numitor comun! Înmulțești pur și simplu „de sus cu de sus și de jos cu de jos", apoi te ocupi de semn. În această lecție vei descoperi regula semnelor la înmulțire, trucul simplificării care îți ușurează enorm calculele, proprietățile care îți permit să rearanjezi factorii cum vrei și ideea de invers al unui număr rațional. Hai să le luăm pe rând, calm și temeinic.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești două sau mai multe numere raționale scrise sub formă de fracție.
• Vei ști să aplici regula semnelor ca să afli corect semnul produsului.
• Vei ști să simplifici înainte de înmulțire, ca să lucrezi cu numere mici.
• Vei ști să folosești proprietățile înmulțirii (comutativitate, asociativitate, distributivitate, element neutru) pentru calcule rapide.
• Vei ști să determini inversul unui număr rațional nenul și la ce folosește.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să înmulțești numere raționale

Un număr rațional este orice număr care se poate scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi, iar numitorul $b$ este nenul (adică $b\ne 0$). Asta include fracțiile obișnuite, numerele zecimale finite (de exemplu $0,3=\frac{3}{10}$), numerele întregi (de exemplu $-5=\frac{-5}{1}$) și opusele lor. Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre cum arată mulțimea ℚ, ai lecția Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere.

Regula de bază a înmulțirii a două fracții este una singură și nu se schimbă niciodată:

Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei. $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},b\ne 0,d\ne 0$$

Atât. Spre deosebire de adunare și scădere (vezi Adunarea numerelor raționale și Scăderea numerelor raționale), nu ai nevoie de numitor comun. Asta îți simplifică viața enorm.

Un exemplu cald, fără semne deocamdată: $$\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}.$$

De ce funcționează asta? Gândește-te la „$\frac{2}{3}$ din $\frac{4}{5}$". Cuvântul „din" la fracții înseamnă înmulțire. Dacă iei dreptunghiul de mai sus și colorezi 4 din 5 părți, apoi din zona aceea iei 2 din 3 părți, ajungi la 8 căsuțe din totalul de 15. De aceea $\frac{2}{3}$ din $\frac{4}{5}$ este $\frac{8}{15}$.

O scurtă poveste ca să se așeze ideea. Maria are o tabletă de ciocolată ruptă în 5 bucăți egale și îi rămân $\frac{4}{5}$ din ea. Vrea să-i dea fratelui ei $\frac{2}{3}$ din cât a rămas. Cât din tableta întreagă primește fratele? Nu „$\frac{2}{3}$" și nici „$\frac{4}{5}$", ci $\frac{2}{3}$ din $\frac{4}{5}$, adică $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$ din tabletă. Observă că rezultatul ($\frac{8}{15}$) este mai mic decât fiecare dintre fracții — firesc, fiindcă „o parte dintr-o parte" este și mai mică. Acesta este un test rapid de bun-simț pe care îl poți folosi la fracții pozitive subunitare.

Regula se extinde la oricâți factori: înmulțești toți numărătorii la un loc și toți numitorii la un loc. De exemplu $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{7}=\frac{2\cdot 4\cdot 1}{3\cdot 5\cdot 7}=\frac{8}{105}$.

2. Regula semnelor — exact ca la numerele întregi

Numerele raționale pot fi pozitive sau negative. Vestea bună este că regula semnelor la înmulțire este aceeași pe care ai învățat-o la Înmulțirea numerelor întregi. O repetăm pentru că este inima acestei lecții:

• plus × plus = plus $(+)\cdot (+)=(+)$
• plus × minus = minus $(+)\cdot (-)=(-)$
• minus × plus = minus $(-)\cdot (+)=(-)$
• minus × minus = plus $(-)\cdot (-)=(+)$

Pe scurt, ține minte fraza-cheie: „semne la fel → plus; semne diferite → minus".

Strategia cea mai sigură este să lucrezi în doi pași separați:

1. Stabilește semnul produsului (după regula de mai sus).
2. Înmulțește valorile (modulele) ca și cum ar fi pozitive.

De exemplu: $$\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{5}{7}.$$ Pasul 1 — semnul: minus × plus = minus. Pasul 2 — valorile: $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{10}{21}$. Rezultat: $-\frac{10}{21}$.

Și un caz cu „minus × minus": $$\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-\frac{2}{9}\right).$$ Pasul 1 — semnul: minus × minus = plus. Pasul 2 — valorile: $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{9}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Rezultat: $+\frac{1}{6}$, adică $\frac{1}{6}$.

De unde vine, totuși, regula „minus × minus = plus"? O intuiție care prinde bine: gândește-te la înmulțirea cu un număr negativ ca la o întoarcere cu 180° pe axa numerelor (o „oglindire" față de zero). A înmulți cu $-1$ trimite orice număr de partea cealaltă a lui zero: $-1\cdot 5=-5$, $-1\cdot (-5)=5$. Dacă faci două astfel de întoarceri la rând (minus × minus), ajungi exact de unde ai plecat — adică în zona pozitivă. Două oglindiri se anulează. Tot așa, un produs cu un număr par de minusuri „revine" pe plus, iar unul cu număr impar rămâne „întors", pe minus. Această imagine îți dă și răspunsul rapid la întrebarea de control: contează doar paritatea numărului de minusuri, nu și ordinea factorilor.

Un truc util pentru produse cu mai mulți factori: numără câte semne minus sunt. Dacă numărul de minusuri este par, produsul este pozitiv; dacă este impar, produsul este negativ. De exemplu, într-un produs cu trei factori negativi (3 = impar), rezultatul iese negativ; cu patru factori negativi (4 = par), rezultatul iese pozitiv.

3. Simplificarea înainte de înmulțire — economia ta de timp

Imaginează-ți că trebuie să calculezi: $$\frac{8}{15}\cdot \frac{25}{12}.$$ Dacă înmulțești direct, obții $\frac{200}{180}$, un număr mare și incomod, pe care apoi trebuie să-l simplifici. Mult mai inteligent este să simplifici înainte de a înmulți. Asta înseamnă să cauți factori comuni între un numărător și un numitor (oricare, de la oricare dintre fracții) și să-i tai.

Hai pas cu pas: $$\frac{8}{15}\cdot \frac{25}{12}.$$

• $8$ (sus) și $12$ (jos) se simplifică prin $4$: $8\to 2$, $12\to 3$.
• $25$ (sus) și $15$ (jos) se simplifică prin $5$: $25\to 5$, $15\to 3$.

Acum produsul devine: $$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 3}=\frac{10}{9}.$$ Mult mai curat! Și obții direct fracție ireductibilă, fără a mai fi nevoit să simplifici la final.

De reținut: la simplificare poți tăia un numărător cu orice numitor, „în cruce" sau „drept", pentru că oricum toate numerele de sus se înmulțesc între ele și toate cele de jos între ele. Important este să tai un număr de sus cu un număr de jos, niciodată două de sus între ele. Dacă vrei să revezi ce înseamnă fracție ireductibilă, ai lecția Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile.

4. Cum tratezi numere întregi, zecimale și mixte

Regula înmulțirii este formulată pentru fracții. Așadar, orice altă formă de scriere a unui număr rațional trebuie mai întâi adusă la forma de fracție. Sunt trei cazuri uzuale.

Numerele întregi se scriu ca fracții cu numitorul 1. De exemplu: $$-6\cdot \frac{5}{8}=\frac{-6}{1}\cdot \frac{5}{8}=\frac{-6\cdot 5}{1\cdot 8}=\frac{-30}{8}=-\frac{15}{4}.$$ Mai elegant, simplifici întâi $6$ cu $8$ prin $2$: $\frac{-3}{1}\cdot \frac{5}{4}=-\frac{15}{4}$.

Numerele zecimale se transformă în fracții ordinare. Numărul de cifre după virgulă îți spune câte zerouri are numitorul ($0,4=\frac{4}{10}$, $0,25=\frac{25}{100}$, $1,2=\frac{12}{10}$). De exemplu: $$0,4\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{4}{10}\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{2}{5}\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)=-\frac{2\cdot 5}{5\cdot 6}=-\frac{10}{30}=-\frac{1}{3}.$$ Observă cum am transformat $0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, apoi am simplificat $5$ cu $5$.

Numerele mixte (de tipul $2\frac{1}{2}$) se transformă în fracții improprii înainte de înmulțire — nu se înmulțesc „pe bucăți". Reamintim: $2\frac{1}{2}=\frac{2\cdot 2+1}{2}=\frac{5}{2}$. De exemplu: $$2\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{15}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{15}.$$ Simplific $5$ cu $15$ prin $5$ → $1$ și $3$; simplific $4$ cu $2$ prin $2$ → $2$ și $1$. Rămâne $\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$. O greșeală clasică ar fi să scrii $2\cdot \frac{4}{15}$ și „lipit" încă o jumătate — fals; întâi transformi, apoi înmulțești.

5. Proprietățile înmulțirii numerelor raționale

Înmulțirea în ℚ se poartă „frumos": are toate proprietățile cu care ești obișnuit. Ele nu sunt doar de memorat — sunt unelte care îți fac calculele rapide.

a) Comutativitatea. Ordinea factorilor nu schimbă produsul: $$a\cdot b=b\cdot a,\text{de exemplu }\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{7}=\frac{2}{7}\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{35}.$$

b) Asociativitatea. Când înmulțești trei numere, poți grupa cum vrei: $$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$$ De exemplu, ca să calculezi $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{5}{2}$, poți întâi să grupezi $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}=\frac{2}{3}$, apoi $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{3}$.

c) Element neutru. Numărul 1 este elementul neutru: orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat: $$a\cdot 1=1\cdot a=a.$$

d) Element absorbant. Numărul 0 „înghite" orice produs: $$a\cdot 0=0.$$ (Strict, 0 nu e o proprietate „neutră", dar e bine să o ții minte alături.)

e) Distributivitatea înmulțirii față de adunare (și scădere). Aceasta este vedeta: $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c.$$ Ea îți permite ori să „desfaci" parantezele, ori să dai factor comun. De exemplu: $$\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{9}{4}+\frac{3}{8}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}.$$

6. Inversul unui număr rațional nenul

Aici apare o idee complet nouă, foarte importantă pentru lecția următoare, Împărțirea numerelor raționale.

Inversul unui număr rațional nenul $\frac{a}{b}$ este fracția $\frac{b}{a}$, obținută prin răsturnarea fracției (numărătorul devine numitor și invers). Inversul se mai numește și reciprocul numărului.

Condiția esențială: numărul trebuie să fie nenul. De ce? Pentru că inversul lui $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$, iar dacă $a=0$, fracția $\frac{b}{a}$ ar avea numitorul 0, ceea ce nu există. Deci numărul 0 nu are invers.

Proprietatea care definește inversul:

Un număr înmulțit cu inversul său dă întotdeauna 1: $$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b\cdot a}=1.$$

Exemple:

• Inversul lui $\frac{3}{7}$ este $\frac{7}{3}$, pentru că $\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{3}=1$.
• Inversul lui $5$ este $\frac{1}{5}$ (scrii $5=\frac{5}{1}$ și răstorni), pentru că $5\cdot \frac{1}{5}=1$.
• Inversul lui $-\frac{2}{9}$ este $-\frac{9}{2}$. Atenție: inversul păstrează semnul! Verificare: $\left(-\frac{2}{9}\right)\cdot \left(-\frac{9}{2}\right)=+\frac{18}{18}=1$. Dacă inversul ar fi pozitiv, produsul ar ieși negativ, deci ar fi greșit.
• Inversul lui $-1$ este $-1$ (singurele numere egale cu inversul lor sunt $1$ și $-1$).

Nu confunda inversul cu opusul! Opusul lui $\frac{3}{7}$ este $-\frac{3}{7}$ (schimbi semnul, suma dă 0). Inversul lui $\frac{3}{7}$ este $\frac{7}{3}$ (răstorni fracția, produsul dă 1). Sunt lucruri diferite. Pentru opus, revezi Opusul și modulul unui număr rațional.

7. „Din" înseamnă înmulțire — o idee care apare mereu

Reține o legătură foarte folositoare cu lecțiile de procente: cuvântul „din" se traduce, în limbaj matematic, prin înmulțire. „Jumătate din", „două treimi din", „$25\%$ din" — toate sunt înmulțiri. De exemplu, „trei sferturi din $\frac{8}{9}$" se scrie $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}$, iar „a lua repetat o fracție dintr-o fracție" devine un lanț de înmulțiri, ca în Exemplul 8. Această traducere îți va prinde bine la problemele cu reduceri și scumpiri (vezi Probleme cu procente: reduceri, scumpiri, TVA și dobândă).

O analogie utilă: gândește-te la o lupă. Dacă o fracție este pozitivă și subunitară (mai mică decât 1), înmulțirea cu ea micșorează numărul (ca o lupă care reduce). Dacă fracția este supraunitară (mai mare decât 1), înmulțirea mărește numărul. Iar dacă unul dintre factori este negativ, rezultatul „trece de partea cealaltă" a lui zero, pe axa numerelor. Aceste intuiții te ajută să verifici dacă rezultatul are sens înainte de a-l scrie.

8. Strategia completă, pas cu pas

Pune toate piesele cap la cap. Când ai de calculat un produs de numere raționale, urmează acești pași:

1. Transformă tot ce nu e fracție în fracție (întregi → numitor 1; zecimale → fracții ordinare; numere mixte → fracții improprii).
2. Stabilește semnul final (numără minusurile: par → plus, impar → minus).
3. Simplifică numărătorii cu numitorii, oriunde poți.
4. Înmulțește ce a rămas: sus cu sus, jos cu jos.
5. Verifică dacă rezultatul mai poate fi simplificat și scrie-l ireductibil; transformă în zecimal dacă ți se cere.

Hai să vezi toți cei cinci pași la lucru pe un calcul care amestecă întreg, zecimal și fracții cu semne: $$-4\cdot 0,75\cdot \left(-\frac{2}{9}\right).$$ Pasul 1 — transform: $-4=\frac{-4}{1}$ și $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$. Avem $\frac{-4}{1}\cdot \frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{2}{9}\right)$. Pasul 2 — semnul: sunt două minusuri (par) → rezultatul este pozitiv. De acum lucrez doar cu valorile. Pasul 3 — simplific: $4$ (de la $\frac{4}{1}$) cu $4$ (de la $\frac{3}{4}$) prin $4$ → $1$ și $1$; apoi $2$ (de la $\frac{2}{9}$) cu... nu mai am cu ce, dar $3$ rămâne. Am ajuns la $\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{2}{9}$. Pasul 4 — înmulțesc: $3$ cu $9$ se mai simplifică prin $3$ → $1$ și $3$, deci $\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$. Pasul 5 — verific: $\frac{2}{3}$ este ireductibilă. Rezultat final: $+\frac{2}{3}$. Observă cât de mici au rămas numerele pentru că am simplificat din timp — n-am scris niciodată produse uriașe ca $\frac{4\cdot 3\cdot 2}{1\cdot 4\cdot 9}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — produs simplu cu semne. Calculează $\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{3}{8}$.

Rezolvare. Semnul: minus × plus = minus. Valorile: simplific $4$ cu $8$ prin $4$ → $1$ și $2$. Obțin $\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$. $$\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{3}{8}=-\frac{3}{10}.$$

Exemplul 2 — minus × minus și simplificare. Calculează $\left(-\frac{9}{14}\right)\cdot \left(-\frac{7}{12}\right)$.

Rezolvare. Semnul: minus × minus = plus. Simplific $9$ cu $12$ prin $3$ → $3$ și $4$; simplific $7$ cu $14$ prin $7$ → $1$ și $2$. $$\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}.$$ Rezultat: $+\frac{3}{8}$.

Exemplul 3 — întreg înmulțit cu fracție. Calculează $-10\cdot \frac{7}{15}$.

Rezolvare. Scriu $-10=\frac{-10}{1}$. Semnul: minus × plus = minus. Simplific $10$ cu $15$ prin $5$ → $2$ și $3$. $$\frac{2}{1}\cdot \frac{7}{3}=\frac{14}{3}.$$ Rezultat: $-\frac{14}{3}$ (sau $-4\frac{2}{3}$).

Exemplul 4 — trei factori, numărăm minusurile. Calculează $\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \frac{8}{9}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$.

Rezolvare. Sunt 2 semne minus (par) → produsul este pozitiv. Lucrez cu valorile. Grupez convenabil: $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}$: simplific $3$ cu $9$ → $1$ și $3$; simplific $8$ cu $4$ → $2$ și $1$. Obțin $\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$. Apoi $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}$: simplific $2$ cu $2$ → $1$ și $1$, deci $\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{1}=\frac{5}{3}$. $$\text{Rezultat}=+\frac{5}{3}.$$

Exemplul 5 — distributivitate (calcul deștept). Calculează $\frac{5}{6}\cdot \frac{7}{10}+\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{10}$.

Rezolvare. Observ factorul comun $\frac{5}{6}$ și dau factor comun (distributivitate la „desfacere", citită invers): $$\frac{5}{6}\cdot \left(\frac{7}{10}+\frac{3}{10}\right)=\frac{5}{6}\cdot \frac{10}{10}=\frac{5}{6}\cdot 1=\frac{5}{6}.$$ Mult mai rapid decât să calculezi fiecare produs separat. Aici am folosit și elementul neutru (înmulțirea cu 1).

Exemplul 6 — invers și verificare. a) Care este inversul lui $-\frac{11}{4}$? b) Verifică prin înmulțire.

Rezolvare. a) Răstorn fracția și păstrez semnul: inversul este $-\frac{4}{11}$. b) Verificare: $\left(-\frac{11}{4}\right)\cdot \left(-\frac{4}{11}\right)=+\frac{44}{44}=1$. Corect, produsul este 1.

Exemplul 7 — distributivitate cu desfacerea parantezei. Calculează $-\frac{3}{5}\cdot \left(\frac{10}{9}-\frac{5}{6}\right)$.

Rezolvare. Ai două drumuri corecte și e instructiv să le compari.

Drumul 1 — calculezi paranteza întâi. Numitor comun $18$: $\frac{10}{9}=\frac{20}{18}$ și $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$, deci paranteza $=\frac{20}{18}-\frac{15}{18}=\frac{5}{18}$. Acum: $$-\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{18}.$$ Semn: minus. Simplific $5$ cu $5$ și $3$ cu $18$ (prin 3) → $\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$. Rezultat: $-\frac{1}{6}$.

Drumul 2 — desfaci paranteza (distributivitate față de scădere). Ai grijă la semne: factorul din față este $-\frac{3}{5}$, deci el înmulțește pe rând fiecare termen, păstrând semnele lor: $$-\frac{3}{5}\cdot \left(\frac{10}{9}-\frac{5}{6}\right)=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{10}{9}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{5}{6}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}.$$ Aici $\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{10}{9}=-\frac{2}{3}$ (simplific $10$ cu $5$ și $3$ cu $9$), iar minus în fața produsului negativ $\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$ devine plus. Adun: $-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}$. Același rezultat — un bun test că ai lucrat corect.

Exemplul 8 — problemă practică (procente și fracții). Un telefon costă $1500$ lei. La o reducere, prețul scade la $\frac{4}{5}$ din valoare, iar a doua zi mai scade la $\frac{3}{4}$ din noul preț. Cât costă telefonul în final?

Rezolvare. „$\frac{4}{5}$ din" și apoi „$\frac{3}{4}$ din" înseamnă două înmulțiri succesive: $$1500\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}.$$ Simplific $1500$ cu $5$ → $300$; simplific $4$ cu $4$ → $1$. Rămâne $300\cdot 1\cdot 3=900$. Telefonul costă 900 lei. (Observă că ordinea factorilor nu contează — comutativitate și asociativitate.)

Exemplul 9 — două numere zecimale. Calculează $(-0,25)\cdot 1,2$.

Rezolvare. Transform ambele zecimale în fracții: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ și $1,2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$. Semnul: minus × plus = minus. Valorile: $$\frac{1}{4}\cdot \frac{6}{5}.$$ Simplific $6$ cu $4$ prin $2$ → $3$ și $2$: $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$. Rezultat: $-\frac{3}{10}=-0,3$. Verificare rapidă de bun-simț: $0,25\cdot 1,2$ este cam un sfert din $1,2$, adică în jur de $0,3$ — se potrivește.

Exemplul 10 — un factor zero. Calculează $\left(-\frac{7}{8}\right)\cdot \left(\frac{4}{9}-\frac{4}{9}\right)\cdot \frac{15}{2}$.

Rezolvare. Nu te repezi să simplifici peste tot! Privește paranteza: $\frac{4}{9}-\frac{4}{9}=0$. Cum 0 este element absorbant, orice produs care îl conține este $0$: $$\left(-\frac{7}{8}\right)\cdot 0\cdot \frac{15}{2}=0.$$ Rezultat: $0$. Lecția ascunsă: înainte de calcule lungi, caută un factor nul — îți poate scurta tot drumul.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie rezultatele sub formă de fracție ireductibilă.

1. Calculează: $\frac{2}{7}\cdot \frac{3}{5}$.
2. Calculează: $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}$ (simplifică înainte).
3. Calculează: $\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot \frac{2}{3}$.
4. Calculează: $\left(-\frac{7}{10}\right)\cdot \left(-\frac{5}{14}\right)$.
5. Calculează: $-12\cdot \frac{5}{8}$.
6. Calculează: $0,6\cdot \left(-\frac{5}{9}\right)$ (transformă zecimalul în fracție).
7. Completează semnul corect cu „+" sau „−": $\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-\frac{2}{5}\right)\cdot \left(-\frac{7}{6}\right)=\square \frac{7}{20}$.
8. Încercuiește varianta corectă. Inversul lui $\frac{8}{3}$ este: a) $-\frac{8}{3}$; b) $\frac{3}{8}$; c) $\frac{8}{3}$.
9. Adevărat sau Fals: „Produsul a două numere raționale negative este întotdeauna pozitiv."
10. Adevărat sau Fals: „Numărul 0 are invers."
11. Potrivește fiecare număr cu inversul lui: A) $\frac{2}{5}$ B) $-3$ C) $\frac{1}{6}$ D) $-\frac{9}{4}$ I) $6$ II) $-\frac{4}{9}$ III) $\frac{5}{2}$ IV) $-\frac{1}{3}$
12. Calculează folosind asociativitatea: $\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{4}{7}$.
13. Calculează deștept (dă factor comun): $\frac{3}{8}\cdot \frac{11}{5}+\frac{3}{8}\cdot \frac{(-1)}{5}$.
14. Calculează: $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{9}{14}\cdot \left(-\frac{7}{6}\right)$.
15. Determină numărul $x$ astfel încât $\frac{4}{9}\cdot x=1$. (Indiciu: $x$ este inversul.)
16. Mică problemă: Într-un bidon sunt $\frac{9}{4}$ litri de suc. Andrei bea $\frac{2}{3}$ din cantitate. Câți litri a băut?
17. Mică problemă: Temperatura scade cu $\frac{3}{4}$ de grad în fiecare oră, timp de 5 ore. Cu câte grade s-a schimbat temperatura în total (folosește un număr cu semn)?
18. Provocare: Calculează produsul $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)$. (Indiciu: numără minusurile și caută simplificările „în lanț".)
19. Calculează: $\frac{7}{12}\cdot \frac{8}{21}$ (simplifică înainte).
20. Calculează: $1,5\cdot \left(-\frac{2}{9}\right)$ (transformă zecimalul în fracție).
21. Calculează deștept (dă factor comun): $\frac{4}{7}\cdot \frac{9}{5}-\frac{4}{7}\cdot \frac{2}{5}$.
22. Mică problemă: O grădină dreptunghiulară are lungimea $\frac{9}{2}$ m și lățimea $\frac{8}{3}$ m. Ce arie are grădina? (Indiciu: aria = lungime × lățime.)

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{2\cdot 3}{7\cdot 5}=\frac{6}{35}$. Semne la fel (ambele plus) → plus.
2. Simplific $4$ cu $8$ (prin 4) și $3$ cu $9$ (prin 3): $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.
3. Semn: minus × plus = minus. Valori: $\frac{5}{6}\cdot \frac{2}{3}$, simplific $2$ cu $6$ → $\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{9}$. Rezultat: $-\frac{5}{9}$.
4. Semn: minus × minus = plus. Simplific $7$ cu $14$ (prin 7) și $5$ cu $10$ (prin 5): $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Rezultat: $+\frac{1}{4}$.
5. $-12=\frac{-12}{1}$. Semn: minus. Simplific $12$ cu $8$ (prin 4) → $3$ și $2$: $\frac{3}{1}\cdot \frac{5}{2}=\frac{15}{2}$. Rezultat: $-\frac{15}{2}$.
6. $0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Semn: minus. $\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{9}$, simplific $5$ cu $5$ și $3$ cu $9$ → $\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Rezultat: $-\frac{1}{3}$.
7. Trei minusuri (impar) → semnul este „−". (Și valoarea $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{7}{6}$, simplificată, dă $\frac{7}{20}$.) Deci $-\frac{7}{20}$.
8. b) $\frac{3}{8}$. Inversul răstoarnă fracția; $\frac{8}{3}$ e pozitiv, deci inversul e pozitiv. Verificare: $\frac{8}{3}\cdot \frac{3}{8}=1$.
9. Adevărat. minus × minus = plus, mereu.
10. Fals. Zero nu are invers, fiindcă nu poți răsturna $\frac{0}{1}$ (ai obține numitor 0).
11. A–III ($\frac{2}{5}\to \frac{5}{2}$); B–IV ($-3\to -\frac{1}{3}$); C–I ($\frac{1}{6}\to 6$); D–II ($-\frac{9}{4}\to -\frac{4}{9}$).
12. Toate plus → plus. Simplific $3$ cu $9$ → $1$ și $3$; apoi $\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{4}{7}$: simplific $5$ cu $10$ → $1$ și $2$: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}$; simplific $4$ cu $2$ → $2$ și $1$: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{2}{7}=\frac{2}{21}$.
13. Factor comun $\frac{3}{8}$: $\frac{3}{8}\cdot \left(\frac{11}{5}+\frac{-1}{5}\right)=\frac{3}{8}\cdot \frac{10}{5}=\frac{3}{8}\cdot 2=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
14. Două minusuri (par) → plus. Valori: $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{7}{6}$. Simplific $2$ cu $6$→$1$ și $3$; $9$ cu $3$→$3$ și $1$; $7$ cu $14$→$1$ și $2$: $\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$. Sau pas cu pas: $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{14}=\frac{18}{42}=\frac{3}{7}$; apoi $\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{6}=\frac{21}{42}=\frac{1}{2}$. Rezultat: $+\frac{1}{2}$.
15. $x$ este inversul lui $\frac{4}{9}$, deci $x=\frac{9}{4}$. Verificare: $\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{4}=1$.
16. $\frac{2}{3}$ din $\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}$; simplific $9$ cu $3$→$3$ și $1$, $2$ cu $4$→$1$ și $2$: $\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$. A băut $\frac{3}{2}$ litri, adică $1,5$ litri.
17. Scădere cu semn: $5\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{15}{4}$. Temperatura s-a schimbat cu $-\frac{15}{4}$ grade (adică a scăzut cu $3,75$ grade).
18. Cinci minusuri (impar) → semnul este minus. Valoarea: $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{5}{6}$. Se simplifică în lanț (fiecare numărător taie numitorul vecin): rămâne $\frac{1}{6}$. Rezultat: $-\frac{1}{6}$.
19. Semne la fel (ambele plus) → plus. Simplific $7$ cu $21$ (prin 7) → $1$ și $3$; simplific $8$ cu $12$ (prin 4) → $2$ și $3$: $\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$.
20. $1,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$. Semn: plus × minus = minus. $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{9}$: simplific $2$ cu $2$ și $3$ cu $9$ (prin 3) → $\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Rezultat: $-\frac{1}{3}$.
21. Factor comun $\frac{4}{7}$: $\frac{4}{7}\cdot \left(\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\right)=\frac{4}{7}\cdot \frac{7}{5}$. Simplific $7$ cu $7$ → $\frac{4}{1}\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.
22. Aria $=\frac{9}{2}\cdot \frac{8}{3}$. Simplific $9$ cu $3$ (prin 3) → $3$ și $1$; simplific $8$ cu $2$ (prin 2) → $4$ și $1$: $\frac{3}{1}\cdot \frac{4}{1}=12$. Grădina are aria de $12$ m².

De reținut

• Înmulțirea fracțiilor: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ — fără numitor comun.
• Regula semnelor: semne la fel → plus, semne diferite → minus. Într-un produs, par minusuri → plus, impar minusuri → minus.
• Simplifică înainte de a înmulți (un numărător cu un numitor) — lucrezi cu numere mici și obții direct fracție ireductibilă.
• Înmulțirea în ℚ este comutativă, asociativă, distributivă față de adunare, are elementul neutru 1 și elementul absorbant 0.
• Inversul lui $\frac{a}{b}$ (nenul) este $\frac{b}{a}$ și păstrează semnul; $a\cdot \frac{1}{a}=1$. Zero nu are invers.

Greșeli frecvente

• Cauți numitor comun la înmulțire. Greșit! Numitorul comun e necesar doar la adunare și scădere. La înmulțire înmulțești direct sus cu sus și jos cu jos.
• Greșești semnul la „minus × minus". Ține minte: două negative dau pozitiv. Întotdeauna stabilește semnul întâi, separat de valori.
• Confunzi inversul cu opusul. Opusul schimbă semnul (suma dă 0): $\frac{2}{3}\to -\frac{2}{3}$. Inversul răstoarnă fracția (produsul dă 1): $\frac{2}{3}\to \frac{3}{2}$. La invers, semnul rămâne.
• Simplifici „greșit", tăind două numere de sus. Poți simplifica doar un numărător cu un numitor, niciodată numărător cu numărător sau numitor cu numitor.

Joc acasă

1. Loteria semnelor. Scrie pe 6 bilețele numere raționale (3 pozitive, 3 negative), de exemplu $\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{5}$, $-4$ etc. Trage la întâmplare câte 2 sau câte 3 bilețele și calculează produsul. Înainte de a face calculul, ghicește semnul numărând minusurile. Verifici după ce calculezi. Un punct pentru fiecare semn ghicit corect.

2. Perechi de inverși — memory. Pe 8 cartonașe scrie 4 numere și cei 4 inverși ai lor (de exemplu $\frac{3}{4}$ și $\frac{4}{3}$, $-2$ și $-\frac{1}{2}$). Întoarce-le cu fața în jos. La fiecare tură întorci 2 cartonașe; dacă produsul lor este 1, ai găsit o pereche și o iei. Câștigă cine strânge mai multe perechi.

3. Rețeta înjumătățită. Ia o rețetă reală din bucătărie. Înmulțește fiecare cantitate cu $\frac{1}{2}$ (sau cu $\frac{2}{3}$) ca să faci o porție mai mică. Scrie noile cantități ca fracții și verifică-le. Astfel exersezi „o fracție din o cantitate" în viața reală.

4. Ghicește înainte, calculează după. Alege un produs de două fracții, de exemplu $\frac{5}{6}\cdot \frac{8}{7}$. Înainte de a calcula, prezice: rezultatul va fi mai mare sau mai mic decât $\frac{8}{7}$? (Indiciu: $\frac{5}{6}$ este subunitar, deci „micșorează".) Apoi verifică prin calcul. Repetă cu o fracție supraunitară ca factor și observă cum se schimbă predicția. Câștigi un punct la fiecare predicție corectă — antrenezi simțul mărimii rezultatului, nu doar mecanica.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este pasul 3 din cele patru operații cu numere raționale (după adunare și scădere, înainte de împărțire). Vestea bună pentru elev: înmulțirea este mai ușoară decât adunarea, fiindcă dispare numitorul comun. Insistați pe această observație ca să dați încredere.

Cum predați eficient:

• Separați mereu cei doi pași — „întâi semnul, apoi valoarea". Această disciplină previne 80% dintre erori.
• Predați simplificarea înainte de înmulțire ca pe un reflex, nu ca pe o opțiune. Arătați comparativ cât de mari devin numerele dacă nu simplifici.
• Pentru invers, folosiți gestul fizic de „răsturnare" a cartonașului. Subliniați diferența invers/opus printr-un tabel: opus → sumă 0; invers → produs 1.

Întrebări de control pe care le puteți pune:

• „Fără să calculezi, ce semn are $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{5}{7}\right)\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$? De ce?" (impar minusuri → minus)
• „Care e inversul lui $-\frac{5}{8}$ și cum verifici?" ($-\frac{8}{5}$; produsul dă 1)
• „De ce 0 nu are invers?" (ar trebui numitor 0)

Semn că a înțeles: simplifică spontan înainte de a înmulți, stabilește semnul rapid prin numărarea minusurilor și nu confundă inversul cu opusul. Dacă greșește semnul, întoarceți-vă o clipă la Înmulțirea numerelor întregi.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două fracții la clasa a 6-a? Înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$. Nu ai nevoie de numitor comun, ca la adunare. Apoi stabilești semnul după regula semnelor și simplifici rezultatul.

Trebuie numitor comun la înmulțirea fracțiilor? Nu. Numitorul comun se folosește doar la adunarea și scăderea fracțiilor. La înmulțire înmulțești direct, deci este o operație mai simplă din acest punct de vedere.

Care este regula semnelor la înmulțirea numerelor raționale? Aceeași ca la numerele întregi: plus × plus = plus, minus × minus = plus, iar plus × minus = minus. Pe scurt, semne la fel dau plus, semne diferite dau minus. Într-un produs cu mai mulți factori, numeri minusurile: par → plus, impar → minus.

Ce înseamnă inversul unui număr rațional? Inversul (sau reciprocul) lui $\frac{a}{b}$ nenul este fracția răsturnată $\frac{b}{a}$, care păstrează semnul numărului. Proprietatea sa este că produsul dintre un număr și inversul lui este întotdeauna 1: $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$.

De ce numărul 0 nu are invers? Inversul lui $0=\frac{0}{1}$ ar trebui să fie $\frac{1}{0}$, dar o fracție cu numitorul 0 nu există (nu se poate împărți la 0). Așadar 0 este singurul număr rațional fără invers.

Cum simplific înainte de a înmulți fracțiile? Cauți un factor comun între orice numărător și orice numitor și îi tai pe amândoi prin acel factor. De exemplu în $\frac{8}{15}\cdot \frac{25}{12}$ simplifici 8 cu 12 (prin 4) și 25 cu 15 (prin 5), apoi înmulțești ce a rămas. Așa obții direct fracție ireductibilă.

Care e diferența dintre inversul și opusul unui număr? Opusul schimbă semnul și are suma 0 cu numărul inițial (opusul lui $\frac{3}{5}$ este $-\frac{3}{5}$). Inversul răstoarnă fracția și are produsul 1 cu numărul inițial (inversul lui $\frac{3}{5}$ este $\frac{5}{3}$). Sunt noțiuni complet diferite.

Cum înmulțesc un număr întreg cu o fracție? Scrii întregul ca fracție cu numitorul 1 și aplici regula obișnuită. De exemplu $-6\cdot \frac{5}{8}=\frac{-6}{1}\cdot \frac{5}{8}$; simplifici 6 cu 8 prin 2 și obții $-\frac{15}{4}$.

Cum înmulțesc un număr mixt (de exemplu $2\frac{1}{2}$) cu o fracție? Mai întâi transformi numărul mixt în fracție improprie ($2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$), apoi înmulțești ca de obicei. Nu înmulți „pe bucăți" (întâi întregul, apoi fracția) — riști să pierzi un termen. De exemplu $2\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{15}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{15}=\frac{2}{3}$.

De ce produsul a două fracții subunitare este mai mic decât fiecare? Pentru că „o parte dintr-o parte" înseamnă mai puțin decât întregul de la care ai pornit. A lua $\frac{2}{3}$ din $\frac{4}{5}$ îți dă mai puțin decât $\frac{4}{5}$. De aceea, când înmulțești două fracții pozitive mai mici decât 1, rezultatul „coboară" sub amândouă — un test bun de bun-simț pentru a-ți verifica răspunsul.