Cum scap de numitori într-o inecuație?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Inecuații cu paranteze și numitori

Înmulțești ambii membri cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor și pui fiecare numărător în paranteză, ca semnele să se păstreze corect. Numărul cu care înmulțești fiind pozitiv, sensul inegalității rămâne neschimbat. La $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} \geq 0$ înmulțești cu $6$ și obții $3 x - 2 (x - 1) \geq 0$ , apoi $x + 2 \geq 0$ , deci $x \geq - 2$ . Abia la împărțirea finală poate apărea schimbarea de sens.

O inecuație „îmbrăcată” în paranteze și fracții se rezolvă mereu în aceeași ordine, ca la demontat un aparat: 1) scapi de numitori înmulțind cu c.m.m.m.c. (un număr pozitiv, deci sensul rămâne), punând paranteze la numărători; 2) desfaci parantezele, cu grijă la semnul din față; 3) reduci termenii asemenea; 4) grupezi termenii cu $x$ într-o parte; 5) împarți la coeficientul lui $x$ — dacă e negativ, sensul inegalității se schimbă.

Exemplu minimal: $3 (x - 2) - 2 (x + 1) \geq 0 \Rightarrow 3 x - 6 - 2 x - 2 \geq 0 \Rightarrow x - 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq 8$ , deci $S = [8, + \infty)$ .

Reține: schimbarea sensului nu vine de la minusul din paranteză, ci doar de la înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ.

De reținut

înmulțirea cu numitorul comun păstrează sensul
numărătorii se trec în paranteze înainte de înmulțire
sensul se schimbă doar la împărțirea cu un număr negativ

Greșeala tipică

Se elimină numitorii fără paranteze la numărători, iar minusul din față se aplică doar primului termen. Numărătorul trebuie luat ca un tot, altfel semnele următorilor termeni rămân greșite.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvă în $R$ : $2 (x + 3) - (x - 1) \geq 10$ . Care este soluția?
- a) $S = [3, + \infty)$
- b) $S = (- \infty, 3]$
- c) $S = (3, + \infty)$
- d) $S = (- \infty, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = [3, + \infty)$

Desfacem: $2 x + 6 - x + 1 \geq 10 \Rightarrow x + 7 \geq 10 \Rightarrow x \geq 3$ . Coeficientul lui $x$ este pozitiv, sensul rămâne, iar $\geq$ dă capăt închis: $S = [3, + \infty)$ .
Rezolvă în $R$ : $\frac{x - 2}{3} + \frac{x + 1}{2} < 4$ . Care este soluția?
- a) $S = (- \infty, 5)$
- b) $S = [5, + \infty)$
- c) $S = (- \infty, 5]$
- d) $S = (5, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = (- \infty, 5)$

C.m.m.m.c. $(3, 2) = 6$ . Înmulțim cu $6$ (pozitiv, sensul rămâne): $2 (x - 2) + 3 (x + 1) < 24 \Rightarrow 2 x - 4 + 3 x + 3 < 24 \Rightarrow 5 x - 1 < 24 \Rightarrow x < 5$ . Capăt deschis: $S = (- \infty, 5)$ .
Rezolvă în $R$ : $3 (x - 1) - 2 (x - 4) \leq 12$ . Care este soluția?
- a) $S = (- \infty, 7]$
- b) $S = [7, + \infty)$
- c) $S = (- \infty, 7)$
- d) $S = (7, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = (- \infty, 7]$

Desfacem: $3 x - 3 - 2 x + 8 \leq 12 \Rightarrow x + 5 \leq 12 \Rightarrow x \leq 7$ . Coeficientul lui $x$ este pozitiv, sensul rămâne, iar $\leq$ dă capăt închis: $S = (- \infty, 7]$ .

Întrebări conexe

Cu ce număr înmulțesc atunci când am mai mulți numitori diferiți?

Cu cel mai mic multiplu comun al tuturor numitorilor, ca fiecare fracție să dispară dintr-o singură mișcare. Pentru numitorii $4$ , $6$ și $3$ alegi $12$ . Un multiplu mai mare merge și el, dar duce la numere inutil de umflate.

De ce înmulțirea cu un numitor pozitiv nu schimbă sensul?

Fiindcă numerele pozitive păstrează ordinea de pe axă: dacă unul este mai mic decât altul, rămâne mai mic și după înmulțire. Numitorii sunt numere pozitive prin convenție, așa că pasul acesta este mereu sigur.

Cum reduc termenii asemenea într-o inecuație lungă?

Desfaci toate parantezele, apoi aduni separat termenii cu literă și separat numerele, fiecare în membrul lui. Rămâi cu o formă scurtă, de tipul unei mărimi comparate cu un număr. Reducerea făcută atent evită jumătate din greșelile posibile.

Ce fac dacă în fața unei fracții stă semnul minus?

Pui întregul numărător în paranteză înainte de a înmulți, apoi schimbi toate semnele dinăuntru. Din $- \frac{x - 3}{2}$ obții $- (x - 3)$ , adică $- x + 3$ , nu $- x - 3$ . Aici se adună cele mai multe puncte pierdute la corectare.

Cum tratez o inecuație în care litera apare în ambii membri?

Muți toți termenii cu literă într-un membru și numerele în celălalt, schimbând semnul la fiecare mutare. Din $5 x - 2 > 2 x + 7$ ajungi la $3 x > 9$ , deci $x > 3$ . Alegând membrul în care coeficientul iese pozitiv scapi de inversarea sensului.

Ce fac dacă ajung la o inecuație fără necunoscută?

Te uiți dacă propoziția rămasă este adevărată sau falsă. La $0 \cdot x < 5$ ea este adevărată oricare ar fi $x$ , deci soluția cuprinde toate numerele reale. Dacă ar fi ieșit $0 \cdot x < - 5$ , nicio valoare nu ar merge, iar mulțimea soluțiilor ar fi vidă.

Oamenii mai întreabă și: inecuații cu numitori · cum elimin numitorii dintr-o inecuație · inecuații cu paranteze · inecuație cu fracții · cel mai mic multiplu comun la inecuații