Scrie prin enumerare mulțimea $$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -5 \le x < 2\}$$.

$$\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$$

$$\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$$

$$\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$$

Care dintre mulțimile de mai jos este vidă?

$$\{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 3\}$$

$$\{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x < 3\}$$

$$\{x \in \mathbb{Z} \mid -1 \le x \le 1\}$$

$$\{x \in \mathbb{N} \mid x \le 0\}$$

Scrie prin enumerare mulțimea $$C = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x \le 4\}$$.

$$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$

Cum se scrie o mulțime prin proprietate?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Mulțimi prin proprietate caracteristică

Deschizi o acoladă, scrii litera care ține locul elementelor, apoi o bară verticală citită astfel încât și, în sfârșit, condiția pe care elementele trebuie să o respecte. De obicei se precizează și din ce mulțime alegi. Astfel $B = {x \in Z ∣ - 2 \leq x < 3}$ înseamnă numerele întregi cuprinse între $- 2$ inclusiv și $3$ exclusiv, adică ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ . Scrierea aceasta înlocuiește o listă care ar putea fi foarte lungă.

O mulțime poate fi scrisă în două feluri: prin enumerare, adică listăm toate elementele între acolade (de exemplu $A = {2, 4, 6}$ ), sau prin proprietatea caracteristică, adică dăm o regulă pe care o respectă exact elementele ei: $A = {x ∣ x are proprietatea P}$ . Bara $∣$ se citește „astfel încât".

De obicei scrierea are forma ${x \in M ∣ C}$ : partea $x \in M$ arată universul (din ce mulțime alegem, de exemplu $N$ sau $Z$ ), iar $C$ este condiția-filtru. Un element intră în mulțime doar dacă respectă și universul, și condiția.

Exemplu: $B = {x \in Z ∣ - 2 \leq x < 3}$ . Alegem întregi, apoi filtrăm: $B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , deci $∣ B ∣ = 5$ .

O mulțime poate fi finită, infinită sau vidă ( $\emptyset$ , când condiția e imposibilă) — atenție, $\emptyset \neq = {0}$ !

De reținut

${x \in M ∣ C}$ — universul $M$ și condiția $C$
bara verticală se citește astfel încât
mulțimea vidă apare când nicio valoare nu respectă condiția

Greșeala tipică

Se confundă mulțimea vidă cu mulțimea formată din numărul zero. Prima nu are niciun element, pe când a doua are unul, deci cele două nu sunt egale.

Exerciții din această mini-lecție

Scrie prin enumerare mulțimea $A = {x \in Z ∣ - 5 \leq x < 2}$ .
- a) ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}$
- b) ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}$
- c) ${- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}$
- d) ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}$

Universul este $Z$ , iar condiția $- 5 \leq x < 2$ include capătul $- 5$ (semn $\leq$ ), dar exclude capătul $2$ (semn $<$ ). Înșirăm întregii: $- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$ .
Care dintre mulțimile de mai jos este vidă?
- a) ${x \in N ∣ 2 < x < 3}$
- b) ${x \in R ∣ 2 < x < 3}$
- c) ${x \in Z ∣ - 1 \leq x \leq 1}$
- d) ${x \in N ∣ x \leq 0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${x \in N ∣ 2 < x < 3}$

Nu există niciun număr natural strict între $2$ și $3$ (între doi naturali consecutivi nu se află alt natural), deci mulțimea de la a) este $\emptyset$ . La b) universul este $R$ , unde există o infinitate de numere între $2$ și $3$ ; c) are elementele ${- 1, 0, 1}$ ; d) are elementul ${0}$ , deci nu e vidă.
Scrie prin enumerare mulțimea $C = {x \in Z ∣ - 3 < x \leq 4}$ .
- a) ${- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$
- b) ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$
- c) ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$
- d) ${- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$

Universul este $Z$ , iar condiția $- 3 < x \leq 4$ exclude capătul $- 3$ (semn $<$ ), dar include capătul $4$ (semn $\leq$ ). Înșirăm întregii: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$ .

Întrebări conexe

Cum trec de la scrierea cu o condiție la lista elementelor?

Iei pe rând numerele din mulțimea indicată și le verifici pe fiecare în condiție, păstrându-le pe cele care o respectă. Pentru numerele naturale mai mici decât $5$ obții ${0, 1, 2, 3, 4}$ . Lista se scrie în ordine crescătoare, fără repetări.

Ce mulțimi de numere apar cel mai des drept univers?

Numerele naturale, întregi, raționale și reale, notate cu literele lor obișnuite. Alegerea schimbă complet rezultatul: aceeași condiție dă o listă scurtă printre întregi și o infinitate printre numerele reale.

Cum scriu mulțimea numerelor pare mai mici decât zece?

Poți scrie condiția în cuvinte, ca numere naturale pare sub $10$ , sau folosind o formulă cu un factor doi. Enumerarea dă ${0, 2, 4, 6, 8}$ . Ambele scrieri descriu aceeași mulțime, iar alegerea ține de cât de lungă ar fi lista.

Cum compar două mulțimi scrise prin proprietăți?

Le enumeri pe amândouă, apoi te uiți dacă au aceleași elemente sau dacă una le cuprinde pe toate ale celeilalte. Condițiile scrise diferit pot da aceeași listă, de pildă numerele naturale sub $3$ și cele cuprinse între zero inclusiv și trei exclusiv.

Cum se notează numărul de elemente al unei mulțimi?

Cu litera mulțimii scrisă între două bare verticale. Dacă mulțimea are cinci elemente, scrii că numărul lor este $5$ . Pentru mulțimile infinite această numărătoare nu se mai poate face.

Cum scriu o mulțime formată din numere reale dintr-o porțiune de axă?

Fie cu o condiție, alegând universul numerelor reale, fie mai scurt, sub formă de interval. Condiția $0 < x \leq 4$ se scrie ca interval semideschis. Cele două scrieri sunt echivalente, dar intervalul se citește mai repede.

Oamenii mai întreabă și: mulțime definită printr-o proprietate · proprietate caracteristică a unei mulțimi · cum scriu o mulțime cu bară verticală · mulțimi scrise cu o condiție · notația cu acolade și bară