Ce este un interval nemărginit?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Intervale nemărginite și infinit

Este o mulțime de numere reale care se întinde fără oprire într-o direcție, având cel mult un singur capăt. Se scrie folosind semnele de infinit, lângă care paranteza este întotdeauna rotundă, fiindcă infinitul nu este un număr și nu poate fi atins. Astfel $x \geq 4$ devine $[4, + \infty)$ , cu bulină plină la $4$ și săgeată spre dreapta, iar toate numerele reale se scriu $(- \infty, + \infty)$ .

Un interval nemărginit este o mulțime de numere reale care are un singur capăt (sau niciunul) și se întinde la nesfârșit într-o direcție. Folosim simbolurile $+ \infty$ (plus infinit) și $- \infty$ (minus infinit) ca să arătăm acest lucru, dar reține: ele nu sunt numere, ci doar direcții. Tocmai de aceea, lângă $+ \infty$ și $- \infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă — niciodată dreaptă, pentru că infinitul nu poate fi „inclus” într-o mulțime.

Regula de aur: semnul cu egalitate ( $\geq$ , $\leq$ ) dă paranteză dreaptă și cerculeț plin; semnul strict ( $>$ , $<$ ) dă paranteză rotundă și cerculeț gol. Direcția „mai mare” înseamnă săgeată spre dreapta, „mai mic” înseamnă săgeată spre stânga.

Exemplu: $x \geq 4$ se scrie $[4, + \infty)$ — capătul $4$ e inclus (cerculeț plin), săgeată spre dreapta. Iar $R = (- \infty, + \infty)$ este intervalul care cuprinde absolut toate numerele reale.

De reținut

lângă infinit se pune întotdeauna paranteză rotundă
$x \geq a$ dă $[a, + \infty)$ ; $x < a$ dă $(- \infty, a)$
semnul cu egalitate dă bulină plină, cel strict dă cerculeț gol

Greșeala tipică

Se scrie paranteză pătrată lângă semnul de infinit, ca și cum ar fi un capăt obișnuit. Infinitul arată o direcție, nu un număr care poate fi inclus, deci paranteza rămâne rotundă.

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea ${x \in R ∣ x \geq - 5}$ scrisă sub formă de interval este:
- a) $[- 5, + \infty)$
- b) $(- 5, + \infty)$
- c) $[- 5, + \infty]$
- d) $(- \infty, - 5]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 5, + \infty)$

Semnul $\geq$ conține egalitatea, deci capătul $- 5$ este inclus $\to$ paranteză dreaptă. „Mai mare” înseamnă spre $+ \infty$ , unde punem obligatoriu paranteză rotundă. Rezultă $[- 5, + \infty)$ .
Care dintre următoarele scrieri este corectă?
- a) $[2, + \infty]$
- b) $[9, - \infty)$
- c) $(- \infty, 6]$
- d) $(6, - \infty]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- \infty, 6]$

Lângă $\pm \infty$ se pune mereu paranteză rotundă, iar $- \infty$ se scrie întotdeauna primul, la stânga. Singura scriere corectă este $(- \infty, 6]$ , care înseamnă $x \leq 6$ .
Mulțimea ${x \in R ∣ x < 7}$ scrisă sub formă de interval este:
- a) $(- \infty, 7)$
- b) $(- \infty, 7]$
- c) $(7, + \infty)$
- d) $[- \infty, 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, 7)$

Semnul $<$ este strict, deci capătul $7$ nu este inclus $\to$ paranteză rotundă. „Mai mic” înseamnă spre $- \infty$ , unde punem obligatoriu paranteză rotundă. Rezultă $(- \infty, 7)$ .

Întrebări conexe

Cum citesc cu voce tare intervalul de la minus infinit la doi?

Spui interval deschis de la minus infinit la doi, închis în doi, dacă paranteza din dreapta este pătrată. Denumirea capătului arată dacă numărul intră sau nu. Citirea corectă te ajută la dictare și la lămuririle cerute în clasă.

Ce interval reprezintă numerele negative?

Intervalul de la minus infinit până la zero, cu zero exclus, fiindcă zero nu este negativ. Se scrie cu paranteză rotundă la ambele capete. Dacă vrei și zero, capătul din dreapta devine paranteză pătrată.

Ce interval nemărginit obțin dintr-o inecuație de gradul întâi?

Unul care pornește din valoarea găsită și merge în direcția arătată de semn. Din $2 x - 6 > 0$ obții $x > 3$ , deci intervalul de la $3$ la plus infinit, cu $3$ exclus. Semnul strict decide forma parantezei.

Care este intersecția a două intervale nemărginite de sensuri opuse?

De obicei un interval mărginit, cuprins între cele două capete. Din $(- \infty, 7]$ și $[2, + \infty)$ rezultă $[2, 7]$ . Dacă însă capetele sunt așezate invers, cele două nu se suprapun deloc și rezultatul este mulțimea vidă.

Ce reuniune obțin din două intervale nemărginite de sensuri opuse?

Dacă ele se suprapun măcar puțin, obții toate numerele reale. Din $(- \infty, 5)$ și $(1, + \infty)$ iese întreaga axă. Dacă rămâne un gol între ele, reuniunea se scrie cu ambele bucăți, despărțite de simbolul potrivit.

Care este cel mai mare număr dintr-un interval nemărginit la dreapta?

Nu există niciunul: oricât de mare ai alege un număr din el, poți găsi imediat altul mai mare. Tocmai asta înseamnă nemărginit. Din același motiv nu se poate pune paranteză pătrată lângă semnul de infinit.

Oamenii mai întreabă și: interval nemărginit · ce înseamnă plus infinit · interval cu infinit · de la minus infinit la un număr · reprezentarea pe axă a intervalelor nemărginite