În triunghiul $$DEF$$, se construiește înălțimea din vârful $$D$$. Pe ce dreaptă cade piciorul acestei înălțimi?

Pe oricare dintre cele trei laturi, la alegere

Un triunghi are un unghi de $$105°$$. Unde se află ortocentrul acestui triunghi?

Exact în vârful unghiului de $$105°$$

Care dintre următoarele afirmații despre înălțimea unui triunghi este adevărată pentru orice triunghi?

Pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe dreapta laturii opuse.

Trece prin mijlocul unei laturi și este perpendiculară pe acea latură.

Pleacă dintr-un vârf și împarte unghiul acelui vârf în două unghiuri congruente.

Pleacă dintr-un vârf și cade mereu în mijlocul laturii opuse.

Ce este ortocentrul unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Înălțimile triunghiului și ortocentrul

Ortocentrul este locul unde se adună toate cele trei înălțimi ale unui triunghi și se notează de obicei cu $H$ . Fiecare înălțime coboară dintr-un vârf, perpendicular pe dreapta care conține latura opusă. Locul lui $H$ depinde de forma figurii: în interior la un triunghi ascuțitunghic, chiar în vârful unghiului drept la unul dreptunghic și în afara figurii la unul obtuzunghic, unde înălțimile ating prelungirile laturilor.

Înălțimea unui triunghi este segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe dreapta laturii opuse. Punctul în care înălțimea atinge acea dreaptă se numește piciorul înălțimii. Un triunghi are exact trei înălțimi, notate $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ (fiecare corespunzătoare laturii opuse vârfului respectiv).

Teoremă. Cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente; punctul lor comun se numește ortocentru, notat $H$ .

Poziția lui $H$ depinde de forma triunghiului:

ascuțitunghic → $H$ în interior;
dreptunghic → $H$ în vârful unghiului drept;
obtuzunghic → $H$ în exterior (înălțimile cad pe prelungirile laturilor).

Exemplu. În triunghiul $A B C$ , înălțimea din $A$ cade pe $B C$ în $D$ . Dacă $B = 30°$ , atunci în triunghiul dreptunghic $A B D$ : $B A D = 180° - 90° - 30° = 60°$ .

De reținut

înălțimea coboară dintr-un vârf, perpendicular pe dreapta care conține latura opusă
cele trei înălțimi se întâlnesc într-un punct numit ortocentru
poziția ortocentrului arată felul triunghiului: interior, vârf sau exterior

Greșeala tipică

Se trasează segmentul din vârf până la mijlocul laturii opuse și se numește înălțime; acela este mediana, iar înălțimea se recunoaște după unghiul drept format cu latura, nu după împărțirea ei în două părți egale.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $D E F$ , se construiește înălțimea din vârful $D$ . Pe ce dreaptă cade piciorul acestei înălțimi?
- a) Pe dreapta $D E$
- b) Pe dreapta $D F$
- c) Pe dreapta $E F$
- d) Pe oricare dintre cele trei laturi, la alegere
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Pe dreapta $E F$

Înălțimea dintr-un vârf cade întotdeauna pe dreapta care conține latura opusă acelui vârf. Latura opusă lui $D$ este $E F$ (singura care nu trece prin $D$ ), deci piciorul înălțimii se află pe dreapta $E F$ .
Un triunghi are un unghi de $105°$ . Unde se află ortocentrul acestui triunghi?
- a) În interiorul triunghiului
- b) Exact în vârful unghiului de $105°$
- c) În exteriorul triunghiului
- d) Triunghiul nu are ortocentru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) În exteriorul triunghiului

Un unghi de $105°$ este obtuz (mai mare de $90°$ ), deci triunghiul este obtuzunghic. La orice triunghi obtuzunghic, ortocentrul se află în exteriorul triunghiului, iar picioarele a două înălțimi cad pe prelungirile laturilor.
Care dintre următoarele afirmații despre înălțimea unui triunghi este adevărată pentru orice triunghi?
- a) Trece prin mijlocul unei laturi și este perpendiculară pe acea latură.
- b) Pleacă dintr-un vârf și împarte unghiul acelui vârf în două unghiuri congruente.
- c) Pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe dreapta laturii opuse.
- d) Pleacă dintr-un vârf și cade mereu în mijlocul laturii opuse.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Pleacă dintr-un vârf și cade perpendicular pe dreapta laturii opuse.

Definiția înălțimii: segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe dreapta laturii opuse, deci varianta c. Varianta a) descrie mediatoarea, b) descrie bisectoarea, iar d) descrie mediana — înălțimea cade în mijlocul laturii opuse doar în cazuri particulare (triunghi isoscel sau echilateral), nu mereu.

Întrebări conexe

Ce este piciorul înălțimii unui triunghi?

Este punctul în care înălțimea atinge dreapta laturii opuse. Acolo se marchează pătrățelul unghiului drept, semn că segmentul este perpendicular. La triunghiurile obtuzunghice piciorul poate cădea în afara laturii, pe prelungirea ei, dar rămâne tot piciorul acelei înălțimi.

Cum se notează cele trei înălțimi ale unui triunghi?

Se notează $h_{a}$ , $h_{b}$ și $h_{c}$ , litera mică arătând latura pe care cade fiecare. Astfel $h_{a}$ pleacă din vârful $A$ și este perpendiculară pe latura $a$ , adică pe $B C$ . Notația ajută la scrierea formulelor de arie fără confuzii.

Ce legătură are înălțimea unui triunghi cu formula ariei?

Aria se calculează înmulțind o latură cu înălțimea care cade pe ea și împărțind la doi. Fiindcă orice pereche latură și înălțime corespunzătoare dă același rezultat, poți alege perechea despre care ai date. De aceea înălțimea este mărimea căutată în multe probleme de arie.

Într-un triunghi echilateral, unde cade ortocentrul?

Cade în centrul figurii, în același loc cu centrul de greutate, cu centrul cercului înscris și cu cel al cercului circumscris. Se întâmplă pentru că în triunghiul echilateral fiecare înălțime este în același timp mediană, bisectoare și mediatoare a laturii pe care cade.

Cum aflu lungimea unei înălțimi dacă știu aria și latura?

Pornești de la legătura dintre arie, latură și înălțime: dublezi aria și împarți la latura pe care cade înălțimea. Pentru o arie de $24$ centimetri pătrați și o latură de $8$ cm obții $48 : 8 = 6$ cm. Verificarea se face refăcând calculul ariei cu valoarea găsită.

Cum folosesc înălțimile ca să compar ariile a două triunghiuri?

Dacă două triunghiuri au aceeași latură ca bază, ariile lor stau în același raport ca înălțimile corespunzătoare. Când au aceeași înălțime, raportul ariilor este raportul bazelor. Observația scurtează multe probleme, fiindcă nu mai trebuie calculate ariile propriu-zise.

Oamenii mai întreabă și: ce este ortocentrul · punctul de intersecție al înălțimilor · ortocentrul triunghiului · unde se întâlnesc înălțimile unui triunghi