Ce tip de interval este $$(-5, 2]$$?

semideschis, închis la dreapta

semideschis, închis la stânga

Ce tip de interval este $$[3, 8)$$?

semideschis, închis la stânga

semideschis, închis la dreapta

Ce e un interval închis și unul deschis?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Intervale închise, deschise, semideschise

Diferența stă doar în paranteze. La cel închis, scris $[a, b]$ , ambele capete fac parte din mulțime, iar pe axă se desenează cu bulină plină. La cel deschis, scris $(a, b)$ , capetele rămân pe dinafară și se marchează cu cerculeț gol. Există și varianta amestecată, semideschisă, cu un capăt inclus și celălalt nu. Astfel $[2, 5)$ cuprinde numerele de la $2$ inclusiv până sub $5$ , deci printre întregi ai $2$ , $3$ și $4$ .

Un interval mărginit de numere reale este mulțimea tuturor numerelor cuprinse între două capete, $a$ și $b$ , cu $a \leq b$ . Diferența dintre tipuri stă exclusiv în paranteze: paranteza pătrată $[]$ arată că acel capăt aparține intervalului (semn $\leq$ sau $\geq$ ), iar paranteza rotundă $()$ arată că acel capăt nu aparține (semn strict $<$ sau $>$ ). Astfel avem interval închis $[a, b]$ (ambele capete incluse), deschis $(a, b)$ (niciun capăt inclus) și semideschis, fie $[a, b)$ , fie $(a, b]$ (un singur capăt inclus). Pe axă, capătul inclus se desenează cu bulină plină, iar cel exclus cu cerculeț gol.

Exemplu. $[2, 5)$ înseamnă $2 \leq x < 5$ : conține pe $2$ , dar nu pe $5$ . Numerele întregi din el sunt $2, 3, 4$ .

De reținut

$[a, b]$ — capete incluse, bulină plină
$(a, b)$ — capete excluse, cerculeț gol
$[a, b)$ și $(a, b]$ — semideschise, un singur capăt inclus

Greșeala tipică

Se numără și capetele la un interval deschis atunci când se cer numerele întregi din el. Un capăt scris cu paranteză rotundă nu aparține mulțimii, deci nu intră în numărătoare.

Exerciții din această mini-lecție

Ce tip de interval este $(- 5, 2]$ ?
- a) interval închis
- b) interval deschis
- c) semideschis, închis la stânga
- d) semideschis, închis la dreapta
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) semideschis, închis la dreapta

Paranteza rotundă la $- 5$ înseamnă capăt exclus, iar paranteza pătrată la $2$ înseamnă capăt inclus. Deci intervalul e închis la dreapta (capătul inclus e cel din dreapta): $- 5 < x \leq 2$ .
Intervalul $[- 1, 6)$ corespunde inegalității:
- a) $- 1 < x < 6$
- b) $- 1 \leq x \leq 6$
- c) $- 1 \leq x < 6$
- d) $- 1 < x \leq 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 1 \leq x < 6$

Paranteza pătrată la $- 1$ dă semnul cu egal ( $\leq$ ), iar paranteza rotundă la $6$ dă semnul strict ( $<$ ). Rezultă $- 1 \leq x < 6$ .
Ce tip de interval este $[3, 8)$ ?
- a) interval închis
- b) interval deschis
- c) semideschis, închis la stânga
- d) semideschis, închis la dreapta
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) semideschis, închis la stânga

Paranteza pătrată la $3$ înseamnă capăt inclus, iar paranteza rotundă la $8$ înseamnă capăt exclus. Deci intervalul e închis la stânga (capătul inclus e cel din stânga): $3 \leq x < 8$ .

Întrebări conexe

Ce interval are lungimea zero?

Cel de forma $[a, a]$ , care cuprinde un singur număr. Scris cu paranteze rotunde, $(a, a)$ , nu mai cuprinde niciunul și este mulțimea vidă. Un astfel de interval se numește degenerat și apare uneori ca soluție a unui sistem de inecuații.

Ce lungime are un interval mărginit?

Diferența dintre capătul din dreapta și cel din stânga, indiferent ce fel de paranteze are. Intervalele $[1, 6]$ și $(1, 6)$ au amândouă lungimea $5$ . Parantezele schimbă apartenența capetelor, nu distanța dintre ele.

Ce diferență face un capăt inclus atunci când număr elementele întregi?

Adaugă exact un element pentru fiecare capăt inclus care nimerește pe un număr întreg. Trecând de la $(0, 4)$ la $[0, 4]$ , numărul de întregi urcă de la trei la cinci. La capete care nu sunt întregi, parantezele nu schimbă numărătoarea.

Se poate scrie un interval cu numărul mai mare în stânga?

Nu, capătul din stânga trebuie să fie mai mic sau cel mult egal cu cel din dreapta. Scrierea $[7, 3]$ nu are înțeles. Când capetele sunt egale, un interval închis se reduce la un singur număr, iar unul deschis devine mulțimea vidă.

Câte numere reale cuprinde intervalul dintre zero și unu?

O infinitate, oricât de scurt ar părea. Între oricare două numere reale mai încape întotdeauna încă unul, de pildă media lor. Numărarea are sens doar dacă ceri numerele întregi din interval, care aici sunt puține sau chiar niciunul.

Cum se citește cu voce tare intervalul deschis de la unu la trei?

Spui interval deschis de la unu la trei sau, mai scurt, paranteză rotundă unu, trei. La cel închis spui interval închis. Numele parantezei este partea cea mai importantă, fiindcă ea decide dacă numerele de la capete intră sau nu.

Oamenii mai întreabă și: interval închis · interval deschis · interval închis și deschis · interval semideschis · paranteză pătrată sau rotundă la intervale