Cum scriu soluțiile unei inecuații ca interval?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Soluțiile unei inecuații: interval și axă

Aduci inecuația la o formă simplă, în care litera rămâne singură într-un membru, apoi treci rezultatul în scriere cu paranteze. Semnul strict cere paranteză rotundă, iar cel cu egalitate paranteză pătrată; lângă infinit paranteza rămâne mereu rotundă. Din $x > 3$ obții $(3, + \infty)$ , iar din $x \leq - 1$ obții $(- \infty, - 1]$ . Mulțimea se notează cu $S$ și se scrie la sfârșitul rezolvării.

O inecuație, spre deosebire de o ecuație, are de obicei infinit de multe soluții. Mulțimea tuturor acestor soluții se notează $S$ și se scrie compact ca interval numeric. Totul depinde de semnul inecuației: dacă e strict ( $<$ sau $>$ ), capătul e exclus — paranteză rotundă, cerc gol pe axă; dacă are egal ( $\leq$ sau $\geq$ ), capătul e inclus — paranteză dreaptă, cerc plin.

Cele patru forme de aur: $x > a \Rightarrow (a, + \infty)$ ; $x \geq a \Rightarrow [a, + \infty)$ ; $x < a \Rightarrow (- \infty, a)$ ; $x \leq a \Rightarrow (- \infty, a]$ . Lângă $\infty$ punem mereu paranteză rotundă, pentru că infinitul nu poate fi „atins".

Exemplu: pentru $x > 3$ , numărul $3$ nu verifică inecuația ( $3 > 3$ e fals), deci $S = (3, + \infty)$ , cu cerc gol la $3$ și săgeată spre dreapta. Testează mereu cu un număr de probă, ca să fii sigur că ai colorat partea corectă a axei!

De reținut

semn strict → paranteză rotundă și cerculeț gol
semn cu egalitate → paranteză pătrată și bulină plină
lângă infinit, paranteza este întotdeauna rotundă

Greșeala tipică

Se pune paranteză pătrată la un capăt obținut dintr-un semn strict. Numărul de la graniță nu verifică inecuația, deci rămâne în afara mulțimii, iar paranteza trebuie rotundă.

Exerciții din această mini-lecție

Scrie mulțimea soluțiilor inecuației $x \geq 6$ sub formă de interval.
- a) $(6, + \infty)$
- b) $[6, + \infty)$
- c) $(- \infty, 6]$
- d) $(- \infty, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[6, + \infty)$

Semnul $\geq$ conține egalul, deci $6$ este soluție: capăt închis, paranteză dreaptă, cerc plin. Direcția "mai mare sau egal" merge spre $+ \infty$ , deci $S = [6, + \infty)$ .
Pe o axă, la capătul $- 5$ este desenat un cerc gol, iar colorarea merge spre stânga. Ce inecuație corespunde acestui desen?
- a) $x \geq - 5$
- b) $x > - 5$
- c) $x \leq - 5$
- d) $x < - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x < - 5$

Cerc gol la $- 5$ înseamnă capăt exclus, deci semn strict. Colorarea spre stânga înseamnă "mai mic". Combinând cele două: $x < - 5$ .
Scrie mulțimea soluțiilor inecuației $x < - 2$ sub formă de interval.
- a) $(- \infty, - 2)$
- b) $(- \infty, - 2]$
- c) $(- 2, + \infty)$
- d) $[- 2, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, - 2)$

Semnul $<$ este strict, deci $- 2$ nu este soluție: capăt deschis, paranteză rotundă, cerc gol. Direcția „mai mic” merge spre $- \infty$ , deci $S = (- \infty, - 2)$ .

Întrebări conexe

Cum notez mulțimea soluțiilor într-o rezolvare scrisă?

Scrii litera $S$ , semnul egal și intervalul obținut, pe ultimul rând al rezolvării. De pildă $S = [4, + \infty)$ . Un rezultat lăsat doar sub formă de inegalitate se punctează mai puțin la examen, chiar dacă este corect.

Ce soluții naturale are o inecuație cu rezultatul mai mic decât patru?

Numerele $0$ , $1$ , $2$ și $3$ , adică patru valori. Dacă se cer soluțiile întregi, se adaugă și toate numerele negative, deci mulțimea devine infinită. Enunțul spune clar în ce mulțime se caută.

Poate o inecuație să nu aibă nicio soluție?

Da, atunci când litera dispare și rămâne o propoziție falsă. Din $x + 3 < x + 1$ obții $3 < 1$ , ceea ce nu se întâmplă niciodată, deci mulțimea soluțiilor este vidă. Se scrie cu simbolul de mulțime goală.

Poate o inecuație să fie adevărată pentru orice număr real?

Da, dacă după calcule rămâne o propoziție adevărată fără literă. Din $2 x + 5 > 2 x - 1$ ajungi la $5 > - 1$ , valabil mereu, deci soluția este întreaga axă. Rezultatul se scrie ca interval nemărginit în ambele sensuri.

Cum testez că am colorat partea potrivită a axei?

Alegi un număr din zona colorată și îl pui în inecuația inițială. Dacă propoziția iese adevărată, zona este bună; dacă iese falsă, ai colorat exact pe dos. Un al doilea test, cu un număr din afara zonei, întărește concluzia.

Prin ce diferă mulțimea soluțiilor unei ecuații de cea a unei inecuații?

La ecuație obții de obicei câteva numere, scrise între acolade, iar la inecuație o porțiune întreagă de axă, scrisă ca interval. Ecuația $2 x = 6$ dă ${3}$ , iar inecuația $2 x > 6$ dă $(3, + \infty)$ , cu o infinitate de valori.

Oamenii mai întreabă și: mulțimea soluțiilor unei inecuații · cum scriu soluția unei inecuații · soluția unei inecuații ca interval · reprezentarea soluțiilor pe axă · notația S la inecuații