Punctul $$O$$ este centrul cercului circumscris triunghiului $$XYZ$$. Care dintre următoarele afirmații este corectă?

$$O$$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului

$$O$$ este egal depărtat de laturile triunghiului

$$O$$ se află întotdeauna în interiorul triunghiului

$$O$$ este punctul de concurență al bisectoarelor

Triunghiul $$KLM$$ este dreptunghic în $$K$$, iar ipotenuza $$[LM]$$ are $$14$$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris și cât este raza lui?

pe mijlocul ipotenuzei $$[LM]$$, $$R = 7$$ cm

în interiorul triunghiului, $$R = 14$$ cm

în exteriorul triunghiului, $$R = 7$$ cm

chiar în punctul $$K$$, $$R = 14$$ cm

Punctul $$O$$ este centrul cercului circumscris triunghiului $$ABC$$. Care dintre următoarele afirmații este corectă?

$$O$$ este punctul de concurență al mediatoarelor laturilor triunghiului

$$O$$ se află la intersecția înălțimilor triunghiului

$$O$$ este centrul de greutate al triunghiului

$$O$$ se află întotdeauna pe una dintre laturile triunghiului

Cum aflu centrul cercului circumscris?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mediatoarele triunghiului și cercul circumscris

Construiești mediatoarele a două laturi ale triunghiului, iar punctul lor de întâlnire, notat $O$ , este centrul căutat; a treia mediatoare trece automat prin el. Motivul este proprietatea mediatoarei: $O$ fiind pe două dintre ele, se află la fel de departe de toate cele trei vârfuri. Distanța comună este chiar raza: dacă $O A = 9$ cm, atunci și $O B$ și $O C$ măsoară $9$ cm.

Mediatoarea unui segment $[A B]$ este dreapta perpendiculară pe el, dusă prin mijlocul lui; un punct $P$ se află pe ea dacă și numai dacă $P A = P B$ . Într-un triunghi $A B C$ , cele trei mediatoare ale laturilor sunt concurente într-un punct $O$ : dacă $O A = O B$ (fiindcă $O$ e pe mediatoarea $[A B]$ ) și $O B = O C$ (fiindcă $O$ e pe mediatoarea $[B C]$ ), atunci $O A = O C$ , deci $O$ se află și pe mediatoarea $[C A]$ . Rezultă $O A = O B = O C = R$ , adică $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului — cercul care trece prin toate cele trei vârfuri. Poziția lui $O$ depinde de tipul triunghiului: în interior (ascuțitunghic), pe mijlocul ipotenuzei (dreptunghic) sau în exterior (obtuzunghic).

Exemplu. Dacă $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$ și $O A = 9$ cm, atunci $O B = O C = 9$ cm, iar raza cercului este $R = 9$ cm, pentru că toate distanțele de la centru la vârfuri sunt egale.

De reținut

cele trei mediatoare ale laturilor se întâlnesc într-un punct $O$
$O A = O B = O C = R$ , raza cercului circumscris
poziția lui $O$ : interior, pe ipotenuză sau exterior, după felul triunghiului

Greșeala tipică

Se caută centrul cercului circumscris la intersecția bisectoarelor; acolo se află centrul cercului înscris, care atinge laturile, în timp ce cercul circumscris trece prin vârfuri și are centrul pe mediatoare.

Exerciții din această mini-lecție

Punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $X Y Z$ . Care dintre următoarele afirmații este corectă?
- a) $O$ este egal depărtat de laturile triunghiului
- b) $O$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului
- c) $O$ se află întotdeauna în interiorul triunghiului
- d) $O$ este punctul de concurență al bisectoarelor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $O$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului

Centrul cercului circumscris este punctul de concurență al mediatoarelor, deci satisface $O X = O Y = O Z$ — este egal depărtat de vârfuri, nu de laturi. Egal depărtat de laturi este centrul cercului înscris (concurența bisectoarelor). Poziția lui $O$ nu este mereu în interior: depinde dacă triunghiul e ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic.
Triunghiul $K L M$ este dreptunghic în $K$ , iar ipotenuza $[L M]$ are $14$ cm. Unde se află centrul cercului circumscris și cât este raza lui?
- a) în interiorul triunghiului, $R = 14$ cm
- b) pe mijlocul ipotenuzei $[L M]$ , $R = 7$ cm
- c) în exteriorul triunghiului, $R = 7$ cm
- d) chiar în punctul $K$ , $R = 14$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pe mijlocul ipotenuzei $[L M]$ , $R = 7$ cm

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris se află la mijlocul ipotenuzei, iar ipotenuza este un diametru al cercului. Raza este $R = \frac{L M}{2} = \frac{14}{2} = 7$ cm.
Punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$ . Care dintre următoarele afirmații este corectă?
- a) $O$ se află la intersecția înălțimilor triunghiului
- b) $O$ este centrul de greutate al triunghiului
- c) $O$ este punctul de concurență al mediatoarelor laturilor triunghiului
- d) $O$ se află întotdeauna pe una dintre laturile triunghiului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $O$ este punctul de concurență al mediatoarelor laturilor triunghiului

Centrul cercului circumscris este chiar punctul de concurență al celor trei mediatoare ale laturilor triunghiului, egal depărtat de cele trei vârfuri. Variantele (a) și (b) confundă $O$ cu alte puncte remarcabile (ortocentrul, centrul de greutate), iar (d) e falsă în general — doar în triunghiul dreptunghic $O$ se află pe o latură (ipotenuza).

Întrebări conexe

De ce segmentele OA, OB și OC au aceeași lungime?

Fiindcă $O$ se află pe mediatoarea laturii $[A B]$ , deci $O A = O B$ , și pe mediatoarea laturii $[B C]$ , deci $O B = O C$ . Din cele două egalități rezultă și $O A = O C$ . Așadar toate trei vârfurile sunt la aceeași depărtare de $O$ , iar aceasta este raza cercului.

Cum se schimbă poziția lui O când triunghiul devine obtuzunghic?

Iese în afara figurii, dincolo de latura cea mai lungă. La un triunghi ascuțitunghic centrul stă înăuntru, iar la unul dreptunghic ajunge chiar pe mijlocul ipotenuzei. Forma triunghiului se poate deci ghici din locul în care se adună mediatoarele.

Prin câte puncte trece cercul determinat de un triunghi?

Prin exact cele trei vârfuri ale lui. Trei puncte necoliniare determină un singur cerc, iar centrul lui se obține din mediatoare. Dacă punctele ar fi coliniare, mediatoarele ar fi paralele și nu s-ar mai întâlni, deci cercul nu ar exista.

Cum construiesc cercul circumscris cu rigla și compasul?

Trasezi mediatoarele a două laturi și marchezi punctul lor de întâlnire. Pui vârful compasului acolo, deschizi până la unul dintre vârfuri și rotești. Cercul obținut trece prin toate trei vârfurile, ceea ce este și verificarea construcției.

Ce diferență este între ortocentru și centrul cercului circumscris?

Ortocentrul este intersecția înălțimilor, iar centrul cercului circumscris este intersecția mediatoarelor. Primul depinde de perpendicularele duse din vârfuri, al doilea de perpendicularele duse prin mijloacele laturilor. Cele două puncte coincid numai la triunghiul echilateral.

La ce folosește cercul circumscris într-o problemă practică?

Ajută la găsirea unui punct egal depărtat de trei locuri date, de exemplu la amplasarea unei fântâni între trei case sau a unei antene între trei sate. Se unesc cele trei locuri într-un triunghi și se caută centrul cercului care trece prin ele.

Oamenii mai întreabă și: centrul cercului circumscris · mediatoarele unui triunghi · cercul care trece prin cele trei vârfuri · raza cercului circumscris